Voici un autre exemple

On propose de résoudre l'équation

JC^-^ X — I ooo = o.

Le coeflScient de x étant positif et celui de x^ étant nul , on sait que cette équation n'a qu'une seule racine réelle. L'hypotbèse a:== lo réduit le premier membre à-f-io,eta: = 9 donne — 262. Ainsi la racine est comprise entre 9 et 10, mais beaucoup plus voisine de i o que de 9. Posons

/(j:)=x'-hx— 1000, d'où /'(.r)=3a:'-f- I, f"[x)=&x.

Soit 6 = 10; f{h) et f"{h) étant de même signe, le terme de correction

fournira une approximation de même sens que b , ou par excès. On trouve.

/'[b) 3oi

A quelle décimale convient-il de s'arrêter? Si l'on évalue, une fois pour toutes y la fraction — qui est très-simple , on

DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l47

trouve

D'ailleurs, bien que la valeur calculée de /i = o,o33 . . . soit par défaut, il est bien évident que la partie négligée ne saurait influer sur les dixièmes de cette valeur, en sorte que Ton a A < o, I •, donc

-rri /*' <r 0,002.

On est ainsi conduit à prendre trois décimales au quotient

^YTj-\\ soit o,o33; et la valeur approchée qui en résulte

pour la racine,

n'est fautive par excès que de deux unités du dernier ordre, au plus.

Si l'on veut s'arrêter là dans l'approximation , il reste à vérifier le dernier chiiTre décimal. A cet effet on n'a qu'à substituer, dans l'équation 9,966 à la place de x. Il vient

résultat dont le signe nous apprend que b^ est approchée

par excès à moins de (Comme le signe du résultat

importe seul , ce calcul peut s'abréger à l'aide des Tables de Gallet, bien qu'elles ne donnent que les trois premières décimales du cube de 9,966 ).

Mais, si l'on doit poursuivre l'approximation, celte vérification n'est pas nécessaire, et l'on peut immédiatement procéder au calcul du second terme de correction,

f{hx) o , 099634063

f [bx)^ 299 , 023267

On voit que les trois premiers chiffres du quotient seront

l48 THÉOBIE GÉAÉRALE

(les zéros ^ et vu la petitesse de — ? on est conduit à pousser cette fois la division jusqu'à la septième décimale. Il y aura donc quatre chiffres significatifs à chercher. Il suffit pour cela (29) de conserver six chiffres au dividende et au diviseur (à partir du premier significatif). On aura soin de forcer Tunité du dernier chiffre conservé au diviseur, afin que le quotient ne cesse pas d'être par défaut. Ainsi Ton divisera simplement 996340 par 299024 par la règle de la division abrégée. Il vient

d'où

— /-i i \ = ~" o>ooo333i (par défaut), bi = 9,967 — o,ooo333i = 9,9666669.

Cette valeur est toujours par excès, mais le dernier chiffre 9 n'est pas sûr ^ il peut être fautif d'une ou deux unités au plus. Pour le vérifier, on substitue dans l'équation 9,9666668 à la place de x. Le résultat est positif, mais si peu supérieur à zéro, qu'on aperçoit clairement, sans recommencer le calcul du cube, que si l'on ôlail encore une unité du dernier ordre, c'est-à-dire si Ton substituait 9,9666667 on aurait un résultat négatif.

Eu définitive ,

est une valeur approchée par excès de la racine à moins

de-JL.

En employant la méthode de Newton , avec les précautions que nous venons d'exposer, on voit que l'on marche sûrement vers la racine cherchée par une série de termes calculés chacun avec le nombre de décimales qui lui est propre, et qui fournissent une approximation croissante et toujours de même sens. Une seule vérification finale est

t)ES APPROXIMATIONS NVMÉllIQL'ES. l49

nécessaire pour reconnaître si le dernier chiffre décimal est exact, ou s'il doit être haussé ou baissé de quelques unités.