Exercices, — I. L'équation
a une racine comprise entre i , 5 et i ,6. En partant de 1,6, la méthode de Newton fournira une suite d'approximations par excès : on trouvera
IL L'équation
n'a qu'une seule racine réelle et positive comprise entre 9
et 10. En substituant des nombres équidistants de — » on
trouve que 9,7 et 9 , 8 donnent des résultats de signes contraires. D'ailleurs le premier membre de l'équation et sa dérivée seconde ont le même signe 4- quand on y fait a: = 9,8 On partira donc de ce nombre pour appliquer la méthode. Le calcul du premier terme de correction fournira trois décimales , la première étant zéro \ et le calcul du second terme en donnera sept. La dernière division s'abrégera par l'emploi des logarithmes. On trouvera
07 = 9,7657913 (par excès).
91. Toutes les fois que l'équation /(x) = oest algébrique, et aussi dans certains cas d'' équations transcendantes , on peut s'affranchir de toute hypothèse sur le signe de la dérivée seconde
Soient, en effet, P (jc) le groupe des termes positifs de la première dérivée/" (a?) , et — N (x ) le groupe des termes négatifs de cette même dérivée , en sorte que
Supposons, comme au n» 7S, /(«) <^ o, et par suite
jSo théorie générale
f'[a-\r-hli) >o. Comme chacun des polynômes algébriques P ( X ) , N ( JT ) va croissant avec x , si Ton fait x z=.h dans le premier et j: = flr dans le second , il viendra
L'équation (9) donnera ensuite
Cette limite de h conviendra évidemment encore à une équation transcendante, pourvu que V{x) et N(x) soient des fonctions positives croissantes.
Soit donc
a^ sera une seconde valeur plus approchée que a de la racine , et dans le même sens , c'est-à-dire par défaut.
Ceci suppose /(rt) <[ o : si Ton avait /(« ) > o, et, par conséquent ,/' (« -4- ô/i)< o, il faudrait d'abord renverser les signes de/' (.r) et écrire
d'où Ton tirerait
donc, en transportant dans Téquation (9) le signe — au dénominateur, et remplaçant la quantité positive — /'(« -H 6/') par N (6) — P(«), il viendrait
Enfin
remplacerait l'expression donnée plus haut pour a^. On voit qu'elles ne diffèrent l'une de l'autre que par un échange entre les nombres a ç\h dans le dénominateur.
DES APPnOXIMÀTIONS WUMÉRIQtES. l5l
Continuons à raisonner dans îa première hypothèse où Ton a f(a)<^o. Si nous partons maintenant de la valeur par excès b , et que nous désignions par A ce qu'il faut en retrancher pour avoir la racine exacte , Féquation (9) dans laquelle nous remplacerons à par — A ela par b donnera
Comme on 3i/(b) > o et /•> o, on a aussi/*' (è — ÔX^) ^ o; et d'ailleurs
/'(6-9/)<P(fc)-N(«), d'où
Soit donc
bx sera une nouvelle valeur plus approchée que b de la racine, et dans le même sens, c'est-à-dire par excès.
Comme on calcule d'ordinaire a, et ^, en décimales, on s'arrêtera pour ai à un nombre par défaut, et pour ^, à un nombre par excès.
L'erreur commise en adoptant a, ou ^, pour valeur delà racine, sera moindre que la différence ^, — «,. Les décimales communes à ces deux nombres appartiendront à l'expression exacte de la racine.
Pour continuer l'approximation, on répétera sur «, et ^, les mêmes calculs que sur a et b , et l'on parviendra ainsi à deux nouvelles limites a^ et b-^ plus rapprochées de la racine , et ainsi de suite.
Ces expressions de «,, è, sont dues à M. Cauchy. Elles conviennent à tous les cas que peut offrir la résolution d'une équation algébrique ; cependant elles ne fournissent pas toujours une approximation aussi rapide que la méthode de Newton, rectifiée comme on l'a vu aux n"* 78 et ÏO.
iSsi THéOKIE GÉNÉRALE
On peut s*en convaincre en les appliquant à Téquation numérique déjà traitée (00).
