II
l64 THÉORIE GÉNÉRALE
ceroDS réquatîon (i5) par Téquation logarithmique (i6) logx — logcosa? = Oy
et nous poserons
f{x) = logo: — log CCS a:.
1 ^. Pour X = 45° ou ~> il vient
le signe de cette différence nous apprend que x est inférieur à 45°.
2**. X = 40^ donne
La racine est donc comprise entre 40** et 45®.
Gomme la fonction log a? — log cosj? varie lentement, ces limites sont assez rapprochées pour que l'on puisse leur appliquer la méthode des parties proportionnelles. C'est ainsi que procède Euler. Il y a cependant ici une remarque à faire.
Si l'on prend les dérivées de/(x) , on trouve
f [x) reste évidemment positive entre 4^** et 45°; mais f" [x) change de signe en passant par zéro, précisément pour la valeur cherchée de x. Ainsi la courbe définie par l'équa-
tion
DES APPROXIMATIONS ITUMÉRIQUES.
X z^\ogx — log ces X
présente une inflexion au point R , où elle coupe l'axe des x^ ccHnme le montre la^g:. i5. De concave qu'elle était de m
Fîg. i5.
fi 0»
jusqu'à R, vers une parallèle inférieure à Taxe des x, elle devient convexe de R jusqu^à n. A cause de cette particularité, si l'on applique la méthode des parties proportionnelles en partant des valeurs 40*^ et 45°, ce qui revient géométriquement à remplacer la courbe par la sécante mn^ le sens de Tapproximation restera incertain ; car on ne prévoit pas si cette transversale ira couper Taxe des x en deçà ou au delà de R.
Ce sera donc ici le cas de modifier le procédé, comme on l'a dit au n° 81 . En partant de deux valeurs de x par dé-faut y telles que celles qui répondent aux deux points m et I, on sera sur que le terme de correction ÂQ donnera une approximation par défaut.
A cet effet, essayons ^\^, Il vient
/{4io) =l,85466i3 -7,8777799 = — 0,0231186;
ainsi Tare 4i" est encore inférieur à la racine, et peut con-
l66 THÉORIE GÉHÉRALE
séquemmeut èlre associé à l'arc 4o^. Nous ferons donc
d'où
£» — «=1% /(a) = — o,o4o3i66, /(*) =s — o,023ii86,
(^-^a)/(.) 4o3,66o /p,,défaul)
/(A) -/(«)- 171980"-^ ^"^ (pardelaulj.
En s' arrêtant aux minutes dans ce premier calcul, on a 42** 20' pour valeur approchée par défaut de la racine.
Pour continuer l'approximation , on substituera ^2? 20' dans l'éijuation (16)
Puis, en posant
éi, = 4i°, A, = 42° 20', on aura
A, — /?, = 80', /(fl,) =: —0,0281 186, /[bi) = — 0,000222;
Ainsi on a, pour seconde approximation,
On s'assure que cette valeur est approchée par défaut à
moins de — de seconde.
Telle est valeur de Tare égal à son cosinus. Maintenant,
C^) Si Ton fait encore la substitution de 42^ dans réquation, on pourra s'assurer, en formant les deux différences premières
puis la différence seconde A, — Aj, que cette dernière est une très-petite fraction comparée aux différences pren^ières. Elle est moindre que o,oooo3.
DES APPROXIMATIONS NtJMÉRIQDES.
pour revenir au problème proposé , on a 5 = - + x , d'où, en degrés,
La corde qui sous-tendra ce dernier arc retranchera du cercle un sèment équivalent au quart de sa surface.
Euler parvient au résultat que nous venons d'obtenir à l'aide de trois proportions successives, en partant : i^ des limites ^o^ et 45*^, ce qui lui donne les 2® de l'arc chercbé-, 2** des limites 4^^ et 43**, ce qui donne les 20'; i® des limites 4^^ 20' et 4^^^!'? ce qui fournit les 4'/','^* Mais le sens de l'approximation reste incertain jusqu'après vérification, et puis il y a une proportion de plus à calculer que dans notre procédé.
