INTRODUCTION

Par grandeur ou quantité mathématique (quantum, quantitas. Grosse) on entend, une qualité commune il des otijels de différentes espèces, par rapport à laquelle ils sont comparables numériquement, comme leur longueur ou leur poids. Cependant loutes les suites de représentations qui peuvent être soumises atix opérations mathématiques sont loin d'être comprises dans cette définition. Généralement parlant, il faut entendre par grandeur ou quantité mathématique l'ensemble d'une suite de représentations soumises nu moins aux conditions suivantes : 1° Chaque représentation isolée occupe dans cette suite une place suffisamment déterminée ; 2° Entre les grandeurs de la suite ou entre ces grandeurs et celles d'autres suites également ordonnées, il existe des rapports qui peuvent ôlre combinés et donner naissance h de nouTcaux rapports.

Seulement, hàlons-nous de le dire, avec ces définitions générales, que l'on formule de manière à ne laisser échapper aucun cas particulier, on n'avance guère. Car pour parvenir i^e là h une idée claire et précise du concept de la grandeur mathématique dans le sens ordinaire qui est, et qui restera la notion fondamentale de la géométrie, de la mécanique, et n'en doutons pas, aussi de l'analyse abstraite, il faudrait restreindre la définition générale, Jusqu'à ce qu'elle s'adaptât au concept voulu. Cette manière de procéder que Ton trouve chez quelques auteurs a un défaut capital. C'est que, au fond, pour savoir où s'arrêter en restreignant la définition générale, il faut déjà être en possession du concept final. Aussi les résultats que l'on obtient de cette manière me paraissent-ils peu salisfaisants, assez vagues et même contradictoires selon qu'ils se foudent sur différentes idées préconçues.

Pûur comprendre à fond les concepts puissants qui dominent toute la pensive comme ceux de l'espace et du temps et aussi des concepts moins vastes quoique encore très bien délimités, tels que celui qui nous occupe, il paraît plus naturel et même plus intéressant de proeédar de la manière inverse, en essayant de remonter à 1 origine du concept, d'examiner attentivement par quelles abstractions il peut s'être formé, de le poursuivre dans les difïérents domaines de la connaissance oïl il se manifeste, et d'établir enlin solidement les caractères communs de ces différentes manifestations. Ce n'est qu'ainsi qu'un concept à ramifications si riches et si délicates, comme celui de la grandeur mathématique, peut être finalement débarrassé do tout accessoire, ce qui doit être notre but. Car les grands concepts présentent en général deux états de développement bien dislincis, dont le premier est commun à tous les hommes, et l'autre, de nature scientifique, tend à une détermination exacte (lu concept commun. Ceci peut être fort difficile, à la vérité, comme par exemple s'il s'agit du concept de matière organisée, ou de règne végétal ou animal : Quelque manifeste que soit la dilîérence entra un lion et un pommier, la science n'a pas encore réussi à tracer la ligne de séparation entre le rÈqne animal et le règne végétal.

Nous donnons dans cet ouvrage deux exemples de la méthode indiquée, Celui qui va suivre sur le concept de la grandeur, et plus loin l'examen du concept de la limite. Mais nous nous proposons de soumettre ailleurs à une analyse semblable d'autres concepts, à savoir ceux de l'espace et du temps et le5 concepts mécaniques de force, etc.

Quant à la présente recherche, noas serons assez vite conduits à une forme fondamentale du concept mathématique de grandeur qui domine non seulement le monde extérieur, mais aussi la vie intérieure de l'âme.

Les quantités malkématiques linéaires, c'est te nom que Je donne à cette forme fondamentale, sont les propres racines de l'analyse, par lesquelles elle tire continuellement une nouvelle nourriture de so! natal, l'étude dé la nature. Mais, d'un autre côté, nous saisirons plus nettement l'essence de grandeurs mathématiques d'une autre espèce si nous les comparons aux grandeurs linéaires, et si nous cherchons par quelles propriétés elles en différent.

La grandeur mathématique peut, par sa nature, ne prendre que des valeurs discontinues, comme le nombre d'objets, Xmahl, ou bien elle correspond à une espèce de représentations passant d'une manière continue de l'une à l'autre, comme cela a lieu pour les longueurs. Ceci trace pour nous, il est vrai, une

ligne de séparation de chaque côté de laquelle nous porterons bientôt noire observation. Celte ligne pourtant, comme on le reconnaîtra bientôt, ne réalise pas h proprement parler une scission dans le concept de grandeur, parce que la quantité mathématique continue dont il s'agit essentiellement ne peut servir h mesurer qu'après l'introduction du concept de nombre, et parcequ'ainsi le concept de grandeur continue dans son déve- ]oppement scientifique suppose celui de grandeur discontinue.

1. — Quantités mathématiguea discontinues. — Maintenant, pour en venir tout de suite aux quantités mathématiques discontinues, le concept de nombre d'objets (c'est h cotte espèce de grandeurs discontinues que nous voulons ici borner nos considérations) a son origine dans la représentation de l'état isolé des objets de la perception ; et on s'explique sur ce concept à l'aide de mots ou de signes par lesquels on e-xprime le nombre d'objets et qui s'appellent les nombres.

Le concept du nombre d'objets est tout-à-i'ait indépendant de l'espèce des objets. Raphaël, un théorème, un canon, font ensemble trois objets. Le nombre d'objets est donc, pour ainsi dire, ce qui subsiste dans notre pensée, lorsque tout ce qui distinguait les choses s'évanouit, et qu'il n'y a plus dans l'esprit qu une représentation, ù, savoir que les choses étaient distinctes ; il mesure combien de l'ois notre conscience a reçu une impression distincte. Il suit immédiatement de là que les objets séparés, lorsqu'ils sont identiques ou qu'ils ne différent presque pas les uns des autres, éveillent immédiatement la représentation du nombre, car l'impression des différences n'a pas besoin de s'effacer, elle ne se forme môme pas., Gela suppose pourtant que l'attention n'est pas absorbée par la configuration géométrique des objets, à plus forte raison qu'elle ne se porte pas de prime abord sur leur ordre.

2. — Eclaircissements sur la formation da concept. — Le mode de provenance, qui vient d'être indiqué, du concept du nombre d'objets, est commun à peu près à tous les concepts. Toutefois il semble h propos, au commencement d'une série de déterminations de concepts, de dire comment je me représente la formation du concept. Les concepts naissent là où des traits communs à un groupe de représentations éveillent et captivent notre attention, La variété de ces représentations s'efface ou, comme l'écrit Jean MtSller, s'obcurcit devant notre conscience. Lorsqu'ensuite le concept, (c'est-à-dire l'ensemble de ces caractères communs), persiste dans notre pensée, il se fixe dans ses traits essentiels, dans nos représentations et notre souvenir, au mot ou au signe h l'aide duquel le langage ou la science le désigne. Si on veut remonter au contenu réel

— Sida concept, on fait réapparaître devant la pensée une ou plusieurs des représentations particulières d'où étaient abstraits les caractères communs. Aussi peut-on observer sur soi-même que des concepts pour lesquels il n'existe encore ni mot ni signe se rattachent à une certaine représentation émergeant d'une façon particulière du groupe auquel elle apparliont, représentation qui leur sert ainsi de signe. C'est bien la, d'une fagon générale le début de la formation du concept et de la forme la plus vraisemblable de ce concept diez ceux qui pensent sans la faculté de parler.

Les caractères communs h une suite de concepts se réunissent ensuite pour former un nouveau concept plus général et par cela même plus pauvre et ainsi de suite.

3. — Quantités mathématiques discontinues (suite). - Le concept du nombre exprimé par des chiffres ou par des mots appartient de sa nature à ceux qui se sont le plus détachés des représentations réelles qui les ont engendrés. Gela tient h ce que on ne peut se faire une représentation réelle que de tout petits nombres. Il y a peu d'hommes qui, du premier coup d'œil, puissent reconnaître un nombre d'objets convenablement choisis, (par exemple de boules de même forme et de même couleur,) — qui dépasserait cinq ou six. J'admets là que l'ordre géométrique des objets s'est trouvé autant que possible le môme pour les différentes collections d'objets, que par exemple ils sont rangés à peu près en ligne droite. Dans la disposition uniforme sur une ligne droite ou même dans la disposition sur un cercle, oh de plus il manquait un point de départ nettement distinct, Dahse ne pouvait, à ce qui m'a été dit, Compter du premier coup d'œil qu'un nombre remarquablement plus petit que lorsque les objets étaient distribués sur une surface plane, où ils formaient dis figures géométriques irrégulières qui les lui rendaient plus faciles h complci-.

Ainsi admettons que nous ayons une représentation nette des nombres à peu près jusqu'au nombre sept, nous pouvons alors, jusque 1&, faire correspondre ie concept de nombre d'objets à une suite de représentations particulières, comme nous pouvons faire correspondre le concept ohêno à la représentation de tous les chênes que nous avons dans noire souvenir, Au-delà de ce chiffre nous avons bien des représon- (iUions réelles de pluralilés plus ou moins grandes, mais cependant les représentations de nombres un peu grands se rattachent h. la représentation du dénombrement; 31 , par exemple, n'est pas une représentation tirée directement de la perception, mais elle suppose le fait préalable du dénombrement.

Or le déûombpeaient lui-même exige, quand on dépasse notablement le nombre 20, c'est-à-dire le nombre des doigts des mains et des pieds, un système de numération et par conséquent un certam degré de développement scientifique.

Le concept de no,mbre montre ainsi nettement tout d'abord deux degrés de développement dont le second comporte des commencements de science et ensuite un troisième complètement scientifique.

Au premier ûagré de développement nous trouvons les commencements les plus grossiers de la mesure des pluralités h l'aide de nombres ; ils se rattachent aux représentations tirées directement de la perception de tout petits nombres comme peuvent en avoir aussi les animaux, qui se mettent en défense contre plusieurs ennemis autrement que contre un seul. D'après des rapports concordants sur les peuples non civilisés de l'époque actuelle, ainsi que sur les époques antérieures à toute civilisation, cette numération primitive consistait simplement dans la comparaison avec les nombres des doigts des mains et des pieds. Nous en avons encore un témoignage dans notre système décimal de numération, ce détestable héritage de nos pères. — Le développement ultérieur du concept de nombre a fourni la suite ilUmitée des nombres entiers, déterminée par celte circonstance que chaque nombre représente une coHeclioa contenant un objet de plus que la précédente, et a établi dans cette suite des points de repère qui permettent de mesurer toutes les pluralités.

Enfin, le développement scientifique du conceptde nombre s'est marqué dans la recherche des rapports entre les nombres entiers et a conduit finalement des règles de calcul les plus simples à la tbéorie des nombres. En vérité cependant, le chemin fut loin d'fltre aussi direct. Bien au .contraire, les commencements du développement scientifique du concept de nombre concordent avec ceux du concept de quantité contmue, tous deux se sont d'abord développés et formés par les exigences qu'ils ont montrées l'un à l'égard de l'autre, jusqu'à ce que une pensée plus profonde se soit plu aux belles propriétés des nombres pour elles-mêmes et que, au cours des années, elle ait posé les germes multiples d'une science qui, dans les deux derniers siècles, a atteint un si riche développement.

4. — Des quantités luathématiques continues. — Voici des exemples de grandeurs mathématiques continues: Longueur, surface, volume, poids, temps, vitesse, force, quantité de chaleur, intensité delumiÈre otde son, (ension électrique, force de courant, etc.

Quand on parle des quantités mathématiques-, on ne pense tout (,1e suite qu'aux quantités géométriques, et,-en pyrliculiep, à la ligne droite limitée en longueur, à laquelle on cherche h ramener les autres quantités parce que c'est incontestablement la représentation de celte espèce la plus simple, la plus invariable et la plus répandue. Co n'est pas une représentalion dans le sens déjà donné plus haut à l'occasion du nombre d'objets ; c'est plus proprement nn concept mais qui, ici, à rencontre du nombre, est si voisin le plus souvent d'une des représentations particulières d'où il a été tiré que dans la pensée cette représentation y supplée. Ainsi l'un en y pensant se représente une arête ou la limitation d'un plan; pour un autre la longueur apparaît sous la représentation d'un fil ou d'un trait ou d'un rayon. Enfin, on y voit aussi la trajectoire parcourue par un point mobile h. la manlÈre des étoiles filantes.

Les quantités mathématiques continues que j'ai citées ont tout d'abord ceci de commun que leur mesure et leur comparaison dépendent dos perceptions du sons de la vue, ensuite que leur qualité comparable ou mesurable devient toujours finalement l'élondue reciiligne, et qu'elles se laissent, comme celle-ci, partager et combiner par addition. Observons, pour expliquer ceci, les représentations mesurables de la géométrie.

5. — Caractères communs aux quantités déjà citées et aux quantités géométriques. — Sur la mosaïque d'un champ visuel, apparaissent des images telles que chaque morceau qu'on en découperait n'importe oii possède les mêmes propriétés que l'image complète, L'intuition la plus immédiate de telles propriétés nous est offerte par l'image de la ligne droite limitée. Mais co serait une erreur de vouloir l'affirmer aussi d'un arc de cercle non rectifié, parne que le rapport de la corde à l'arc ne reste pas invariable lorsque l'arc devient de plus t^n plus petit ; parce qup, bien loin de \h, dans une division pinlongée de l'arc de cercle, la représentation cesse peu h peu d'être celle d'un arc et se change en celle de la ligne droite.

Au contraire, il en est des surraces planes uniformément colorées et éclairées, quelle qu'en soit la forme, comme dos lignes droites ; seulement cela n'est plus le fait d'une intuition directe. L'analogie entre les propriétés mesurables des lignes droites ot la représentation de mesure qu'offrent de telles surfaces planes est rendue possible par l'intervention du concept nouveau de l'aire, c'est-à-dire de l'exhaustion d'une surface plane limitée d'une façon quelconque e! du transport de ses portions de surface dans le cadre d'un rectangle, par exemple, dont la base serait fl.\e, tandis que la hauteur dans sa variation déterminerait à chaque instant l'aire du rectangle. Par cet

n épuisement » la comparaison et la rtieaiire des surfaces semblables sont tout-à-fait ramenées h celles des longueurs. Si nous imaginons ensuite que notre représentation visuelle soit complétée par la représentation de l'espace, aîors apparaît le concept de volume, dont nous exprimons la mesure à l'aide d'une longueur, absolument comme nous l'avons fait pour l'aire. Ce concept, lotit comme la longueur, jouit de cette propriété, que les parties sont de môme nature que le tout auquel elles appartiennent, ou que n'importe quel autre tout de môme espèce. Dans les autres quantités mathématiques déjà citées on découvre également et sans peine la longueur qui fournit la mesure. Pour citer quelques exemples familiers : l'arc de cercle que décrit l'aiguille de l'horloge, une fois rectifié, fait dépendre le temps d'une longueur ; la graduation du levier de la bascule mesure le poids; la force devient proportionnelle à l'énergie des phénomènes de pression et de mouvement, qui de leur côté peuvent être immédiatement exprimés en longueur, etc.

Maintenant, dans le cas oîi nos perceptions et nos observalions nous apportent une espèce de représentations qui ne différent entre-eJles que par le plus ou le moins, nous nous sentons provisoirement satisfaits quand nous avons posé les divers degrés de cette représentation dans des rapports déterminés avec les représentations mesurables de la géométrie, quand, parconséquent, nous y avons trouvé une longueur donnant la mesure. Ceci nous apparaît, en effet, comme le premier Eas fait vers l'intelligence mécanique des choses. Nous ne lisons en cela que suivre notre tendance à ramener ce qui est nouveau et compliqué, et par cela même trouble la quiétude de notre âme, à des choses vulgaires et familières, parmi lesquelles il faut compter en première ligne les représentations géométriques mesurables. Car, comparer et partager les étendues sont p oiir nous choses si naturelles que ces faits, comme le premier degré du concept de nombre d'objets, ne soni peut-être pas spéciaux à l'homme, Les concepts d'aire et de volume appartiennent aussi vraisemblablement aux premières acquisitions de l'esprit humain. L'espèce naissante pouvait les abstraire d'observations sans nombres. Le besoin d'étoffe pour les vCtements et pour les couvertures des tentes, la capacité de ditTérenls vases ou autres objets de même nature, la semence nécessaire à des champs, de formes et de grandeurs diflérentes ; ensuite, par les progrès de l'état de société de l'homme, les concepts de propriété foncière et des mesures conventionnelles et une foule de choses semblables ont fait de l'aire et du volume une des formes fondamentales d'intuition de notre esprit. L'enfant acquiert ces concepts, s'ils ne sont innés, par exemple,

en déchirant du papior et en jouant avec des vases qu'il remplit de sable ou de liquide.

Les représentations mesurables de la géométrie forment donc le point de départ auquel revient sans cesse notre pensée dans SOS déducLions rigoureuses. Cette affirmation ne rencontrera certaine méat pas de contradiction sérieuse.

6. — Introduction du concept de Quantité linéaire. — Les quantités citées jusqu'à présent ont donc une propriété commune remarquable; elles peuvent se ramener aux longueurs; leurs difTérences, leurs parties et leurs multiples sont de nouveau des quantités de même espèce, comme pour les longueurs ; elles sont, comme les longueurs, susceptibles de prendre des états très petits ou très grands ; comme les longueurs, elles sont comparables, mesurables. Je nommerai les quantités mathémathiques de cette espèce : Quantités mathématiques linéaires. Mais il paraît convenable d'amplifier ce concept par rapport à l'étendue dans laquelle on fait corresdre la quantité linéaire à une longueur, que rien ne nous oblige à considérer comme illimitée.

Supposons donc établie entre une certaine quantité et une des quantités linéaires décrites [out-à-l"tieure, par exemple, une longueur indéterminée, une relation telle que cette grandeur soit une fonction continue de la quanlita linéaire, (que cette relation puisse être ohseroée ou qu'elle soit la conséquence cCien raisonnement, ou enTin qu'elle soit un exemple imaginé par nous dans une intention quelconque). Si cette grandeur en augmenianl ou en diminuant en même temps que la longueur à laquelle elle correspond se change en une grandeur de même espèce, d'où il suit, puisqu'elle est supposée continue, c'est-à-dire croissant par degrés aussi petits qu'on voudra, qu'elle commence par zéro, il faudra la considérer alors comme quantité linéaire , dût-elle ne pas croître indéfiniment. On poiirra, en ejfet, la faire correspondre point par point au moins à la ligne droite limitée et, comme elle, à l'exeption de l'étendue, elle possédera les propriiités des grandeurs linéaires.

La concenti'ation, c'est-à-dire le rapport d'une quantité de substance en dissolution à une quantité fixe d'un liquide dissolvant, nous fournit un exemple de grandeurs linéaires limitées. Elle peut varier entre zéro et l'infini, mais aussi entre zéro et une valeur finie. Il peut aussi, comme pour l'éther et l'eau , être nécessaire de considérer séparément les deux rapports, de l'eau à une quantité fixe d'éthor, et de l'éther à une quantité fixe d'eau, pour faire de ces rapports des quantités linéaires selon notre définition. Un autre exemple de grandeuf linéaire limitée est la probabilité d'être atleint à une distance

donnée du but du tireur. Si on la considère comme le rapport du nombre de coups s'égarant à cette distance à un nombre très grand de coups tirés, la différence de deux probabilités pareilles peut de nouveau être envisagée comme une probabilité.

7, — Ce (pli paut se graduer solvant l'étendue on. rintensité appartient aux quantités linéaires. — Toutes les espèces de quantités que nous pouvons considérer comme quantités mathématiques sont lom d'être linéaires, de sorte que notre tâche est tout d'abord d'acquérir au moins une idée approchée de la dissémination dos quantités linéaires dans les différents domaines de la connaissance humaine. Cette lâche nous est facilitée par la remarque suivante :

On a coutume, on le sait, de partager les espèces de quantités en deux catégories selon qu'elles sont graduées suivant l'étendue ou l'intensité, (^extensives et intensives). La multiplicité n'en est certes pas ainsi épuisée, mais ce qui est important c'est que toutes les suites de quantités se distinguant par l'étendue ou par l'intensité puissent être considérées comme appartenant aux quantités linéaires.

Je dis appartenant aux quantités linéaires. Car pour ce qui e.st des quantités variant suivant l'étendue, on ne peut pas, par exemple, considérer comme linéaire une suite contmue de triangles semblables, leurs différences étant, entre autres raisons, quelque chose d'indéterminé, au lieu d'être de nouveau des triangles semblables. Mais ce qui distingue et détermine

les triangles, périmètres, hauteurs, surfaces, etc , est de

nature linéaire. Ainsi nous pourrons dire d'une façon générale que ce qui est gradué seulement suivant Véleadae peal-être ramené à la mesure linéaire.

Au contraire , les suites de quantités continues graduées suivant l'intensité, quand elles peuvent être conçues comme quantités mathématiques, sont toujours linéaires.

La condition qu'une su' te de quantités soit malhématique exige seulement que les individus de la suite soient délinis en eux-mêmes d'une façon suffisante et nullement que nous puissions les déterminer actuellement en les faisant correspondre à une mesure linéaire, ou que nous supçonnious seulement le moins du mon de comment nous pourrons jamais les y ramener, Gela posé, il nous faut chercher tout d'abord à montrer clairement ce que l'on doit entendre par « différence d'intensité. » Ce concept n'est pas, en véritt!, aussi facile à analyser que celui de la différence d'étendue. Mais précisément ici, nous n'avons pas le droit de nou^ faire forts de ce qu'il ne nous est pas moins familier. Grâce à l' explication suivante, de ce concept, je ne me suis jamais trouvé dans l'embarras.

Nous employons l'expression « différer en intensité », quand nous tenons les variations d'une grandeur ( augmentation ou diminution) pour des grandeurs de même espèce; quand par conséquent les différences dans une espèce de grandeurs nous apparaissent de nouveau comme des grandeurs demémenature. Op, c'est lît une des propriétés principales des quanUtés linéaires géométriques qu'à la vérité on ne distingue pas suivant l'intensité, mais suivant l'étendue. Celte dénomination différente de la relation entre les quantités de même espèce, dont les unes sont dites graduées selon l'étendue, les autres selon l'intensité, ne constitue donc pas une difîérence dans le caractère mathématique de ces grandeurs, et ce que noua venons d'exposer constate pleinement la nature linéaire des quantités mathématiques qui dilîèrenl suivant l'intensité, quand, bien entendu, on les suppose en outre suffisamment déterminées et continues. En effet, quand la variation d'une variable se fait par des différences pour ainsi dire, de môme nature que la variable, elle doil, si elle est continue, commencer par zéro ; en outre, étant formée par des accroissements aussi petits qu'on veut, elle admet aussi nécessairement des multiples et des parties de même espèce, et c'est îît précisément noire concept des quantités linéaires.

Pour éclaîcir ce qui précède par des exemples, on dit de la température qu'elle est graduée suivant l'intensité. Cependant il faut ici distinguer la température sentie physiologiquement, c'est-à-dire la sensation do chaleur qui appartient aux sensations dont nous parlerons plus loin, et la température physique qui est l'expression de l'intensité du mouvement calorifique et par suite qui est la quantité linéaire proprement dite.

Enfin, mentionnons encore la dureté qui consiste en une résistance, non encore rigoureusement analysée an point de vue physique, que présentent les corps solides quand on veut leur faire subir des variations de formes qui dépassent les limites de l'élasticité (soit en les éraillant, soit en les pressant, soit en les brisant). S'il est ici question de différence en intensité on se représente clairement à l'esprit que les forces do résistance dont la dureté est la manifestation dans leur variation d'une matière à une autre, ou dans la même matière, (par exemple, sous l'action de la température,) subissent des accroissements qui sont des forces de la mémo espèce, et auxquels correspondraient certains degrés de dureté. Bref, la dureté est pour les forces de cohésion ce que la température est pour le mouvement calorifique.

J'ai choisi ces exemples, parce que la justesse de l'eipUcalion que nous avons donnée du concept n'y est peut-être pas

aussi évidente d'elle-même que dans "les cas qui se prosenteilt ordinairement.

Jugeant ainsi la nature linéiiirc dos suilca do quantités graduées suivant l'étendue du l'intensité comme suffisamment fondée, cherchons maintenant à nous former une vue générale dos quantités mathématiques propres aux différents domaines de la pensée.

8. — Les quantités du monde extérieur. — Tout d'abord, le monde de la perception que nous nommons monde extérieur. En première ligné, se trouvent les mystérieuses cause s premières qu'on nomme forces et, en les mettant en avant, nous franchissons les limites du domaine de la perception et nous nous trouvons alors en plein dans l'empire des créations de la pensée humaine. Sous ,1'inlluence d'une .poussée intérieure, nous concluons des phénomènes à l'existence des forces premières, et puisque enfin nous ne savons rien sur elles, nous devons voir dans les phénomènes leurs effets complets. Les effets sont ainsi dans notre représentation équivalents en quantité & la force qui les produit. Or ces effets, pressions, tensions, mouvements, sont des grandeurs linéaires, il on est donc de même des forces elvoilS. pourquoi nous les avons citées comme toltos.

Si loin que nous soyons, et pour toujours, de pouvoir représenter mathématiquement tous les phénomènes du monde extérieur, aucune espèce de grandeur no somblu devoir, s'offrir , qui ne puisse probablement être un jour comprise dans le concept des quantités mathématiques linéaires, ou mieux qui ne se révèle probablomont un Jour comme une quantité linéaire. Car partoutoti nous pénétrons, loute variation se montre graduée suivant l'étendue ou l'intensité, et nous considérons de pareilles quantités quand elles sonlsusccplibles d'une déffnition précise (^ainsi que cela a été plus haut examiné de près), comme essentiellement linéaires, mémo si nous ne les avons pas encore ramenées, comme pour la durcie à leurs dernières variables linéaires géométriques et mécaniques.

9, — Les quantités du monde de la perception interne. — Sensations graduées suivant l'intensité. — Etudions ensuite en les considérant comme des quantités au point de vue de leurs propriétés, quelques phénomènes do la vie interne de l'âme. Les sensations par lesquelles des excitations ou irritations se révèlent à nous sont bien les plus simples phénomènes qui doivent se présenter ici, et offrent une fouie d'espèces de quantités très insiructives.

En premier Heu se trouvent les sensations graduées sttivant

l'intensilé, lelîes que la doaleiir, les sensations de la peau, les sensations d'intensité qui nous viennent des sens.

Bn appliquant aux sensîitions notre proposition relative aux quantités qui diffèrent en intensité, nous reconnaîtrons que ce sont aussi des quantités linéaires, lorsque, bien entendu, elles peuvent être considérées, avant tout, comme quantités mathématiques. On se représente bien, en effet, que si des excitations d'une même espèce s'additionnent, une somme de sensations produites respectivement par les différentes forces d'excitation, ne forme également qu'une seule et même sensation plus intense. Ainsi, on s'imagine qu'une impression de chaleur plus vive qui correspond à une élévation de température est produite par un accroissement de la. sensation, lequel est lui-même une sensation de chaleur, de sorte que l'impression de chaleur devient comme une image intérieure de la température.

Il n'y a donc plus qn'à se demander si l'intensité de sensation est une quantité mathématique, si elle admet des valeurs particulières suffisamment déterminées pour être acceptées comme une fonction définie de quantités linéaires mesurables. La différence des forces de sensation qui correspondent dans des circonstances différentes à' la même excitation, Ja brièveté du temps pendant lequel l'intensité de la force de sensation produite par une excitation constante leste la même, l'influence delà fatigue et, avant toute chose, le manque d'observation méthodique de 8oi-mêm s, prêtent principalement aux sensations de l'odorat et du goût une apparence d'instabilité inappréciable qui peut nous entraîner à donner tout de suite il cette question une réponse négative.

