application. — Soit Téquation
dont le premier membre sera désigné pary(x). Supposons que, par des substitutions successives de nombres croissants de dixièmes en dixièmes , on ait reconnu que cette équation a une racine positive comprise entre i ,8 et i ,9. En posant
«=i,8, = 1,9, on aura
La dérivée
f'{x) zr= 3x^ — 2X — 2
ne change pas de signe pour les valeurs de x comprises entre 1,8 et i ,9. De plus, y [x) ou 6 je — a est évidemment positive dans le même intervalle. Ainsi / (a) elf" [a) sont de signes contraires. C'est le cas de \^ fig* 9.
Le terme de correction de Nev^^ton ^;, \ sera donc
par excès (78) ; et par suite, le terme fourni par la règle
des parties proportionnelles — f(L\ ft \ ^^^^ P^^ ^^"
faut. Ainsi , en développant le premier terme en décimales ,
on devra prendre le quotient par excès 5 et si l'on a recours
au second , on devra le prendre par défaut.
Il vient
77^ "^ 4^77 =^'^^'95 (par excès),
- f\b)-fia) = 0,457 = 0,00.75 (par défaut).
l36 THÉORIE GÉJNÉaALE
Ajoutant successivement ces quotients à « = i , 8 , on aura deux nouvelles valeurs a^^ b^^
entre lesquelles la racine sera comprise. Elle sera donc déjà connue avec trois décimales exactes, el Ton saura que l'erreur commise , en prenant a^ ou &i , est moindre que 2 dixmillièmes : on verra plus loin que l'approxima ion de b^ est encore plus grande que ne Findique cette limite.
81 . On s'assure aisément si f" [x) garde constamment le même signe entre a et ft , toutes- les fois que cette dérivée seconde peut se mettre sous la forme ç (x) — ^ [x) , (p (x) el^ [x) étant des fonctions positives et croissantes. [C'est ce qui a toujours lieu , par exemple , dans le cas d'uneyb/iction algébrique , (f (x) désignant le groupe des termes positifs , et ^ [x] celui des termes négatifs.] En e/ïet, puisque Ton dif'^[x) = (P (x) — ^ (x) 5 la valeur que prend /^' [x) , quand x varie entre a et é , est toujours comprise entre les deux différences
f{a)^^(b) et ^(b)-^'^(aj;
donc 5 si elles sont de même signe , on est certain que y '' (a?) garde aussi. le même signe entre a et b. Cette condition es,t suffisante, mais elle n'est pas nécessaire.
Nota, -^ Nous avons dit que l'on pouvait toujours admettre la permanence du signe de f"(x) entre a et i, pourvu que b fût suffisamment voisin de a. Il y a cependant un cas d'exception : c'est celui oùf" [x) passerait précisément par zéro , en changeant de signe , pour la valeur de a: égale à la racine cherchée. Alors la courbe j^ =zf^x) présenterait une inflexion au point R , comme le montrent
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. iSj
le&Jig. II et 12. La tangente W au point R traverse la
Fig. I I .
Fr'g, 12.
courbe, en laissant une portion /?iR au-dessous d'elle et l'autre R/z au-dessus; en sorte que Ton ne prévoit plus si le point C où la corde mn va couper Taxe des x , est en deçà ou au delà du point R. Aiûsi>dans la^ï^. 1 1, il est au delà , et T etC tombent encore de côtés différents de R comme dans le cas général. Au contraire, dans la fig, 12, C et T sont d'un même côté de R.
Mais on peut remarquer que l'incertitude sur la position du point C n'existerait plus si , au lieu de partir de deux valeurs de a:, a et è , entre lesquelles tombe la racine cherchée, on partait, dans ce cas, de valeurs toutes deux par défaut (ou par excès) , par exemple celles qui répondent à deux points m et/? de la courbe, situés en deçà de R. Alors la sécante mp couperait l'axe des x en un point Q toujours en deçà de R (ou toujours au delà de R , si l'arc mR était convexe) j avec cette précaution , la règle des parties proportionnelles donnerait donc une approximation dont le sens serait encore prévu 5 seulement ce sens ne serait plus opposé à celui de l'approximation fournie par la méthode de
l3i8 THÉORIE GÉNÉRALE
N(*wton, et par suite les deux méthodes ne pourraient plus être combinées comme au n® 79. Nous donnerons un exemple de ce cas singulier dans la résolution d'une équation transcendante (96).