Si l'équation du problème avait été conservée sous la forme
(iS) X — cosar = o>
on aurait pu lui appliquer aussi avec succès la méthode de Newton. La particularité relative au point d'inflexion, que nous avons signalée plus haut, ne se serait plus présentée.
97. Problème. — Déterminer sur une circonférence de cercle un arc AmB, dont la longueur soit égale à la somme faite du sinus BP et de la distance AP (fig. 16).
Flg. i6.
En désignant l'arc AmB par ^ et continuant à prendre le
l68 THÉORIE GÉNÉRALE
rayon pour unité, on a l'équation
s = sin.* -t- I — cosj:.
Pour l'approprier au calcul logarithmique, on la transforme ainsi :
j = 2 sm- ^ 1 ces- J + sïn - j I
= 2 V^sin-^cosf-j — 45") >
et, SI 1 on pose -. = x , il vient
X — ^sinx cos(« — 45**) = o; ou mieux , pour le calcul ,
(i 7 ) logx — I -^ -h log sinor-h log cos(a: — 45«) = a.
Comme Tare de 90^ ou A/»C est évidemment plus pe-» tit que la somme des lignes enveloppantes AQ -+- QC ou AO + OC 5 on en conclut que s doit surpasser 90**, et par suite x est plus grand qiie 45® ; x doit même être asseaj éloigné de cette limite.
L'hypothèse x = 70°, faite dans l'équation (17), donne un résultat très-approchant de zéro et positif, et x = 6g°^ donne un résultat de signe contraire. Ainsi la racine est comprise entre 69** et 70®.
La méthode des parties proportionnelles fournira , pair deux proportions successives ,
a: = 69°5'56%5, d'où
s o« Tare AwB =r 1^8" 1 1' 53".
DÈS APPr.0XlM4TI0NS NUMÉRIQUES. 169
98. Problème. — Déterminer^ sur une circonférence de cercle y un arc AmB dont la longueur soit égale à la somme des tangentes AT, BT , menées par ses extrémités et terminées à leur point de concours [fig- 17).
Fig, 17.
En posant arc A/wB == %x et OA = i , on a réquation
X — tang(7r — x) =: o,
II est vîsible que x est compris entre 90** et 120^, et plus voisin de ce dernier nombre. En essayant a: = ii5^ dans le premier membre de l'équation , on obtient un résultat négatif. Il en est de même pour j: = 1 16°, tandis que la substitution de 117*' donne Un résultat positif. La méthode de Newton appliquée à cette équation , ou celle des parties proportionnelles appliquée à l'équation logarithmique
loga: — log tang(7r — jc) = o ,
donnera la racine
X = 1 16° i4' 21" j3 (par défaut).
Par conséquent, l'arc cherché est
arc A/wB =r 232« 28' 42" (à i'' près).
170 THÉOKIE GÉNÉRALE
99. Problème. — Détermmcr sur une circonférence de cercle, un arc AmB tel, que Vmre du segment AmB soit égale à celle du triangle AOB (^) (fig* 18 ).
Fig, 18.
En posant arc A/nB = x, OA = i , on a Féquation (18) x = 2smx.
T __ sinx . ^ 1 .
Le rapport ? qui est égal a i pour a: = o, va en
décroissant quand x augmente; par conséquent , il existe
une valeur de x, et une seule, pour laquelle = —
Cette racine de Téquation (18) est évidemment comprise
entre - et -t-, ou, pour parler en degrés, entre 90** et
i35^ Soit/(j:) = logx — loga — logsinx.
Pour X = 1 10**, il vient
/( 1 10®) = log(arc I lo**) ~ log2 — log sin 70°
La racine étant , d'après cela , très-peu inférieure à
110^9 on essaye 109^ qui donne encore un résultat positif
-f- 0,0026037; enfin 108® qui donne un résultat négatif
— 0,0039351. La racine tombe entre 108® et 109® : on
C^) EuLER, inlioduction à V Analyse infinitésimale, p. 3j2.
DES APPROXIMATIONS JXUMÉRIQJUES. I7I
peut s'assurer, à Taide de ces trois substitutions, que la différence seconde
/(..o»)-/(io9«)-[/(io9»)-/(io8«)]
est plus petite que 0^00012, ce qui légitime l'emploi de la règle des parties proportionnelles.