L'investigation scientifique est Join d'être enrayée par une telle apparence d'instabilité ; elle cherche d'autant plus h fixer l'instable. Il existe sans aucun doute dans l'organe central un état correspondant d'une fa<;on précise à l'excitation, état que notre conscience doit s'exercer à évaluer et à distinguer des influences voisines, et peut certainement apprendre à connaître petit.à petit. D'ailleurs les sensations d'intensité des sens de l'ouïe et de la vue, qui se prêtent à une observation plus longue et à une comparaison plus facile que celles des sens du goût et de l'odorat, présentent aussi en général plus de sûreté et de fixité. Il ne semble donc nullement invraisemblable que, dans toutes les espèces de sensation o'j dans quelques-unes qui sont graduées suivant l'intensité, on puisse trouver les conditions sous lesquelles il nous serait possible de susciter à chaque instant des intensités de sensations particulières qui correspondraient à des quantités égales d'e.witation et qui nous paraîtraient absolument égales. Gela

suffirait pouf reconnaître dans les sensations des fonctions mathématiques des quantités d'excitation, surtout si l'on songe .h la finesse quelquefois étonnante de nos sens pour la distinction des degi-és d'excitations par les inleiisiLés de sensations, finesse des sens qui, comme l'apprennent de nombreux exemples, si elle n'est pcis donnée naturellement, peut-être portée à un haut degré par l'exercice.

D'après cela nous pourrions être fondés à considérer les sensations graduées suivant l'intensité comme des quantités linéaires, c'est-à-dire comme des fonctions des q^uantités d'excitation qui commencent par zéro et dont les difiérences, les parties, les multiples, sont h leur tour, quoique non exprimables, des forces de sensations. Mais combien serait pins claire pour nous leur essence linéaire, s'il existait quelque principe qui nous mit en étal, étant donné deux sensations, non seulement de reconnaître la plus forte ou la plus faible, mais encore de calculer numériquement leur ra pport.

Pour les sensations qui varient suivant l'inlenaiLô, nous ne possédons précisément pas d'uniié de mesure transportable qui soit elle-même une pareille sensation pouvant être pei-çue en même temps qu'une sensation à mesurer et quenous puissions également appliquer contre elle ; nous ne pouvons comparer les intensités de sensations que par le souvenir. C'est là, en ce qui concerne le rapport de mesure, la différence essentielle en're la vue el, par exemple, le goût. Car, supposons que notre perception de la vue ait les mômes bornes que celles du goût, nous ne pourrions pas voir deux longueurs en même temps, une seule âgurerail dans le cbamp uniforme de notre vue : sûrement nous serions aussi incapables de nous faire une idée d'une longueur double que nous le sommes en réalité de nous représenter une douceur double. Nous ne pouvons pourtant pas conclure de cette incapacité que le phénomène cérébral qui correspond ii notre sensation de douceur ne fournisse pas l'idée du double de son énergie.

Poussons encore un pe j plusloin l'opposition des deux sortes de sensations. La perceptmn d'une ligne de longueur limitée sera transportée de la rétine au cerveau par la voie du nerf sans aucune porto. Qu'il vienne s'ajouter à la perception visuelle de la longueur limitée la vue simultanée de plusieurs longueurs ainsi que la possibilité de leurs déplacements respectifs dans le champ visuel, cela nous fournira l'intuition du double des longueurs et plus généralement de leurs rapports numériques. Enfin, le sentiment que celie iniuUion répond à la réalilé, naît seulement du concept de l'espace, c'est-à-dire de l'apparition ultérieure du déplacement suivant la 3ine dimension.

Dans les sensations qui diffèrent en intensité voici c ■les choses se passent: sur la triyectoire nerveuse qui va de la membrane muqueuse de la bouche, par exemple, au cerveau, une fraction de l'énergie de l'excitation ss perd vraisemblablement; 06 qui en arrive dans la matière cérébrale se résoud en un mouvement dont l'énergie est à son tour transformée partiellement en quelque auLre chose, tandis que la dernière partie de cette énergie vient entière et complète se révéler à la conscience comme une sensation et à mesure que notre moi sentant, veut ou peut porter son attention sur elle, elle se trouve entraînée dans l'engrenage de notre censée.

Cette partie de l'énergie est la quantité linéaire et elle

§ rendra toujours (cœteris paribus) pour d'égales quantités 'excitation la même valeur suffisamment précise de façon à pouvoirêlre assimilée îi une quantité mathématique. Pourronsnous jamais la mesurer ?

Le problème que la vie nous présente sans cesse est au contraire celui de reslimation et du calcul de l'excitation par la sensation, et en cela, comme nous le faisons pour nos perceptions de dimensions grâce àl'intuition de l'espace, nous jugeons que nos calculs de quantités d'excitations fondés sur des expériences variées sont aussi en accord avec ce qui nous paraît être la réalité.

Toutefois c'est une idée hardie qu'eut Théodore Fcchner, le jour où il se posa ce problème inverse d'exprimer l'intensité de sensation en fonction de l'intensité d'excitation. Si peu certain que puisse paraître jusqu'à présent son résultat, il lui revient incontestablement l'honneur d'avoir le premier cherché scieutifiquement à mesurer les sensations. (*)

('] Lo raisonnement qui conduit à sa loi psychologique consiste à peu près en ceci : Si une escitation croît à pirtic d'une valeur p, nous n'en percevrons pas la vai-iation, malgré toute notre attention ; avant quel'e.\citation aitatteint unecertaineforce P4" A P où A P dépend, suivant l'expérience, de la forée d'excitation déjà existante p. Pour des poids posés sur la peau, et pria conime exitation E. M. Weber, a trouvé que ^ p est proportionnel à p. On applique celte loi k partir de la valeur ■p =: o, il y correspond une viJeur À P ^^ A P" 1"' ^'appelle le seuil de la sensation. Le (sit important au point de vue de la théorie des grandeurs est qu'une pareille loi puisse être adoptée du moins entre de certaines limites, de sorte que nous n'avons pas a nous préoccuper ici de l'étendue dans laquelle la loi de M, Weber répond aujt faits.

M. Fechner suppose, et ce point est le fondement de sa théorie, que l'accroissement ^y de la force de sensation y lequel est précisément perçu, est indépendant de y ; de sorte que Y est formée par l'addition

d'accrroissements égaux Aï de sensation. Mais puisque =4^ est cons-

10. — Suites de sensations non graduées suivant l'intensité ^1 sont Men des quantités matliématiques mais non pas Unéalres. — En dehors des espèces de sensations graduées suivant l'intensité, nous en connaissons où une classe de sensations se compose d'individus qui fournissent bien des impressions semblables les unes aux auires dans un certain rapport, mais dont la différence n'éveille pas, comme dans les sensations étudiées jusqu'ici, la représentation spontanée que. chaque sensation individuellB est nue somme d'accroissements élémentaires de même espèce.

(aiit, il peut alors coiiclufe que Ay est proportiminel il —£ . 11 paraîtra

donc tout-à-fait admissible que traitant iy et ip comme des différen-

B liellea, il conclue que ï est proportionnel à log. -H-g — , ce qui est sa loi

psychologique- La quantité A f est h^othétique ; c'est pourquoi, manquajit de toute mesure pour la sensation, nous ne pouvons affirmer qu'il y ait erreur à trouver plus vraisemblable la proportionnalité entre les forces d'excitation et celles de sensation. La théorie de Bernstein me parEÛt le plus particulièrement parler en feveur de la loi de Fechner

Suoique d'une façon indirecte. Suivant toute vraisemblance, il correspond ans l'organe central aux terminaisons périphériques des nerfs qui reçoivent l'excitation un système bien arrêté de ibnotions qui peut-etie considéré comme l'image du monde extérieur entrant en relation directe avec notre corps. Sous ce mot monde extérieur il faut iCL ccmpiendre tout ce qui existe en dehors du sensorium.

M. J. Bernstein a easajé de nous donner une idée d une fonction centrale de cette espèce qui mesurerait tout de suite la fjrce d e\eitation et expliquerait le phénomène de la sensation localisée. (UnterRUchungen uber den Erregung'svorgang im Nervem und Muskelsysteme, p 163, sqq.) Il a entrepris ensuite d'expliquer des expériences sur la localisation des sensations de la peau, par un certain mécanisme cérébral et ses constructions ingénieuses ont fourni le rapport de Fechner entre l'excitation et la sensation. La continnation expérimentale des conclusions que J. Bernstein a tirées de sa théorie peut donc en fait être considéiée comme une confirmation de la loi de Fechner ; quoiqu'il soit a peu près inutile de pénétriir plus avant dans les phénomènes qui repaient le phénomène générateur de la sensation dans le cerveau et 1 aperceptiou elle-même, je ferai toutefois la remarque suivante ; Je me représente le moi sentant comme un phénomène psychique existant isolé, qui, ou bieuj suivant le besoin de ta pensée, recueûle ga et là dans le mécanisme qui donne l'image du monde extérieur, des informations qui se présentent à lui, ou bien sous l'influence d'excitations particulières et plus puissantes, s'exerçant sur lo mécanisme, les ressent involont^rement. lin donc l'état du mécanisme qui correspond à l'excitation doit dépasser un seuil de Fechner c'est-à-dire doit atteindre un certain degré pour pouvoir pénétrer dans la conscience, degré qui dépend toutefois de la fatigue de l'attention, dos dispositions naturelles, de l'exercice.

Comme suite de sensations non graduées suivant la force, on peut citer entre autres : la hauteur du son, la couletir de la lumière, le timbre da son.

La hauteur du son constitue une sorte de transition. On ne pourra jamais la considérer comme une quantité mathématique linéaire, car pour cela, il faudrait qu'il pût fitre question d'une différence entre deux hauteurs de son qui serait h sou tour une hauteur de son et d'une fraction de hauteur de son. En vérité la hauteur de son physique qui est donnée par la durée de la vibration, et qui est ainsi uiie simple durée de temps, devra être traitée inconlestablemeni comme une quantité linéaire, si on n'y voit pas autre chose qu'une 8ini[)te durée de temps ou qu'un nombre la rendant égale au nombre de vibrations d'une seconde. La différence entre deux hauteurs de son est alors la différence entre deux nombres ; mais la hauteur A& sou. physiologique, c'Qsi-h-d\r& celle qui est Sentie, quand même elle serait susceptible d'une détermination plus précise et plus constante que les intensités de sensation, ne comporte pas de pareilles différences, et n'est donc pas une quantité linéaire. Seulement, par le fait que les impressions se distinguent ici seulement par cette différence de hauteur que connaissent bien la plupart des hommes à tous les degrés de culture, elle a, avec la quantité malhém.itique linéaire, une certaine parenté qui fait défaut aux autres quantités citées, couleur de la lumière et timbre du son.

Les couleurs de la lumière sont des impressions de nature tout-à-fait variées dans lesquelles on aurait difficilement avant Newton pressenti un ordre nécessaire; du moins je ne sache pas que les phénomènes naturels de dispersion aient été ainsi expliqués. Mais dans tous les cas les couleurs peuvent être rangées en un ordre déterminé h l'aide duquel chacune d'elles correspond à une valeur parùcuUère d'une quantité linéaire, la durée de vibration ou bien une abscisse du spectre que l'on fixera commodément. Entre les couleurs on établit encore des rapports en faisant correspondre h chaque couleur sa complémentaire ; ce sont ainsi certainement des quantités mathématiques quoiqu'elles ne soient pas linéaires.

Dans les sensations envisagées jusqu'ici l'excitation était donnée directement comme quantité linéaire. C'était ou bien un phénomène mécanique'produisant, par exemple, une sensation de pression ou de douleur, ou bien, comme pour la sensation de chaleur, de hauteur de son et couleur de la lumière, etc...., c'était un phénomène physique ramené depuis longtemps à des graduations de quantités linéaires.

Dans les sensations qui suivent ii faut considérer au contraire la question au point de vue de la nature essentielle de l'exci-

lation prise comme quantité. Poiîr ce qui est du timbre âa son, M. Helmholz a étudié avec plus de rigueur la nature des phénomènes physiques qui ont lieu dana l'air ou dans l'organe et auxquels correspond un certain timbre de son senti, quoique, par la nature embrouillée des phénomènes, le rapport entre le timbre du son et le genre de vibration de l'air, ne se prêle pas encore à une détermination aussi simple et aussi précise que la hauteur du son. Mon père a établi pour les voyelles un ordre semblable ô celui des couleurs du spectre, qu'ont approuvé les phonologues. (') En tout cas, c'est là un premier pas dana la voie qui peut conduire à, représenter la sensation du timbre comme quanlité mathématique.

Enfin il faut rappeler les sensations de l'organe de l'odorat et du goût, en tant qa' elles sont différentes de nature. D'une façon générale on n'a pas encore découvert pour elles un principe pouvant servir à classer soiL les excitations, soit les sensations. Les sensations de l'organe du goût, semblent se limiter h peu d'espèces, tandis que les sensations de l'organe de l'odorat sont d'espèces 1res nombreuses; de sorte que ici un principe d'ordination serait incontestablement un progrès réel.

Les quantités de sensation de première espèce qui se distinguent par l'intensité sont aux quantités de sensation de deuxième espèce qui sont classées d'après leur nature, dans le rapport suivant : chaque sensation de deuxième espèce représente une suite particulière de sensations graduées suivant l'intensité. Toute couleur, hauteur de son, tout timbre de son, toute odeur et toute sensation de goût peut représcnlcp une epèce de sensation, graduée suivant l'intensité.

12. — Les dispositions (") de l'àme en tant qu'elles peuvent être saisies comme quantités mathématiques sont certainement linéaires, — Insistons un peu sur les phénomènes de l'âme, Après les sensations viennent les dispositions, s'il est permis d'employer celte expression pour désigner les états de l'âme qui engendrent des désirs, des volitions, et en conséquence déterminent des actes, bref, comme dit Jean Millier, d'une façon générale, donnent naissance h des tendances. On ne peut méconnaître que la joie et la tristesse présentent des graduations constantes suivant l'intensité, et que, dans l'oscillation de la disposition de l'âme, le même élat se reproduit un nombre incalculable de fois, de sortes que dans les dispositions on peut parler d'une certaine égalité. Tout ce qui s'appelle

(') Cadmus oder allgemeine Alphabètik voii Félix Hent-y du Bois Reymondf page 153.

(") Stimmimgen.

passion, affection, peut sedifférentieren plus ou en moins; par. exemple crainte, angoisse, terreur, colère, fureur; et, en outre,

plaisir, volupté, etc Les sensations et perceptions sont en

vérité quelquefois aux dispositions à p6u près dans le même rapport que les excitations aux sensations variables, en ce qu'elles produisent direalement une certaine disposition : mais en général il y a entre deux excilationsde \'kxa&,\6 jugement qui nous met hors d'état de faire correspondre les dispositions à des quantités linéaires. Néanmoins elles possèdent en partie quelques-unes de leurs propriétés caractérisques à un degré surprenant. C'est ainsi que la tristesse ou la joie peuvent s'accroUre à la suite de petits incidents successifs, dont chacun pourrait ii lui seul apporter un peu de tristesse ou de joie. Je suis donc convaincu qu'on est fondé à parler dans le sens propre du mot de joie double, de mauvaise humeur double. Toutefois la conception dtes dispositions comme quantités linéaires peut être encore plus facilement attaquée que la nature mathématique des sensations.

13. — Les guajitltés qai apparaissent dans les mathématiques elles-mêmes sont en partie non linéaires. — Les quantités mathématiques citées jusqu'ici ont été trouvées toutes dans le monde extérieur ou dans le monde intérieur de l'âme. Nous nommons de pareilles quantités réelles. Mais il y a des quantités que crée la pensée humaine et qui sont en dehors de tout rapport direct avec le monde de la perception. Les procédés logiques de la combinaison des quantités, une des opérations favorites de l'esprit humain, cor^duisent h certains symboles qui en mathématiques s'appellent quantités , et qui non seulement servent, comme en général les signes mathématiques, à résumer dans un signe les conclusions qui reviennent constamment, de sorte que la vue d'un pareil signe nous épargne la récapitulation d'une série de conclusions, mais qui aussi représentent une suite discontinue ou infiniment resserrée de signes mathématiques d'une certaine espèce.

Elles sont d'un intérêt particulier, ces quantités qui naissent de l'application des opérations mathématiques au-delà des cas où elles sont naturellement valables, (*) ou bien de la poursuite

(') C'est ce que Hankel a appelé le principe de permanence clés lois formelles. Il est peut-être bien risqué de faire d^à un principe de quelque chose qui réussit étonnamment, mais par hasard, quand, pour le moment, on n'a pu pénétrer que bien incomplètement dans l'essence du phénomène. Il y a une foule de cas où les lois formelles ne peuvent être appliquées au delà du domaine' de valabilîté, sans conduire à des résultats absolument inutiles. Par exemple, la loi formelle

de serlaijift? ^.laiogies; pt auxquelles ne convient plus aucune signification numé.ique de sorte qu'elles ne peuvent jamais être prises pour des quantités linéaires. Ici, il est clair pour tout le monde qu'elles doivent leur nom de quantité uniquement à ce que leur origine et leur déflnilion permettent de calculer avec elles comme avec les quantités réelles ; le plus souvent pourtant, à la condition de restreindre ou d'altérer certaines opéralions auxquelles on peut soumettre les quantités linéaires.

Dans la quantité complexe, par exemple, la distinction de plus grand ou de plus petit disparaît pour se réfugier dans le module. « Dans l'inlini des fonctions >> ce qui fait le plus grand ou le plus petit, ce n'est pas la différence mais io quotient. {") De même toutes les branches des mathématiques s'enrichissent chaque jour de quantités que l'on peut, pour les distinguer des précédentes, appeler quantités analytiques.

14. — EnfiQ II apparaît dans les relations Mmaines des (piantltés mathématiçues qui n'ont rien de commun avec celles citées jusqu'ici. — Mais au fond, les quantités analytiques appartiennent encore elles aussi au monde de la jjerception ; les problèmes et méthodes de la mathématique satisfont tous finalement à notre tendance à comprendre mécaniquement le monde. Mêmes les doctrines les plus abstraites que l'analyse et la géométrie ont imaginées, tantftt pour suivre la marche tracée par un problème physique, tantôt les tirant de leur propre fonds, possèdent pour l'homme intelligent une valeur non moindre que telle méthode dont le but immédiat est pratique.

Dès qu'une combinaison de quantités paraît nouvelle, cela suffit pour lui accorder une valeur, car qui peut savoir si dès demain elle ne nous prodiguera pas les explications les plus désirées sur des points où nous les attendions le moins ? Sur les besoins scientifiques de l'avenir nous sommes précisément tout-â-fait hors d'état de juger parce que, comparés h la provision do choses inexplorées, soit en nous, soit hors de nous,

est valable dans une foule énorme de cas,niais au-tielà, elle ne donne rien qu'une formule fausse.

(■) Nous montrerons plus loin ca qu'il en est des quantités Infinitaires. C'est principalement la propriété de divisibilité qu'elles ne possèdent pas au sens des quantités linéaires ; attendu que de la divisibilité résulte immédiatement qu'on peut approcliôr autant qu'on veut de toute quantité linéaire donnée, — comme on approche de %in h. l'aide de la suite

13 7 -^irT-r-H-. . . . Leipz. Ann. XI Bd. IJber die Parndoxen des Infi~

nîslarcaleûls. Art. 9.

notre savoir et notre perspicacité sont une quantité infiDiment petite dans le sens le plus propre du mot.

De cette remarque qui noua servira de transition des quantités réelles aux quantités mathématiques, il ne faut pas conclure qu'à mon avis il laille renverser les limites qui séparent les jeux savants de la mathématique, et que les combinaisons du jeu d'échec puissent être considérées comme occupant le même rang scientifique que celles de l'algèbre, par exemple, parce que personne ne peut savoir pour celles-là h quoi elle9 serviront un jour. L'inégalitâ de rang, que l'on sent en général entre les combinaisons d'échecs et celles de la mathématique, me paraît, abstraction faite de l'utilité pratique, consister en ce qui suit ;

On ne peut nier que le problème du saut du cavalier, el particulièrement ce qu'on appelle les fins de parties de j'en d'échecs, avec leur conclusion qui se déduit nécessairement de la pose initiale de quelques figures, présente le caractère propre aux questions vraiment mathématiques, dans les limites d'un champ de combinaisons très restreint. Mais à la pjrtie de jeu se mêle un élément aussi nécessaire qu'il est peu matnéœaliqae, à savoir les fautes dépensée. La partie de .jeu proprement dite n'appartient pas h la mathématique parce qu'elle suppose des partenaires dont le jugement est humainement imparfait. Si on écartait les fautes, le jeu fournirait des problèmes de combinaisons sans doute sérieux, mais d'une com{.lication inouïe. On serait déjà dans l'embarras si on voulait expliquer ce qu'il faut entendre par ; un coup d'échecs pnpfait. (') Le champ de combinaisons est si restreint qu'il ne récompense pas des recherches d'une aussi extraordinaire difficulté, — pas plus que le si petit nombre de résultats nouveaux, qui sont en perspective. Il en est de même des jeux de cartes savants oîi on laisse au hasard la plus petite influence possible.

Les quantités qui intervienaent dans les jeux, diitinctes parleurs valeurs, ont de commun avec les quantités analytiques mentionnées la non réalité, mais elles n'ont pas comme celles-ci avec la réalité un rapport à peine moins étroit que beaucoup de quantités réelles ; surtout elles correspondent à des champs extraordinaire ment pauvres de combinaisons ; nous leur donnerons le nom de quantités de Jeu, et nous terminerons là cette revue des différentes espèces de quantités du monde de la perception.

(*) Entre des êtres raisonnant avec une l'âctitude parfaite toute la partie se bornerait à tirer au. sort le premier coup.

15, — Tout ce qui précÈde montre que nous avons surtout à étudier avec le plus de rigueur possible le concept de grandeur linéaire. — Ici donc se termine notre revue. Après avoir examiné suivant tant de directions ce qu'il faut entendre par grandeur matiiématique, nous avons appris à délimiter à peu près ce concept. Pour résumer en peu de mois nos résultats acquis, la rigoureuse science de la nature tend à retrouver sans cesse dans tout ce qui est variable la môme espèce de grandeurs, à savoir les quantités mathématiques linéaires, jointes au concept du nombre, et l'essence dos choses ne présente aucun obstacle invincible qui s'oppose à cette tendance.

Les champs d'études, que recouvi-e l'obscurité des phénomènes psychiques, nous montrent à côté de quelques espèces de grandeurs graduées h la manière des linéaires, des espèces auxquelles il peut arriver un jour de revêlir l'uniforme de la mesure de longueur, quoique elles soient de nature toute différente. Les autres grandeurs que nous rencontrons dans le monde de la pensée humaine ou bien sont des créations de nos méthodes de raisonnement scientiÛques, ou bien servent à notre divertissement.

On n'a pu encore donner jusqu'ici une déûnition spéciale plus précise du concept de quantité linéaire, Lenr propriété principale est, nous l'avons montré, que comme la longueur, elles se prêtent à des comparaisons de mesure, et que même finalement, elles peuvent être saisies comme une longueur, — nous n'avons pas d'ailleurs indiqué avec plus de précision ce qui caractérise la mesure des longueurs elle-même. Nous avons posé plus haut comme signé des quanlités linéaires une certaine homogénéité, en vertu de laquelle leurs différences, parties et multiples sont encore des quantités de même espèce. Enfin, il a été question de la fusion des concepts de quantité et de nombre.

Tout ceci doit être maintenant espo,sé avec beaucoup de soin car le concept de grandeur est la clé unique et nécessaire pour arriver à l'intelligence des autres concepts fondamentaux de l'analyse.

Le concept de quantité tel que nous voulons le décrire maintenantseprésentesous trois degrés différents d'abstraction. Tout d'abord c'est un concept brut, impliquant une idée vague de comparaison, qui pourrait bien nôtre pas exclusivement humain. En vue de la mesure, il s'afûne et reçoit le contenu que nous pouvons considérer comme l'origine des mathématiques. Quand, nous fondant sur l'intuition habituelle et naturelle des choses, nous l'aurons analysé le mieux possible, il semblera, et cela est pour le moment notre but, il semblera,

dis-je, que nous soyons tout-à-fait parvenus à la délimitation précise du concept de quantité et que le dernier mot là-dessus ait été dit.

Mais nous trouverons ensuite que cela n'a simplifié en rien pour nous la difflculté du concept de limite. Nous serons donc obligés encore une fois de remonter à la naissance du concept de quantité linéaire et de le poursuivre cette fois jusque dans ses racines les plus tenues. On voit ainsi que la pénétration véritable dans l'essence des deux concepts de grandeur et de limite est indivisible, ou plus exactement les deux choses s'équivalent, comme je l'ai déjà déclaré U y a longtemps. (*) Ce troisième degré de l'abstraction du concept de grandeur aide donc aussi à mettre en lumière cette remarquable opposition desdeux intuitions fondamentales propres à l'homme dont il a été question dans la préface et qui reviendront plus tard sous le nom d'idéalisme et d'empirisme.

16. — Définition plus précise da concept de ^antlté linéaire. — Puisque les quantités mathématiques linéaires dont l'extension n'a pas de limite se comportent, en tant que grandeurs, comme des longueurs, il n'est pas nécessaire d'en avoir constamment présente à l'esprit toute la multiplicité, il suffit de penser tout simplement aux longueurs. Toutefois nous conservons la désignation de quantité, n'employant l'expression plus explicite «quantité mathématique linéaire», que là où ce caractère des grandeurs devra être accentué.

Le premier degré de l'abstraction de quantité linéaire est ainsi caractérisée ;

Comparaison sans la représentation de mesure.

I. — Les quantités mathématiques linéaires sont ou bien égales ou bisn inégales. Elles sonl égales si leurs manifestaiions sensibles produisent la même impression dans les mêmes conditions. L'une est plus grande que l'autre si son imaye sensible peut-être diminuée par exhaustion de telle manière qu'elle puisse exactement coïncider avec l'autre, la chose inverse étant d'ailleurs impossible.

II. — Parmilesquantilés linéairesd'uneespèce, par exemple, pour iout':S les étendues possibles, aucune en particulier ne jouit d'une prérogative, et nous ne nous représentons ainsi comme nécessaire aucune lim.ite dans lapetitesse ou la grandeur d'une quantité.

(*) J'ai Ronunencé cette étude dans l'introduction à l'article déjà cité, Veber die paradoxen des in/înitatxakuls.

espèce réunies,

111, — ueux ou plusieurs quamiies ae même espèce reunies, donnent une nouvelle quantité de m'ente espèce, plus grande que ses éléments composants. D'un autre côté toute quantité peut-être partagée en un aussi grand nombre qu'on voudra de quantités de même espèce, dont chacune est plus petite que la quantité non

Tandis que la premii^re partie de la propriété III donne la représentation de la somme, la deuxième contient incontestablement le germe de la comparaison de mesure ; car ce qui intervient là ce n'est pas un assemblage fortuit de quantités, mais un assemblage qui fournit uu certain résultat et engendre le concept de la différence dans lequel nous trouvons distinctement le caractère de mesure — On arrive ainsi à la Comparaison aveé la r^résentation de n

IV. — Quand une quantité est plus grande qu'une deuxième, il en existe toujours une troisième de même espèce que ces deux là, qui, unie à la deuxième, reproduit la première.