Si l'équation/ (a:) =o est algébrique, on sortira aisément de la diflSculté , en remarquant qu'il doit alors exister un plus grand commun diviseur entre f {x) et y [x) , puisque ces deux polynômes sont annulés par la même valeur de X. La recherche de la racine se fera donc sur l'équation de degré moindre qu'on obtient en égalant à zéro ce plus grand commun diviseur.
82. Nous avons supposé jusqu'ici , pour fixer les idées , que l'on partait d'une valeur a approchée par défaut, mais la formule (9) du nP 75 n'implique point cette restriction. On peut y remplacer a par la valeur en excès i , et il viendra
seulement cette valeur de h sera maintenant négative. En négligeant 0A au dénominateur, on aura une valeur approchée de h ,
c'est le terme de correction de Newton, appliqué à la valeur par excès b. Ce terme est évidemment représenté en valeur absolue par la sous-tangente BU {fig- 3, 8, 9 et 10). Cette sous-tangente retranchée de OB fournira une longueur
qui approchera tantôt par défaut, tantôt par excès de OR; par défaut dans les fig, 3 et lo, par excès dans les deux autres.
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l'ig
En même temps, si Ton change a en ft, et réciproquement, dans la formule (i i)^ la sous-sécante AC se changera dans BC , et Ton aura
C'est le terme de correction que fournit la règle des parties proportionnelles appliquée à la valeur par excès b.
Il est visible que les points U et C tombent toujours de côtés différents du point racine R. Ainsi tout ce que nous avons dit de la valeur par défaut a s'applique à la valeur par excès b.
83. Maintenant il est aisé de répondre à cette question : De laquelle des valeurs initiales a ou h faut-il partir pour que, substituée à la place de x dans la formule
elle fournisse une approximation constamment de même sens que celle valeur ^ et, par suite, constamment croissante ?
L'inspection des quatre fig, 3, 8, 9, lo montre que le point T est du même côté de R que le point A , seulement dans les fîg, 3 et 10, on f{a) el f" [a] sont de même signe; et le point U est du même côté de R que le point B, seulement dans les fig. 8 et 9 , où f [b) et f" [b) sont aussi de même signe.
Concluons donc que la valeur a. ouh dont on doit partir pour que l'approximation de Ne%vton soit toujours croissante et de même sens que cette valeur, est celle qui, mise à la place de x dans f(x) e«f"(x), donne des résultats de même signe,
84. Puisqu'on a vu plus haut que la règle des parties proportionnelles donnait, dans les mêmes circonstances, une approximation toujours de sens contraire à celle de
l4o THÉORIE GÉHÉRiLLE
Newton , il est clair que si Ton veut employer exclussement au calcul approché d'une racine la règle des parties proportionnelles , il faudra renverser la conclusion précédente, et dire :
La valeur a ou £ dont on doit partir pour que V approximation Joumie par la règle des parties proportionnelles soit toujours croissante et de même sens que cette "valeur^ est celle qui, mise à la place de x dans f (x) et P (x) , donne des résultats de signes contraires.
Dans les équations algébriques y les calculs de substitution qu'exige la méthode de Newton sur la dérivée f [x) , sont ordinairement assez simples; c'est pourquoi on fait un grand usage de cette méthode. Mais , dans la résolution des équations transcendantes , où entrent par exemple des logarithmes de ligaes trigonométriques , il peut arriver que les calculs à effectuer sur la dérivée y*'(x) se compliquent-, alors on préférera employer la règle des parties proportionnelles , où les calculs ne portent que sur la fonction primitive. Nous donnerons des exemples des deux méthodes sur quelques équations transcendantes.