Cette règle fournira, en partant de loS*', une suite d'approximations par défaut , attendu que la dérivée seconde
est essentiellement positive.
On trouvera finalement ,
arc AiwB = 108^36' i3",7.
100. Problème. — D'unpoint A , pris sur une circonférence de cercle ^ tirer deux cordes AB, AC, qui diwent Faire du cercle en trois parties égales (Euler) (fig* 19).
Fig. 19.
En désignant par s l'arc A wB, on aura l'équation
s — sin^ = — ^, o
ou bien ,
(19) a: — sin(6o° ~ x) = 0,
en posant s = x-h -^t^-
L'hypothèse x = ^i ou 30°, donne dans l'équation (19)
lj!jt THÉORIE GÉlféaALfi
un résultat positif qui ne diâ%re de zéro que de 0^02 environ. Ainsi la racine doit être très-peu inférieure à 3o®. En essayant 29^, on trouve un résultat négatif , etc. La méthode des parties proportionnelles , ou celle de Newton, fournira x = 29^ 16' 27", et, par suite, arc AiwB =r 149** 16' 27".
101. Problème. — Déterminer sur une hyperbole équilatère, dont le centre est O et le demd-axe transverse OA , un point m tel, que Faire 0mA soit une fraction donnée du triangle OmP ^ quon obtient en projetant le point m sur l'axe transuerse Ox [fig. 20).
Fi g, 20.
Soient OX , OY les asymptotes , et projetons les points A et m sur Tune d'elles en A' et w'. On sait que les deux triangles OAA', Omm' seront équivalents comme moitiés de parallélogrammes équivalents , et , par suite ,
aire hyperbolique Omk = segment kk' mm'.
Ce dernier segment est facile à évaluer. Prenons pour unité le demi-axe transverse OA : l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes sera
XY=r -;
et l'on aura
4 A. , 1 , {Om'\ segment A A /ww' = - / ( —— , 1
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. Ij'i
(la caractéristique / désignant un logarithme népérien). Or OA'= 4=î Om' = Y;donc
sep,inent AA^ mm' ou 0/w A = - / ( Y ^2 )•
Il reste à revenir de l'ordonnée Y aux coordonnées (x,y) du point m rapportées aux axes principaux de l'hyperbole.
Cette transformation donne Y == — — — .
Donc
d'ailleurs,
aire 0/w A = -/(x -1-7)5
JCY
triangle O m P =
Si l'on désigne par k le rapport donné de la première aire à la seconde , on aura donc
(20) l{a:-^x) = Axx,
On a de plus , entre x eiy, l'équation de l'hyperbole
(21) X^-^jr^=l.
Tel est le système qu'il s'agit de résoudre.
Posons
d'où
i(x-hx)=--l^
et en vertu de l'équation (21)
u x-^jr^e 2; il en résulte
1^4 THÉORIE GéHÉnALE
et substituant ces valeurs dans Tëquation (20), on n'aura plus qu'une seule inconnue u, 11 vient
Cette équation admet la solution m = o, qui doit êlre rejetée au point de vue géométrique, puîsqu' alors les aîres OmA, OntP s'évanouissent.
Si l'on développe le second membre en série , on a
et l'équation ( ^3 ) se réduit (en supprimant le facteur 2 m) à
it 2.3^2.3.4 5^ •••
Cette forme nous montre d'abord que l'équation n'admet que deux racines réelles, égales et de signes contraires. En
effet, k étant supposé plus petit que i, ( t — i ) est positif;
or le second membre croît avec u d'une manière continue depuis zéro jusqu'à l'infini. 11 y a donc une valeur positive de u, et une seule, pour laquelle ce second membre atteindra ( -7 — 1 )• D'ailleurs la même valeur de i/, prise négativement, vérifiera aussi l'équation, puisqu'elle ne renferme que des puissances paires de l'inconnue. Mais il n'en résultera pas deux solutions géométriques distinctes du problème. Car lorsqu'on change m en — u dans les formules (22), on voit que x reste le même et j^ne fait que changer de signe, en sorte que le point m se transporte symétriquement de l'autre côté de l'axe transverse.