Suppose-t-on égales la deuxième et la troisième, on est conduit alors par la proposition IV au partage avec propriété de mesure. Puisque nous voilà parvenus au partage en deux parties égales nous pourrions, étant donnés une quantité, en chercber une deuxième plus petite, telle que îa différence fût la moitié de la plus petite, etc.. Pourtant ce n'est guère ainsi que le genre humain a acquis les intuitions communes à tous les hommes, auxquelles nous arriverons maintenant. Mais i! suffit pour notre recherche, de pouvoir les supposer communes h tous les hommes, et il est tout à fait innliie que nous nous perdions en conjectures sur la façon dont ils les ont acquises .

Si on réunit des quantités égales, en disposant à volonté de la grandeur et du nombre de ces quantités, la quantité qui en représente la somme est également arbitraire. Nous nous représentons très-bien que, si grande que soit supposée une quantité, on peut en composer une qui la surpasse en grandeur en ajoutant des quantités égales entre elles dont la grandeur ou le nombre peuvent être arbitraires. Nous avons ensuite la représentation qu'une quantité quelconque peut-fttre composée rigoureusement à l'aide de quantités plus petites égales entre elles, dont nous pouvons choisir arbitrairement le nombre et que, ce nombre, croissant, la petitesse des parties tombe audessous de toute limite.

Nous possédons ces représentations. Elles nous sont aussi naturelles et familières que celles qui concernent nos besoins physiques. Est-ce là une forme de pensée innée ou implantée chea l'individu par transmission, ou acquise par une observation

personnelle, cela nous est tout aussi indifférent que la manière dont elle résulte de représentations plus simples.

Les propriétés de l'addition et du partage des quantités sont les propriétés fondaoïentales de l'analyse, mais en particulier cela est vrai da la divlsihilité illimitée des quantités maihémathiques linéaires, qui contient in nuce le concept de limite. Ajoutons maintenant aux propriéLés données plus haut celles qui suivent:

V. — On peut toujours additionner des quantités égales ou inégales, dont la pltis petite ne doit paf tomber au-dessous d'une quantité prise aussi petite qu'on a voulu, en nomAre suffisant pour atteindre une quantitéqui n'estpas inférieureà une quelconque de même espèce, donnée d'avance.

VI. — Une quantité peut être d'une foule de manières, partagée en plus petites, et parmi ces divisions, se distingue celle qui se fait en deux ou trois, ou en un plus grand nombre de parties égales. Le partage d'aune quantité peut se continuer jusqu'à ce que toutes les parties deviennent plus petites qu'une quantité de même espèce supposée aussi petite que l'on veut. îyais si loin qu'on puisse supposer poussée ta division, les parties sont toujours des quantités de même espèce.

Je veux d'ailleurs remarquer expressément (jue dans le tableau précédent je ne me suis pas proposé de ramoner les propriétés du concept à leur mesure nécessaire et d'acquérir A'msïle plus petit nombre possible de perceptions, sur lesquelles notre pensée fondant son travail nous fournit la représentation de la quantité malhématique linéaire, comme nous la tirons sans doute de perceptions variées et sans nombre. — Cela exigerait une recherche d'une nature exlraordinairement déhcate, qui ncius égarerait. On ne pourrait d'ailleurs répondre h la question concernant le plus petit nombre nécessaire de propriétés que par une étude approfondie et complète du concept de grandeur. Mon but a été seulement de donner une définition telle que chacun y reconnaisse le concept qu'il possède des quantités mathématiques linéaires de la géométrie, et, suivant l'étendue de ses connaissances, les propriétés d'autres quantités linéaires innombrables qu'olTrent les branches les plus diverses delà science.

. Aux premières représentations brutes de la quantité mathématique linéaire, c'est-à dire vraisemblement à la représentaiion fondamentale la plus ancienne et la plus répandue des choses qui, ne différant qu'en grandeur ou en petitesse, se prêtent tout de suite à une mesure plus rigoureuse, s'est joint incontestablement le concept d'unité de mesure, et l'unité a été

suivie des nombres fraetionnaii-es. Le fait de mesurer avec les unilés a produit la science de k mesure, et celle-ci, sans cesse invoquée dans des recherches et des observations dans le ciel et sur la terre, a généralisé ses problèmes, agrandi ses vues, perfectionné ses méthodes et toujours augmenté l'ensemble de connaissances et de tliéories,d'où les mathématiques sont sorties dans les derniers siècles comme une science indépendante.

Considérons donc encore l'union des concepts de quantité elde nonbre: Ces explications préliminaires sur le concept de quantité y trouveront leur conclusion.

Quantité, nombre et formalisme littéral.

17. — L'unité et le un. — Pour comparer enLre elles plus de deux quantités mathématiques, et aussi pour pouvoir s'exprimer avec une parfaite précision siir la variation des quantités, il faut fixer l'unité de grandeur, ou simplement l'unité, c'est-à-dire une quantité déterminée parmi celles d'une certaine espèce à laquelle on compare les autres et qui sert à les mesurer. Ce n'est pas seulement la divisibihté des grandeurs qui engendre le concept de l'unité, c'est aussi, comme je l'ai observé, l'attention fixée simultanément sur plusieurs quantités.

Un certain degré de développement de la science de la mesure exigea un jour la division indéfinie de l'unité pour qu'on pût comparer entre elles d'une façon rigoureuse à I aide de l'unité des quantités différentes. C'est là évidemment l'origine des nombres fractionnaires qui, dans la représentation, rappellent en efîet toujours un certain partage. On aura assurément à distinguer ici encore au moins deux degrés de développement du concept. Les nombres fractionnaires les plus simples correspondent probablement à un degPé de culture à peine moins avancé que les nombres entiers ; le besoin journalier de partager la nourriture ou le butin ou toute autre chose a dû y conduire ; tandis que les fractions qui ont de plus grands numérateurs el dénominateurs, et surtout le concept développé de la iraction, appartiennent déjà à la science de la .mesure. Il est instructif d'opposer l'un à l'autre le. concept de a quantité dans sa liaison avec les nombres fractionnaires, et 'e concept des nombres entiers.

Ce qui sert de base au concept du nombre entier, c'est le un qui est profondément distinct de l'unité. Comme le un, est le point de départ des nombres entiers, l'unité, est celui des nombres fractionnaires; Toute uni'é est un un, mais tout un n'est pas une unité. Et il est heureux que pour ces deux concepts absolument distincts, nous ayons en même temps deux mots à notre disposition. Do reste ces deux sortes de

nombres, nombres entiers et nombres fractionnaires, finissent par ne former qu'une seule et même suite par l'intermédiaire du concept de mesure. Car bien que l'idée du nombre entier naisse indépendamment du concept de quantité, et n'ait directement rien de commun avec lui, le concept de quantitt* tel que nous l'avons décrit suppose déjà le concept de nombre d'objets et complète ce concept de nombre à l'aide des nombres fractionnaires.

On est conduit, par ce qui précède, soit dit en passant, h voir dans la théorie des nombres, en tant qu'elle se borne k l'étude des rapports et propriétés des nombres entiers, une science existant en principe, en dehors de l'analyse, et qui tôt ou tard formera un tout dislinct. Car si nombreux que puissent être ses points de contact avec l'analyse, si utile que celle-ci puisse lui être encore, — (ce qui peut donner pour quelque jour l'espoir d'une riche compensation), on est cependant fort tenté de croire que la théorie des nombres entiers peut atteindre un terme qui nous paraît aujourd'hui inaccessible & l'analyse, et qu'elle parviendra un jour à tirer d'elle-même la démonstration de tous ses théorèmes. Je ne songe naturellement pas à tenir pour limités les rapports des nombres entiers et de l'analyse. Dans tout phénomène variable il peut arriver que des nombres entiers viennent attirer notre attention et acquièrent une impédance décisive.

18. — Des nombres en tant que signes et quantités, et du formalisme. — Gomme les nombres fractionnaires ont dû naître du partage de l'unité qu'a exigé la mesure, on voit aussi, dès qu'on veut y attacher un sens, qu'ils sont inséparables de la représentation d'objets partagés. D'après cela il doit paraître contre nature de vouloir construire l'analyse au moyen de nombres purs, sans tenir compte de leur source ; les concepts de quantité d'objets et de grandeur. Combien une pareille séparation est artificielle, on le voit de la façon la plus nette quand il s'agit de la limite irrationnelle d'une suite de simples

nombres. Les nombres 1, 3, 3... -o"'-ô-*** *ô~"' ^°^^ °" ^'^" des signes de quantités réelles, ou bien simplement des figures dont on peut certainement se servir comme de quantités de jeu, (article 14). Or il est vrai que, lorsque nous sommes plongés dans un calcul numérique ou dans un problème d'algèbre, il ne nous vient pas à l'idée devoir constamment des quantités réelles sous nos nombres ou nos lettres, qui représentent des nombres laissés indéterminés. Pourtant, dans le développement des concepts analytiques fondamentaux, cela ne nous autorise pas plus à faire abstraction de leur origine véritable, que la philo-

Sophie du langage ne saurait, pour des raisons semblables, se montrer satisfaite à la constatation d'une langue toute Ibrmée. ho. représentation du chiffre vient dans le travail rapide de ia

fensée, à la place de celle d'un rapport à Tunité de grandeur. 1 en est de même en réalité du langage, en tant que les mots sont devenus des représentations indépendantes. Pendant qu'on écrit ou qu'on parie, à la place des représentations réelles défilent en grande partie les représentations do mois ellesmêmes, quoique durant ces actes, comme on le voit en s'observanttant soit peu soi-même, telle ou telle des représentations correspondantes emmagasinées dans la mémoire s'échappe et dépasse lo seuil de la conscience.

De ces deux questions, l'étude de la texture du langage tout formé et la recherche de l'origine des mois et des formes grammaticales dans la formation des concepts humains, on pourrait se croire fondé à résoudre la dernière, par exemple, en supposant le langage inné chez l'homme, parce que pi'écisément on trouve que le langage tout formé s'est en partie dégagé des représentations que les mots désignent : Assurémenton se ferait ainsi grâce de la moitié de la besogne. C'est h peu près ce que ferait l'analyste qui étudierait les fondements de sa science et qui, s'affranchissant du concept de grandeur, ne voudrait rien voir en analyse, que des symboles numériques et littéraux.

L'insuffisance du forinalismo pour concevoir le sens des opérations arithmétiques les plus simples ressort enire autres de la multiplication des fractions. Comment arrive-t-on à la règle de la multiplication des fractions, suivant laquelle, par exemple, -^ est le produit de -5- et de -g- . Le détour que

fait Euter cache la dlFÛculté (') car ce n'est pas ainsi que la règle est née. On cherche vainement aussi, semble-t-il, chez les plus anciens auteurs, une explication du sens primitif de la règle. (")

[') Euler iléfinit »■ X F-les -g ds'^ , sans doute da cette feçon le

résultat est établi. [Voyez Algèbre d'Eiilei', page 106).

j") Poiu- savoir comment les plus anciens traités de calcul présentent la règle de mumplication, je priai M. Caiitor, à Heidelberg, de me renseigner. 11 eut la bonté de me donner la réponse que voici : u Le plus ancien traité de calcul que nous ayons de l'an 1700 environ avant J.-C. (Papyrus de Ahmos, traduit par August Eisenlohr) renferme des multiplications de fractions de toutes sortes, et le plus souvent, en vérité, sur des nombres abstraits. On n'y trouve pas de fondement à l'égalité

r-X-s^^T-s Le calcul est ainsi conduit qucT- & 5- sontégalemcntdécom-

Mais si on renonce à lirer une idée de purs symboles, et qu'on voie dans les fractions ce qu'elles sont réellement, c'est-à-dire des parties d'unités de grandeurs linéaires, l'origine vraisemblable de cette règle apparaît alors aux yeux de tous avec !a plus grande clarté. A côté de l'unité de longueur, l'unité de surface parut aussi nécessaire pour mesurer les surfaces planes, et ce qui fui reconnu comme le plus conforme à ce but c'est le carré, dont la forme ramène intuitivement à la mesure des longueurs. L'aire la plus simple de forme après le carré, le rectangle, quand les côtés étaient multiples de ceux du carré unité, donnait l'image directe de la multiplication des nombres entiers. Les rectangles plus petit-s que ce carré en exigeaient le partage et conduisaient ainsi à îa multiplication des fractions. Dans co regard en arrière, nous supposons, bien entendu, qu'il n'intervtentque des rapports rationnels de longueur. — Quelque

esprit plus ingénieux partage le rectangle de côtés -^ et -^

ainsi que le carré unité en carrés de côté j^- pour les rendre comparables l'un à l'autre, et il reconnaît aussitôt que le rectangle vaut les ■TË'du carré. On croit les voir, îes chasseurs qui établissent domicile, mettre trêve à leurs disputes et désor-

poséesen fractions partielles de mimérateur 1. 7"^= r ^ S~

s. LIi.

On réunit ea une seule expresaioa tous les produits partiels, soit en écrivant simplement les uns â la suite des autres les éléments de tous les produits ordonnés suivant leur grandeur, soit en effectuant l'addition

de quelques uns, par exemple, en remplaçant -^ — | — a-p^i" "0- 1 — soit

enfin en les roduisant au même dénominafeiir. On obtient ainsi natu-

jellcment k-j .

mais 36 partager entre eux la propriété d'après celte règle. En tous cas, la multiplicatioQ dosfracl'ons devient ainsi une suite toute naturelle et extrêmement olaire de la multiplication des. nombres entiers, et on peut très bien l'avoir trouvée aux premières époques de la science préhistorique de la mesure.

Du reste, de ce que je viens d'alléguer en faveur de la vraie signification des symboles maLhémaliques, il ne faut pas conclure que je méconnais l'utilité des recherehes sur ce qu on peut appeler le mécanisme du calcul, recherches par lesquelles Hamilton, Grassmann et d'autres, notamment de nos jours M. Weierstrass, ont jeté un grand jour sur la nature des opérations composées et des quantités complexes. Mais pour bien comprendre la portée de ces recherches il faut jeter un coup d'ceil en arrière sur les premiers développements historiques de la science. Les opérations analytiques les plus simples sur une ou deux quantités, l'addition, la soustraction et la division, qui probablement a déjà pour origine la soustraction repétée, ont conduit par leur répétition et leur extension à plusieurs quantités, S l'algèbre, au calcul des puissances, aux logarithmes, au symbole imaginaire. D'un autre côté, la trigonométrie est venue se joindre à ces théories en s'amalgamant entièrement avec elles. Ajoutons la création des opérations inlînics et de l'analyse infinitésimale et nous aurons énuméré les conquêtes les plus importantes qu'a faites au cours des siècles le génie analytique humain. Or tout cela n'a nullement été construit a priori. Au contraire, on ne saurait douter, et l'on peut s'en convaincre historiquement, que l'analyse est une science expérimentale en tact qu'elle a réalisé ses progrès en tâtonnant à pas lents, et d'essais en essais qui ne réuîsisaaicnt pas toujours. Ordinairement, des problèmes simples sur des quantités réelles suggéraient des opérations, élargies ensuite par induction, jusqu à former des méthodes que l'on se croyait en droit de lenir pour sûres, sans avoir môme songé à la nécessité d'une démonstration, comme par exemple la décomposition des polynômes en facteurs simples. C'est ainsi que les choses se sont passées en algèbre durant des siècles, que nous avons presque perdus de vue, et aussi dans des temps plus rapprochés dans le domaine des opérations infinies, oii seulement depuis Gauss, Cauchy, Abel et Lejeune Dirichlet, on a senti le besoin de justiRor les méthodes fournies par l'induction. Le fait est qu'on se trouve lout-à-coup en face du. spectacle stupéfiant de l'analyse toute formée, avec ses méthodes merveilleuses usant en partie de symboles purement littéraux, mais conduisant toujours à des résultats corrects. Nous apprenons et nous employons cette science, dont la genèse primordiale nous échappe complètement, en ne cherchant de démonstra-

lions que pour des faits isolés, démonstrations qui se fondent elles-mêmes sur le fait de l'analyse préexistante. Et ici surgit encore une question : La forme actuelle de l'analyse est-elle nécessaire ? Ne pourrait-on pas inventer d'autres signes représentant d'autres combinaisons de conclusions et d'autres symboles littéraux, peut-être plus profitables encore que les combinaisons et les symboles actuels ? Or, quand on réfléchit sur cet ensemble de questions que nous présente le fait de l'analyse toute formée, il faut évidemment distinguer deux choses ; les opérations simples dont la répétition a conduit au calcul analytique el ce calcul lui même. Aux preinières, il faut adjoindre l'e'isence des opérations infinies les plus simples, notamment le concept de la limite, qui est le principal objet de ce livre.

Pour ne pas trop embrasser à la fols, il convient de traiter séparément ces deux genres de questions. En effet, les recherches sur les opérations simples et sur le concept de la limite roulent sur les questions les plus abstraites de la connaissance, tandis que le mécanisme du calcul peut-être traité en partant de données purementlittérales.Voicicomment onpeutdéfinir le problème que présente le mécanisme du calcul ; Réduire au plus peHt nombre possible les règles simples entre les lettres ou signes introduits pour représenter les indéterminées du calcul ; ces règles sont censées permettre d'exécuter toutes les opéralions qu'il s'agit d'expliquer, sous cette condition que si l'on suppose données des relations quelconques, fixées par des équations, entre les lettres ou signes, ces relations subsistent durant tout le calcul (transformation des équations originaires au moyen des opérations simples ou composées), et peuvent être vérifiées pour chaque tranformation que le calcul fait paraître. En concevant ainsi le mécanisme du calcul, on peut aussi partir d'opérations simples qui ne découlent plus du concept de la quantité mathématique linéaire, mais qui, en satisfaisant à la seconde condition, peuvent servir de base à un calcul tout-à-i'ait légitime, et conduisent nécessairement à des résultats corrects, comme cela a lieu pour la multiplication intérieure de Grassmann. Dans le grand nombre de traités et de mémoires qui ont paru sur ce sujet, les auteurs ont souvent confondu les deux problèmos, celui de la métaphysique des opérations simples, et celui du mécanisme du calcul, et la , clarté des idées n'y a point gagné. Dans toute cette littérature il ne s'agit d'ailleurs guère que du calcul entre quantités supposées finies. On y peut ramener, comme nous le verrons dans la suite, le calcul des différentielles, qui a tant intrigué les géomètres du siècle passé. Mais reste encore l'analyse des opérations infinies et des variables continues. Ici encore on a

essayé de séparer une analyse purement littérale des concepts de grandeur et de limite. C'est Heine qui dans ses éléments de l'enseignement des propriétés des fonctions (') introduit une lettre pour désigner la limite d'une opération constatée comme convergente par le principe général de convergence, lettre qui figure comme les autres lettres dans le calcul. Par là même il met hors de discussion toute la métaphysique de la limite, etc. Mais si.comme je l'ai exposé plus haut.une pareille séparation peut-être utile pour l'analyse algébrique, attendu que les opérations élémentaires y forment un problème de connaissance à part, qui peut être facilement détaché du problème littéral sur le mécanisme du calcul, espèce de jeu logique entre de purs symboles, elle paraît l'être moins pour le calcul des fonctions dans leur conception la plus générale. Un esprit qui aime à approfondir les choses ne saurait en être satisfait. Ce n'est pas à dire, que pour les besoins de la pratique ordinaire, pour l'enseignement élémentaire, où l'on n'a affaire qu h des ibnclions régulières, il faille remonter aux questions subtiles relatives & la continuité et à. la limite. Un professeur chargé d'enseigner l'anglais à un élève négociant ne commencera pas par luifairc un cours sur lalinguistiquegénéraleet sur l'origine de la langue anglaise en particulier. Mais quand il s'agit de traiter toutes les questions qu'ofi're la théorie des fonctions de quelque nature qu'elles soient, par exemple ceriaines questions qui ont trait aux solutions des équations aux différentielles partielles, on ne pourra guère se dispenser de remonter aux concepts fondamentaux, et quand même on le pourrait on ne serait pas au terme de ses vœux, on sentirait qu'on n'a pas pénétré à fond la matière. En somme, si pour l'analyse algébrique le problème du mécanisme du calcul offre peut-être plus d'attraits, pour l'analyse infinitésimale c'est bien le problème de la connaissance qui présente le principal intérêt, et l'importance décisive. Et voilà un point saillant de la question.

Un squelette purement formel et littéral de l'analyse, auquel se ramène la séparation du signe analytique d'avec la grandeur, finirait en effet par faire dégénérer celte science, qui en vérité est une science naturelle quoiqu'elle borne ses recherches auxpropriétés les plus générales des choses perçues, en un simple jeu de symboles, ofi les signes écrits prendraient des significations arbitraires comme les pièces du Jeu d'échecs ou les cartes d jouer. Si intéressant que puisse Être un pareil jeu, si profitable et même nécessaire qu'il soit aux fins de t'analyse, pour suivre jusqu'à leurs dernières conséquences littérales les règles du calcul des symboles, nées de la repré-

(*} Die ElemenCe der FuncUonenlehi-e, J. de Borehardt. — Yol. 74.

senlation de quantité, celte mathématique littérale, quand eîle serait complètement arrachée du sol ob elle a poussé, )ie .tarderait pas à s'épuiser en une croissance inféconde, tandis que la science, si bien nommée par Gauss science des grandeurs, a, dans le domaine naturel de la perception humaine dont l'extension va toujours grandissant, une source intarissable de nouveaux objets d'étude, et d'impulsions l'écondes. Sans aucun doule, à l'aide de prétendus axiomes, de conventions, â.& philosophâmes imaginés ad hoc, d'élargissements inconcevables donnés à des concepts très clairs h l'origme, on pourra construire un système supplémentaire d'aritbmétique, semblable en tous points à celui qui est né du concept de grandeur pour garantir ainsi les calculs mathémathiques comme par un cordon de dogmes et de déflnitions défensives du domaine psychologique. Une pénétration peu ordinaire peut avoir été apportée dans dépareilles constructions Seulement on pourrait aussi de celte manière inventer d'autres systèmes arithmétiques, comme cela s'est fait. L'arithmétique ordinaire est précisément la seule qui réponde au concept de grandeur linéaire ; elle en est, pour ainsi dire, la première manifestation, tandis que l'analyse avec le concept de limite en avant en forme le développement le plus élevé. Aussi ne parviendra-t-on pas à aplanir à l'aide du symbolisme ces difficultés du concept de limite, que bientôt et sans crainte nous attaquerons de front. Car tout analyste qui cache autre chose qu'un faiseur de combinaisons voudra remonter à l'origine dujeu do symboles, et alors se trouvera de nouveau placé en face dos problèmes qu'il avait tournés.

Il nous faudra d'ailleurs revenir sur cotte matière quand l'Idéaliste et l'Empiriste auront exposé leurs systèmes, pour montrer leur rapport au fameux système arithmétique de M. Kronecker qui parait aussi répondre aux vues de M. de Helmholtz, comme cela ressort de deux mémoires, que ces éminents géomètres viennent de publier.

Des hommes non mathématiciens ont assez souvent cherché i éclairer les mathématiciens sur les cmcepts fondamentaux de leur propre science. Nous avons vu en géométrie que c'est en diflnitive le travail sérieux et bien dirigé des mathématiciens eux-mêmes qui a débarrassé la voie conduisant des perceptions des sens aux propositions de la science. De même la recherche la plus scrupuleuse peut seule supprimer toute discontinuité entre les concepts fondamentaux de l'analyse et notre système de représentations immédiates. C'est une question scientifique comme une autre, qui exige avec une connaissance suffisante des choses toute la puissance de travail dont nous sommes capables.

1 9. — Comment il faut eotendre en définitive le problême qui a pour ohjet le concept de limite, — Les considérations qui procèdent nous conduisent donc finalement à comprendre comme il suit notre problème. — Nous avons à démontrer la proposition que voici :

Tout nombre décimal o, «i «ii ■ ■ *n =: 77-. + 77I3 + ■ ■ ■ t^,

s'approche autant qu'on veut qnand n cfotl suffisamment, d'une

valeur limite Sous les fractions 0, œ^; 0, «i a^ ; il fautentendre

des multiples de dixièmes, de centièmes,,., d'une longueur unité dont les extrémités seraient et / . Si on porte tes longueurs 0, «i; 0, a, «2 , ... sur l'unité de longueur 0. . .i , à partir du point 0, leurs extrémités tournées du côté du point I vont en se resserrant de plus en plus, et le point limite ferme la suite qui se resserre indéfiniment de telle sorte que toutes les extrémités sont situées par rapport à ce point limite du même côté que le zéro, les distances des poinis o, a.,; o, 0.1 <ii.i; ... au point limite tombant au-dessous de toute valeur.

Cette conception géométrique du problème doit maintenant ne p&sêtreunehypolbèse.ni impliquer aucune restriction; mais en traitant dans ce cliapitre du concept de grandeur. J'ai eu précisément pour but de montrer que dans le champ si parfaitement illimité de la pensée nous ne pouvons imaginer sous 1(1 limite hypothélhiqiie rien autre qu'une (juanlilé linéaire représe:) table, ainsi, ce qui atteint très bien ce but, une longueur. Une limite numérique abstraite est une façon de parler dénuée de sens ; nous ne faisons pas tort le moins du monde h la généralité de notre recherche, quand sous la limite hypothétique nous imaginons une quantité mathématique linéaire et donnons au problème l'énoncé qui précède.

Et maintenant j'ouvre la discussion de l'Idéaliste et de l'EmpirisIe sur le problème proposé.

Les deux conceptions Idéaliste et EmpiHsIe de la limite et de la grandeur

Système idéeiliste L'IDÉALISTE

20. — ConcepI de limite. — L'existenea de la llmife a besoin d'une démonstration. — Je pose la longueur exacte comme fondement de la science des grandeurs, et je me représente comme unité un segment de ligne droite parfaitement délimité, dont je désignerai les extrémités par et i. Sur cette étendue, nous connaissons une foule innombrable de points déterminés de différentes manières; parmi eux il laut considérer particulièrement ces sortes de points dont nous pouvons trouver des représentants dans toute portion, si petite qu'elle soit, de la longueur unité. Ce sont les longueurs rationnelles, c'estrà-dire des demis, des tiers, des quarts, etc.. ou bien des multiples de ces fractions de l'unité de longueur. Ce sontaussi les longueurs en quantité innombrable susceptibles d'être oonslruiles,qui ne sont pas des fractions rationnelles de l'unité, mais des racines de nombres rationnels ainsi que des fractions rationnelles et des multiples de ces racines. La pensée peut multiplier indéfiniment le nombre de ces espèces de points, et la longue.ur unité se recouvre dans notre représeniation d'une foule de points de plus en plus dense. Seulement nous avons beau faire croître le nombre de ces points, notre pensée attentive ne voit jamais deux points coïncider, toujours au contraire deux points voisins restent séparés par un segment de ligne droite qui, abstraction faite de sa longueur, ressemble complètement h la longueur unité. C'est là l'image qui accompagne toujours ma représentation de grandeur.

Je ne viens de citer comme pointa distincts de l'étendue 0....1 que les fractions rationnelles de l'unité, ainsi que des lignes qu'on peut construire théoriquement.