85. Remarque. — En formulant les conclusions précédentes, nous n'avons pas voulu dire que, dans la méthode de Newton ou des parties proportionnelles, on ne devait jamais partir de celle des deux valeurs aoub pour laquelle l'approximation change de sens. L'essentiel est que ce sens soit nettement défini , afin qu'on ne marche pas au hasard. Si, par exemple, on a lieu de croire que « est beaucoup plus approchée de la racine que i, il pourra être plus avantageux d'appliquer la méthode à a , lors même que le sens de l'approximation serait renversé. On en voit un exemple dans l'équation traitée au n® 80. Si l'on partait de la valeur b z= 1,9, pour laquelle f{b) elf^^(b) sont de même signe, la formule de Newton donnerait la valeur par
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l4l
excès
Or elle est beaucoup moins approchée que la valeur également par excès
bi= 1 ,80195,
déjà trouvée, en partant de a = 1,8.
Si l'on veut approcher davantage de la racine, on partira maintenant de la valeur i^ = i ,80195 , et le terme de correction
fournira une nouvelle approximation de même sens que 5t (83). On trouve
-rr, — TT = — 7 — -^ — 71 = 0,00001220, (quotient par défaut).
Et, par suite , on a pour seconde approximation par excès,
On voit que cette correction n'a pas atteint les quatre premières décimales de h^ , et c'est ce qui nous a autorisés (comme on le verra plus bas) à pousser le quotient jusqu'à la huitième décimale. Cependant nous ne sommes pas encore surs de l'exactitude de tous ces chiffres.
Pour les vérifier, ce qu'il y a de plus court à faire, c'est la substitution immédiate dans l'équation proposée du nombre 1,801937^3, qui n'est inférieur à h^ que d'une unité du dernier ordre. Si le résultat de la substitution a le signe — , on sera certain que les huit chiffres trouvés sont exacts, attendu que l'on sait d'avance que la substitution de ij donnerait le signe -h. C'est ce qui a lieu en effet. En substituant i ,80193773 on trouve — 0,00000002.
La règle des parties proportionnelles , si nous la faisions marcher de pair avec la méthode de Newton, nous fournirait
l42 THÉORIE GÉNÉRALE
aussi un critérium certain. Car le terme de correction
dont la valeur absolue est représentée dans Xsifig. 9 par la sous-sécante BC donne, comme on l'a déjà vu (79) , ime approximation de sens contraire à celle de la soustangente BT. Par conséquent les décimales communes aux deux résultats
. /(6,) . (fe.-a.)/(&,)
'~nM' '"/(*.)-/(«.)'
conviendront à la vraie valeur de x. Nous ne nous arrêterons pas à ce moyen de vérification.
86. Laissant de côté toutes considérations géométriques, nous allons rechercher, sur la formule (7) , l'expression générale en grandeur et en signe de l'erreur que l'on commet en employant le terme de correction de New^ton
f{a) /'(«)■ Nous ne ferons d'abord aucune hypothèse sur le sens de l'approximation de a.
a -\- h désignant la valeur exacte d'une racine de l'équation f{x) = o , on aura
/{a 4-/^) = o; et, d'après la formule (7) ,
Donc l'erreur commise en prenant, pour seconde approximation de la racine,
fi")
sera la valeur absolue de l'expression
Jl /"{a + eh)
i.a" /'{a) Si l'on suppose maintenant que a et b soient deux nom-
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l43
bres , le premier inférieur et le second supérieur à la racine a + A, et assez rapprochés pour que f" (.r) ne change pas de signe entre « et t, l'équation (12) montre immédiatement que h surpassera -TTpy î pourvu que /'(a) eif"[a)
soient de signes contraires 5 ou, ce qui revient au même, pourvu quey(a) elf"{a) soientde mêraesigne(*). Dans ce
cas , a — jj^ — sera une valeur approchée dans le même
sens que a. En remplaçant dans l'équatîon (12) a par b et
h par — A^j on voit de même que h surpassera jrrrz^ pourvu
que f{h) et f" [h) soient de même signe5 et, dans ce cas,
b — jrnk s^^^ "^^ valeur approchée dans le même sens
que b. Ces conclusions avaient déjà été établies dans le n^ 83 par la Géométrie.