On ne saurait aller plus loin sans assigner une valeur
numérique à h. Soit h =y'
DES APPBOXIMATIOIÏS NUMÉRIQUES. 1^5
L'équation (24) devient
Cherchons deux limites assez rapprochées entre lesquelles la racine soit comprise. Si d'abord on néglige dans le second membre toutes les puissances de u supérieures à la quatrième , et qu'on résolve l'équation bicarrée
3 2.3 % 3.4 5 ou
la valeur positive de u qu'on en tirera sera évidemment plus grande que la racine cherchée : cette valeur est
V — 10 -h Vi4o = ^ >^^ (par excès).
D'autre part, on a
ou bien, en sommant cette progression géométrique décroissante ,
d'où l'on tire
/«'> ^, « > y/ — = 1 ,34 (par défaut).
Ainsi la racine est comprise entre i,34 et i, 36 5 et il va suffire de substituer i,35 dans l'équation, pour en connaître la valeur à près.
lOO *^
Pour cette substitution , il vaut mieux revenir à la forme (23), parce que les logarithmes s'y appliquent aisément.
Ij6 THÉORIE GÉNÉRALE
En mettant pour k sa valeur ^ 9 on a Téquation
3 (tf« — e"") — 8tf =0.
Soît
/(tt) = 3(e« — e-") — 8a;
l'hypothèse u= i ,35 donne successivement :
log<?«'» = 1 ,35 X 0,43429448 = 0,5862975, ^•'3* = 3,857425, loge*"''" =1 -f- (i — loge''") = 1,4137025, ^-i,3i —- 0,269240, e<,35__g-..35-3^5g,8i85, 3 (e''" — e- •'") = 10,794555 , T,35x 8= io,8, /( 1 , 35 = — o , 005445.
Le signe de ce résultat montre que i ,35 est une valeur
approchée, par défaut, à moins de
Pour approcher davantage, on emploiera la méthode de Newton. Comme on a
/'(ie)=:3(e«+e-«)~8, et
la valeur tt=:i,35 donnera des résultats de signes contraires poury( m) eif"[u). Par conséquent (78), en appliquant la méthode à cette valeur , le terme de correction
fournira une première approximation par excès. On trouve
d^où'
— -777 — 5^ = r-if K = 0,00125.
Ce quî nous conduit à pousser ce quotient jusqu^aux cent millièmes , c'est la considération de la limite d'erreur
— - h} établie au n° 87. Ici -^ ou ^^. ' ^J; est visiblement aN aN 2/^(1, 35)
moindre que 2^ d'ailleurs h est moindre que 0,002. Donc
on a -— A' <* 0,000008.
Ajoutant 0,001 25 à i, 35, on a i,35i25, valeur approchée par excès à moins de 0,00001.
Si l'on s'arrête à cette approximation , il restera à substituer cette valeur de u dans les formules (22) qui donneront
Autre mode de calcul, — Après avoir établi , comme cidcssus, les équations (20) et {21) , posons
L'équation (21) donnera
d'où
et, en substituant ces valeurs dans l'équation (20), il viendra
2 \ Zj
Soit k=z j' L'équation à résoudre sera
Rejetant la solution z = i , pour laquelle les airesV annulent, on essaye successivement les nombres entiers z = 2, z=3, z=4v (en prenant les logarithmes de ces nombres dans la Table des logarithmes hyperboliques).
Sôit
Il vient , pour 3 = 3,
/(3) = i- 1,0986... <o; pour z = 4 ,
Le signe ayant changé , il y a une racine comprise entre 3 et 4 5 et la dérivée/^ (z), qui garde constamment le signe -+pour toute valeur de z supérieure à 3 , nous apprend que cette racine est unique.
Comme la racine paraît plus rapprochée de 4 que de 3 ,
on essayera des nombres équidistants de — à partir de 3,9,
jusqu'à ce qu'on rencontre un changement de signe. Voici les calculs.
Pour z = 3,9,
Pour 2 = 3,8 , on trouvera de même
Ainsi la racine est comprise entre 3,8 etj3,9.^
La méthode de Newton s'appliquera très-bien à la valeur 3,9, pour laque]le/(^) et/" [z) sont de même signe. Nous laisserons au lecteur le soin de développer ces calculs , plus simples que par le précédent mode.
