CHAPITRE IV

La FonclioD

57. — Notions premières. — Nous poursuivons maiolenant le coDcept de fonctions au-delà du point où l'ont laissé l'Idéaliste et, l'Empiriste, Mais nous ferons intervenir sans nouvelle explication, quand cela paraîtra utile, la distinction des fonctions en anorlhoïdes et orllioïdes, — distinction qui a évidemment un caractère neutre.

Nous l'avons suffisamment indiqué : par lonction de la variable ou de l'argument il faut entendre une détermination à l'aide de laquelle aux valeurs de l'argument correspondent des valeurs de la fonction ; et nous devons encore montrer tout ce qu'implique cette expression : valeur de lonction. A une valeur d'argument particulière on peut faire correspondre comme valeur de fonction une valeur particulière, ou bien un nombre limité ou illimité de valeurs, ou bien tout un intervalle de valeurs, ou bien une série d'intervalles de ce genre. Bref on peut y faire correspondre un quelconque des ensembles de pointa mentionnés clans l'article 51, ou des ensembles d'étendues qui leur étaient liés. On figure depuis Descartes les fonctions en menant des lignes droites perpendiculaires à l'étendue d'argument aux points qui marquent les valeurs d'argument, et en portantsur ces lignes les valeurs de fonction positives d'un côté, négatives de l'autre côté de l'étendue d'argument. Mais ce n'est pas seulement dans la manière dont on fait correspondre les valeurs de fonction qu'il nous faut insister sur l'absence de restrictions ; les valeurs d'argument qui font prendre à la l'onction une certaine détermination peuvent être aussi choisies en pleine liberté. Le concept général de fonction, tel qu'il ressort de l'analyse nouvelle, n'exige pas, par exemple, que la fonction soit donnée pour toute valeur d'argument ; bien plus, elle peut n'être donnée, quand cela suffit à notre but, que pour un seul des systèmes de points do l'art. 56. Eh bien, pour conserver la généralité la plus grande, nous pouvons imaginer une loi, d après laquelle dans des

étendues d'argument fixées par elle on peut choisir arbitrairement un point et y placer !a valeur de fonction, absolument comme nous avons fait correspondre à la valeur d'argumeot unique des intervalles entiers pour valeurs de fonction.

A. l'égard des valeurs de fonction qui correspondent aux diverses valeurs de l'argument, on aura à distinguer suivant leur nombre et leur nature les dépendances simples, multiples, etc., — et celles qui sont indéterminées entre des limites données.

A l'égard des valeurs d'argument que revendique la fonction, on aura à distinguer les fonctions données complètement, {c'est-à-dire pour la pantachie complète des valeurs d'argument), de celles qui sont données incomplètement, (c'est-à-dire, par exemple, pour une pantachie ou une apantachie quelconque).

Pour éclaircir davantage le concept de fonction, bornonsnous simplement h la pantachie complète des valeurs d'argument < i» <^ 1.

L'Idéaliste se trouve ici en face d'une question analogue à celle des fractions décimale.? éternellement sans loi. Il imagine une ordonnée construite sur chaque valeur particulière du continu des nombres. Sur cette ordonnée se trouve un continu de nombres exactement comme sur l'étendue d'argument, et l'Idéaliste obtient l'ensemble de toutes les fonctions en portant sur toutes les valeurs d'argument toutes les combinaisons de valeurs d'ordonnée. Dans cette marche rien n'exige l'existence d'une loi. A la conception de l'Idéaliste répond l'ensemble infini de toutes les valeurs de fonctions particulières imaginables que peut donner le hasard, et par là il atteint h l'abstraction extrême d'une fonction absolument sans loi.

L'Empirisle au contraire, pour qui il n'y a pas de continu des nombres, peut imaginer des points innombrables pourvus de valeurs arbitraires ; il peut faire correspondre indéfiniment des valeurs de fonction h des pantachies et apantachies sans nombre d'après une loi arbitraire ; il aura toujours h pourvoir de valeurs le reste de la pantachie complète, qu'une pareille détermination n'aura pas rendue plus pauvre en points.