92. Nous allons maintenant appliquer la méthode de Newton et celle des parties proportionnelles à la résolution de quelques équations transcendantes.
Proposons-nous d'abord de calculer la ^valeur approchée du plus petit arc de cercle qui a la propriété d*étre égal à sa tangente trigonométrique , (On exclut Tare o degré.)
Ce calcul se présente dans le problème dont voici l'énoncé : Parmi tous les arcs de cercle d'une même longueur donnée et de rayons variables , déterminer celui pour lequel l'aire du segment correspondant est maxima (*).
En désignant par /la longueur de Tare ACB {fig^ i3) et par r
Fig. i3.
le rayon OA, on a
V segment ACBI = - /r — r^ sin - •
Si Ton égale à zéro la dérivée de cette fonction de r, on trouve une équation qui se partage en deux , savoir :
cos — = o et tang — =
2/- La première donne
%r ir
[in H- i)Tr
d'où résultent ime infinité de segments maxima qu'on obtient en faisant croître Tenlier /z de o à » . Parmi eux le maximum maxi-
(*) Voir mon Cours complémentaire d'Analyse, page iZ?..
DES ÀPPîlOXIMATIOKS NUMÉRIQUES. l53
morum répond à « = o, d'où r := - : ce segment est évidemment
un demi- cercle.
La seconde équation devient, en posant — = x,
(i3) tangjc — jr=o.
Elle admet une infinité de racines réelles, égales et de signes contraires deux à deux, que l'on peut construire par l'intersection de la droite j = .r avec la courbe à branches infinies /== tango:. Si Ton désigne par a, p, 7, etc., la suite des racines positives, rangées par ordre de grandeur (excepté la racine zéro), la construction graphique permet de les séparer aisément ; on a
A ces racines répondent des segments minima. Ces segments s'intercalent entre les maxima obtenus plus haut. Car les valeurs de
/.,, . TrSTTÔTT
— qui repondent aux maxima sont -> — j — 5 etc. Les maxima ir ' . 222
et minima d'une fonction doivent en effet se succéder alternativement.
93. Laissant de côté toute discussion de maximum et de minimum, nous nous proposons de calculer approximativement la racine a de réquation (i3).
Deux modes de calcul se présentent ; l'un consiste à remplacer l'équation proposée par Véquation logarithmique,
(i4) log tango: — logx = o ;
puis à employer la méthode des parties proportionnelles ^ après avoir resserré convenablement les limites entre lesquelles la racine est comprise. Dans l'autre mode , on laisse l'équation (i3) telle qu'elle est, afin de ne pas compliquer
l54 THÉORIE GÉNÉRALE
les calculs à effectuer sur la dérivée , et Ton applique la Méthode de Newton.
Nou-s suivrons d^ abord le premier mode.
Prenons donc Téquation (i4)- La première chose à faire, est de rapprocher les limites entre lesquelles on sait qu'est comprise la racine : ces limites sont les arcs de i8o** et 270°. Pour cela , nous substituerons d'abord à la place de x une suite de moyennes arithmétiques.
Posons
/'(^) = log tang^ — logx :
1^. 0:= arc (180°-+- 45°) ou 225** donne
/(225°)=r !ogtang45®-— log(arc225°) = o — log(arc225°),
résultat évidemment négatif. L'arc cherché est donc compris entre 225° et 270°.
2*^. Faisons x = arc ( 1 80'' -h 67° 3o') , ou simplement, en négligeant les minutes, x = arc (180° -h 67°) ou 247°.