102. Dans l'étude des propiiétés de la chaînette, on rencontre l'équation suivante :
a désignant un nombre donné. Il est aisé, d'abord, de reconnaître qu'il existe une valeur minîma de a, au-dessous de laquelle l'équation est impossible ; car le premier membre devient infini pour a: = o et pour a: = Qo , tandis qu'il reste fini et positif dans l'intervalle. Lors donc qu'on fait croître x d'une manière continue de zéro à l'infini , ce premier membre atteint nécessairement une certaine valeur plus petite que toutes les autres et supérieure à zéro ] par conséquent , a ne saurait descendre au-dessous de la moitié de cette valeur.
Les considérations géométriques conduisent au même résultat, et, déplus, elles vont nous fournir simplement Téquation propre au calcul du minimum de a, et le nombre des solutions dont l'équation (27) est susceptible quand a dépasse ce minimum. Si l'on pose
y = ax et X = î
les points d'intersection des lieux géométriques que ces équations représentent auront pour abscisses les racines de Téquation (27). Or l'équation
l8o THÉORIE GÉNÉRALE
représente une cliaînette {fig. ai), courbe convexe dans tout son cours vers l'axe des a: (*), et l'autre équation
Ftg,!?.i.
définit une droite passant par l'origine O, qui rencontrera la courbe en deux points m^ n^ pourvu que le coeflScient angulaire a surpasse celui de la tangente OT. Or on a
tangTOa: =
e^— tf-
e'-he-
La valeur minima de a, au-dessous de laquelle le problème est impossible, satisfait donc à la fois aux deux équations
me
et, par conséquent, elle résultera de l'élimination de x entre ces deux équations.
{*) On la construit aisément par points à Taide des deux logariihmiipies Xi = e', ^j = e"'; car on a^ = — -» Si donc on a construit ces deux logarithmiques (dont la seconde n*est autre que la première transportée symétriquement par rapport à Taxe des y) , et que Ton trace , de Tune à l'autre courbe , une série de cordes parallèles à Taxe des /, les points milieux de ces cordes appartiendront & la chaînette.
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l8l
Posons e' = -2 , îl vient
z =z 2a et «H — = 2 ah.
La première équation donne
'z=ia + v^flM-T (en rejetant la racine négative), ^t substituant cette valeur dans la seconde , on a simplement
al{a H- V^fl»-h i) = sja^-hi*
Pour résoudre cette équation plus commodément, nous changerons le logarithme népérien en logarithme vulgaire, en multipliant ses deux membres par le module
Elle prendra la forme
(28) alog(a -+- v'a» 4-1 ) — M^«*-Hi =0.
Soit
f{a) = a log(â 4- s]a^-\-i) — M \/«' H- i • L'hypothèse a == i donne
/{i) = log(n-V/î)~Mv^
= iog(2,4i4...) — 0,434. ..xi,4ï4--«
a = 2 donne
= 2 Iog( 4,236. ..)— 0,434 X 2,236.. .
Il y a donc une racine comprise entre i et 2 . D'ailleurs
l82 THÉORIE GÉNÉRALE
Téqualion ( 28 ) n'en admet pas d^autre réelle , ear la dérivée
/'(a) = log(a-4-v'^^T)
est essentiellement positive, et, par conséquent, le premier membre de Féquation est une fonction continuellement croissante. D'après les résultats de ces deux substitutions , il n^y a pas de raison pour regarder la racine comme plus voisine de i que de 2. C'est pourquoi, afin de rapprocher ces limites, nous essayerons i,5 :
/(i,5) = (i,5) log(i,5 -4- s/3^) - M s/37^, log (3,25) = 0,5 1 18834
log \/3 , 25 = 0,25594 1 7 V^3,25 = 1,802775 1,5 4- \/3,25 =r 3,302775 Iog(i,5 4- v/3,25) = 0,5188790 Iog(i,5 -f- v^ï;25; =r o,7783i85
log v^3,25 = 0,25594 1 7 logM = 7,6377843
log(MV^3,25)= 1,8937260
La racine surpasse donc i,5, mais elle en est très-rapprochée. En essayant 1,6, on trouve
Ainsi la racine est comprise entre i,5 et 1,6.