Cette pantachie infinie qui reste lorme toujours l'arriôrefond, dont l'Empiriste n'approche jamais malgré l'hypothèse que tous les points d'argument accessibles à sa fantaisie sont pourvus de valeurs. Pourdéterminer complètement la fonction, il est obligé d'avoir recours à une formule générale qui fasse correspondre la fonction aune pantachie infinie del'argumenl. Pour 1 Empiriste c'est là une nécessité.

Voici donc où est conduit l'Empiriste : Pour obtenir une fonclion complètement déterminée, des points, isolés pris arbi-

trairemenL peuvent êlre pourvus de valeurs arbitraires ; h des apantachios et h des pantachies illimitées prises arbitrairement onpeut faire correspondre comme bon semblera des valeurs de fonction : à côté de ces déterminaLions, il faut qu'on donne une formule générale, d'après laquelle l'ensemble des valeurs, d'argument de la pantachie intinie qui reste encore doit être pourvu de valeurs de fonction.

. C'est là pour l'Empiriste le concept le plas général d'une fonction donnée complètement, que nous n'avons pas le droit de dépasser dans notre exposé neutre, parce que nous devons laisser de côté, comme pure fiction idéaliste, les fonctions complètement dépourvues de loi. (')

D'après celii, il faudrait distinguer avant tout deux catégories de fonction : celles où une lui généralement valable lie la fonction et l'argument, et celles où certaines espèces dénombrables de pMûts sont exceptées de la formule générale et doivent être pourvues d'autres valeurs que celles que prescrivait la loi générale.

On peut à peine considérer cela comme une restriction, si on reiionce à l'image idéaliste de la fonction, ou mieux à son équivalent geomélrique (art. 39). Ce que la critique de l'Empiriste en laisse subsister est encore, à y regarder de près, d'une si étonnante généralité qu'une pareille base peut, comme elle le doit d'ailleurs, nous sulBre pleinement pour le, développement du concept de fonction. Dans ce chapitre nous ne ferons plus que quelques réflexions sur le concept général de fonction. Il s'agira exclusivement de la façon dont se comporte une valeur de fonction particulière à l'égard des valeurs voisinas, et des éléments du concept de continuité qui se rattache directement à cette question.

Si plus lard, nous reprenons cette étude générale, le procédé naturel et logique consistera à restreindre peu à peu ce

(*) La remarquR, incontestablement exacte pour l'Idéaliste (art.39)jà savoir qu'une fonction donnée pour la pantachie complète à 1 Mceptton de pantachies illhnité'es, et donnée en partîculiei', mais avec une antre détermination, pour ces pantachies illimitées — ne doit pins èUt considérée co^me complètement donnée, — que bien plus une loi commune doit nécessairement déterminer toutes les valeurs de fonction, — ne doit pas cti'e prise en considération dans notre e.ïposé neutre ; l'abiiae entre illimité et intini ou l'étendue nuageuse l&rt. dS) est une fiction idéaliste que l'Empiriste n'accepterait pas sans la discuter. Je remarque d'ailleui'S qrte dans beaucoup de cas cette objection do l'Idéaliste peut peindre sa forcé même aux joùx de l'Idéaliste. Nous on trouvons un exemple dans la fonction lU fart, fiS), avec son interprétation (art. M), où: je montrerai comment la loi ^'appliquant à la pantachie illimitée pôitt-ètre étendue à !a pantachie complète.

concopL générai, dans la direction des Ibnctions. dites analytiques"; en quoiie principe de classiflcation sera fourni par les concepts d'intégrale, de quotient diff'ireatiel, mais principalement par les diverses conditions de possibilité de représentation des fonctions à l'aide de formules de représentation. Une classification de plus en plus rigoureuse et parfaite des fonctions peut-être considérée non seulement comme l'étoile qui guidera nos recherches, mais aussi comme le but asymptolique de l'analyse.