87. Désignons par M un nombre égal ou supérieur à la plus grande des valeurs numériques que prend f"{x) entre a et i 5 et par N un nombre égal ou inférieur à la plus petite " valeur numérique de f'[x) dans le même intervalle (nous avons donné précédemment des moyens de calculer ces deux nombres) 5
2N sera une limite supérieure de l'erreur commise. La fraction •— sera calculée une fois pour toutes , et servira de coefficient à h^ dans tout le cours du calcul ; comme h n est pas connu exactement , on le remplacera par un nombre supé-
(*) On sait, en effet, que/(a) et/' (<i) sont de signes contraires. Rappelons en deux mots la raison de cette opposition de signe. Si/' (/i) est positive, la fonction/(x) est croissante à partir de a:= a; or elle s'annule pour ar = flr -h A ; donc elle doit être négative pour x = a. On démontre de même que si /' (a) est négative, /(a) sera positive.
l44 THÉORIE GÉNÉRALE
rieur. Au début du calcul , ce nombre pourra être b — a , à défaut d'un autre plus approché.
Si Ton a — <^ I , et que Ton parte, comme à l'ordinaîre ,
d'une valeur a approchée à moins de — ?,Ie nombre des
décimales exactes ira au moins en doublant à chaque approximation. Ceci peut encoi*e avoir lieu, lors même que
— serait > i , à cause de la petitesse du facteur inconnu A*.
Mais il ne faut pas oublier qu'à l'erreur théorique dont nous venons d'assigner une limite supérieure, s'ajoutent , dans la pratique, des erreurs provenant des décimales négligées dans le calcul des termes de correction.
Appliquons ces remarques à l'exemple du n^ 80. En partant de la valeur par défaut «= i,8, nous avons trouvé pour h la valeur en excès
Ce nombre 0,002 pourra donc être pris pour/i dans l'évaluation de la limite supérieure de l'erreur. D'ailleurs on a
/'(«) ^/'(i,8) ~4,i2' ainsi le rapport que nous désignions plus haut par — est
ici — ^^T — î on n'a donc pas -trr <C i • Néanmoins on peut
2X4jÏ2 2N^ ^
reconnaître , eu égard à la petitesse de h dont la valeur par excès est 0,002 , que le nombre des décimales exactes a plus que doublé dans cette première approximation . En effet ,
l'erreur commise est moindre que — ^^-~ — (0,002)*, et à
2 ps 4-> ' ^
fortiori moindre que 7 » --'-. ou ,. Il y a en outre
une seconde erreur provenant de ce que le dernier chifire de la valeur bf = 1,80195 a été pris par excès. Cette erreur
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. ï4^
est moindre que — ^? et de même sens que la précédente .
Ainsi 1,80195 est approché par excès à -cent-millièmes
près; en sorte que la racine tombe entre 1,80193 et 1,80195. Donc, en définitive, on pourra prendre 1,80194 pour valeur approchée de la racine à i cent-millième près, et il restera à substituer ce nombre dans le premier membre de l'équation proposée pour fixer le sens de l'approximation. Le résultat de la substitution est positif -f- 0,0000098 ; par conséquent , i ,80194 est approché par excès.
88. Dans l'application que nous venons de faire, le calcul d\Ln seul terme de correction ,
/(i>8) /'(i,8)' a fourni immédiatement cinq décimales exactes*
D'ordinaire l'approximation n'est pas aussi rapide. L'er-
reur commise ayant pour limite supérieure — fr^ on peut
dire qu'elle est en général de l'ordre du carré de A. Si donc, au début de la méthode de Newton , le calcul ne fournit pas
sur h d'autre donnée que celle-ci : /i <[ — » Terreur sera
communément (*) de l'ordre des centièmes ; et il serait alors illusoire de pousser le calcul du premier terme de correction — 7:77—7 au delà de la seconde décimale. / («) Pareillement , si dans le calcul du second ternie de cor-
rection ^,, \ ? on ne sait rien sur h , si ce n est qu il est
{*) Nous disons communément, car il peut se présenter tel cas où le facteur — j^ serait beaucoup au-dessous de i , par exemple plus petit que — ;
alors la limite — rr h} tomberait au-dessous de — - 2N 100
l46 THÉORIE GÉNÉRALE
plus petit que , il est clair qu'on ne prendra pas plus
de quatre décimales au quotient, et ainsi de suite en doublant.
Au contraire , dans le calcul ci-dessus , le quotient
— /•/ / * Q\ iio^s ayant fourni une valeur de h par excès et
plus petite que 1 il était logique de pousser immédiatement ce quotient jusqu'à la cinquième décimale.