On appliquera maintenant la méthode de Newton. Bien
que f{a) et f"[a)^ dont l'expression est , soient
de signes contraires pour /? = i,5, c'est de i,5 qu'il convient de partir, attendu que ce nombre est beaucoup plus approché que 1,6. Le terme de correction
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l83
fournira une approximation par excès; ce quotient sera évidemment moindre que 0,0 1. Donc la limite d'erreur qu'il comporte, et qui a pour expression (87)
2/'(«) 2v/«'H-i log(rt H-v^«=*4- i)
est moindre que
^. p 0,0001 <I o,oooo3 ;
et, par conséquent , on doit pousser la division jusqu'aux dix millièmes : il vient
^^^=.0,0089 (par excès);
d'où l'on conclut
telle est la valeur du minimum de a , approchée par excès a moius de •
lOOOO
Le calcul d'un second terme de correction — ^\ , ?
fournirait certainement huit décimales exactes.
Toutes les fois que a surpassera le minimum 1,5089, il résulte des considérations géométriques exposées plus haut que l'équation
admettra deux valeurs réelles pour x. Ces deux solutions se réduiront à une seule , quand a sera égal à son minimum. Par exemple , si l'on fait a = 2 , l'équation
aura deux racines réelles, l'une comprise entre o et i, l'autre entre 2 et 3. Nous laissons au lecteur le soin de les calculer approximativement.
l84 THÉORIE GÉI«ÉRALE
103. Bien que la méthode de Newton ait été appliquée, dans l'exemple qui précède, avec grand succès, il sera bon d'indiquer ici une méthode d! approximations suc^ cessiy^es par substitution ^ que nous n'avons pas encore eu l'occasion d'employer, et dont la théorie est des plus simples.
Celle méthode consiste à négliger d'abord dans l'équation, préparée sous forme convenable, une certaine classe de termes, de manière à tirer de l'équation ainsi tronquée une première valeur approchée de la racine. Puis on substitué cette valeur à la place de l'inconnue dans l'ensemble des termes négligés, ce qui les réduit à un nombre, dont on lient compte pour corriger la première approximation. Il en résulte une seconde valeur approchée avec laquelle on en calcule de même une troisième, et ainsi de suite. Souvent il arrive qu'on obtient ainsi une suite de nombres , alternatii^ement plus petits et plus grands que la racine cherchée ; ils fournissent alors une approximation dont le sens et le degré sont parfaitement définis à toutes les époques de l'opération.
Reprenons l'équation
fl / (« -h sla^-^ i) = V^rt'-f- I , et mettons-la d'abord sous la forme
si l'on multiplie les deux membres par a — v^a'.-hi 5 on en
lire
ajoutant ces deux équations membre h membre, ou élimine
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l85
le radical du premier membre, et il vient
Enfin , on développe le second membre en série , et Ton a
■■=V ' + ?L'"^TX3.-^b.S.4.5 + ..^.3.4-5.6.7 * i
Telle est la forme la plus propre |aux substitutions successives que nous allons faire.
1°. On néglige — dans le second membre|qui devient
ainsi trop petit, et, par suite, on a
En additionnant quelques termes de cette série, les trois premiers , par exemple , on trouve
ri> 1,17.
Posons rti = 1,17. Puisque \a^ est trop petit, — est trop
grand. Si donc on remplace — par —r dans le second membre, il viendra
Le calcul par excès des termes[écrits|ci-dessus'sufEt'pour donner
Soit «3.-= 1,73. De a<^aî, il résulte - > —9 et, par
l86 THÉORIE GÉ^éRALE
suite, en substituant— dans le second membre de l'équation (29), on aura
a->i/'iZ H ,, '"^(^^' , ('"^(m3?) , 1 ^ V '^ (mS)!'-*- ..a.3 + ..2.3.4.5 ^ -J-
Soit «3 une valeur par défaut du second membre , on aura
et l'on continuera ainsi jusqu'à ce qu'on ait une approximation suffisante.