Dans ce qui suit, nous considérerons ces points comme donnés et comme déjà connus, et il nous faudra tout de suite décrire

et étendre la manière dont de nouveaux points se rattaclient à ceux-lS, L'origine des, points dont il s'agira correspond à la considération du passage analytique à la limite. Le nouveau point détermine aup l'unité une éïendue qui est la prétendue limite c'est-à-dire le terme d'une suite d'étendues qui difîferent de moins en moins les unes des autres.

Soit «i.Hî. . . des nombres pris dans la suite 0, I, 2, ... 9 et soit donnée pour la suile

"■•'"' ■'■■ = rô + m+-

une loi qui permette de la continuer indéfiniment. Quand les B^ d'un rang déterminé reviennenl, périodiquement, la somme o,ai Kj ,.K,, .lorsque^ augmente, s'approche d'un certain nombre rationnel qu'on apprend à connaître dans les mathématiques élémentaires. Si on imagine maintenant portées sur l'unité de longueur 0... l, à partir deO, les étendues o, a,; o, «, «j ; etc.. o, a, tta ...oLp ; .... elles sont elles-mêmes rationnelles puisqu'elles sont des multiples du dixième, du centième, etc.. de la longueur unité ; et dans le cas de la périodicité du nombre décimal illimité, la suite précédente possède une limite L, qui est aussi représentée par un point rationnel sur l'étendue 0...1, et qui remplit cetie condition que lorsque p augmente la différence L — o, a, oj . . ,a^ devientaussi petite que l'on veut. Mais si la suile des «„ n'est pas périodique et que aucune des espèces de points dont nous avons admis l'existence ne contienne un point L qui remplisse la condition de limite relative à/- — o, aiaa...a,„ c'est alors que se place la proposition dont nous avons h nous occuner ici et qui est celle-ci : La

suite o, ffi, ; o, on a,, ; ,. etc., détermineunnouveaupointsur

l'unité de longueur, c'est-à-dire que cette suite l'introduit de fOFCe dans le domaine de nos représentations; le point s'appelle alfjra la limite de cette suite. Il n'appartient pas, par hypothèse, aux espèces de points considérés comme connus ; il est donc hors de doute que son existence doit-être démontrée tout d'abord, et son existence est et restera une hypothèse, si une pareille démonstration no réussit pas ; c'est là maintenant ce qu'il nous faut examiner.

21 . — Concept de limite. Des démonstrations de l'existence de la limite. — J'ai beau chercher, je ne vois que deux points de vue principaux pour démontrer l'existence de la Umite L de o, 9.1 ixi . . . dj, . En premier lieu îe point limite L s'offre comme la limite d'une étendue, dont la longueur décroît indéfiniment el tombe au-dessous de toute quantité. En .second lieu ii est saisi par l'esprit comme le point de séparation dedeux étendues.

Voici comment on peut exposer la première démonsLralion : Toul d'abord on a, poup toute valeur de p et de q.

o, a, (.,... et, <o,«,a,... K +1) parce que

lOp ~ 10*+' ~ 10^+* ^ ■

et, d'après l'hypothèse que c, «1 «s ... n'est pas un nombre

rationnel, les a ne seront à partir d'aucun rang tous égaux à 9.

Si on construit ainsi sur la longueur unité une étendue Sj,

de longueur -j^ i reliant les points o, *, a^ ... œ et o, cc^ «^ . .

(oLp -]- 1), toutes les étendues o, ai œj ... a,, ai grand que puisse être n, se termineront on des pointa situés sur % , de sorte que la longueur limite hypothétique L (définie par ce fait que L — o, ci-i a^ . . .e„ , pour les valeurs croissantes de n, peut devenir aussi petite que l'on veut) doit tomber elle aussi dans cette étendue Sj, . Imaginons maintenant qu'on donne h. p des valeurs de plus en plus grandes , s^ deviendra aussi petit qu'on voudra et chaque nouvelle Sp sera contenue dans toutes les précédentes. De la sorte, le point hypothétique se laisse resserrer entre des limites de plus en plus étroites. Faisons mainlenant tendre l'étendue Sy vers zéro, ses extrémités finiront par se confondre on un même point et ce sera le point L hypothétique, dont l'existence se trouverait ainsi démontrée,

11 n'y a pourtant Ih point de démonstration, mais bien une surprise. En effet, l'étendue Sp est et reste indéfiniment limitée par des points appartenant aux espèces supposées données. Nos hypothèses nous autorisent sans doute à diminuer indéfiniment l'étendue Sp ; mais c'est là une opération do !a pensée qui ne change en rien la nature denotro représentation. Grande ou petite, l'étendue s,, reste toujours une étendue comprise entre deux points rationnels. Si maintenant tout-à-coup et sans londement logique, nous substituons h.V étendue un point, c'est là un acte par lequel nous faisons clairement et gratuitement intervenir une représentation nouvelle ; nous la laissons suivre immédiatement la première et anticiper précisément sur ce qui devait être démontré. Une rencontre graduelle de deux points, expression dont on se sert et qui semble très bien traduire le fait, est absolument un non sens. Ou bien on a des points séparés par une étendue, ou bien on n'a qu'un seul point, il n'y a pas de milieu.

L'autre méthode de démonstration est la suivante : Les points que nou^ imaginons donnés sur l'étendue unité se partagent en 3 catégories : 1° ceux qui finiront par se trouver couverts parles étendues que l'on porte successivement sur la

longueur 0... 1, savoir, o, ai, 0, Kl Kj ,,, eto ; 2° Les pointspour lesquels cela n'arrivera jaaiais. 3° Les points hypothétiques de telle nature qu'ils n'appartiennent à aucune de ces deux premiôi-es catégories. li est tout d'abord facile de voir que la troisième catégorie contient ou pas de points ou un point au plus ; car on peut faire les deux remarques suivantes : i" dès qu'un point appartient h la première catégorie, il en est de Tûème de tous ceux qui se trouvent entre zéro et lui, et dès qu'un point appartient à la dTuxième, il en est de même de tous ceux qui se trouvent entre lui et un. 2" tous les points décimaux appartiennent à l'une des catégories 1 ou 2.

Il s'ensuit qu'il ne saurait y avoir 2 poinls dû la troisième catégorie, car on pourrait imaginer des points décimaux dans l'intervalle qui les séparerait ; ces points seraient ou non couverts dans la suite des constructions o, ai o, cti a^ ... et il en serait de môme des deux poinls en question ce qui est contre l'hypothèse. Ainsi la catégorie 3 ne peut contenir que un ou aucun point.

De la remarque(l) résulte maintenant que les étendues sur lesquelles se trouvent les points de l'une et de l'autre catégorie sont sans interruption de sorte que le point de 3™" espèce, s'il existe, ne peut être que l'extrémité commune aux deux étendues. Mais si l'étendue unité se partage en deux portions égales telles que les points de l'une finiront par être couverts, tandis que les points de l'autre ne le seront jamais, il faut que leur extrémité commune soit également la limite hypothétique L, car ce point précisément satisfait h la condition

Z-m {L—o, ai oLj . . . ïp) =: ; d'où il suit encore qu'un point de 3"" espèce est impossible paroeque le point limite n'est jamais atteint.

Si convaincante que nous paraisse toute cette explication, elle cache encore cependant une surprise, quoique un peu moins visible que la prétendue première démonstration; j'avouerai même que pendant un certain temps je me suis imaginéavoir réellement découvert là la preuve de la limite.

Pour caractériser d'un mot le point faible de la démonstration, elle serait absolument rigoureuse si nous élargissions encore le concept de quantité géométrique par cette proposition complémentaire « que la longueur est formée de poinls n Cela va tout de suite devenir clair.

Je remarque d'abord que jusqu'à la phrase qui commence par ces mots : « de la remarque (1) résulte maintenant que....» le raisonnement ne souffre aucune objection. C'est seulement la conclusion de la démonstration qui n'est plus satisfaisante.

Nous nous plaçons en un point d'où nous pourrons juger la valeur de pareilles démonstrations, même sans examiner les conclusions séparément, ennous allachant à ce qui peul-êLre démontré d'une façon générale sur le fond de notre représentalion de grandeur, telle qu'elle a élé donnée au début de l'exposé du système l'idéaliste.

Le concept de quantité supposé ne nous fournitrien de plus qu'une longueur précise ... 1, et, surcelle-ei, des points innombrables que nous pouvons sans doute imafjiner aussi resserrées que nous voudrons ; mais, comme je l'ai dit, dans tant effort d'imagination, qui correspond à un image déterminée passant devant îa conscience sans le moindre nuage, nous nous représentons toujours entre deux points voisins un segment de ligne droite qui coïncide exactement suivant son étendue avec l'unité. Ce que nous avons dit des nombres .décimaux, à savoir qu'ils doivent appartenir ou a la catégorie 1 ou à la catégorie 2, est vrai de toute espèce de points dont nous supposons que se composent les points donnés sur la longueur unité. Ainsi nous pouvons dire que les points donnés appartiennent îi la catégorie i jusqu'à un point N' incl'.isivement et à la catégorie 2 à partir d'an point TV' inclusivement, de aorte que, en outre, N et N' sont aussi rapprochés qu'on veut l'un et de l'autre, et qu'enfln entre eux il ne peut y avoir aucun des points considérés comme donnés. Voilà, en toute rigueur, absolument tout ce qu'on peut démontrer et ce qu'a démontré le raisonnement précédent.

La surprise dès lors réside évidemment on ceci, que nous admettons des étendues déterminées par les points que l'on suppose connus, sans que les extrémités en soient donni^es. Une étendue n'est déterminée que par ses deux extrémités. Les deux étendues en lesquelles se divise l'unité 0.,,1, ont certainement les extrémités et 1, mais l'extrémité commune n'est pas déterminée par ta première partie de la démonstration. L'une des étendues n est précisément déterminée que jusqu'à un point iVde la suite des points représentés, et i'autre à partir d'un point JV' analogue. Sur la partie de ces étendues situées entre ces deux points, on ne découvre rien. Nous pourrons bien par l'imagination augmenter à volonté la densité de la suite des points. Il viendra, à la place des étendues JV. ..li', d'autres étendues JV,.., M' qui sont toujours contenues dans les précédentes et tombent en petitesse audessous de toute limite. Mais il n'ya jamais que des étendues; et, comme nous l'avons expressément relevé dans le premier mode de démonstration, cette façon de diminuer ne saurait rien changer fi la nature essentielle delà représentation; au contraire, le fait d'annuler l'élendue ou de la transformer en

un point est un acte arbitraire qui ne souffre pas une démonstration réelle.

Mais si nous changeons esseoliellemetil la représentation de la longueur, et que nous la concevions non aeuleuient comme le support de points; déjà connus, mais comme un agrégat de points si nous abandonnons cette représentation suivant laquelle ligne et point sont quelque chose de tout-àfait difTérent, la critique de la deuxième démonstration croule évidemment, et il f'-iut reconnaître à celle-ci une entière rigueur. Nous ne pouvons peut-être pas nous représenter par l'imagination tous les points dont l'étendue se compose; mais il sufflt qu'ils existent réellement. Ils se décomposent toujours en deux catégories suivant qu'il leur arrivera d'être une fois ou de n'être jamais atteint, et de la troisième catégorie, il ne pourra y en avoir qu'un ; mais qui, étant donné qu'un point n'a pas de longueur, n'entre pas en considération et doit nécessairement coïncider avec l'extrémité commune aux deux étendues. Car l'extrémité de l'éfeoduo des points atteints no Rera elle-même jamais atteinte, c'est-à-dire ne touchera jamais à la limite.

On sent d'ailleurs qu'en considérant la longueur comme formée de points on suppose par cela même avant tout l'existence de toute longueur limite, et que dès lors cette représentation doit engendrer une suite d'idées toute difîérente do celle qui nous préoccupe ici.

Mais cette représentt,iion n'est ni claire ni nette. On peut bien, pour l'expliquer, citer l'image d'un crayon dont la pointe trace un trait iin. Mais il y a là l'idée de mouvement, le trait est le trajectoire de la pointe mobile. Larepréseolation de l'espace, immobile et tixe, ne fera jamais sortir l'image d'une ligne véritable uniforme d'une suite de points, si dense qu'elle soit, car des points n'ont pas de dimensions, et par conséquent une suite de points aussi dense qu'on voudra ne peut jamais devenir une distance ; bien au contraire, on considérera toujours la distance comme la somme des intervalles de points.

La conception de la ligne comme suite de points répond encore à la même lacune dans la suite des idées que nous avons critiquée déjà deux fois. En effet la suite de points sur l'étendue rectihgne, avec ses intervalles aussi petits qu'on veut, est une représentation dont l'essence n'est pas changée par la, diminution poussée jusqu'à l'infini des intervalles de points. Quand tout-à-coup nous supposons ces intervalles nuls, nous sautons brusquement suivant notre fantaisie et sans transition à une limite, qui cette fois non seulement n'est pas représentable, mais aussi est lout-à-fait absurde ou du moins para-

doxale. Je re.jeUe ainsi l'élargissement diiconcept de grandeur, suivant, lequel la ligne doit être composée de points, la surface de lignes, etc.

Il me faut donc renoncer h une démonstration de lalimite L du nombre décimal o, ai «j .... fondée suries hypothèses faites au début.

C'est aussi en effet qu'on demande l'impossible, quand on veut d'une suite de points exclusivement composée de points appartenant à une catégorie donnée, faire sortir un point n'appartenant pas à cette catégorie. Pour moi la chose est tellement inimaginable que j'affirme qu'aucun travail intellectuel n'arrachera jamais à un cerveau humain une démonstration de ce genre, dût-on y supposer réunis le don de divination de Newton, la clarté d'Èuler et la puissance écrasante de l'esprit de Gauss.

Toutefois il est conforme à l'intuition générale que la fraction décimale o, aj «a ... indéflniment prolongée, représente une valeur, à laquelle nous pouvons donner une forme sensible, soit à l'aide d'une longueuroubien d'une autre quantité mathématique, par exemple, d'un poids. En effet, une foule innombrable de fractions décimales ont une limite qui peut être représentée par une longueur, et rien dans les fractions décimales ni dans, les longueurs ne peut éveiller le moindre soupQon que, à l'égard d'une propriété aussi générale que la co-existence de fraction décimale et de limite, une différence entre elles soit possible. Enfin on peut, en tout cas, approcher autant qu'on veut de la liinite hypothétique, c'est-a.-dire on

peut trouver une quantité Lj tellequeL, — o,cc, cca Œj, ...

pour toute valeur de p reste au-dessous d'une longueur, si petite qu'on l'ait choisie, en resserrant, comme je l'ai fait voir, la limite hypothétique dans un intervalle convenable.

22. — L'objet ies considérations précédentes va être complété au sens de l'Idéaliste. — Si nous n'avons pu conclure avec nécessité, de nos représentations le point limite L, c'est que, ou bien réellement il n'existe pas, ou bien nous n'avons pas encore tiré tout le parti possible de nos représentations. Elles renferment encore des rapports que nous n'avons pas considérés, car lorsque notre représentation de grandeur est complote, et que ses liaisons avec le reste de notre système do représentations se montrent clairement, il faut que les points limites, s'ils existent, en découlent nécessairement.

Il y a, en effet, une question essentielle que nous ne nous sommes pas encore posée. Etudions encore une fois la formation de la limite L ; ce que nous avons en vue viendra aussitôt

— Tien pleine lumière, si noui examinons les clioses d'im point de vue plus physique.

Comme idéaliste, je crois à la réalité de mes idéaux, je crois à la réalité objective de mes idées poursuivies jusqu'aux limites extrêmes de ma pensée, quoique, en vérité , comme î'inflni, elles ne soient pas représenlables. Je crois à l'inllni et à l'existence objective d'images géométriques précises ou plua co.'rectement à leur possibilité ; car cette possibilité signifie que seules des circonstances secondaires et accessoires peuvent s'opposer à leur existence, comme on dit qu'il est possible que deux montres aillent parfaitement ensemble. Et toutes conclusions qui reposent sur de pareilles hypothèses doivent tomber dans le domaine de la possibilité, ou bien, suivant leur nature, dans celui de la réalité.

Maintenant considérons une longueur précise, non-seulement imaginée, mais existant quelque part. Les longueurs o, Ki ; 0, ai «s .... existeront pareillement, et alors, ou bien leur point limite est une réalité objective, ou bien il n'y en a point. Tout cela est indépendant du fait que dans le monde il y a ou non dos cerveaux pensants ; nous n'avons donc pas à nous demander :

Pouvons vous 'parvenir avec nécessité, par un chemin quelconque, de nos représentations initiales à la représentation finale d'un "point limite ?

Mais : Ecei-te-t~il, indépendamment d'un être pensant, un point limite, lorsque les étendues o, «, ; o, «i aj ; .... existent ?

Celte façon d'envisager la question nous prescrit évidemment pour la traiter, une aufrc route que celle suivie tout d'abord. Nous n'avons plus le droit de poser en principe, comme nous l'avons fait au début de l'exposé du système de l'Idéaliste, les points que uous pouvons par la pensée placer sur la longueur unité, mais bien ceux qui y sont réellement.

Il se présente donc h nous tout d'abord la question du nombre de points de division qu'il faut distinguer surl'étendue unité. Nous pouvons nous en représenter autant que nous voulons, mais combien y en a-t-il qu'il faille regarder comme distincts ? — Nous pouvons encore nous demander à un point de vue plus physique : Combien d'étendues moindres qu'une étendue donnée existent ou sont possibles ; c'est-à-dire, si elles n'existent pas, doivent seulement au hasard de ne pas exister?

Pour donner S. cette question une réponse satisfaisante, je vais d'abord établir une distinction de la plus haute importance entre deux concepts.

23.— Des conceptsderiUlmité et de rinflni. — La quantité de poiats de division de l'unité de loaguenr ou d'étendues partielles en lesquelles se partage l'étendue uoité est dite illimitée ou bien infinie. Dès que nous aurons établi exactement le sens de ces deux expressions, les questions relatives au nombre de parties d'unité et à l'existence de la limite trouveront d'un coup leur solution.

Un exemple éclaircira pour nous le sens de ces deux mots. Domandoûs-nous quel est le nombre des corps célestes répandus dans l'espace. Quand nous regardons de l'œil nu le ciel étoile, quelques étoiles brillantes nous apparaissent bientôt, comme parmi les points de division de l'étendue unité, notre pensée ^oit d'abord les fractions rationnelles. Une observation plus exacte faite 6. l'aide du télescope peut nous révéler, en raison de l'intensité de lumière et du grossissement dont nous disposons, partout où semblait s'étendre une obscurité uniforme, des masses d'étoiles déplus en plus denses. Nous avons ainsi l'impression qu'il n'y a pas de limite au nombre des étoiles ; et nous disons : Les corps célestes nous apparaissent en nombre illimité. Mais à celte question « Quel est donc le nombre ?» — illimité ne serait certainement pas une réponse satisfaisante, parcequ'on voit toujours là par la pensée un homme qui compte et qui n'arrivera pas h. la fin de son calcul, soit qu'il n'existe pas de fin dans ce qu'i! compte, soit qu'il ne puisse atteindre celle qui oxis'e.

Parle mot iv/îni la plupart "des gens instruits entendent que l'extension ou le nombre ainsi qualifié dépasse en réalité et indépendamment de l'existence d'êtres pensants tout ce qui peut à l'aide d'une unité déterminée se mesurer ou se compter. On dit u l'espace infini » et si on se le représente répandu partout avec les corps célestes qu'il contient, on dira aussi le nombre des corps célestes est infini. L'exactitude de cette pro-r position peut bien être contestée, mais à l'égard de l'expression personne a'aura rien à, objecter.

L'expression «je me représente l'espace comme illimité» est inattaquable ; mais il serait impropre de dire : je me représente l'espace comme infini, parcequ'on ne peut pas précisément se représenter l'infini,, qui sort du cadre de toute représentation. Il nous faudrait dire : je crois qu'il est infini.

Tout cela bien pesé, voici maintenant comment on peut résumer le rapport de l'illimité à l'infini : Nous nommons illimité en grandeur ce qui, tout en étant fini, ne peut être dépassé par des multiples de mesures fixes, parceque nous nous le figurons grandissant et sortant des confins de toute sphère.

Représentons-nous une mesure aussi grande que nous

voudrons, nous nous figurons la quantild illimili5e comme la dépassant. Que la quantité îlîimiLéo s&iL affranchie de l'idée qui l'accompagne clans notre esprit, que celui-ci renonce à satisfaire au besoin qu'il a d'une représentation, îilora de l'illimilé sort le concept de ce qui est supérieur à toute quantité et ne peut plus se représenter, l'infini.

Il est de la plus haute importance de bien établir que l'illimité est toujours /îret, et que l'infini s'applique à ce qui suit le fini dans la direction de ce qu'on suppose illimité, c'està-dire, à ce qui n'est pas fini.

La question : Quel est le nombre de points de division situés sur l'étendue unité? reçoit donc de ce qui précède la solution suivante : Dans la représentation, ee nombre est iUimité, et par suite, dans ia réalité objective, il est infini.

24. — L'Infinimeat petit et ses principales propriétés. — La proposition que le nombre des points de division de l'étendue unité est infiniment grand engendre avec une nécessité logique la croyance à Vinflniment petit.

En efi'et, nous avons établi plus haut que, selon le véritable concept, de grandeur, les points ne se suivent pas les uns les autres sans intervalle sur la longueur, qu'ils ne peuvent donc se rejoindre mais sont toujours séparés par des étendues, de sorte que de simples points no peuvent jamais former des étendues; à leur tour les points infiniment nombreux sont séparés par des étendues infiniment nombreuses. Donc, de ces étendues aucune ne peut être finie, c'est-à-dire ne peut être contenue un nombre fini de fois dans l'unité de longueur, parce que, l'unité de longueur étant arbitraire, toute étendue si petite qu'elle soit doit-ûtre constituée comme l'unité de longueur, et contenir aussi une infinité de points de division.

On voit donc que l'étendue unité se décompose en une infinité d'étendues partielles, dont aucune n'est finie. Ainsi l'infiniment petit existe réellemtnt.

Voyons maintenant de plus près les propriétés dé cette nouvelle espèce de grandeur. La propriété principale de l'influiment petit est la suivante :

Un nombre fini d'étendues infiniment petites ajoutées les unes aux autres ne donne pas une étendue finie, mais de nouveau, M«e étendus infiniment petite.

I! est vrai qu'on ne peut pas plus se faire une idée du domaine de l'intinimont petit que de celui du fini. On ne peut assigner de limite supérieure ni au fini ni à l'infiniment petit ; mais ce qu'il y a de sûr, c'est que, si grande qu'on puisse se , figurer une étendue Unie, un nombre fini de pareifies étendues

disposées à la siiiLo les unes des autres fournit toujours de nouveau une étendue Unie. Cette propriété convient aussi à l'infiniment petit, d'après son origine. Car si un nombre fini d'étendues infiniment petites donnait une étendue finie, elles ne pourraient pas toutes Stre inflniment petites, parcequ'il serait pour cela nécessaire qu'elles fussent en nombre infini sur une étendue finie, — d'où résulte la proposition.

Ce n'est pas sans peine que la croyance à l'infiniment petit s'impose. Cependant, si on saisit l'idée hardiment et sans préjugé, si on ne recule pas timidement devant les difficuUr^s mais qu'au contraire on accepte les propriétés de cette nouvelle espèce de grandeur, telles que la logique les impose avec néiîessité, comme quelque chose oii il n'y ait rien à changer ni à interpréter, alors la méfiance première fera bientôt place à une sécurité bienfaisante grâce à laquelle on se sent tout-à-fait à l'aise dans les fondements de la science esacte, ai obscurs et si litigieux qu'ils soient, et on peut prendre position d'après des principes fixes.

Celui pour qui est nouvelle \a conception développée ici de l'infiniment petit trouvera bien épineuse l'extension qu'elle implique du concept d'égalité. En effet, je nomme égales deux étendues finies, lorsqu'il n'existe entre elles aucune différence finie. Cela n'empSche pas, et c'est là îa difficulté signalée, qu'on peut supposer qu'elles diffèrent par des inflniment petits. Si on voit des difficultés sérieuses à cette extension du concept d'égalité, c'est qu'on n'a pas encore une vue nette des raisonnements logiques qui conduisent à l'infiniment petit. Sans doute ce concept d'égalité est contraire à l'idée qu on s'en fait d'ordinaire, suivant laquelle la différence est absolument nulle et brave toute représentation. Mais l'essence proprede l'infinimentpetit est précisément qu'il réside et doit résider en dehors de nos représentations et par suite nous ne pouvons exiger qu'à propos d'une de ses propriétés, qui peut nous paraître étrange, il s'offre tout-à-coup à nous en une représentation. Nous concluons donc :

Deux quantités finies dont la différence est infiniment petite sont égale'.

En raison de son importance, je montrerai que cette proposition n'est pas en contradiction avec le concept de la quantité mathématique, tel que nous l'avons donné dans l'inlroduclion (art. 18). Quand deux quantités de même espèce sont inégales, leur dill'érence est à son tour une quantité mathématique de même espèce (2"= propriété). Mais l'infiniment petit n'est pas une quantité mathématique de même espèce. Car s'il l'était, en vertu de la ;i°" propriété, on pourrait à l'aide d'un multi-

pie fini de cette différence inBnlment pRtite dâpasser toute quantité mathématique: ce qui exclut le concept de l'infloiment petit. A-iasi il n'y a entre les deux quantités aucune différence de même espace, elles ne peuvent donc être inégales, c'eat-à-dii-equ'ellessont égales, en vertu de la propriélé I.parceque des quantités mathématiques sont ou égales ou inégales. Nous donnons encore à ia proposition la forme suivante :

Une quantité finie ne change pas si on y ajoute ou qu'on en retranche un infiniment petit.

Ces rapports une fois établis nettement entro le flni el, l'infînimeiitpetit,demandons-nous maintenant : Comment faut-il s'imaginef l'infiniment petit ? — Car si son rapport au fini n'est point repréaentable, en tout cas l'infiniment pelitpeut en lui-même, si on fait abslpaclion de ce rapport, correspondre h certaines représentations. Naturellement on doit se le représenter tel qu'il prend naissance sous nos yeux, c'esL-à-dire, (en tant que nous considérons la longueur comme type de quantité), comme une portion d'étendue, par conséquent comme quelque chose d'identique au fini, comme une étendue.

Et généralisant tout naturellement, nous appliquons alors tout ce que nous savons sur le partage et l'additmn d'étendues finies aux mesures des longueurs infiniment petites, parceque rien dans les idées acquises jusqu'ici n'oblige à admettre pour les longueurs infiniment petites des propriétés s'éloignant du fini. Par suite

L'infiniment petit est une quantité mathématique el a de commun avec le fini Vensembte de ses propriétés.

Quand une fois on a placé l'infiniment petit à côlé du fini dans nos concepts de la réalité, il ouvre la voie à de très nombreuses etnouvellss recherches.

Il se présente, par exemple, tout d'abord la question suivante : A l'aide des conclusions précédentes, étudier l'inllniment petit dans ses rapports avec l'influimenl petit, en tirer de nouvelles conclusions et ainsi de suite. De celte façon prend naissance une suite d'espèces de quantité se succédant de telle aorte qu'un nombre flni de quantités d'une espèce ne fournit jamais une qnantité des espèces précédentes.

