INTRODUCTION

1. On a souvent à faire diverses opérations d'arithmétique sur des quantités dont les valeurs numériques ne sont pas exactement cQnnues. Ainsi les données des problèmes si variés que la nature , les arts , l'industrie nous fournissent, sont toujours affectées de certaines erreurs dues à l'imperfection de nos moyens d'observation.

Ici deux questions se présentent :

i^. Si les grandeurs, commensurables ou incommensurables , qui doivent entrer dans un calcul, sont données en nombres, chacune avec un certain degré d'approximation, déterminer quel sera le degré d'approximation du résultat final 5 ou, en d'autres termes, fixer une limite supérieure de Terreur commise ;

2**. Si Terreur admissible dans le résultat d'un calcul doit être moindre qu'une fraction assignée d'avance, déterminer le degré d'approximation avec lequel il convient d'évaluer chacune des grandeurs qui entrent dans ce calcul.

2. Quand la première question sera résolue pour les six opérations de l'arithmétique, on saura d'avance, et dans chaque cas, quel est le nombre de chiffres exacts sur lesquels on peut compter, et, par conséquent , on sera dispenisé de calculer les chiffres qui expriment les unités des

2 THÉORIE GÉJNÉKALE

ordres inférieurs. La solution de Ja seconde question n'est pas moins utile Jans la pratique : si les éléments d'un calcul sont de la classe des incommensurables que l'on sait calculer avec une approximation illimitée, tels que les racines carrées ou cubiques , les logarithmes , le rapport n de la circonférence au diamètre , etc., il importe, pour la simplicité des opérations , de faire entrer ces nombres dans le calcul avec le moins de chiffres décimaux possible. Par exemple , soit proposé de calculer le rayon d'un cercle dont Taire, estimée à i décimètre carré près, est égale à 6"^4^''''- En prenant le décimètre pour unité , l'expression du rayon

cherché est i/--'— ? et il s'agira de savoir d'abord combien

de chiffres exacts cette racine carrée pourra comporter ; puis, quel devra être à cet effet le plus petit nombre de décimales à employer pour le diviseur tt.

3. Avant d'entrer dans le détail des questions de celte nature, nous placerons quelques considérations préliminaires sur Y erreur relatwe d'un résultat numérique.

Ce qu'il importe de considérer, dans tout calcul approximatif, c'est moins Y erreur absolue commise que le rapport de cette erreur au résultat cherché. Nous appellerons ce rapport Yerreur relaiwe. Soit a l'erreur absolue commise

sur un nombre a\ - sera Terreur relative. C'est ce rapport

seul , et non Terreur absolue a , qui caractérise nettement le degré d'approximation obtenu. Il ne suffirait pas de savoir, par exemple, que dans la mesure d'une longueur on a fait une erreur moindre que i centimètre, pour en conclure que la mesure est bien prise; car, tandis que cette erreur sera regardée comme négligeable sur une longueur de loo mètres, la même erreur sera, au contraire, trèsnotable, s'il s'agit d'une longueur de i décimètre. De même.

celui qui ferait une erreur absolue de looo mètres sur la mesure de la circonférence de la terre, se tromperait beaucoup moins que celui qui ferait une erreur de de millimètre sur la mesure de la dilatation d'une barre métallique dont l'allongement total serait de 3 millimètres. Car,

dans le premier cas, l'erreur relative serait 7 5 et, dans

le second •:; — • 3oo

Dans un calcul approximatif bien fait, l'erreur relative - doit être très-petite. Au reste, la petitesse de celte fraction est subordonnée au degré de précision dont on a besoin. Ainsi , dans les grandes opérations géodésiques qui ont pour objet la configuration d'une contrée fort étendue , l'ingénieur a besoin d'une base de 10 à i5 kilomètres, mesurée

avec un soin extrême (à moins de d'erreur relative

par exemple) , parce qu'une erreur même très-petite , commise dans la mesure de cette longueur, irait en grandissant dans le calcul des triangles du réseau dont cette base est un côté, et pourrait conduire à des résultats très-fautifs. A cet effet , on se sert de règles étalonnées que l'on pose les unes à la suite des autres sur toute la longueur de la base à mesurer. Les angles de ces triangles doivent aussi être mesurés avec la précision que l'usage du cercle répétiteur comporte

( à moins de — de seconde ) ? ce qui ne laissera subsister qu'une

erreur relative moindre que pour un anslede 1 5 dc-

grés et au-dessus. Mais s'il s'agit d'un levé moins important , comme dans la topographie, on n'a plus besoin d'une aussi grande précision dans les mesures : on pourra estimer simplement les angles au graphomètre (h une minute près) , et les distances h la chaîne métrique.

4". Nous supposerons 5 dans tout ce qui va suivre, que la valeur numérique des résultats cherchés doive être approchée par défaut y avec un certain nombre de chiffres entiers ou décimaux. On passera immédiatement d'une valeur par défaut à une valeur par excès ^ en ajoutant à la première la fraction qui marque la limite de l'erreur absolue. En effet, si f^ est une valeur de x, approchée par

défaut à près , v H sera une valeur par çxcès de x

lOO^ ' loo ^

à près.

lOO ^

Les deux propositions suivantes établissent la relation qui existe entre l'erreur relative d'un résultat numérique et le nombre de chiffres exacts qui lui correspond.