Les nombres fli , «g , «5,... , tous plus petits que la racine, forment une suite évidemment croissante, tandis que les nombres at , ^4 , a^ , tous plus grands que la racine , forment une suite décroissante : par conséquent, les deux suites sont convergentes vers celte même racine. Lorsqu'on s'arrête à un terme quelconque , l'erreur commise est moindre que la différence entre ce terme et celui qui le suit dans l'autre série 5 cette différence va constamment en diminuant à mesure que le rang du terme est plus élevé. Toutefois, l'approximation marche avec un peu de lenteur dans l'exemple ci-dessus : cela tient à ce que a étant peu supérieur à I, les puissances de — ne peuvent être négligées sans qu'il en résulte une erreur notable.
104. Nous proposerons, comme application de la même méthode, la question suivante :
Une somme de 3ooo francs^ placée à intérêts composés pendant i4 ans 2 mois et 12 jours ^ est des^enue au bout de ce temps 56o5*^%84. On demande le taux d^intérét,
(Il est convenu qu'on ne capitalise les intérêts que pendant les années, et la somme résultante est ensuite placée à
DES APPROXIMATIONS lîUMÉRIQUES. 187
intërêts simples pendant les mois et jours qui suivent. — On fait tous les mois égaux à 3o jours. )
En désignant par /' Finlérêt d'un franc pour un an, l'équation du problème est
3ooo( I -f- ry*(i -h ^gj) = 56o5,84 5 d'où l'on tire
, , , log(56o5,84) - logSooo '°^ V "^ s)
log
Si d'abord on néglige le ternie ^-^ — ^ dont la valeur
est petite comparée à log ( i -t- r) , on aura
1 / X ^ 'og 56o5 , 84 — log 3ooo log( I -h /•)< -^ U '
< 0,0193943; d'où
Soit Ti = 0,046. r^ est une première valeur approchée par excès du taux d'intérêt cherché. On remplace maintenant r par T'i dans le terme négligé et l'on a
'og(i -+-r)> 0,0 193942 ^ -y L
>o,oi9iiOï ; d'où
Soit /'a = 0,0449 • ''i est une valeur approchée par défaut du taux d'intérêt.
En substituant r, à la place de rdans le terme 7 ?
on trouvera de même
r3 = o,o45oo2 ,
l88 THÉORIE GÉNÉRALE
vajeur par excès , et ainsi de suite. La soiQme proposée était donc placée, à très-peu près , à 4 7 pour 100.
105. Cette méthode d'approximation par substitutions successives s'emploie encore avec avantage pour résoudre les équations du second et du troisième degré, dans les cas où le coefficient de la plus haute puissance de l'inconnue est un nombre très-petit. C'est par là que nous terminerons cette théorie des approximations numériques.
Second degré : ax^ ±bx±c = o,
a désigne un nombre très-petit que l'on peut toujours supposer positif; en ayant égard aux signes de è et c, on aura quatre cas à distinguer, dont deux seulement demandent à être traités séparément,
ax^ -h bx — c = o , ax"^ — ôj: -+- c = o ;
car les deux autres se ramènent à ceux-ci par le changement de X en — x.
1^. ax* -h bx — c = o.
On sait , par la discussion de la formule ^^^ — »
que l'une des racines tend, pour des valeurs décroissantes
de a, vers la limite t? tandis que l'autre croît indéfiniment.
C'est de la plus petite racine , celle qui diflere peu de y y que
nous allons nous occuper : l'autre s'en déduira par différence, puisque la somme des deux racines est égale à
a Nous mettrons l'équation sous la forme
Si d'abord on néglige le terme jo:*, qui est de Tordre
de a , on a une première approximation par excès y
' b Remplaçant x par x:^ dans le terme négligé , on retranchera de T une quantité jx\ trop forte, d'où résultera une seconde approximation par défaut
c ac^
L'erreur commise en prenant Xi = t est donc moindre que
la différence -rj- \ elle est au plus de Tordre de a , comme
nous Favious dit.