Ici, et dans les essais qui vont suivre, nous aurons besoin des valeurs numériques des arcs rapportées au rayon pris pour unité. Ces valeurs se trouvent toutes calculées dans une petite table qui occupe trois pages des Tables de Callet, immédiatement ap'awf les logarithmes-sinus relatifs à la division centésimale du cercle. Cette petite table, intitulée : Rapports des longueurs des degrés au rayon , donne non-seulement les valeurs des degrés depuis 1** jusqu'à 100°, mais les minutes de i' à 60', et les secondes de l'^à 100''. — D'après cela, pour avoir la longueur de l'arc 247^, on n'aura que cette simple addition à faire :
arc .180° =: 3, 1 4 «5926
arc 67° = 1 , 1693706 (donné par la Table)
arc 247° ■=:= 4>3'09632
DES APPROKIMATIONS NUMÉRIQUES. l55
11 reste à prendre le logarithme de cet arc dans la Table des nombres , et Ton a
log(arc 247») = 0,6345743.
C'est ainsi qu'on opérera dans tous les essais suivants. Remarquons encore que pour avoir les logarithmes des arcs avec sept décimales exactes, il convient (60) de prendre leurs rapports au rayon avec huit chiffres. C'est ce qu'on a fait ci-dessus.
Cela posé, on aura, pour x=^ 247",
/{247**) = logtang67° — log(arc247'') = 0,3721481 = 0,6345743,
résultat négatif. La racine est donc comprise entre 247° et 270*^.
3^. x= 180° 4-78° ou 258° donne
/(258*>) = Iogtang78° — log(arc258«)
résultat positif. Arc 258° est donc une limite supérieure de la racine.
Nous avons déjà pour limite inférieure 247^5 mais, vu les résultats qu'ont donnés les substitutions précédentes et la rapidité avec laquelle croit tangx, il y a lieu de penser que la racine est beaucoup plus voisine de 258° que de 247°. C'est pourquoi, abandonnant les moyennes arithmétiques, essayons 257°. Il vient
/(257°) = logtang77° — log(arc257°)
= 0,6366359 — o,65i8io5 = — 0,01 5 1746.
Il y a changement de signe. La racine est donc comprise' entre 257° et 258° : elle est connue à 1° près.
l56 THÉORIE GÉNÉRALE
Posons
Pour savoir de laquelle de ces deux valeurs il convient de partir en employant la méthode des parties proportionnelles , examinons les signes des dérivées première et seconde de la fonction/(x). 11 vient
^ ' \sin2.r xj
y.// / X ,, / — 4cos2a: I \
M désigne le module - — • Comme x est compris entre tt et
— 92X est compris entre 27: et Stt, et, par conséquent, sin ^x est positif*, d'ailleurs on a a j: ]> sin a or. Donc aussi
sm 2 :r x
f'{x) reste donc positive pour toutes les valeurs de x comprises entre a elb.'
Quant k J"[x)^ il est évident que cette dérivée reste aussi positive, puisque cos a a: est négatif.
Enfin pour la valeur x = «, /{a:) et /'' (x) sont de signes contraires.
(*) Si Ton faisait une troisième substitution, celle de îSg**, on aurait les deux dijférences premières
correspondantes à des arcs équidistants de i^; d'où Ton pourrait conclure la dijjférence seconde
et Ton reconnaîtrait que cette dernière est une très- petite fraction vis-à-vis des différences premières, el, par conséquent, négligeable dans le premier degré d'approximation. Ceci légitimerait au besoin, à priori, la méthode des parties proportionnelles qui revient, comme on sait, à considérer les différences secondes de la fonction comme nulles.
DÈS Approximations KtiMÉRiQucs. i5j
Donc (84-) , en parlant de a = 267^, on sera^ûr que le terme de correction
fy>)-f[a) fournira une approximation croissante cl de mcme sens que a.
Voici le tableau des calculs.