Lorqu'on étend au.'c quantités d'une seule de ces espèces les propriétés des quantités mathématiques ordinaires, et par conséquent les mêmes règles de calcul que pour le fini, la comparaison des différentes espèces de quantités les unes aux autres est l'objet de ce qui a élé appelé le calcul inftnitaire. Ce calcul Opère sur les rapporis de quantités infiniment petites ou d'infiniment petits d'espèce à espèce; et ces espèces montrent entre elles des liaisons qui échappent au concept ordinaire de

quantité. Les passages d'une espèce h une autre ne présentent pas, par exemple, la continuité de la variation des quantités mathématiques, quoiqu'elles ne donnent pas de changements hruaques ; brof nous sortons ici, pour ainsi dire, de la science des grandeurs, et nous entrons dans une voie nouvelle où l'on étudie non pas les rapports qu'ont entre elles les quantités d'une même ospèce, mais les rapports des espèces de quantités qui se distinguent les unes des autres à l'aide de l'infini.

Dans l'analyse ordinaire, on distingue les ordres .des quantités dites infloiment petites, et on entend par là leurs puissances entières. — Les puissances fractionnaires ont les mêmes droits h être prises pour des ordres, mais les différentes espèces possibles d'infiniment petits, forment, comme l'apprend le calcul infinitaire,une suite de degrés beaucoup plus resserrée, semble-t-il, que celle des oiimbres épuisée déjà par l'ensemble dos puissances de la quantité qui devient infinie. Aussi au point de vue de la possibilité d'approcher d'unevaleur déterminée quelconque , la suite de degrés des ordres de l'infini possède d'autres propriétés que la suite desquantités linéaires.

2'5. — Le concept de limite et les nombres. — De même que nous substituons aux nombres des longueurs, de même nous substituons les nombres aux étendues partielles de l'unité.

Dès qu'on a complété par l'infiniment petit le concept de quantité, l'existence du point limite o, a^ a^ , . . . est aussitôt mise hors de doute. Chacune des deux démonstrations données plus haut acquiert alors une rigueur absolue. Considérons par exemple la deuxième : les points susceptibles d'êiré couverts vont jusqu'à un certain pomt N; ceux qqi ne le seront pas partent d un point N'. Miiis l'étendue NN' est maintenant infiniment petite, tandis que précédemment il fallait la considérer comme décroissant sans limite. Acceptons donc le point N comme point limite, extrémité de la longueur L : il doit en réatitésafisfaire à la condjtionque i/ — o, «I nj ... œ,, pour les valeurs croissantes de ji tombe au-dessous de toute limite, car la différence ne peut pas rester supérieure à /ViV, et, puisque celte étendue est infiniment petite, elle n'ajoute rien à oNo\i L C. Q. F. D.

Inversement à chaque étendue correspond un nombre o, «i ctj .... si i, n'est pas une fraction décimale de l'étendue lunité, ai est alors le plus grand multiple de dixièmes do i'élenduo unité, qui soit inférieur à L, «^ le plus grand

multiple de centième, qui soit inférieur à L—o, a., elc cela

donne naissance h une fraction décimale illimitée, dont le point limite est L.

Les points de division de l'éleadue uniié sont ainsi tout à fiiit équivalents aux nombres, y conapris les fractions décimales limitées ou non. A chaque point cotrespond un nombre, h chaque nombre une fraction décimale do l'unilô, de sorte que nous disons :

L'ensemble de tous les nombres est infini

Maintenant allons plus loin dans nos conclusions. Ici comme lorsqu'il était question de l'ensemblo des corps célestes, intervient un ensemble indéfltiîment grand. Les ensembles sont mesurés par les nombres entiers. Il y a donc une inlinité de nombres entiers. En vérité on sera disposé au premier abord à ne tenir la suite des nombres entiers que pour illimitée, parcequ'oo pense à celui qui compte ; maî^ il faut encore ici séparer 1 esprit qui compte du nombre lui-m&me. On lit quelquefois dans Gauss : Numerus infinité magnus, et ses expressions sont ordinairement bien pesées.

Si on s'imagine le nombre entier non pas tel qu'il est écrit dans le système décimal, mais sous la forme d'une si^rie ordonnée suivant les puissances croissantes de 10,

P. + P, 10 -f p^ 10'+ . . . , p^ = 0, f , 2, . . 9 la série infinie donne alors l'imagedu nombre entier infini. Il se produit ici ce fait curieux que les derniers termes du second membre, que l'on perd de vue quand le nombre quitte le domaine de la représentation, ont précisément la plus grande influence sur sa valeur. Celte circonstance présente un intt^rêt tout parculier. Si en effet avec le concept de l'infiniment grand, nous admettons naturellement, comme nou^ l'avons f.iit ilans notre système de concepts, celui de l'infiniment pelil, nous devrons le représenter numériquement par celte l'raciion, un nombre fini ., ,, „ , ,. , „■, - f ■

r — ^-r. — . De celte façon de s imaginer le nombre intmi

un nombre inlini ^ *

résulte maintenant que la forme particulière du numérateur e' du dénominateur disparaît complètement de cette fraction. Car les chitïres dans le fini sont sans influence en comparaison de celle qu'ils ont dans l'infini ; si les chiffres dans l'infini sortent de la perception, et ne peuvent être indiqués, de aorte qu'en fait la valeur numérique de ciiaque terme est complètement laissée de côté et que l'infiniment pelit apparaît comme se tenant en dehors de lout rapport numérique avec le fini.

Si donc je pense qu'il est tout à fait nécessaire de concevoir l'ensemble des nombres entiers comme infini, les nombres rationnels au contraire (nous les supposons encore compris entre siéro et un) forment un ensemble illintilé et non pas infini. Cela est impliqué dans leur définition même qui les présente comme des fractions simples ayant un numérateur et un déno-

minateur finis. La restriction que les numérateur et dénomiteur ne puissent pas devenir iniinis fait que l'ensemble des nombres rationnels peut, en vérité, être supposé aussi grand que l'on vent, mais qu'il reste toujours fini, c'est-à-dire que, si grand qu'on le suppose pendant un instant, il peut toujours être dépassé par un autre ensemble fini.

L'ensemble de tous les nombres est infini, parce qu'il ne suppose pas l'existence d'êtres pensants, tandis que l'ensemble des nombres rationnels est lié à la personne qui pense, ce qui déjà est impliqué dans le caractère arbitraire delà grandeur qu'atteignent le numérateur et le dénominateur.

26. — Le zéro et rinflniment petit. — La propriété de rinflnimenl petit que, ajouté au fini, il ne le change pas, fait paraître tout à fait inutile une figure quelquefois incommode en analyse, le vrai zéro, qui désigne l'absence de toute quantité. Quand une variable x est assujettie à parcourir en entier le domaine des quantités réelles, on pense le plus souvent que ce domaine comprend le pur zéro; je crois que c'est une erreur. Dans bien des cas, il est vrai, il importe peu que l'on accepte ou qu'on rejette le zéro. Il peut cependant, quand on perd de vue le véritable sens des symboles, obscurcir la signification des formules, et maintes confusions sont déjà résultées de ce que parfois d'une manière purement formelle le zéro a été traité comme une quantité.

Les formes -jr-' -k- par exemple, que l'on rencontre si souvent sont absolument à réprouver, car elles manquent d'exactilude ou de sens. Elles sont en tous cas incompréhensibles pour le débutant. Le zéro doit-il être un infiniment petit, elles sont inexactes, le zéro doit-il signifier «rien» un divisé par rien est évidemment un, et rien divisé par rien demeure rien. Heureusement la tendance à épurer la mathématique de pareihes combinaisons de symboles dépourvus de sens, chose si désirable pour l'étudiant, gagne tous les jours des partisans nouveaux.

Si la variable étant supposée positive, on la fait tendre vers zéro comme cela est prescrit dans les questions de limite, et si on lui fait parcourir d'abord tous les degrés des grandeurs finies, chaque degré étant si l'on veut augmenté ou diminué à l'aide d'un infiniment petit, et que par suite on lui fasse parcourir tous les degrés de l'inflniment petit de tous les ordres X a épuisé le domaine des quantités positives. Si on ajoute ces mêmes valeurs supposées négatives, <e aura épuisé tout ^on domaine de quantités réelles. Le vrai zéro n'appartient pas à ce domaine, il n'est pas une quantité.

Lorsque d'aillears on aborde la question au point de vue psychologique, cela paraît être un acte violent de 1 imagination d'anéantir une quantité mathématique indéterminée ou de variation arbitraire, et de la créer ensuite de nouveau, comme on rallume un flambeau éteint. Une quantité variable désigne une suite de représentations de même espèce ne différant que par leurs mesures numériques, et annuler ce qu'on suppose variable, c'est évidemment introduire, par un acte spécial de la volonté, une représentation nouvelle dans le concept de la quantité.

L'Idéaliste ne doute pas que le vrai zéro ne soit tout à fait inutile à l'analyse. Il est pourtant nécessaire d'insister sur ce point. On ne devrait pas dire, par exemple : a: — 1 devient nul pour X ^l, mais devient infiniment petit pour x^zl. On

dirait: f devient 1 quand co devient infiniment petit, ~ devient infini positif, quand u devient infiniment petit positif, et infmi négatif, quand x devient infiniment petit négatif; — jr n'est bien déterminé que pour une valeur finie de w ou une valeur de at qui diff'ére infiniment peu de 1, Enfin on peut voir dans . toute égalité f/zz cefaitque Pest un infiniment petit d'ordre plus élevé que les termes positifs on négatifs qui interviennent dans l'égalité U:^Q, et qui peuvent par une addition ou une soustraction d'eux-mêmes dans les deux membres de f ii:0 être transportés dans un seul.

Les expressions précédentes sont loin d'ailteurs d'être nouvelles, elles ont été souvent employées au contraire, mais pas toujours avec le sentiment bien net de leur portée.

27. —Quelques mots encore sur la terminologie de l'Idéaliste. — Nous suivrons encore le langage de lldéaliste dans les deux expressions de limite les plus connues :

1" A notre conception répond cette façon de parler. La

valeur de i l-j — I , lorsque œ devient infiniment grand, se

transforme en l'irrationnelle e. De même (1 + x)'" , quand x devient infiniment petit, se transforme en e. L'une et l'autre expression doivent être prises h la lettre. Cela n'aurait pas de

sens de dire que (1 + x) tend vers e, quand x devient nul,

car pour ic=0, (1 + a^)"^ est un symbole dénué de sens. Dé-

signons par a un inQûimeat peLiL d'ordre quelconque et de valeur quelconque (étant donné son ordre), on a alors en toute rigueur

2" Si Ay désigne l'accroissement de la fonction y = /jfiBj,

qui réauUe de l'accpoissoment ia? donné à l'argument, et /'(a?)

le quotient dilTérentiel de f{œ) supposé exprimable à l'aide de

procédés connus, de sorte que dans l'égalité ^ — f{œ) + S, S

lombe au-dessous de toute liraile avec Ax, nous dirons alors que S dévient infiniment petit, quand iic le devient lui-même, et, désignant par dx, dy et e des quantités infiniment petites, nous écrivons

dx ~ n^; -t- ='

1 absolument rigoureuse. Non moins rigoureuse est

celle-ci

d'après la proposition sur l'addition des infinimunt petits. De même donc

rfy = /■'(*) te et cotte égalité équivaut, d'après ce qui précède, à celle-ci : dy — f'(x)dx rr: un infiniment petit d'ordre supérieur h dix.

Oea exemples suffiront pour caractériser les conceptions et le langage de l'Idéaliste et nous mettre h môme de nous en servir correctement dans toutes les occasions.

28. — Des différentes conceptions de l'InAnlment petit en matbèmatlgues. — L'infinimeni petit a acquis droit do cité en malhémaliqaes depuis Leibniz quil'appelaitquantitasinfinilésima, mais seulement comme terme scientifique. Mais Leibniz n'est pas parvenu à saisir neltementle sens de l'infiniment petit, et depuis l'apparition de ces fameuses six pages et demie dans les acla erudiLorum, 1684 (*), le travail des mathématiciens

(*) Page 467 — 473. Introduisant la différentieile dès les premières lignes de ee mémoire, aujourd'hui encore diftioUe à comprendre, il dit : Jam recta aliqua pro arbitrio assumta vocetur dx..., de sorte que [et c'est ce que rend probable la figure) ici, les lignes semblent d'abord avoir ét« supposées proportionnelles aux accroissements différentiels, devenus plus tard d'un usage courant. Qu'on lise aussi à ce siyet les remarques préliminaires de M. C. Gerhard, Leibniz, ed Pertz, III suite. Volume V, page 215.

essecliellemenl, appliqué aux méthodes et aux réaultR-ts du calcul ditîérentiel n'a pas éclairci davantage le CDiicept de la différentielle. Cette incertitude fait peu d'honneur h notre science qui d'ordinaire est donnée en modèle aux autres.

Les UQî, notamment les mathématiciens du siècle dernier, ont pris l'infmiment petit toiit-à-fait au sérieux : ils veulent entendre par là, une sorte de guanUté extérieure au domaine commun dos quantités, et qui possède une existence réelle. C'est plutôt, eu vérité, un pressentiment qu'une déduction logique, comme celle que j'ai essayée plus haut, qui ies a conduits à cette manière de voir.

Plus tard des analystes, qui représentent une opinion intermédiaire, considèrent l'inâniment petit, non pas sans douto comme une quantité ordinaire, mais au contraire comme une quantité qui s'écoule, en mouvement vers le zéro, saisie surle point de s'évanouir, par conséquent quelque chose comme ce que nous avons appelé illimité en petitesse.

Une troisième sorte de représentation rejette ahsolument l'infiniment petit, le tientpour une expression impropre mise à la place de aussi petit qu'on veut ; la quantité aussi petite que l'on veut, pouvant être supposée assez petite pour donner aux relations le degré de rigueur nécessaire. Les relations portant sur des quantités ainsi faites infiniment petites sont alors inexactes, h peu près comme celles de la physique mathématique, avec cette seule différence qu'elles sont aussi peu inexactes que l'on veut. Cependant je regrette dans notre littérature l'absence d'un développement logique de cette idée, qui dissiperait complètement h sa façon !es difficultés relatives au calcul à l'aide de différentielles.

Enfin, il n'a pas manqué de mathématiciens qui n'ont pas introduit dans leurs relations l'hypothèse de l'infiniment petit comme expressionliltérale, et certes il ne s'agit pas là d'esprits moindres que Newton et Lagrange. Les efforts de Lagrange n'ont pourtant servi qu'à célébrer 1b triomphe de la différentielle qui aussitfil pénétra de nouveau à travers tous les pores delà science d'une façon si irrésistible, que l'édition desesceuwes qui paraît maintenant adopte les notations différentielles.

L'Idéaliste se range à la première de ces quatre conceptions, pourtant il ne se fonde pas sur des pressentiments, mais au contraire sur des conclusions qu'il lui faut accepter. Autant les savants sont disposés âplacer l'inflni au-dessus de l'illimité dans l'espace et dans le temps, autant la plupart d'entre-eux se décident difïïciîement h croire à l'inflniment petit, quoiqu'il possède le même droit à l'existence que l'infiniment grand, et que mêmeil doive s'en déduire avec une nécessité logique.

On s'éloigne peu volontiei's eL dilïïcileraenl des grandes routes du domaine de représenlalions frayées par l'éducalion générale de l'esprit. La vue du ciel étoile fût-elle refusée à l'homme, le génie humain fût-il né et se fût-il développé à la façon des Iroglodîtes, dans des espaces fermés, ses savants au lieu de parcourir à l'aide du télescope les régions loinlaines de l'univers se fussenl-ils habitués à n'examiner que les plus petits éléments des corps à l'aide du microscope et à pénétrer ainsi par la pensée le sens de la petitesse au-delà de toute mesure, qui pourrait douter qu'alors l'itifinioieat petit n'occupât dans notre système de concepts la même placeque lient aujourd'hui l'inflniment grand ? — D'ailleurs, la tendance h. remonter en mécanique jusqu'aux plus petits éléments agissants n'a-t-elle pas depuis longtemps introduit dans la science Valome, c'està-dire l'influiment petit à qui 00 a donné un corps? El les efforts qu'on fait pour le rendre inutile à la physique ne vont- "s pas avec certitude au-devant du sort qu'a eu la lutte de ! contre la différentielle '^

29. — Rapide coup d'œil en arrière sur le système de l'Idéaliste. — Pour résumer flnalemGot en peu de mots mes représentations mathématiques fondamentales, je dirai qu'elles donnent lieu à cette suite de quantités.

Infiniment petit, illimité en petitesse, fini, illimilé en grandeur, infiniment grand.

Le zéro n'y est pas compris, ce n'est pas une quantilé. Parmi ces quaniités, sont réelles et indépendantes de l'existence d'êtres pensants: l'infinimenl petit, le fini, l'infiniment grand. La représentation de l'illimité est liée à l'existence d'un être qui pense, ce n'est pas la représentation d'une quantilé fixe immobile, elle renferme au contraire l'idée d'uu mouvement au-delà de toute borne, dans lequel notre pensée suit inséparablement Eu quantité qui croît ou décroît, celle-ci est donc toujours finie.

La pensée idéaliste suppose un monde qui, non seulement correspond en quelque manière à nos représentations, voire même à nos intuitions et à nos concepts les plus abstraits, mais qui possède encore par d-îlà nos représenlations un contenu réel et dont nous avons profondément conscience, maigre l'impossibilité pour nous de nous le représenter. Ainsi l'idée que la plupart des hommes se font de l'univers est tout d'abord celle d'un espace, qui, comme espace a, il est vrai, des dimensions, mais dont l'étendue échappe à toute représentalion. L'Idéaliste, pour désigner les dimensions véritables de l'univers, comme pour le nombre des parties de la quantité malhémalhique, emploie un mot qui ne veut pas dire que nous

ne pouvons pas mesurer ces dimensions, cocopLer ce nombre, mais que ces dimenaiona et ce nombre existent réellement, quoique non mesurables à l'aide de mesures finies, ce mot est infini. Les parties de la quantité fmie devant être en nombre infini, chacune doit être infiniment petite.

De là il résulte premièrement que toute fraction décimale illimitée o, «i «^ ... a pour limite fixe une grandeur malhémathique, deuxièmement qu'il y a une infinité de quantités numériques o, k, «a , .

Pour ce qui louche h riciiDiraent petit, il donne lieu à des ordres infiniment variés. Si on reste dans le même ordre, il se compose comme une quantité mathématique ordinaire, et un infiniment petit ajouté à un infiniment petit d'ordre moindre ne le change pas. Le fini correspond à l'onjre zéro.

La conception fondamenlale de l'Idéaliste est donc l'existence réelle rion seulement de ce qui est l'objet de nos représentations mais encore des intuitions qui résultent involontairement de nos représentations. Dès que nous îea tenons pour existantes, il nous est permis de nous demander quelle est l'essence de ce qui se dérobe à nos perceptions, et dont l'existence s'impose à nou3 comme celle des dimensions réelles de l'univers ; et cette question ne peut recevoir d'autre réponse que celle donnée par nous.

Critique du Système de l'idéalisle faite par lËmpirisIe

L'EMPIRISTE

30. — De la fraction décimale Illimitée qui se développe suivant une certaine loi, et de celle dont le développement n'a pas de loi. — Ma manière de comprendre les concepts fondamentaux des mathématiques se distingue de celle de l'Idéaliste par ce tait qu'elle se refuse à dépasser les limites du domaine naturel de représentations. Je crois que nous ne sommes pas autorisés à admettre et à faire entrer dans les raisonnements mathématiques des choses dont nous n'avons ni ne pouvons avoir une représentation. Partant de là, je combattrai quelques hypothèses essentielles du systèmeidéaliste, mais tout d'abord je voudrais bien obliger l'Idéaliste h poursuivre ses vues sur les parties en lesquelles se partage l'élendue imitée jusqu'à des conséquences qu'il n'en a pas encore tirées. C'est pourquoi je vais pour le moment admettre la valeur des concepts de l'iUi-

mité et de l'infÎQi tels qu'il oal été distingués par l'Idéitliata et étudier la nature d'une fraction d'écimale qui se continue sans fin, au point de vue de son développement illimité.

L'Idéaliste conclut à sa manière que déjà l'ensemble des nombres entiers, à fortiori celui de tous les nombres est inlini. Cette logique conduit à un résultat singulier. Considérons une fraction décimale <^ 1, de la lorme

0, a, «, ... —jl + j^^Jf- ...

Une formule, une loi, suivant laquelle on fera le développement, étant nécessaire pour qu'on puisse le continuer & l'infini, la suite illimitée et sa loi sont des concepts en quelque sorte identiques. Enfin une opération infinie sans formule suivant laquelle on doit la continuer est une contradiotion in adjecto. Car, si par infini on entend que le developpement.se sépare do l'esprit humain pour continuer tout seul sa route vers l'infini, il faut bien, si le développement doit se faire d'une . manière déLerminée, qu'on donne une formule avec laquelle il fasse son cbemin : cette correspond an ce de la suite et de la loi implique aussi que la loi est déterminée par la suite, bien que, par sa nature, ce rapport ne s'impose pas aussi nécessairement qup. le rapport inverse. Soit à notre disposition un nombre quelconque de termes de la suite o, cci a^ ,.., on peut imaginer qu'un esprit d'une pénétration suffisant"* pourra toujours en déduire la loi de succession, parce qu'elle est nécessairement délerm-née par la suite illimitée des a.

Or quelle peut-être la nature de pareilles lois? — Une loi particulière contiendra un nombre quelconque de quantités arbitraires. Par exemple le nombre Z tu o , o-i «.% ... devra se calculer par la formule Z ^ ai h-i -f- «j [ij + - - ■ où les a désignentdes nombres arbitraires en quantité il limitée, les p. des nombres donnés. Si doncavec l'Idéaliste je m'informe dunoMiôre de pareilles lois, .je suis obligé de me répondre qu'il est infini ; carlafofmedeialoi est donnée d'avance, elleest donc désormais indépendante d'êtres pensants, et par suite, d'après la manière de raisonner de l'Idéalisie, il ne resie pas d'autre réponse possible. Or si le nombre des quantités arbitraires a, illimité dans la représenfation, est en réalité infini, il s'ensuit qu'il en e^l de même des quantités et, en un mot, la suite entière 0, «1 «3 ... est arbitraire et, Jusqu'à i'infini, n'est soumise à aucune loi. Que ses cbiffres soient e.xposés en nombre quelconque aux yeux de l'homme le plus pénétrant, il ne pourra rien dire de eerUin sur leur succession.

Bref, ce ne seraient pas !ù, des nombres. Il n'est permis, en effet, à la p'insée humaine d'user de ce mot que pour des parties.

de rtinilé exprimables en nombpes et pour des parties qui, sans èfre ainsi exprimables, sont pouffant déterminées par la loi de succession des obiiïros.

Ainsi donc les suites élernellement dépourvues de lois ne sont pas des nombres. Correspondraient-elles h des quantités ? Oui sans doute au sens idéaliste. — L'Idéaliste les suppose

continuées jusqu'au:; termes les plus éloignés -rr-^ , qui sont des infiniment pelits. Ceux-ci d'après ses définitions ne changent en rien la somme des termes précédents, et par suite il correspond à la fraction décimale infinie, quoique sans loi. un segment de l'unité. Il doit alors conclure que î'unilé une fois bien fixés, il existe des portions sans nombre de celte unité qui ne sont pas exprimables en nombres.

L'IDÉALISTE

Je suis armé contre do pareilles conséquences tirées de mes hypothèses fondimeo taies, elle ne m'embarassent nullement. L empiriste conclut à bon droit que je dois admettre des suites de nombres ne pouvant jamais fournir de loi pour leur succession et, cependant, marchant vers l'infini. Cela certiis n'est pas représentable, pas plus que 1' « inflni » et 1' « éternel ». Les nombres non exprimables sont une conséquence n'cessaire de la concoplion qu'ont la plupart des hommes de l'essence des choses, au même titre que l'infinilude de t'espace et l'éternité du temps.

La limifation du nombre des fmctions décimales possibles par les lois qu'exigent les opérations infinies n'est évidemment pas contenue de prime abord dans le concept de toutes les suites infinies formées de nombres quelconques o, i, '^. . . 9, écrits les uns & la suite des autres, elle a été au contraire ajoutée h posteriori par la spéculation. Si on part de la représentation de quantité, ioutes les longueurs moindres que l'unité sont, dans la représentation, de même nature. Soit donné l'unité et une longueur plus petite : Si on détermine par des mesures le rapport de celle-ci fi l'unité, on po?era pour l'exprimer un chiffre décimal après l'autre; on pourra, dans l'hypothèse d'instruments suffisante , poursuivre celte occupation aussi longtemps qu'on voudra, et développer ainsi empiriquement une fraction décimale illimitée. Rien pourtant dans cette formation d'une frnclion décimale n'exige une loi qui règle l'ordre des chiffres. Par le rapport rigoureux des deux longueurs, la fraction décimale infinie est parfaitement déterminée sans

qu'aucune règle ail besoin (i'existeF, qui permettrail. par exemple, étant donnés les N premiers cliiffres, de calculer n'importe quel autre à partir de le.

On pourrait aussi imaginer le mode suivant de formation d'un nombre qui continue jusqu'à l'infini sans aucune loi. Cliaque chiffre est simplement joué aux dés. Comme on peut admettre qu'on ait jeté les dés de toute éternité et qu'on les jette dans l'éternité à venir, un nombre sans loi prend aussi naissance dans notre pensée. Toutefois la considération de !a nature nous fournit de meilleurs exemples.

Incontestablement beaucoup de constantes de la nature sont déterminées de toute éternité par l'état de l'univers. La température de l'espace, ses constantes optiques, avant tout son potentiel, le sont certainement. Du potentiel et de quantités semblables on peut dire qu'elles sont déterminées par la totalité des masses répandues dans l'espace ; sous l'hypothèse, il est vrai, très contestable que les forces issues d'un point produisent partout leurs effets on mËme temps. Mais les autres constantes de l'espace sont engendrées par tout ce qui est et a été dans l'espace. Par exemple, la température de l'espace est le résultat de tous les états de l'infinitude de l'espace et de l'éternité du temps. Supposons la matière fmie , limitée quelque part dans chaque direction, et soit donné son état à un instant quelconque, l'expression en nombres de ces constantes naturelles doit conduire à une loi. Mais supposons la matière infinie ; une constante comme la température de l'espace dépend alors d'actions qui ne doivent nécessairement se limiter à aucun rang décimal. Si on prolongeait la suite des chiffres par une loi de formation, celte loi contiendrait l'histoire et l'image de l'éternité du temps et de l'iofmitude de l'espace. Comme on Je voit, des considérations physiques de cette espèce fournissent déjà l'existence de nombres irrationnels sans loi. Au point de vue d'ailleurs des limites de pareils nombres, mes considérations s'appliquent sans changement, puisque dans ma démonstration de l'existence de la limite , je n'ai fait usage d'aucune loi. Je pourrais, ayant en vue les exemples précédents, appeler empiriques les nombres irrationnels sans loi, pour les distinguer de ceux dont le développement a une loi et qui pourraient s'appeler analytiques.

L'EMPIRISTE

J'apprécie très bien la solidité de ce développement des principes idéalistes. J'ai voulu seulement montrer, par un exemple entre mille, comment la conception de ^'Idéaliste, dès

les premiers éléments, franchit déjà cle toutes parts les bornes de l'entendemeot humain au lieu de resserrer et de simplifier les principes de la science. Une telle exubérance de la pensée est peut-être pour l'Idéaliste une qualité louable, tandis que pour moi elle serait inquiétante. Je ne pourrais me sentir à l'aise malgré toule la rigueur de ses couclusions, dans une science dont les branches pénètrent si souvent dans le monstreux et l'insaisissable.