La valeur x^ n'est en défaut que d'une quantité de l'ordre de a', qu'on appréciera plus bas. Substituant x^ dans le
second membre de l'équation , on retranchera de t tine
quantité T^î trop faible. De là une troisième approximation par excès
c aie ac^\}
Mais, en développant le carré, on trouverait un terme -T7-) de l'ordre de a®, qu'il serait illusoire de conserver. En effet, X2 est en défaut d'une quantité inconnue a qui est de Tordre de a* ^ Terreur qui affecte j x\^ c'est-à-dire a r, . ~j 2aotx2
est donc déjà de Tordre de a'. Par conséquent, on ne doit
conserver dans le développement du carré Ij 7^ |
que les termes du premier et du second ordre, et l'on adoptera, comme troisième approximation,
c ac^ 9. «* c^
Cette valeur sera, à fortiori, approchée par excès, puisqu'on a négligé un terme négatif. Si on la compare à jTj, on voit que l'erreur commise en prenant x^ à la place de x, erreur que nous désignions plus haut par a , est moindre que
— -r— \ elle est donc de l'ordre de a*.
En continuant ainsi , on trouvera l'expression
dont il ne faudra conserver, pour la raison susdite, que les termes qui ne dépassent pas le troisième ordre, c'est-à-
"^^^^ ï "" ^ LU " "^7 "^ ~^ r ' ^^ ^^^^ ^^"^^ ^"^^
trième valeur approchée par défaut
*x a} c^ 5 fl^ f*
(Nous disons qu'elle est par défaut, bien qu'on ait négligé plusieurs termes : car le premier des termes négligés
^-T- — est positif et du quatrième ordre, tandis que le sui-
vant — iTT"^ ^^ ^^ cinquième, et, par suite, beaucoup
plus petit. On néglige donc en définitive une quantité positive dans une expression qui était déjà par défaut.)
Maintenant, on a une limite supérieure de l'erreur
commise sur x^ : cette erreur est moindre que .. > etc.
DES APPROXIMATIOMS NUMÉRIQUES. IQl
On aperçoit bien que les termes dont se composent les valeurs approchées Xj, Xs, x^^ etc., sont alternativement positifs et négatifs ; que les exposants de b croissent comme les nombres impairs , tandis que ceux de a et de c croissent comme la suite naturelle des nombres. Mais la loi des coefficients ne se manifeste pas.
Cette loi serait mise en évidence par le développement en
série convergente de la racine — ? qu on écri-
rait
d'abord sous la forme — — i-h ( i -h -^ ) j • Puis
appliquant la formule du binôme de Newton (supposée démontrée pour un exposant quelconque) , on aurait la série convergente b fi /^nc i f^acV* i.3 f^ac\^ 1.3.5 l^cic\ ~\
En effectuant les puissances indiquées et réduisant, cette série fournirait, non-seulement les termes déjà calculés plus haut, mais tous ceux des ordres supérieurs. Au reste, dans la pratique où a est supposé très-petit, on ne pousse guère le calcul au delà de la valeur x^.
a?, ax^ — ia: -h c = o.
On s'attache , comme dans le cas précédent , à calculer la plus petite racine , celle dont la valeur numérique diilère peu
de T' On met, à cet effet, Téquation sous la forme
Si d'abord on néglige j ^% on a ^our première valeur approchée par défaut ,
iga THÉORIE GÉNÉRALE
Substituant cette valeur à la place de x dans le lerme négligé, on ajoute à r une quantité trop faible, d'où résulte
une seconde ^valeur approchée par défaut, comme la première
c ac^
On n'a plus ici de limite supérieure pour Terreur commise à chaque approximation. On sait seulement que oTi est approchée par défaut à moins d'une quantité de Tordre de a \ que x^ est approchée dans le même sens à moins d'une quantité de Toi^dre de a*. En continuant, on trouvera
valeur dans laquelle on a négligé, comme dans le premier
cas , le terme en a' provenant du carré de ( 7 "*" "77 ) ' parce
qu'on ne peut répondre de l'exactitude des termes de cet ordre.
Au reste , il suffisait de changer a en — a dans tous les résultats obtenus précédemment. Toutes ces valeurs sont approchées par défaut ,*et comme chacune est plus grande que la précédente , l'approximation va croissant.