Première approximation. — On a 5-^0= i°~6o', /(ûr) = — 0,0151746, /{b) = + 0,0190284,
d'où
Par suite de la multiplication par 6, le dernier chiffre du dividende peut être fautif de plusieurs unités^ mais cela est indifférent, attendu que, dans cette première approximation, nous ne conserverons que le nombre entier de minutes de Tare. Nous n'avons donc qu'à évaluer ce quotient à un dixième près •, et, pour cela , il suffit (29) de conserver quatre chiffres tant au dividende qu'au diviseur, en ayant soin de forcer l'unité sur ce dernier, comme l'indique le tableau ci-dessous :
Ajoutant 26' à 257**, on aurait une approximation par défaut de la racine 5 mais , eu égard à la fraction de minute
qui surpasse -» il vaut mieux adopter 257° 27', valeur qui
sera probablement encore approchée par défaut* On s'en assure en la substituant dans l'équation : celle substitu-
]58 THÉORIE GÉKÉKALE
tîon servira en loul cas pour la suite de l'approximation.
/(257"27') =: log tang(77<»27' — log (arc 257**27') = o ,6524546 — o , 6525703 = — 0,0001 157.
Le signe — nous apprend que 257^27' est en effet approché par défaut-, et la petitesse du résultat nous conduit en même temps à essayer 267^ 28', afin d'abaisser, s'il se peut, la limite supérieure de la racine.
Il vient
/'(257*»28') — log tang {77'* 28') — log(arc 257^28') == o ,653o5o6 — o ,6525984 = -h 0,0004522,
résultat positif. Ainsi 267° 27' est approché à 1' près et par défaut.
Deuxième approximation. — On posera maintenant
a, z= 257° 27' , b^ = 257« 28' ; d'où
^. — fl, = i' = 6o", f[a,)=z — o,ooou57, f[bx) = -h 0,0004522, (^>. ^«,)/(^i.) ^ 60". n57 69420^^ „ /(^.) -/(«.) 5679 - 5679 - '^ ^^'-
Ajoutant ce nombre à 267*^27', il vient pour seconde approximation 257^27' 12", 2.
On s'assure par substitution que 267° 27^1 2'', 3 donne un résultat positif 5 d'où Ton conclut que
fl, ■= 257° 27' 12", 2
est une valeur approchée de la racine, par défaut et à moins
de — de seconde.
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l5g
94. Nous allons maintenant indiquer rapidement comment on conduirait le calcul en suivant le second mode , c'esl-à-dire la méthode de Newton.
On laissera, comme nous l'avons déjà dit, l'équation sous la forme (i3) tang X ^ X = o.
Puis, par les mêmes essais que précédemment, on arrivera à renfermer la racine entre les limites 257° et 258°. Seulement, au lieu de chercher le logarithme de Tare x pour le retrancher de celui de tangx, on aura à remonter du logarithme de tang x à tang .r , pour en retrancher le nombre X que donne immédiatement la petite table.
So\\f[x) = tang X — x.
Pour X = 257*^ , on aura
/'(257®) = tang 77° — arc 257**
Maintenant, pour connaître le sens de l'approximation que fournira la méthode, appliquée à la valeur «=257°, on examinera les signes des dérivées
et
qui sont plus simples que dans le premier mode. Ces dérivées restent évidemment positives entre 267° et 258** 5 et de plus, pour x = 267° ,/(j^) et j" [x) sont de signes contraires. Donc (83) , en partant de la valeur a = 257°, l'approximation fournie par le terme de correction
changera de sens , et fournira une valeur en excès.
l6o THÉORIE GÉNÉRALE
Suivons néanmoins cette marche. Afin que les résultats du calcul soient immédiatement exprimés en secondes, nous
multiplierons /. , \ par -: — ;; (*) et il viendra * / («) sm i" ^ '
h désigne actuellement le nombre de secondes qu'il faut ajouter à a pour avoir la racine cherchée. Le calcul se fera par logarithmes.
Première approximation, — On a
log[~/(rt)]r=: 1,1875800 (par excès), log/'(û) = 2logtang77° = i ,2732718.
Ajoutant les deux premiers logarithmes et retranchant le troisième, il vient
logA < 3,2287333, d'où h < 1694" =r 28' i4".
Ce nombre ajouté à 257° donnerait une première approximation par excès , 237° 28' 1 4''.