31 . — L'hypothèse fondamentale de l'Idéaliste est mise à,nu. — Je porte maintenant mon attention sur les hypothèses de la théorie idéaliste.

Elle repose sur une prétendue représentation, près de laquelle on passe d'ordinaire sans faire attention et qui cependant peut-être considérée plus que toute autre comme l'origioe véritable de toutes les obscurités et difflcultés de conception, dans les principes non-seulement des mathématiques, mais aussi des sciences physiques exactes. Celte représentation est précisément aussi peu réelle que celle de l'influiment petit qui en résulte. L'hypothèse initiale sur laquelle l'idéaliste insiste k^eme esl l'existence de la mesure exacte. Elle sert de fondement à toutes ses considérations et conclusions. De la représentation de longueur exacte il déduit l'inflniment petit, qui lui sert à démontrer l'existence de la limite, puis son échelle infinitésimale des différentes espèces de quantités. Il a recours h celle représentation pour rendre intelligible la formation d'une fraction décimale se poursuivant sans loi jusqu'à l'inflm. Enfin, il se fonde sur une température exacte, celle de l'espace, pour rendre vraisemblable l'existence effective de pareils « nombres empiriques. » Laissons de côté la température qui est une représentation 1res complexe, l'Idéaliste rattache ses conséquences les plus importantes au concept de la lonffue-'r exacte, et à l'idenlilé de nature de la longueur et de ses parties aussi petites que l'on veut, d'où il déduit ensuite le sectionnement brusque d'une ligne, le partage à l'infini, et tout le reste.

C'est ici même, h. propos de la mesure exacte, que nos chemins se séparent. Je tiens cela pour imaginaire, insaisissable, bref pour un mot vide. Pour éviter une fausse conception de ma manière de voir, je vais lout de suite mettre en évidence le point dont il s'agit. Je ne nie pas la représentation de l'exact, mais le concept scientifique de quantités géométriques exactes, nous ne l'avons pas, ni ne pouvons l'avoir.

l:ios perceptions et représentations géométriques ne sont pas inexactes, quand notre organe fait son devoir. Avec déjeunes yeux nous voyons au loin des champs do neige se détacher du

ciel avec les contours les plus nGis,al quand plus Lard devenus myopes, il nous arrive d'avoir élé pendant quelque temps privés de lunettes, le premier regard jeté sur des formes limitées avec pt'écision nous fait éprouver une vive jouissance. On est pleinement satisfait par ci'tte certitude, parce que les perceptions ne nous en font pas connaître de plus grande, et que par suite, on ne peut imaginer une plus grande certitude que, l'impression sensible que nous produisent les lignes de séparation. Ce sont d'ailleurs essentiellement les perceptions elles-mêmes et les représentations toutes fraîches, installées depuis peu dans la mémoire, qui suffisent à engendrer l'image de délimitations exactes comme les autres images.de la mémoire, Bi elle ne se rafraîchit pas, elle perdra avec le temps de sa précision. Lorsque réfléchissant sans l'aide d'objets sensibles nous voulons nous représenter des images géométriques exactes avec une fraîcheur an moins approchant de la fraîcheur primitive, cela nous coûte (') quelque effort. Mais ce qui nous reste et ne pe,;t périr comme une image, c'est le concept de l'exact dans la perception sensible. Il s'attache à son signe : le mot.

Ce concept nous continuons ensuite à le développer inconsciemment jusqu'à en faire le concept de l'exact idéal. Voici à peu près ce qui se passe. Une expérience journalière apprend que des lignes droites qui paraissent exactes , comme les arêtes des maisons vues de loin, examinéesde plus prôs, montrent une forme irrégulière, et que d'autres lignes droites gardent cette apparence, même observées au microscope. Nous possédons assez d'exemples d'images géométriques citées pour parfaites, lignes, arêtes, surfaces, construites par des procédés

[■) En m'observant moi-même, j'ai eu cette impression que je travaille, pour ainsi dire, à l'aide de deux formes de représeatations, l'une plus grossière, l'aulre plus fine. Comme d'autres auront fait sur eux-mêmes des observations analogues dans d'autres domaines adentiflc|UQS. S'il faut un certain effort pour se peprésanter des images géométriques avec toute la précision des perceptions primitives, l'effort repété surtout dans nos jeunes années en vue de purifier nos concepts d'espace, en partieuliep, nos cnneepts mécaniques, et les développei' sous uae forme de plus en plus abstraite, cet effort, dis-je, renforcera notre aptitude à un semblable travail de la pensée, mais non pas notre goiitpour ce travail. C'est ainsi que plus tard on craint de préciser certaines abstractions mécaniques, parce qu'on sent très bien l'infécondité de ses efforts. Dans le travad ordinaire de m» pensée, ce sont des images iraparfwtes de points, lignes, surfaces, qui s'offrent à mon esprit, lorsque, par exemple, dans l'étude d'un problème géométrique, j'interromps ma lecture pour soumettre à une analyse les représentations auxquelles je suis arj'ivé- Je me suis ordinairement représenté des figures sur le tableau ou des images stéréoscopiques.

mécaniques, qui montrenl. une exaetilude absolue, les unes à l'œil nu, les autres h l'œil arma du rnicroscofie. On voitdonc que : Nous possédons la représeolalion de l'eœact semiile, et en oubre de l'exact défiant la délicatesse !a plus extraordinaire de nos moyens de contrôle. De îà naît une suite d'idées dont les conclusions dominent notre syslèmede concepts dans toutes les directions ; là où une suite sans fin de représentations n'a pas une représentation pour limite, l'analogie des suites innombrables de peprésenLationsqui aboutissent à une représentation limite fait que nous supposons malgré nous une limite là oïi elle manque. Mais comme elle ne répond pas h une perception réelle, elle ne peut être en tant que représentation une image d'objet; c'est tout simplement une représentation de mot, et elle vient s'ajouter à notre système de concepts comme le concept de quelque chose de réel, de représe niable. Voila en peu de mots i'origiae de ce que je pourrais appeler l'idcallsme commun à tous les hommes, et de louie la métaphysique. C'est un phénomène essentiellement inconscient qui se passe non seulement chez l'être individuel, mais encore dans l'espèce. (*) Ainsi nous croyons, sans l'avoir vu, à la possibilité de l'exact parfait, ou mieux, nous n'y réfléchissons même pas. Il appartient comme beaucoup d'autres concepts analogues, et sans donner lieu à aucune discussion, au système de concepts de l'homme ordinaire.

31. — L'idée de la mesure exacte est soumise à la critique de l'Empiriste. — Ainsi, c'est sans le savoir que nous sommes idéalistes. Mais au point du vue scientifique nous devons pouvoir rendre compte de nos hypothèses et de nos concepts iondamentaux, et n'accep'er inconsciemment aucun point .d'arrêt. Notre problème scientiSque consiste donc à revenir sur l'idée de l'exact et à la comparer à la ré,itité; il nous Faut rechercher si la limite pour laquelle nous avons un mot dans notre système de concepts, répond à ce qui existe. Ainsi se pose la question : Sommes nous fondés à reconnaître la réaUlé objective des idéaux géométriques? c'est donc la question relative au concept de la mesure exacte, pour l'examen de laquelle il suffit évidemment de songer à la mesure exacte de longueur, c'est-à-dire il'clendne recliligne,

(') Ce n'est pas ici le IÎbu d'an aljser avec plus de soin cette marche à peiae esquissée de notre pensée, et de réelairer de nombreux eseniplea ; c'est ce problème que se pose un ouvrage déjà annoncé et qui paraiti'a imriiédiateraent après celui-ci. D'ailleurs, depuis que ee passage a paru en allemand, J'extrèrae importance du processus qu'il décrit, pour comprendre l'origine de ce que l'on appelle métaphysique, a déjà étéremarquée.

Dans l'image sensible de îa ligne droite limilée, on distingue trois impressions ; 1° C'est une ligne; 3° C'est une ligne droiie; 3" Elle commence brusquement , se termine brusquement. Nous allons cependant examiner les deux premiers caractères en même temps.

D'aucune forme de la nature nous ne pouvons dire avec certitude qu'elle est une ligne droite exacte — avec un commencement et une fln brusques. On ne peut le dire du trait ni du fil, qui ont tous deux une épaisseur, ni do mfime du rayon do lumière, qui, comme le dit Newton, a des caprices, m do l'arête aiguisée qui présente toujours nécessairement des déviations de la grandeur do grains de poudre & aiguiser ; mais des consi déni tin ns physiques noua obligent encore à regarder comme s'éîoignant par de continuels écarts, quelque petits qu'ils soient, de l'image géoraélriqueidéalement exacte, toutes les arôtes el surfaces planes préparées d'une manière aussi parfaite que possible, les arêtes de cristal formées tout fraîchement et dans les meilleures conditions, \a. surface des liquides capillaires, les bords de la goutte flottante, etc.. Car nn ne pourra supposer pour aucune substance susceptible de changer de volume, de se combiner, de s'échaufîer, de s'électriser, ou qui est composée d'atomes chimiques, qu'elle remplisse l'espace d'une manière rigoureusement uniforme. Toute portion d'espace, si petite qu'elle soit, qu'offre une pareille matière renfermera des difl'érences dans sa composition, de sorte qu'en définitive, dans le monde qui s'offre à nos sens, foute ligne si régulière qu'elle paraisse se présentera sous un grossissement suffisant, comme un objet étendu dans le sens de ia longueur, avec des torsions et des épaississemenis sans nombre. Sur de pareilles bases on ne peut fonder l'hypothèse des exirémités exactes d'une longueur.

Mais ce qui importe au plus haut degré, c'est que même s'il y avait dans la nature des lignes droites exactes, nous ne pourrions jamais le reconnaître. Car le caractère de la ligne droile est pour nous un caractère indirect. — Il exige que de l'image certaines perceplions disparaissent. Par exemple si on lait tourner une droite entre deux points fixés sur elle-même, l'aspect de cette ligne ne doit subir aucun changement, et nous pouvons ici imaginer que nous nous déplaçons autour de la droite de telle façon que deux de ses points tombent toujours aux mômes points de la rétine. Si on se représente la ligne droile illimitée, ou bien qu'on fasse absiraction de sos extrémités, on ne fait qu'exprimer autrement le critérium de la droite on le trouvant dans cette condition que, contrairement aux autres images géométriques, elle est déterminée par deux points, tandis que trois points sont nécessaires pour fixer dans

l'espace d'autres figures géométriques. Pour l'arête cela signifie physiquement que si elle court entre deui enohaasures son image mioroacopique ne doit pas être changée, pendant qu'elle se déplace sur sa direction.

Or, étant donné que tou.-^ les instruments nous permettant d'observer les déviations dont la non existence caractérise la ligne droite, d'après n'importe quelle définition, sortent de la main des hommes, personne ne croira qu'ils permettent jamais de mesurer des déviations aussi petites que l'on veut. Mais même si nous avions reçu nos appareils de mains divines, et qu'ils fussent doués d'une puissance merveilleuse, ils ne nous permettraient jamais, en présence d'une ligne droite parfaite, de la reconnaître comme telle ; car par la mesure, il faudrait établir que certaines déviations ou plus généralement certaines quantités dont l'existence est possible n'existeni pas, qu'elles sont au contraire rigoureusement nulles. Mais cette démonstration exige que les procédés optiques, mécaniques ou de n'importe quelle nature donnent un grossissement m^nt aw sens idéaliste; le grossissement devrait êti'e sans limite, ce qui, de quelque façon qu'on te tourne, est inimaginable pourl'homme. Mais enfin, il s'agit non de delà possibilité de procédés parfaits de mesure, mais de la po.ssibilité pour nous de nous convaincre de leur exactitude ; il nous faudrait pouvoir conlrôler les appareils. Or, pour que nous ayons le droit da nous en fier & notre contrôle, il nous faut des appareils de contrôle faits d'une substance bien connue, fabriqués à l'aide de procédés techniques qui nous soient familiers, de sorte que nous puissions en apprécier !a sûreté. Une pareifie appréciation ne pouvant jamais nous fournir qu'une certaine quantité d'exactitude à cause de l'inexactitude de nos sens et de nos procédés, nous en sommes toujours au point de départ. On le voit : à la connaissance humaine échappe en toute circonstance l'exact absolu, si nous n'admettons rien de certain en dehors des combinaisons auxquelles aboutit notre système de représentations.

L'étendue rectiligne idéale n'est donc que la fin admise arbitrairement d'une suite de représentations de mesures toujours plus précises, mais d'une suite pour laquelle on ne peut démontrer l'eriistence d'une fin. Dans le monde tel qu'il s'offre à nos perceptions, rien ne parle en laveur de l'existence de l'idéal géométrique, bien plus, tout parle contre.

Que resle-l-iî après ces réflexions du système de l'Idéaiisle?

L'unité de longueur, si par exemple nous ne songeons qu'à ses extrémités, n'a ainsi scientifiquement qu'une exactitude arbitraire ; elle n'est qu'une représentation oscillant entre des différences aussi petites que 1 on veuf, comme un étalon.

c'esL-à-tlire une meaiire Fond amen laie, construite avec toutes les précautions soientiQgues dont dispose une époque. Les parties de t'uniléde longueur sont évidemment toutes soumises h la même inexactitude qu'on peut supposer- restreinte autant qu'on veut. On pourra se représenter de pareilles parties en quantité innombrable sur chaque étendue, si petite qu'elle soit, précisément parceque l'inexactitude diminuée autant que l'on veut permet de pousser la division d'une étendue aussi loin que l'on veut. Mais la poursuite de cette division, quand on ne l'arrête nulle part, flait par se perdre dans le vague flottant. La pensée peut pousser cette divisionaussi loin qu'elle veut, ce travail n'a pas pour effet de donner l'miiniment petit, mais bien de fatiguer et de décourager l'esprit qui ne TOit pas de fin à sa marche en avant dans une région uniformément nuageuse.

Les sciences mathématiques n'ont d'ai'leurs évidemment pas besoin de l'exactitude parfaite des représentations géométriques. Pour la science qui pourrait les exiger au plus haut titre, la géométrie, il sufQt eu général de la précision des lignes droites de la nature, si on songe qu'on peut se représenter les ligues droites aussi longues que l'on veut, de lagon h rendre aussi petites que l'on veut, par rapport à la longueur, les inexactitudes inévitables , moléculaires pour ainsi dire. Comme points nous avons dans tes étoiles fixes qui apparaissent comme -des points, même avec le plus fort grosaissement.un exemple qui donne satisfaction ènotre besoin de rigueur, et le faisceau de rayons qu'envoie dans notre œil une étoile iixe est certainement aussi une ligne droite sufisant à toutes les exigences de la géométrie.

La conceplion empirîste, en me conduisant ainsi à ne voir dans la mesure exacte qu'un produit verbal de la pensée, en dehors de toute réalité, à déclarer même que, eût-elle une réalité, nous ne pourrions îe reconnaître, me fait rejeter ce concept comme fondement du système de concepts malhématiques. Il me faut aus-i écarter les conclusions de l'Idéaliste, dont l'unique fondement était l'idée de la longueur exacte, ainsi sa théorie de l'infiniment petit, et, avec elle, la démonstration qu'il en déduisait pour l'existence d'une limite de nombres irrationnels , ainsi que celte limite elle même. Cependant si je nie cette limite de fractions décimales sans fin irrationnelles, je dois ajouter qu'à mes yeux il ne peut être question non plus de limite de fraction rationne'Ie sans fin, comme de valeur idéalement exacte.

Si nous voulons nous mettre à l'abri des produits de la pensée tels que rinfînîmentpelitdeî'Idéaliste avec ses propriétés étranges, nous ne pouvons pas quitter le domaine des repré-

sentâtioQs réelles de Tbomnie, car no^ lois de pensée, c'esi-è,dire les Hlialions oalurelles de représenlions sont abstraites du Qionde des phénomènes dans le cours do développement de l'espèce humaine, et il n'est pas vraisemblable quoique possible qu'il survienne du nouveau, qui soit en contradiction avec nos formes de penséelea plus familières, comme par exemple le concept d'égalité élargi par l'Idéaliste l'est avec le copcept généralement admis. En conservant dans la pensée des coticepls cjui correspondent à la non réalilé, au pressenti mont, on donna heu à des paradoxes multiples auxquels aboutit l'Idéalisme dans tous les domaines delà pensée.

L'IDÉALISTE

32. — L'existence de la mesure exacte est fondée par la théorie de l'idéaliste. — La principale objection que l'Erapiriste fasse a mon système est ta non réalité de la mesure exacte prise pour base de nos opérations logiques.

Or, qu'une ligne droite exacte ne puisse vraisemblablement être composée avec la matière dont .sont lormés les corps de nous c<innus, je l'accorde sans restriction. Je crois aussi que même si nous tenions dans les mains un prisme absolument exact, nous ne poumons savoir par aucun moyen qu'il n'a pas de défauts.

Seulement toutes nos représentations scientifiques sout ainsi pénétrées des idéaux géométriques, la mesure exacte se trouve si bien dans la pensée de tous, que ce n'est que l'intelligence critique qui y voit un idéal, c'est-à-dire quelque cliosu qui n'appartienne pas au domaine de la perception, et lajustiûcation de son admissibilité, au contraire, étonnera rhomme imparti aj. Il demandera depuis quand la distance de deux points a besoin d'être éclaircie comme concept exact, ce concept si familier à tout écolier. Un mode d'intuition aussi profond et aussi généralement enraciné, n'est pas commode à extirper, et on réussirait peut-être mieux à vouloir l'établir scieni^iflquement qu'à vouloir l'éloigner. Car la pensée qu'il n'y a pas dans le monde de mesure exacte troublerait tellement ceux qui réfléchissent h la stabilité des choses, qu'ils (Iniraient par retourner à la croyance aux idéaux géométriques. Dans toute combinaison de quantités, d'où l'on voudrait déduire quelque chose, on aurait des remords. Les idéaux géométriques pourraient sortir de la marche suivanle delà pensée, et en tirer leur raison d'être scientifique.

Des représentations multiples du monde des. phénomènes.,, le concept de l'espace est l'abstraction dernière. L'espace est

un cafaclère commun aux représentations de tous les sens, particulièrement de la vue, du toucher et d'i sens musculaire. Des objets (lacés l'un à côté de l'autre, l'un devant l'autre, l'un derrière l'autre h des intervalles comparables, le mouvement relatif de l'objet perçu et de celui qui perçoit, tout cela laisse comme résidu ce qu'on appelle concept de l'espace. Par la pensée nous nous supposons en mouvement dans l'espace nous et les choses ; d'autres se mettent à notre place, de sorte que le contenu de l'espiice finit par devenir accessoire dans noire représentation. U'est-là l'origine de l'abstraction de l'espace vide qui est d'une nature tout-à-fait scientifique. Pour ce que nous avons en vue, il suffirai!, de nous reporter à la représentation d'espace homogène, qui a été abstraite des

Ferceplions des corps liquides et transparents, Cependant esprit scientifique met en doute l'homogénéité de ces corps naturels, de sorte que nous sommes obligés de nouveau d'en revenir A l'espace vide pour en faire le fondement de nos considérations.

La représentation d'espace vide est sans doute une limite de représentations réelles, mais on ne peut dire si elle est réelle elle-même, e'est-^-di^e s'il y a ou y aura un espace dans lequel les corps se meuvent exactement suivant la loi de l'inertie, qui ne laisse passer aucun rayon de lumière, dans lequel aucune force oe pénètre, bref, si grâce aux acquisitions que l'avenir réserve à la physique, à côté des machines pneumatiques, il y aura les pompes destinées à supprimer les impondérables. Pour ceux qui considèrent le monde matériel comme limité ou comme formé d'ensembles isolés, l'espace vide est même encore une conséquence nécessaire de leur conception. Dans tous les cas, je pourrai donner l'espace vide comme fondement à mes considérations, car toute chambre est l'image, la représentation réelle d'un espace et comme je peux retirer en grande partie ce que elle contient, supposé que je dispose do moyens suffisants, j'ai la représentation de cet espace vidé de tout ce qu'il contient de matériel, limite toute naturelle de nos représentations réelles, et la science devrait renoncer h beaucoup, si elle se refusait h admettre cette limite. Je pars ainsi de l'espace vide ou plus généralement de l'espace homogène.

Evidemment dans tout espace vide non seulement on peut introduire par la pensée des figures sans nombre, mais encore elles y sont réellement. Dans ce bloc de marbre est taillé notre portrait, puisque le sculpteur peut avec son ciseau et suivant son talent atteindre une ressemblance plus ou moins grande. De même j'affirme que dans cet espace que j'imagine homogène comme l'air l'est pour nos sens, ou bien vide, toute figure de

forme précise non-seulement peut-èlre supposée mais encore est contenue réellement. Si j'imagine une sphère ayant un certain point pour centre et dont la surface passe par un second point de quelque façon que soit choisi le système des deux points il existe dans l'espace une pareille sphère, absolument comme dans lo bloc da marbre d'oà ou peut la faire sortir avec le ciseau. C'est une représentation si naturelle qu'elle est claire même pour l'enfant, (*)

Mais on n'a pas besoin de faire appel à l'imagination pour s'assurer de l'existence de l'exact géométrique. L'étude des (51éments derniers des corps conduit au même résultat. Quelque représentation qu'en se lasse de la matière qui remplit l'espace que ce aoit un système de points agissant à distance les uns sur les autres, ou bien une matière homogène el continue (logiquement on ne saurait faire une 3°" hypothèse car l'idée d'une matière hétérogène répugne à l'esprit jusqu'à ce que, l'ayant décomposé, il l'ait ramenée à des représentations d'espace homogène ou d'espace sans contenu), la pensée qui analyse doit toujours aboutir fi des images exactes. Supposet-on'la matière" homogène, il faut qu'elle ait toujours des limitations de quelque espèce, qui forment avec toute la précision désirable la fin d'un corps homogène et le commencement d'un autre. Mais l'esprit ne trouve pas sa satisfaction dans la matière homogène et continue, i\ la décompose et la ramène h ses éléments formels vides de tout contenu, agissant à distance les uns sur les autres ; alors ces éléments, pour atteindre la limite de la pensée, doivent être saisis tout simplement comme des images exactes, comme des surfaces, des lignes, des points idéaux. Si on veut s'en tenir aux points, leur dislance est une ligne droite qui a tout au moins des extrémités exactes, et c'est là l'hypothèse fondamentale du système idéaliste.

C'est h mes yeux même comme un contre sens de ne vouloir admettre que des formes non exactes. Quel avantage a donc une certaine inexactitude sur l'exactitude ? — Celte certaine inexactitude n'cst-elle pas nécessairement exacte dans ses contours, de sorte qu'on trouve forcément l'e.Kacl dans l'inexact? Il nous faudra pourtant bien accorder h l'idéal géométrique le même droit à l'existence qu'à n'importe quelle caricature de l'idéal I

Ainsi les hommes sont certainement idéalistes. Pourquoi donc se donner tant de peine pour se convaincre d'un doute sur l'évidence des idéaux géométriques, s'ils ne parviennent

iijuées à l'auteui', alois enfant, par

ainsi qu'a échanger une iatuilioQ claire et précise eonlre un mode de représentations incertain et Ûotlaat ?

L'infini ment petit inséparable de l'idéal, que l'Ëmpipiste représente comme un danger contre lequel il faudrait se garer, ne s'est certes pas encore fait une place incontestée dans le système de concepts communs h tous les hommes, et cela s explique suffisamment, comme je l'ai montré. Mais l'inflniment pelil correspond d'une iaçon incontestable à l'inûniment grand, qui trouve immédiatement accès, et même doit être considéré comme appartenant au système de concepts communs à tous les. hommes. C'est notamment le concept d'égalité généralisé, suivant lequel a -\- un infiniment petit = a, si a est fini, qui semble répugner à l'Èmpiriste et qu'il nomme propriété étrange de l'inflniment petit. Or en mathématique depuis longtemps l'égalité 00 + une quantité unie =: co a acquis droit de ■jité. Cette propriété de l'infîniment petit n'est pas formellement distincte dé celle de l'infmi. L'égalité précédente est pour ainsi dire moins élevée d'un degré que cette dernière.

iVIaisonpeut encore comprendre la chose autrement. Ou peut dire que le signe d'égalité ne s'applique qu'aux parties finies dans les deus membres de l'équation tout comme on décide dans certains calculs que ce signe ne concerne que la partie réelle ou que la partie imaginaire de chacun des deux membres. De celte façon on n'iniroduit pas dans le calcul cette propriété de l'inQuiment petit, qui consiste à ne pas changer le fini par voie d'addition ; du moins on ne l'introduit pas d'une façon formelle, car au fond le sens des opérations la suppose.

33. — Sur le double concept des idéaux géométriques. — La définition des idéaux géométriques n'est pas une définition nette ; au contraire, on se trouve en face des deux manières essentiellement différentes de concevoir le point, les lignes, les surfaces , dont l'une reconnaît à l'inliniment petit un rôle important, et c'est ici le lieu d'insister un peu sur cette question. Il y a deux manières de concevoir la formalion des idéaux géométriques, comme limites de représentations ordinaires. L'une donne h la pensée pour poir.t de départ l'espace fermé, limité par des surfaces, et la fait donc partir de la surface idéale qui ne forme une limite exacte que d'un seul côté, celui où elle sépare l'espace donné de ce qui l'entoure, et qui de l'autre côté est négligée comme l'est, dans la représentai ion de l'angle, l'espace compris entre ses côtés. Deux surfaces se coupent suivant une arête, celle-ci est Umitôe par deux .autres surfaces qui engendrent ainsi avec ses deux points extrêmes l'étendue limitée en longueur.

L'autre mode de formation des idéaux géométriques repose

surlareppésentalion de limite de l'infinimentpetil, etdiSveloppe les représentations géométriques fondamentales dans l'ordre inverse. Ici se place tout d'abord le point équivalent à un espace qui se contracte à l'inflni dans chacune de ses directions, c'est-à-dire à un espace qui ne peut être mesuré dans aucune direction à l'aide d'une unité finie. Quelques auteurs font ensuite engendrer les lignes par le mouvement continu de cet espace — point infiniment petit, et la surface par le mouyement de la ligne. Abstraction faite de ce que ce mode de représenlation exige on certain rapport de mesure enire lea trois idéaux géométriques fondamentaux, auquel ils ne sont pas soumis en eux-mêmes, ce mode de roprésentalion naît uniquement d'une image spéciale È. peu près comme naissent des espaces creux dans les levains, quand on y fait entrer de force des corps solides ; il revient en somme au mouvement et ne possède pas en général le degré d'abstraction auqueî on doit aspirer dans !a détermination de concepts aussi importants.

Sans avoir égard au mode de formation du point, il faudra concevoir ia ligne comme la limite d'un fll ténu. D'après ce principe de définition la surface doit être considérée comme un corps infiniment ténu suivant une seule dimension, selon la représentation de Gauss {Disquisitionnet circa superficies cui-vas, arl. XIII). n est incontestable que le deuxième mode de formation se rattache mieux à la représentation mathématique des figures géométriques fondamentales. Seulement, il suppose le concept de l'jnliniœent petit, auquel nous n'arrivons toutefois qu'en partant des représentations géométriques exactes de la première espèce.