Lé but des recherches qui s'y rapporlent sérail d'après cela une classilicalion systématique des fonctions, absolument comme la science de'ia nature s'efforce d'en établir une pour les êtres vivants, nécessaire par elle-même et pariailemeut conforme aux phénomènes. Je me complais dans cette compa,raison : Il existe certainement une analogie d'ûiie part entre les formes végétales et animales les plus simples, la faible liaison des parties, clc, elle concept le plus général de fonction, celui de fonction anorthoïde (art, 37,8), et.d'autre part entre les formes plus élevées d'animaux et les fonctions de la théorie complexe des (onctions. Il suffit d'une parcelle de plan pour déterminer ces fonctions dans tout le plan, comme un os suffisait à Cuvier pour reconstruii'e l'espèce. Entre Içs deux cîassiflcalions on remarque pourtant, au moins pour le moment, une différence formelle. La classification des êtres vivants établit des classes essentiellement coordonnées, quoiqu'ici ce soit un principe de subordination qui préside, comme il doit le faire, h la répartition. Mais les classes successives de la théorie générale des fonctions ne sonljusqu'îci que subordonnées, car toute classe nouvelle, étant née de la limitation d'un concept de fonction plus général, doit appartenir à toutes les précédentes. Gela n'est pourtant que le premier germe delà théorie future. Comme la théorie des fonctions analytiques, qui comprend mainteaant déjà diverses classe.s de fondions coordonnées, — la théorie générale des fonctions ressemblera de plus en plus, grâce aux recherches futures, à la classification des sciences naturelles.

58. — Quelques exemples de foactioas. —Je commence par donner quelques exemples simples de fonctions pour rendre plus claires les distinctions que nous allons établir. Les nombres rationnelss'ofTrent comme panlachie iilimilée qu'il faut pourvoir de déterminations particulières de fonction. J'utiliserai les propriétés suivantes ;

Je donne au nombre rationnel la forme -4, oii Z esL pre-

mieravec .V, iV sera pris do la forme pj" Pi^-.-.pr^' où les

p désignent des nombres ppetniers, et les p des nombres entiers.

1° On peut autour de chaque point limiter un intervalle assez petit pour qu'il ne renferme , h. 1 exception de ce point, que des nombres rationnels à dénominateur plus grand qu'un nombre ^1 choisi aussi grand qu'on aura voulu.

Car tous les nombres rationnels h dénominateur > Ni forment un système de points isolés, et dans tout intervalle, si petit qu'il soit, il y a dos nombres rationnels.

2" Etant donné un intervalle A et une série de nombres premiers p), Pî,. .. Pr, oàpi< 2, l'intervalle A renferme toujours

des nombres rationnels de la forme — ^ ,

Pi P^ ■• -P- ' Cela est évident.

J'indiquerai maintenant les fonctions suivantes.

Fonctions anorthoïdes la. — f{cc)=:S X pour les valeurs :

a; =0,3; 0,33; 0,333; etc.

et /■(ic) =; o pouraï^i I

b. — /■(«)= M„ -}- M -|-% 4- , ., -f- w, , où les M sont des quantités quelconques. Cette fonction n'a de sens que pour les valeurs entières de l'argumsnf.

lia. — /" (ic) =:: 1 pour les valeurs rationnelles de ai, /" (ce) :::; pour les valeurs irrationnelles de ce.

b. — / (at) prend pour x — ~7 r r~ les valeurs ,

Pi ps ^ ■■■ p, '^'

p,Pi...p,.' et f{x)=^o pour toutes les autres valeurs de œ.

c. — f[x) prend pour x = — r T~ les valeurs

et / (ïl ^ o pour les autres valeurs de x

Fonctions orLhoïdes ^+ l