Mais, comme on ne peut pas espérer que les secondes soient déjà exactes et que leur nombre est petit , on les négligera et on adoptera la valeur
b^ =zz 257« 28', laquelle sera probablement encore approchée par excès.
C^) En général, soit / la longueur d'un arc rapportée au rayon, h le nombre de secondes de cet arc, on a
l=.h. arc I " ou sensiblement A sin i " ; d'où
sin i" On sait d'ailleurs que l'erreur commise en prenant sini" pour arc 1" est moindre que --.
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l6l
On s'en assurera par substitution. Il vient en effet /{bi)z= 4-0,004681.
Deuxième approximation. — Le terme de correction
ÛÈil '
/'(6.)'sini'''
retranché de èi , fournira (78) une approximation de même sens que b^ , c'est-à-dire par excès.
log/(^,) = 3,6703386 (par défaut), log/'(^,) = i,3o6ioi2.
Si l'on désïgne par k le nombre de secondes qu'il faut retrancher de b^ pour avoir la racine, on aura
log/> 1,6786625, />47%7-
D'où l'on conclut la seconde valeur approchée par excès
Cette, valeur n'est pas fautive de — de seconde. En effet,
le premier mode de calcul avait donné pour valeur approchée par défaut, a^ = 257" 27' 12^^,2.
Remarque. — Dans la question que nous venons de résoudre, on voit que les deux modes de calcul ont à peu près également bien réussi. Mais on comprend que la méthode de Newton , qui exige le retour aux nombres , n'aurait pas le même succès dans un autre cas où la ligne tri« gonométrique serait combinée, non plus avec x (première
puissance), mais avec -? ~ par exemple. L'emploi del'c-
l62 THÉORIE GÉNÉRALE
quation Ic^arithmique et des parties proportionnelles serait alors plus simple.
95. Comme exercice, on peut se proposer de calculer directement, par l'équation (ii) du n** 86, l'erreur que comporte la valeur approchée b^. Pour que cette erreur soit immédiatement traduite eu fraction de seconde, nous remplacerons dans Féquation (12) h par — Asini", et d'ailleurs a par b^. Puis, résolvant par rapport à /r^ il viendra
Ainsi , en désignant l'erreur cherchée par 6, on a
et, comme y ''(a:) est une fonction croissante ^
6< sin i'\ ^,\. ; on —, j— .
^1.2 /(^i) sin2^,
Ici Ton ne peut pas mettre pour /r la valeur calculée 47''j75 puisqu'elle est par défaut; mais bien une valeur en excès, par exemple 1' ou &^* , D'ailleurs ftj = 287** 28' 5 il vient donc
2(60)= sin \" 72oosini'' ^ ^ sin(25«4') "*" sm(25«4')'
log s < 2,9158771.
La caractéristique étant — 2, on voit, sans remonter au nombre , que e sera moindre que — de seconde , ce qui s'accorde bien avec les vérifications précédentes.
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l63
96. Problème. — Par un point donné A sur la eirecfnfé-' rence dCun cercle^ on propose de tirer une corde AB qui retranche un segment AGB équivalent au quart de Faire du cercle (^).
Ffg. 14.
Prenons pour unité le rayon AO (Jig. 14)5 pour în-^ connue l'arc ACB que nous désignerons par 5. On a
segment ACB :==z-~s sin j ;
et, par conséquent, l'équation du problème est
s — sin^ =
ou bien , en posant s — ^ = x^
(i5) a: — cosj: = o*
Ainsi la question revient à trouuer un arc égal à son cosinus.
La fonction x — cos:i: est croissante : or, quand x croit
de o à -j cette fonction passe de la valeur — i à H Donc
Téquation (i5) a une racine réelle et une seule, comprise
entre o et - Il faut rapprocher ces limites. Nous rempla-
ce) EuLEÇ, Introduction à VAhaljrse infinitésimale, t. Il, p. 3iQ.