La suite la plus logique des idées, qui mène aux idéaux géométriques des mathématiques, pourrait être celle-ci : On îûetirait en tête le premier mode de représentation, suivant leqtfel on conçoit Ift ligne non limitée comme arête. Puis de la représentation de l'arête exacte, découle, comme je l'ai montré dans le système de ridéaiiste, Je concept de l'infiniment petit, ce qui permet en définitive de concevoir les idéaux géométriques d'après le deuxième mode.

L'EMPIRISTE

34. — Conclnsion de sa critique de l'Idéalisme. — Ce qui jusqu'ici est: sorti de notre plume pour et contre l'Idéalisme, suffit à montrer nettement l'opposition et, l'incompatibilité de nos deux modes d'intuition, qui doivent s'étendre non-seulement aux concepts fondamentaux des mathématiques mais à

l'ensemble de notre conception du monde. Une suite de repi-ésenliilions, qui-éveille en dous le désir de la poursuivre jusqu'à son terme, peut par sa nature ne pas posséder un pareil terme dans notre système de représentations . Je me contente de poursuivre la suite de représentations aus'ii longtemps qu'elle implique des représentations , mais l'Idéalisme donne sa conclusion comme un fait, môme quand il ne peut pas en démontrer l'existence ni, à plus forte raison, s'en former une représentation. L'Idéaliste se lire d'affaire avec des axiomes.

Axiome est et reste l'exislence de la mesure exacte, car je ne puis reconnaître aucun caractère concluant à la dcmonsti'ation que l'on vient de tenter à ce sujet. Elle repose tout d'abord sur une limite non représentable, l'espace vide ou l'espace homogène. Toutefois pour admetire cette limite, on n'a nullement besoin d'accorder que l'espace vide renferme en réalité toute figure. De fait, il ne renferme rien. Nous tirons de notre mémoire des images de figures passablement exactes et nous nous représentons alors au lieu de l'espace vide un espace qui renferme ces Sgures. C'est incontestablement tout ce qui s'est passé. La méthode que suit l'Idéaliste pour conclure de ce fait à l'exislence des idéaux me semble fausse. Car son argumenta^ tion, suivant laquelle les idéaux géométriques sont présents dans l'espace, sous prétexte que tout bloc de marbre renferme des milliers de statues qui attendent que le sculpteur les délivre, et que d'ailleurs l'idéal doit être aussi vraisemblable qu'une certaine déviation, repose déjà absolument sur l'hypottièse de l'idéal, — une déviation déterminée, dont la déunilion géométrique est de même nature que celle des idéaux, devant obéir aux mêmes lois que ceux-ci. Quand je parie de figures géométriques inexactes, c'est-à-dire oscillant entre des limites qui sont h établir d'une manière quelconque, je n'ai point en vue une figure spéciale, mais toutes figures possibles renfermées dans cris limites.

Enfin, l'Idéaliste invoque les éléments derniers du monde des corps, lesquels éléments doivent avoir des limites exactes, car, dans le cas contraire, on ne serait pas encore arrivé au dernier degré d'abstraction, Toutofoison ne saurait en conclure simplement l'existence de figures exactes, par la r/iison que ces éléments derniers sont précisément des limites de représentations aussi peu représentables que les idéaux géométriques; je les juge également inadmissibles les uns et les autres. Je n'ai rien à objecter aux théories corpusculaires, quani aux atomes je les rejette.

La différence do nos méthodes de logique se montre de la façon la plus nelle dans une détermination de concepts de l'Idéaliste à laquelle il attache lui-même une importance toute

spéciale, je veux parier cle sa dislincLioii entre « illimité » eL '< infini )i gue je veux encore attaquer en finissant. Pour ma part, avec ia meilleure volonté dumonde, je ne puis me figurer que des choses finies d'une grandeur et d'une petitesse arbitraires ; à mes yeux, c'est un hasard malheureux que « infini » disiî autant que « non Uni ».

Le sens primitif du mot est assurément « sans fin » synonime de « illimité ».

Qui doute qae nos perceptions des sens ne nous permettent qu'une pénétration tout h fait imparfaite dans l'essence des choses ?

Seulement dans ce penchanlà franchir les limites naturelles de notre pouvoir représentatif avec des limites de concepts insaisissables, je vois un égarement de notre instinct de connaisance et je tiens pour sage de conteoir h l'occasion cet instinct tout comme les autres et de me résigner, lorsqu'une connaissance profonde m'est refusée.

L'IDÉALISTE

L'opposition psychologique de nos modes d'intuition, telle que l'a présentée l'Empiriste est incomplète sur un point que l'Idéaliste considère précisément comme décisif. Le domame de notre pensée ne renferme pas seulement la mosaïque de tout ce qui est perceptible, et les représentations et concepts qui en dérivent par le travail de notre pensée, c'est-à-dire par une suite de transformations et de combinaisons, mais encore nous possédons la conviction inébranlable — peu importe ici comment nous l'avons acquise — de l'exioténce de certaines choses en dehors du système de représentations.

C'est un sentimont'semblable à celui qui nous fait admettre comme fondement de Jios perceptions des existences réelles en dehors de nous, quoique nos perceptions no leur soient pas adéquates, et que nous ne puissions jamais être en état de nous former une représentation du réel, dont nos perceptions, suivant une expression de M. Helmholtz, sont les signes.

Les concepts idéalistes d'infini, d'exact, etc.. sont dans un rapport direct avec cette réaiité, cette machinerie insondable qm se cache dans les coulisses du monde des phénomènes. L'Idéaliste tout aussi bien que l'Empiriste juge inutile d'ergoter sur la nature propre du réel ; de même il n'essaie pas de démontrer l'existence de ce qu'il pense en dehors du système de représentations, de l'infini, de l'exact, etc.. au sens ordinaire. Car une démonstration, comme une explication, pour

parler d'une fagon générale, consiste en somme à rétablir une suite logique de représentations entre une représentation qui nous inquiète et des représentations qui ne troublent pas notre quiétude. La suite devrait ainsi se trouver avec ses deuxtermea extrêmes au-dedans de notre système de représentations ; donc une pareille preuve de l'existence de nos idéaux géométriques est inimaginable.

Mais il y ajustement des cas où, les re pré son ta lions se trouvant à l'intérieur et leurs limites à l'extécicurde notre système de représentations, l'existence d'une limite de ve présentations saule immédiatement aux yeux comme lorsq.u'd s'agit de l'iiifiniLude de l'espace. L'espace ne saurait être mesuré avec des muhiples d'unités de longueur finie. Supposons donc l'espace objectif indépendant de l'existence d'êtres pensants, la mesure a'en sera pas donnée par un nombre flni. L'Idéaliste n'afQrmo pas davantage, et c'est uniquement de cette propriété de la mesure de l'espace qu'il fait usage L'espace une fois admis, l'espace vide l'est aussi, car ce que renferme fortuitement l'espace change de place sans rien changer à l'espace.

L'espace existe en lui-même. Si on m'accorde en outre l'existence dans un bloc de marbre d'un tétraèdre dont je peux indiquer les angles à un sculpteur, avec toute la précision que permet la nature du marbre, Je peux en réclamer autant à l'éffard de figures quelconques de l'espace. Car à la fln de la suite de représentations d'images s'écartant de moins en moins del'idéal, apparaît l'arête exacte, et il sera aussi impossible de la rejeter que l'infiaitude de l'espace.

Dans l'exposé présenté par l'Empiriste du processus psychologique qui conduit aux idéaux, i! n'est donc pas fait mention de cette impulsion irrésistible qui nous pousse suivant certaines directions en dehors du domaine de ce qui peut-être représenté.

Ainsi, quand nous nous abandonnons à ces pensées qui paraissent si naturelles, l'Bmpiriste voit en cela un égarement de l'instinct de connaissance. Il est possible que son intuition du monde le garantisse de mainte illusion, toutefois Je renoncement qu'il s impose n'est pas précisément le fait de chacun. En ne donnant un libre cours à ses pensées que dans les limites des représentations et des concepts qui répondent h des perceptions ou en sont abstraits, il agit comme l'enfant sage qui se garde bien de franchir la haie du jardin. La pensée idéaliste est le garçon pétulant qui se moque des limites, revendique comme sien le domaine entier des représentations et E ressentiments et arrive à franchir les broussailles, a gravir is roches, pour atteindre h. des hauteurs, d'où l'œil embrasse

un vaste horizon. Il pourra s'Égarer, mais à coup sûr il verra plus de choses que l'enfant sage.

L'Empiriste a dans sa critique rejeté presque tout ce que nous appelons concepts fondamentaux des malhématiques, le bagage dont nous armons le commençant au seuil de cette science. Il ne veut rien savoir de la mesure exacte, des figures géométriques exactes; il nie l'existence de la limite mathématique ; pour lui, il n'y a que du fini, rien d'infini dans l'espace ni dans le temps. Qu'il nous enseigne donc maintenant comment il vent mettre en harmonie ses vues avec les exigences des mathémailiques en ce qui touche la rigueur des concepts.

Le Système empiriste

L'EMPIRlSTE

3. — Epuration du système de concepts. — .ï'ai déjà énoncé ou tout au moins indiqué dans ma critique du système idéaliste les idées fondamentales du mode de représentations des choses de l'Empiriate. Loin d'autoriser le libre usage des concepts communs h tous les hommes.mes hypothèses exigent une limitation dans certains sens. Je dois, pour les appliquer aux notions qui servent de base à l'analyse, les exposer avec plus de détaiîset bien montrer en quoi elles consistent.

Tout ce qui est bien fondé scientifiquement , toute connaissanoesûre dérive des perceptions immédiates et doit pouvoir se ramener à notre système de représentations correspondant aux objets perceptibles . J'entends ici par perceptions, toutes aperceptions, par suite, non-seulement les perceptions des sens, mais encore celles qui se rapportent à notre entendement.

Celte proposition à besom d'éclaircissements. En donnant à. mes raisonnements scientifiques comme unique fondement solide le système de perceptions, je veux dire que .j'admets seulement de noire système de concepts ceux qui, d'une manière quelconque, peuvent se ramener à des perceptions. Les représentations qui s'introduisent dans la pensée ne correspondent pas nécessairement, même pour la plus petite part, à des- perceptions qui ont eu lieu ; ce sont souvent des produits de l'imagination, c'est-à-dire d'une activité psychique qui a fait notre système de représentations ce qu'il est et l'enrichit sans cesse au moyen da décompositions, de combinaisons, de variations de grandeur, de forme, d'intensité, de qualité des objets pei-çus (par qualité j'entends, par exemple, la couleur, le son, bref ce qui ne peut se ramener aux qualités linéaires).

Toutes nos représentations doivent donc pouvoir se ramener par combinaison, décomposition, variation de grandeur, de forme, d'inlensité, de qualité, à des perceptions des sens. Je dirai d'un mode de représentation qu'il est réel, quand il satisfera à cette condition. Or, comme je l'ai déjà remarqué, il s'introduit dans notre système de concepts des mots auxquels ne correspondent pas des représentations réelles, mais bien des limites non représen tables de représentations. Ce n'est que comme mot qu'unepareille limite e.st une représentation réelle ; de l'ait, elle se réduit hua pressentiment vague, h une tentative,

loiy'ours infructueuse de franchir les bornes de noire esprit. De purs concepls-mola de cette espèce, je les exclus du processus de ma pensée, laissant ainsi de côté les idéaux géométriques, et beaucoup d'autres.

Cette épuration du système de concepts repose toutefois sui- une hypothèse. Si j'admets que le système empiriste de concepts répond point par point à la perception immédiate, je ne prétends pas dire que tout homme dans son développement doit ho le former de nouveau à l'aide de ses perceptions. Les raisons les plus concluantes nous font croire, au contraire, que notre système de concepts, etnon pas seulement le système ompiriste , est en grande partie transmis par l'hérédité. (') Mais l'hypothèse suivant laquelle notre système de concepts ne renferme que des représentations provenant de perceptions ou pour m'exprimer brièvement, de portions de perceptions — que ces perceptions se soient produites chez chaque individu ou dacs l'humanité durant son développement entier, — n'est précisément qu'une hypothèse, et elle peut être attaquée, comme on va voir tout dé suite. Notre système de représenlalions auquel tout d'abord est réductible notre système de concepts pourrait encore renfermer une troisième chose, à savoir le représentable dont on ne peut démontrer (ju'il se ramène à des perceptions où à des portions de perceptmns. En efîet, on pourrait bien s'imaginer que dans le cours des siècles, depuis l'origine de l'être organisé jusqu'au développement du cerceau des mammifères et plus tard encore — des perceptions se sont réalisées qu'il est actuellement impossible de reproduire, Mais ceci devrait résulter de l'analyse de nos concepts, et un phénomène psychique aussi remarquable eût été certainement constaté. Cependant l'évontualité que j'ai signalée nous oblige à compléter la conception empiriste par l'hypothèse que toute représentation humaine est formée de perceptions ou d'éléments de perceptions possible'* aujourd'hui encore.

34. — Application des principes empiristes aux représentations initiales de l'analyse. — Remarques préliminaires. — Tels sont les traits principaux de l'intuition empiriste, je vais montrer ce que sont pour elle les concepts fondamentaux de l'analyse. Je pose avant tout que nos représentations initiales doivent nécessairement suffire h nous fournir toutes les propositions, les méthodes, bref, tous les résultats des ms.thématiques, h amener par conséquent cette science à n'importe quel degré de son développement. Gar toute relation exacte

[■) Cette question est traitée dans l'ouvrage déjà cité page 89.

entre les concepts, qui peuvent facilement se résoudre en perceptions ou portions de perceptions, je dois pouvoir la tirep des perceptions, sans l'aide du non représeatable. L'Idéaliste nedoitdonc pouvoir obtenir entre des quantités mathématiques aucune égalité exacte que je ne puisse déduire de mes représentations. Sans douteil troavera entre ses iictions, l'exact idéal, l'inflniment pelit, etc., des relations qui ne s'offrent pas à moi, mais c'est seulement parce que je repousse toutes les iictions.

Ma première tâche est d'éclaircir, au point de vue empirisle, le concept de limite, que l'idéaliste est obligé de considérer comme un axiome. Car peu importe ici que l'Idéaliste nous demande de croire à !a limite elle-mCme ou à l'inflniment petit, ou à l'idéal exact : au commencement ou à la iîn, il faut que quelque part la foi supplée à un anneau dans la chaîne de ses raisonnements. La mathématique de l'Empiriste n'admet pas d'axiome. Si le besoin s'en fait sentir, c'est que ses principes fondamentaux ne sont pas suffisamment approfondis. On range h la vérité bien souvent parmi les axiomes des relations entre certains concepts appartenant évidemment au domaine du réel, mais non encore assez complètementanaîysées. Ce ne sont pas là de vrais axiomes. L'axiome dontil est ici question exige toujours qu'on tienne le non représenlable pour une existence.

Ma preuve de l'existence de la limite se déduit de mes représentations géométriques fondamentales. C'est une représentation réelle qui se forme, quand j'imagine une figure répondant à sa définition avec une exactitude de plus en plus grande. Je peux donner un libre cours à ma fantaisie, quand elle idéalise indéfiniment la finesse de la plume h dessiner, de Ja feuille de papier, de la toife, etc. Le fait d'idéaliser est parfaitement fondé pour l'Empiriste, Ih où pourtant il n'existe

Êas d'idéal représentable. Gar lorsque j'idéalise, je modifie ien peu à peu mes représentations dans un sens choisi arbitrairement, mais elles ne cessent pas d'être des représentations réelles. Devant l'idéal lui-même je fais volte-face. Ce n'est à mes yeux que le terme fictif d'une suite de représentations qui prennent naissance dans un raisonnement scientifique et qui de l'ait n'admettent pas de terme.

Pur exemple, je permets à ma fantaisie des variations de grandeurs relatives. Ce que j'en déduis lorsque les déductions sont tirées correctement, suivant le jugement humain, doit logiquement, suivant le jugement humain aussi, être correct et contenu dans mes hypothèses. Les deux touristes cosmiques du Micromi^gas sont sans doute des représentations récllea et je ne crains nullement de donner pour fondement à mes considérations de pareilles rêveries, Comme exemple d'une ligne

droite qui pourrait très bien suffire aux besoins de la géométrie , j'ai cité le faisceau de rayons qui va d'une étoile fixe à notre pupille. Imaginons une table assez grande et assez plane pour recevoir sur sa surface une section longitudinale de ce faisceau, que nous marquions à la craie par exempLî, puis représentonsnous toutes les dimensions de cette table diminuant jusqu'à la grandeur d'un carreau de vitre, nous n'avons jamais quitté notre système naturel de représentations, mais nous sommes parvenus à une ligne droite, qui dépasse peut-être en exactitude tout ce que la nature ou la main de l'homme peut fournir. Ainsi rien ne nous empêche de tfouver au sein mSme des représentations réelles l'image d'une ligue droite do plus en plus parfaite, bien que dans le monde des phénomènes oîi nous vivons la distance moléculaire ou quelque chose de semblable fixe une limite à l'exactitude des images géométriques. Il est absolument interdit à notre fantaisie de déduire des représentations l'idée de la ligne droite parfaite, comme je l'ai prouvé dans ma critique du système idéaliste (art, 31). Ainsi l'opposition entre l'Idéaliste et moi se concentre dans l'opposition de l'exact parfait et l'exact à volonté. Cette distinction peut paraître une vaine subtilité, quelle erreur 1 On verra qu'elle a une portée très profonde.

35. ~ Représentations empiristes des images géométriques. — L'image empiriste de la ligne qui vient d'être esquissée est du reste double, suivant qu'on songe à un tracé idéalisé on a une figure de l'espace. Dans le premier cas, comme nous l'avons indiqué plus haut, on se représente une bande piate, dans l'autre cas, un bâton ou un fil ; le faisceau de rayons de tout à l'heure est un exemple de ce dernier cas. Ma conception de l'étendue détermine en même temps ma conception du point. Ce point aussi ne peut être qu'un espace, petit k volonté dans tous les sens. Sa définition ultérieure de forme variera suivant le problème qu'on traitera. On pourra le définir en luimême ou bien à l'aide de représentations oti il intervient. Une pareille description du point est fournie par la réciproque de la proposition. « Les lignes se coupent en des points. » Elle donne : Le point est la portion d'espace commune à deux lignes qui se coupent. Si nous restons dans cette détermination du concept qui exige seulement la représentation de la ligne, la conséquence la plus directe est que, au point de vue empiriste, la longueur est formée de points, ou peut être considérée comme telle. Si fine que je puisse me figurer la ligne, elle a toujours une épaisseur qui certes n'est pas exacte, mais reste nécessairement dans un rapport fini avec la longueur de la ligne. Que mes rcprésantations partent de l'image de la hgne,

— Idole point sera alors un morceau de la ligne, d'une longeur égale 5. l'épaisseur de celle-ci, et ses dimensions resteront dans un rappori fini avec l'unité de longueur. Quand on songe au point isolé, on se le représente d'ordinaire dans un dessin comme un disque mince, petit, en forme de cercle, et, dans l'espace, comme un petit sphéroïde. Cependant !a forme du point, tout comme celle de la section de la ligne est indifférente. L'un et l'autre sont seulement soumis à la condition d'avoir dans tous les sens des dimensions petites à volonté.

Quant à la conséquence qufi la ligne, et de même naturellement l'espace, est un composé de points sans lacune, la conception empiriste ne saurait s'y reluser quelles que soient les représentations simples qu'elle prenne pour base.

36. ^ Le concept de limite. — L'inluition empîrisle, expliquée par son application aux lignes et points, fournit tout de suite la représentation de la limite d'opérations infinies et certes avec une clarté et un naturel ijui donnent pleine satisfaction à noire soif do recherche, au point qu'un novice doué de jugement, b qui les choses auraient été expliquées suivant la méthode empiriste, n'aarait jamais l'idée de voir la manifestation de l'inflniment grand et de l'infinimont petit, dans uae fraction décimale sans fin.

Chacune des voies parcourues par l'Idéaliste (art. 21) et par lesquelles, comme il dit, on pourrait essayer de démontrer l'exisionce de la limite, conduit l'Empiriste au but.

La voie la plus courte est peut-Èlre la première.

Etant posée un nombre snns fin o, a, cts,.., de l'inégalité o, «1 «i-- a,, < 0, «1 «2... («^ -|- 1) salislaite pour toute valeur de p et de ç, on concluait que les extrémités de loules les longueurs s,,

o, «I «i... dp^r, r^l, 2,...

tombent dans l'étendue qui relie les points o, ol, «a -■ ",, et o, K, aj... (a,, -I- 1).

. Chacune des étendues suivantes s,,.;-i tombe dins la précédente Sp, La ligne droite que nous nommons étendue unité, est, dans notre représentation, mince à volonté, et nous concevons comme point sur l'étendue unité un morceau de cette ligne aussi court qu'elle est mince. Que nous nous flgurions la ligne droite mince au-delà de toute niesure,il existera toujours, déterminée direclemenl par cette minceur, une valeur de p pour laquelle l'étendue Sp n'atteigne pas en longueur l'épaisseur de notre ligne droite, et alors o, a^ «j... a.^ e.st la limite de la ligne (o, ai «a-.) avec l'exactitude que nous apportons dans notre représentation momentanée. Cette exactitude varie à notre gré, et elle appartient également aux longueurs

rationnelles et aux longueurs irrationnelles qu'on peut construire de quelque manière ou qui sont déterminées par des fractions décimales sans fln quelconques. Entre toutes ces longueuPs il n'y a donc pas la plus petite différence,

La deuxiènde démonstration citée par l'Idéaliste est également à mes yeux pleinement rigoureuse,parce que je regarde la ligne comme composée de points. On fait voir dans cette démonstration que l'étendue unité (0, 1) se divise en deux parties, l'une ne contenant que des points qui finissent par être couverts par les étendues o, ai ; o, «,i «j... etc.. portées à partir du zéro, tandis que les points de la deuxième ne seront jamais couverts, Les deux étendues se louchent ou bien elîes ne sont séparées que par un point hypothétique duquel on ne peut dire ni qu'il sera couvert ni qu'il ne le sera pas. Ou bien ce point, ou bien un point occupant la place où les deux étendues partielles se louchent, forme donc la limile.

Cette démonstration de Texistence de la limite est donc rigoureuse pour l'Emplriste. Je n'affirme pourtant pas que ce soit là la suite d'idées qui nous est nalnrelle. Comme je l'ai déjà remarqué, nous sommes sans le savoir, il serait peut-être mieux de dirorfe naissance, des Idéalistes. Ma démonstration est la conséquence immédiate d'intuilions auxquelles on parvient en épurant le système des concepts d'idéaux non représen tables ; mais cetle épuration impose une violente contrainte au processus de la pensée qui est pénétré d'idéaux de toutes parts.

Uaos le dessin par exemple, on représente la limite comme je l'ai brièvement indiqué à l'article 19. On s'imagine les extrémités des longueurs o, ai ; o, œ, «^ ; etc ... portées à partir du zéro marquées par d'ss Iraits fins et courts coupant transversalement la ligne. Ces traits se resserrent toujours davantage et ils cessent nécessairement quelque part, parce que les instruments refusent finalement de marquer et que surtout on ne peut tirer des traits en nombre illimité. Vient ensuite, séparé dos traits o, «i a; ,, a^, par une courte étendue que nous nommerons nébuleuse, et formant le terme de la série des points, un trait fin, aigu, un peu plus long que les Irails précédents, il représente la limite. C'est dans l'élendue nébuleuse qui précède la limite que les l'anlômes philosophiques prennent leurs ébals, C'est sur elle que roulent les sophismes fameux, et c'est elle que l'Idéaliste a résolue en quantités infinitésimales.

Le dessin de l'Empiriste a une physionomie quelque peu différente. Les traits seront continués même quand les instruments de dessin ne pormotlroril plus de les faire distincts. Alors les traits se confondent les uns avec les autres, de sorte

que leur largeur est plus grande que la distance de l'étendue 0. «1 tta, . a^ h la limite. Ou ne cessera ce tracer de nouveaux traits que lorsque leur continualion ne- prolongera plus visiblement l'étendue à marquer, c'est-à-dire quand ils persisteront h occuper la même place. C'est alors la limite.

37. — La théorie empirlste dans les éléments de la baute analyse. — L'Empiriste voulant affranchir son langage de mots et de tournures, qui ne peuvent avoir de sens acceptable que dans la bouche de l'Idéaliste, devra souvent s'exprimer toul-à-fait autrement que ce dernier. Son exposé des concepts fondamentaux, argument, différentielle, etc.... s'éloignera dans beaucoup de cas de celui de l'Idéaliste. Je vais tout d'abord caractériser le langage empiristo sur quelques points essentiels, et expliquer ensuite ma conception de 1 argument, de la différentielle etc.

1. — Avant tout, l'inflniment petit et l'influiment grand au sens de l'Idéaliste n'existant pas pourl'Empiriste, ces mots, s'il lui arrive de s'en servir, ne signifient rien de plus que petit ou grand illimité, sans fln, non mesurable, etc. ... et d'autros termes signifiant que dans un sens ou un autre notre imagination n'est arrêtée par rien.

2. — Au lieu de dire d'une quantité variable qu'elle devient infiniment grande ou infiniment petite, l'Empiriste préfère dire que conformément à un but proposé, on lui donne des valeurs suffisamment grandes ou suffisamment petites.

3. — C'est une question un peu délicate du langage précis, que de savoir si et quand on a le droit de dire d'une quantité variable qui prend la valeur a pour une certaine valeur de son argument : elle devient égale à a pour cette valeur de l'argument. Sans doute dans tous les cas il est exact de dire simplement : a est pour celte valeur de l'argument la limite de la quantité variable, et par suite dans tous les cas douteux — et dans quelques cas non douteux, l'Empiriste ne s'exprimera pas autrement. La première manière de s'exprimer est fondée lorsque pour la valeur correspondante de l'argument la fonction a un sens clair et une valeur calculable sans aucune indication complémentaire, comme cela arrive, par exemple, à une ionction entière et rationnelle de ic pour toute valeur finie de la variable. Mais si la valeur de l'argument est infinie au sens de l'Idéaliste, comme est la valeur de n pour la limite de

-g- -|- -^ + . . . -|- gTT ^ f{^) OU si, pour une valeur de l'ar-

gumenl, l'expression de la quantité variable cesse d'avoir un sens et d'être calculable, comme (1 + ^) * pour a; = o, l'Em-

pÎPzste ne peut alors employei- que l.i deuxième manière de parler ; et c'est ici que son langage diffère le plus de celui de l'Idéaliste. Celui-ci est, en effet, amené par ses raisonnements &

croire fondée cette façon de parler ; (i + ce]" devient eiactement égal à e, quand x devient infiniment petit (Art. 27). -— En outre, l'Empiriste ne rejettera le pur zéro que dans les applications manifestement absurdes de ce symbole au calcul.

Lesformes -ry > -^f '^^^■< 'i^' paraissent tout aussi dénuées de sens qu'à l'Idéaliste. Seulement il ne voit pas do raison pour ne pas employer Jans ses calculs le zéro aussi bien que des quantités, comme valeur ; il est assez souvent une limite. D'ailleurs !a représentation empiriste de l'exact à volonté s'étend aussi au zéro.

