Théorème. — Si un nombre est calculé a^ec m

chiffres exacts^ à partir du chiffre significatif k des plus

hautes unités, V erreur relative sera moindre que la frac-

tlOHz ---•

k.io"*-'

Soient a le nombre dont il s'agit , a l'erreur absolue , en

sorte que a — a soit une valeur approchée avec m chiffres

exacts 5 soit u l'unité de l'ordre du m'^""" chiffre à partir de

la gauche ^ on a évidemment

et

le signe > n'excluant pas l'égalité; d'où

« X'.io'"-"'

Corollaire. — On peut dire à fortiori que V erreur relatiyfe est moindre que — ^^^' C'est cette limite qu'on adop-

io«

tera dans la pratique, toutes les fois que le eUffre h ne sera pas connu immédiatement.

Remarques. — I. On peut, pour abréger l'écriture , supposer u = I dans la démonstration qui précède \ et c'est ce que nous ferons dans la suite. Cela revient à prendre pour . nouvelle unité principale l'unité de Tordre du /w***"* chiffre,

et ce changement n'influe en rien sur le rapport - ? puisque

ses deux termes sont ainsi multipliés ou divisés par une même puissance de lo.

II. Nous avons supposé que les m premiers chiffres de a étaient connus exactement \ mais le théorème n'exige pas précisément cette condition : en effet, l'inégalité a <^ i exprime seulement que l'erreur absolue est moindre qu'une unité de Tordre du m**"** chiffre. Or ceci peut avoir lieu , lors même que le /w'*"** chiffre de la valeur approchée serait fautif d'une unité. Ainsi , supposons que Ton prenne le nombre 3,i58 pour valeur approchée de la racine carrée de lo \ comme on a

/ïô = 3,16227. • * ♦

Je troisième chiffre 5 du nombre 3, 1 58 est fautif d'une

unité, ce qui n'empêche pas l'erreur absolue 0,004^7. . •

d'être moindre qu'une unité de l'ordre de ce chiffre, et, par

suite, l'erreur relative d'être moindre que -r :•