4. — L'argument on la variable Indépendante. — La détermination empiriste du concept de l'argument exige certaines distinctions délicates, landis que l'argument de l'Idéaliste est certainement une représentation beaucoup plus simple. Pour l'Idéaliste, la variaiiondes longueurs et l'expression numérique des quantités à l'aide da l'unité donnent les deux conceptions géométrique et arithmétique de l'argument et se correspondent directement, Ces deux conceptions sont également fondées. Et, bien que la quantité linéaire soit le concept primilif, on peut cependant à chaque instant dans la détermination du concept de l'argument placer au premier rang l'une ou l'autre des deux conceptions. Pour l'Empiriste les choses se passent autrement.il y a, sans doute, entre une longueur exacte à volonté qui s'offrirait à nous n'importe comment, et une fraction décimale sans fin, dont îa loi de continuation nous serait donnée, une complète équivalence. Car, si je puis mesurer cette longueur exacte à volonté, cela me permet d'écrire autant de ohifl'res que j'en désire à la suite de la fraction décimale sans fin, tout comme si j'en connaissais la loi. Que la loi puisse me fournir les rapports à d'autres fractions, ou me permette de découvrir les structures de celle dont il s'agit, cela sort de la question de la pure équivalence en grandeur. Au surplus, les chiffres nomiireux « 6, volonté » déterminent la loi de leur succession.

Mais si nous considérons non plus seulement une seule quantité déterminée, — donnée des deux manières, comme longueur et comme fraction d'unité exprimée numériquemeni, mais l'ensemble des quantités comprises entre deux limites, alors pour l'Empiriste l'équivalence entre les deux conceptions

de l'argumenL se heurlo à des difficultés. Que je rejetle les nombres éterneliemeot, sans loi de l'Empinste, cola importe peu. Seulement lea conaidéfations suivantes sont en laveur d'une supériorité de la conception arithmétique de l'argument. En partant de la représentation géométrique, comme je n'admets pas qu'une longueur ait un terme exact, j'étendrai la môme inexactitude à toutes les longueurs intermédiaires d'un intervalle. J'ai beau imaginer l'idéalisation de la ligne droite limitée poussée aussi loin qu'on veut, toutes ses parties rationnelles sont entachées de la même inexactitude, il n'existe donc en réalité que des fractions rationnelles de la ligne droite dont les dénominateurs après réduction ne dépassent pas une certaine quantité, — ceUe-cî dépend du degré d'exactitude que j'admets momentanément. Je pourrais par suite poser pour fondement, comme image de la grandeur de l'argument, parmi tous les segments o, a. «î ... possibles, ceux seulement qui possèdent un nombre de chiffres déterminé quoique grand à volonlé. C'est évidemment une conception trôs-restreinte, toutà-fait insuffisante.

Pour conserverau conceptde l'argument toufe sa généralité il faut donc, ou bien que le nombre avec sa loi de continuation forme la valeur particulière de l'argument, ou bien encore, ce qui revient au même, que la longueur partielle de l'étendue unité soit supposée avoir une exactitude aussi grande qu'on veut, indépendamment de la représentation de î étendue unité tout entière.

Ce n'est qu'ainsi que l'EmpirisIe lui aussi se croira fondé à considérer comme équivalentes les conceptions arithmétique et géométrique de l'argument.

Il peut être très commode au mathémalicien empiriste de laisser de côté ces distinctions géométriques ennuyeuses, et de donner la préférence à la conception arithmétique de l'argument. Il ne faut pELS oubUer qu'elle ne peut être que !e Proteron. — Le Proton est et reste la quantité mathématique linéaire. Car d'abord le besoin de partage, et en particuherla mesure des grandeurs a pu engendrer le nombre et par conséquent ses lois de formation. La .science de la mesure partage tout d'abord l'unité en parties égales, elle exige ensuite le partage incommensurable de l'unité, pour déterminer par l'arithmétique des rapports géométriques intuitifs et donne ainsi naissance au concept de l'irrationnelle et de ses lois; la généralisation scientifique de ces processus fournit finalement le concept de l'argument.

L'Idéaliste semble arriver plus rapidement au but. L'équivalence fondée pour lui logiquement entre l'argument géométrique et l'argumenl arithmétique le dispense, pourrait-on

penser de considérations analogues aux précédentes. Cependant, s'il y regarde de près, il trouvera qu on ne lui en fait pas grâce. Précisément l'identité de nature des parties exprimées numériquement l'oblige aussi à tenir compte de la signification arithmétique des points de l'argument. En géométrie et en mécanique, rien n'empêche préalablement une conception géométrique de l'argument, et en cela les hypothèses de l'Empirisle ne son! pas moins applicables que celles de l'Idéaliste. Mais dans l'analyse, on trouve des parties où la conception purement géométrique est insuffisante, et oîi le nombre doit être joint h l'argument. Les lonctions dont il s'agit ici n'appar ■ tiennent plus au calcul différentiel, dont je vais éclaircir les idées fondamentales au sens empiriste.

5- —Les principes fondamentaux du calcul différentiel dans la théorie empiriste. — Ce calcul est plus qu'une méthode qui résoud certaines classes de problèmes, c'est plutôt une forme de pensée bien déterminée qui saisit en des concepts d'airain et porte à l'expression la plus précise ce qui dans les rapports des quantités variables est immuable et échappe ou reste obscur au vulgaire. Qui pourrait douter que, si les habitants de Mars possèdent une analyse, il faut qu'elle soit identique à la nôtre dans toutes ses parties essenlielles ! Je vais tâcher d'expliquer la suite des idées qui doivent conduire au calcul différentiel.

Il coïncide à l'origine avec une propriété spéciale de notre pensée. C'est un procédé bien vieux que celui suivant lequel nous cherchons à décomposer des représentations compliquées en de plos simples qui nous satisfassent. La vue d'une ligne il courbure comp'iquée attirera noire attention, et par suite, Lroublera notre quiétude plutôt qu'une ligne droite uniforme, sur laquelle le regard ne surprendra ni courbure ni surtout variation de courbure. Les arcs de cercle aussi, les surfaces planes, les sphères nous laissent plus indifférents que d'autres figures dans le plan et dans l'espace. Ce sont des f-'rmes familières de ce genre que nous lâchons de retrouver dans les représentations complexes, et notre procédé consistée les morceler jusqu'à ce que les éléments perdent le caractère des représentations compliquées et montrent une apparence simple qui nous soit bien connue. Les rapports de mesure que présentent entre-eux ces éléments de représentation et qui, lois élémentaires du monde des phénomènes dans la physique mécanique, sont le but des recherches, trouvent dans le calcul des différentielles la forme qui leur convient exactement. Les différentielles sont l'expression de ce procédé de la pensée humaine, qui lui est équivalente.

Il vaut îa peine de développer, de ce point de vue, avec

une complète précision, les principes fondamentaux du calcul différentiel.

Le rapport de dépendance le plus facile à saisir est la simple proporlioniialité. Quand on explique au profane le concept, de fonction, il songe tout de suite h une croissance ou à une décroissance simultanées ; il voit devenir simultanément deux ou trois lois plus grandes des iquanlités variables qui dépendent l'une de l'autre. Si on désigne par x la variable supposée indépendante, l'autre par j/ = f{x), soient x, y, et xy y, deux couples de valeurs correspondantes, y sera la fonction de x la plus simple qu'on puisse imaginer, si l'on a constamment

-^ ^ = a Xi — ce

où. a est supposé indépendant do œ et de Xi-

La conception plus générale du concept de lonction engendre ensuite nalurellement le désir de retrouver la dépendance la plus simple dans la dépendance sans realriction, et maintenant c'est un résultat de l'intuition géométrique, qa' ou puisse y parvenir par un morcellement, c'est-à-dire par l'étude de la variation de la quantité dépendante dans des intervalles suffisamment petits de l'argument. On doit ce résullat ^ la méthode de Descartes, pour figurer les dépendances, et au concept de la tangente, une des plus anciennes abstractions de l'homme. Dans le concept de la tangente est impliqué le retour de la dépendance sans restriction à la proportionnalité et cela sur le fond d'une figure qu'on trouve souvent dans les traités de calcul différentiel et qui est probablement due à Barrow.le maître de Newton. La figure consiste en la courbe u rr /■(«!), deux ordonnées y et yt de la courbe correspondant aux abscisses x e\.x, , une parallèle à l'axe des x; menée par le point X, y ^^ f{x) et enfin la corde x, y; x, , yi- Soit œ l'angle de la tangente h. la courCe au point œ, y, avec l'axe des x, si on pose a zr (p*, on a

Xi — X Xi ~œ

où (la tangente étant en vertu de la représentation géométrique londamentale la position limite de la corde) on peut rendre i aussi petit qu'on veut, en prenant pour te, — a; et par suite pour y, — y des valeurs suffisamment petites.

Cette relation contient le retour de la dépendance générale à la proportionnalité et elleest lefondement du calcul différentiel. Elle est de nature géométrique et ce doit fitre, car les représentations viennent en premier lieu, les abstractions analytiques suivent.

.Ce qui précède a. quelque peu besoin d'un exposé plus exact, pour pouvcir servir de fondement aux priacipes du Cctlcu).

D'abord la quantité a^tç tr,ne dépend que de x, parce que nous avons mené la tangente au point x, y de la courbe, et nous voulons introduire ici le symbole usuel f'{x). En oulre nous n'avoDS fait appel qu'à l'intuition géométrique qui peut ne pas s'étendre à toutes dépendances, qui peut môme s'y refuser complètement. Car par dépendance d'une quantité à l'égard d'une autre, l'argument, ou par fonction, il faut entendre au sens général, qu'aux valeurs particulières de l'argument correspondent des valeurs de la fonction, entre lesquelles il n'existe pas la moindre liaison. La correspondance peut résulter du problème dont nous nous occupons, ou bien être imaginée parnous dans une intention quelconque. Et alors peut naître une suite intuitive devaleursde la fonction formant une image cohérente, mais ce n'est pas nécessaire et on démontre môme que ce n'est pas toujours le cas.

Voici donc ce que nous pourrons dire :

Comme l'intuition et l'expérience l'apprennent, des dépendances sans nombre se comportent de telle manière que l'égalité

r{^^)~iv») ^ ... , ,

iCl— 37 I \ I ^

peut être posée. Dans celte égalii4 f ( x ) ne contient pas d'autres quantités variables que (x); et s pour des valeurs de Xi suffisamment voisines de x ( Xi peut-être <[ x, ) peut être rendu aussi petit qu'on veut.

Les fonctions qui possèdent cette propriété sont l'objet du calcul différentiel.

I! semble convenable de leur donner un nom particulier, et je propose de les appeler fonctions orthoïdes. ( ') La condition de l'orthoïdie est certainement très restrictive, puisque déjà

(') C'est là la classe de fractions, que rauteuf {Yersu^.k einer ClassificalionderwillkûrlichenFunctUmenetCjBorchardlsJourn. Tom. 79. p. 27] a, appelées dîiférenljables. 11 place ce nouveau nom dans la bouclie de l'Empiriste, parce qu'U lui semble que le sens plus profond au point de vue de la critique ae la conna'ssance, de la propriété de fonction dont il s'agit, devait au moins être indiqué dans la dénomi[iation. En effet, l'intelligenee de l'expresion « différeatiable » suppose le concept du quotient différentiel, tandis que l'orthoidie comme la continuité, est en première ligne. C'est seuleraeut l'extension au concept de fonction le plus abstrait oui fournit au concept de l'ortlioîdie le, caractère analytique. Quand à 1 expression elle-même , on la tireriut en vérité plus correctement de e&iuç que de dp^Sç, seulement il faut aussi tenir compte de la commodité du langage.

dans les coui'bes iiiLuilives usuelles, il inlervient des points aiiorthoïdes, comme le poiatic = dans la fonction^ --xsin —,

si , pour a; =: 0, lorsque - n'a plus de sens, on donne à cette foncLlon la valeur zéro. Mais je viendrai plus loin à l'aoor- Ihoïdie

6. — Du calcul à l'aida des différentielles d'après la eonception de l'Empiriste et celle de l'Idéaliste. — J'ai exposé ce qui me paraît êli-e le propr.e fondement dii calcul difTérentiel. Ce calcul opère essentiellement sur deux formes d'égalités, ^alités sans din'érenti elles, ne cooLeaantque des quotients différentiels. et -égalités avec différentielles. En vertu de la méthode des limites, la proposition fondameatale ci-après énoncée donne lieu à des égalités rigoureuses, lorsque les différentielles sotit remplacées par des quotients différentiels, supposé l'orthoïdie des fonctions introduites dans le calcul. La méthode des fluxions de Newton et le calcul des dérivées de Lagr^nge sont, quand on s'est accommodé du concept du quotient différentiel, des méthodes de calcul très-ci aines,que ne vient troubler aucune difficulté de conception. Au contraire, le calcul avec différentielles n'est pas toujours fondé encore avec autant de certitude et de rigueur qu'on pourrait le désirer, pour une méthode parvenue à un usage si général, quoique, depuis surtout le fameux prix proposé par l'Académie des Sciences de Berlin en 1784{'),des tentatives sansnombre aient été faites dans cette. voie. Malgré tout cela, la détresse dénoncée par l'Idéaliste subsiste encore aujourd'hui ; c'est à mes yeux un des pliénomèoes les plus curieux de la littérature sûieutilique. Aujourd'hui encore c'est à peine s'il parait successivement dans « la plus infaillible de toutes les sciences » deux traités qui, lorsqu'ils touchent aux concepts fondamentaux, ne se contredisent de la façon la plus absolue. Aussi, sons le

{*) L'Académie a pensé que le noble titre de « sciences exactes » devait être maintenu aux sciences matliématiques, bien que la « grandeur infinie » qui leur sert si souvent de base d'après la manière de voir des géomètres distingués impliquât une contradiction. Elle demande donc : Une théorie claire et précise de ce qu'on appelle Infini en mat'iématique. Lhuilier de Genève obtint le prix en 1786. Son travail eouronné : Exposition éléniontwre des calculs supéiiears, Berlin 1786, ne m'est pas parvenu ; raai< j'ai pu prendre connfùssance de ses vues essentielles dans les additions de J. K.F. Hauff à sa traduction de l'ouvrage Camot réflexions Bi]i' la métaplijsique du calcul infinitésimal (Francfort-Sur-le-Meîn 18Ô0). Le mode de conception de Lagrange, qui a appartenu à l'Académie jusqu'en 1787 et de Lhuilier sont Empiristcs. Un inconnu obtint encore dans ce concours un accessit. Etait-ce l'Idéaliste ou bien avait-il exprimé moins convenablement que Lhuiler la manière de voir de Lagrange?

rapport de son fondement, la science des différentielles a peu progressa depuis Leibniz, qui, on le sait, ne put parvenir à aucune vue déterminée.

Comme Empirisle, .je m'explique les choses ainsi :

J'écris l'égalité iaitiale

où, je pose Xi — a> = dx, yi—y := dy, sans rien changer au sens des quantités x^ — x, y. — y, ainsi j'écris

e i rz f'(x) -\- e, il résulte encore

d,j = da,lf{^} + .-l I

égalité tout h fait rigoureuse, si petite que soit de, même quand on tient compte du concept de l'exactitude au sens empirisle. Peu importe si .j'entends par dx un nombre qui désigne une longueur, ou si j'y vois directement une longueur. J'imagine toujours le degré d exactitude de la mesure uniquement soumis à mon bon vouloir, assez grand pouf que les oscillations subsistant encore dans la représentation de l'unité, oe puissent avoir d'influence visible sur les formules.

De l'égalité I que l'Idéaliste (art. 27) donne sous la forme

-^ ^ flx) + B, se fondant sur sa proposition relative à la

non influence de l'infmiment petit additif, il lire, en faisant devenir A a; et S infiniment petits, l'égalité idéaliste

dy ^z f{as)dx dans laquefle dx et dy désignent donc des valeurs infiniment petites. Mais celte déduction est encore à compléter par la remarque que, lorsque deux quantités qui se correspondent ont en même temps pour limite zéro, si l'une d'elles parcourt une série de valeurs ayant la limite zéro, comme les quantités 4a; et S de l'Idéaliste ou mes dx et e de tout à l'tieure, toutes deux en même temps doivent finir par être infiniment petites au sens idéaliste. Car, supposé que l'une devînt infiniment petite et l'autre non, celle-ci, devant alors rester supérieure à une petite valeur finie, ne pourrait avoir la limite zéro. Cette remarque me permet de transformer sans plus d'explications mes égalités en égalités idéalistes.

I! en esl de même de la. différenUelie d'une fonciion cje deux variabies z = f{x, , y). On a ; dz=:f[x-\- dx, y + dy) —Kx, y)~f{x-\- dx, y ^ dy) -

Pour pouvoir appliquer aux différences de droite l'égalité fondamentale I, il nous faut supposer que les valeufa x. X -\-dx;y,y + dy tombent dans un intervalle pour lequel f{x, y] soit orthoïdique àl'égard de x, y étant fixe, et h l'égard de y, quand a: est fixe.

On obtient alors par l'application de l'égaliEé I aux deux différences :

^iMl tMj^ + <U^j^ + .,,^ + .

dy

où e, tend vers zéro avec dx, et t, avec dy. Si maintenant le quotient différentiel -p est une fonction continue do y au point X, y {'}, on peut poser :

df(x,y-^ dy) __ d f(x, y) dx dx "^

(*)LaconditioD quele quotient diifpreiitiel™i. soit continue par rapport

ky OM -r- par rapport à x, ajoute une nouvelle restriction à la premiéie et inév table condition d'orthoïdie de a iz; f{a;, y) dans la direction des œ et des t/. L'absence de symétrie de cette condition fait en vérité soupçonner que l'ortlioïdie de /"(a:, y) a pour conséquence la continuité des quotients différentiels. Ce soupçon cependant ne se justice pas ; des considérations géométriques, dans lesquelles on ne peut entrer ici plus avant , nous apprennent qu'une fonciion continue partout dons le voisinage d'un point i",, i/„ peut malgré cela donner une valeni iluie pour

la diftërence ^fi^^o'^" + °) ^fïf' V .à, de même si ie quotient différentiel est continu pour x„.

11 suit de laque pour dériver la formule (i3^^^(to+ -Jrft/euunpoïnt, cette absence de symétrie par rapport à a; et J/ se comprend très bien. Si, par exemple, le quotient différentiel j' est discontinu par rapport à œ, il faut alors nécessairement que l'ordre soit celui du texte. En outre, il recuite <jue si la formule doit-êti'e valable pour tous les points d'un 'lomaine les conditions suivantes doivent être remplies ; Pour chaque point f[m,y) doit être orttioidique par rapport k y, so restant fixe, et par

rapport a O!, y restant fixe î ^ i jT doivent être continues respective-

où »! tombe avec dy au-dessous de toute limite. Il en résuUe d^ =z ^cte + gdy + ., ^ + (., + ^) dy

Si on établit entre les variables dw et dy une relation telle que leur rapport reste compris entre dos limites déterminées qui ne comprennent pas zéro, la quani.iLé £, dx -|- (zj -|- ^) f^ll divisée par tîiB ou dy aura alors pour limite zt^ro en même temps que iJx et dy.

Ainsi des relations y — f{x), z ~ f{x, y), — (dans la 3^ cceiy doivent être considérées comme indépendantes) — résultent les différentielles

dy = r{x)dx + p

où 4- , 4- ont pour limite zéro en même temps que dx, quand

le rapport de dx et dy ne peut ni tendre vers zéro ni dépasser une certaine valeur linie.

A ces égalités rigoureuses correspondent les égalités idéalistes

dy = f(x)dx

ment pM" rapport à y et à œ. Les conditions suffisent, et on peut, comme ,ic l'ai remarqué, en démontrer la nécessité par des constructions géométriques.

A ce propos, je poutrais faire remarquer que dans les traités la formule pour la différent ïation de fonctions de plusieurs fonctions ; df[u,v,..) df du , df dv ,

' da: '=ru--s^ + ^-ïï5+-

est ordinairement insuffisamment démontrée. On pose, par exemple : d£luyi, \ r(^-}-du,r,-\-d«)-fiu,v+dr>) du . f(^,r>+dv]-fiu,v] di=) d^ '— ""^ 1 Sïï^ ^^ IT^ dÀ

Quand dm tend vers zéro, du et de y tendent en même temps, et la première fraction de droite n'a donc pas la forme qui donne naissance a un quotient différentiel. Pour déduire les formules générales de différentiation, on doit partir de la formule rigoureusement démontrée dans

le texte (fe ^: J— d^ -\- -^dy + unecorreotion.Cetexposédela théorie, qui s'écarte un peu de l'usage ordinaire, n'implique aucune difficulté. Pour la difféi-entlation de fonctions spéciales, il suffit d'avoir établi la différentiation d'une fonction d'une seule fonction à laquelle il est facile de donner toute la rigueur possible. Les concepts les plus simples de ditférentiation partielle permettent alors de passer à la dérivation de ia formule générale.

Ici encore est valable la condîLiott relative au rapport de dixel dy, car, si des quantités dx et rfi' l'une astintîniment petite par rapport à l'autre, le terme multiplié par elle disparaît aimplement — en vertu de la proposition sur les infiniment petits additifs.

Maintenant, l'analyse ne faitpas usage nu moins ordinairement des égalités exactes de forme empiriste^ et il n'en résulte aucune Faute de calcul. Comme cela parait être en faveur de la rectitude de la marche idéaliste, je me sens doublement obligé h. montrer et à expliquer que les égalités empiriste^ non exactes q.i'on obtient en négligeant p et pi et qui concordent avec les égalités initiales de l'Idéaliste, doivent conduire à des résultats exacts, de sorte que c'est à !a combinaison algébrique fortuite des égalités exactes que l'Idéaliste doit de pouvoir tirer de ses hypothèses un calcul rigoureux. Bornons-nous aux égalités linéaires par rapport aux différentielles. Soient sti, xt ... cca, — les variables. Quand il s'agira d'une différentiation, on aura entre les différentielles rfa;,, éoî..... comme nous l'avons montré plus haut, une égalité de la forme 2 flp da^p -|- p = ", homogène par rapport aux quantités dx et p, où les rapports des dx varient entre certaines limites fixes qui ne comprennent pas zéro, et le rapport dep à l'un des dx a pour limite zéro avec dx. S'agit-il, par exemple, d'une équation de Pfafî', j'y ajoute une correction p. Qu'on imagine maintenant autant d'équations de ce genre qu'on voudra, entre différentielles, données au sens empiriste avec les corrections correspondantes; que sur ces équations on effectue des calculs algébriques: additions, multiplications, élimination, introduction de nouvelles variables à la place des tx, décomposition en facteurs, etc., on ne pourra jamais obtenir d'autre résultat qu'un nombre quelconque d'équations de nouveau homogènes par rapport aij.\ rfje et aux p. Je suppose qu'un pareil système d'équations forme îe terme du calcul. Chacune des équations se compose alops de deux parties, une partie indépendante des p, et une qui les contient en facteurs. Si on passe aux quotients différentiels, en divisant les équations résultantes par l'un des du avec l'exposant convenable, chacun des p dans la partie qui les contient est divisé par un <ic et comme

àx décroissant indéOniment les -j- ont zéro pour limite, toute

la partie qui dépend des o dam lei équations qui portent sur les quotients différentiels disparaîtra, exactement comme si nous l'avions laissée de côté dans les équations primitives.

Celte simple remarque algébrique dévoile tout le mystère. C'est parce que les équations initiales sont homogènes par rapport aux différenlielles el auxp que les équations finales le

sont aussi. Et quand on passé ensuite aux équations, aux quotients dilTâpentiels, c'est-ii-dire aux résultats réels, les corrections disparaissent. On pourrait donc les laisser du côté dans les équations initiales,

Nous noii.=i sommes placés dans le cas le plus simple d'un système d'équations initiales linéaires par rapport aux difTérentielles. Si, parmi ces équations, il s'en présente par suile d'une double différentialion.je suppose, qui renferment des différences secondes d" Xi , <P x^ ,. Ces secondes se comportant h la limite comme carrés ou produits des différences premières, on arrive au môme résultai, toutefois après avoir convenablement opéré sur les corrections correspondantes. Aussi je n'entre pas plus avant dans ces généralisations, dont la marche est iacile.

Cette détermination erapiriste des bases du calcul différentiel doit satisfaire au besoin de rigueur, mais elle ne doit pas nous égarer en nous détournant du .sens habituel des symboles, ni enrayer la marche facile du calcul par l'introduction pédante

de corrections, L'Empiriste lui aussi posera ^= f(x) et négligera les p dans les équations différentielles, absolument comme l'Idéaliste, PourLanL, il n'oubliera pas que les corrections sont sous-entendues et que les équations sans elles ne sont que des abréviations, comme par exemple :

et rais pour

Ce qui e't encore, aux yeux de l'iilmiHriste qui n'admet pas d'iniinis, une abréviation pour: 1 est la vftleur limite dont

"S-'^j^ diffère aussi peu qu'on veut quand on donne a. n des

valeurs suffisamment grandes.

7, — Coiieeplion Intermédiaire de la différentielle. — Entre la conôcption de l'Idéaliste pour qui dx est purement et simplement un infiniment peliL, auquel pourtant il joint l'idée de quelque chose au repos, non variable, — et ma propre conceplion, suivant laquelle rfa; est fini et suffisamment petit mais également au repos — il s'en présente une troisième, (mentionnée plus hanl) — qui voit dans rfa; une quantité évanouissante. C'est alors une quantité qui varie d'une manière durable dans la direction du zéro. Gelleidée d'une quanlitéqui s'éooule

— ISO —

sans cesse me paraît inacceptable à l'esprit humain. Il me répugne de regarder des signes comme des quantités qui attendent pour se mettre en mouvement et accourir vers le zéro que je considère les formules, et qui pourtant ne peuvent arriver au zéro qu'à la fin du calcul. 'Tant que le livre est fermé, il règne un profond repos, dès que je l'ouvre, commence la course vers le zéro de toutes les quantités manies ded. La représentation de la quantité illimitée est pour moi un peu moins troublante, parce qu'elle ne suppose pas d'état durable dana l'accroissement comme celui qu'on supposait dans la diminution des différentielles ; elle désigne an contraire des quantités qui dépassentde façon à échapper à toute mesure tout ce que fournissent les formules. Seulement je préfère encore donner à mon exposé une forme telle que je n'ai jamais besoin que de valeurs suffisamment grandes .

De telles représentations, ou mieux de telles prétendues représentations de quantités qui croissentou décroissent constamment au-delà de toute quantité finie — (c'est-à-dire audelà du représentable) naissent d'un Idéalisme obscur ou timide. D'ailleurs, je ne m'élève pas contre le mouvement des quantités d'une formule approprié à des buts déterminés. Que de fois, par exemple, il nous arrive de chercher ce qu'il advient des fonctions , qu'elles limites elles ont quand leurs arguments prennent certaines séries de valeurs ! Nous-mÊmes venons de donner comme équations finales du calcul sur des différentielles finies, les équations liant le^ valeurs limites des quotients des différentielles.

Go sont seulement les quantités marchant sans cosse vers un but déterminé qui me semblent ôtre une concession bien dure demandée à la fantaisie du lecteur.

8. — Quelques remargues stir les foBCtions anortlioïdes. — Ce n'est pas l'anorthoïdie en des points isolés qui est un oiractère dîstinctirde la mathématique moderne, mais bien l'anorthoïdie perwionereie de certaines fonctions, Elle suppose décidément la conception numérique de l'argument parcequ'elle donne naissance à des diR'érences formelles dans les valeurs de l'argument, qui reviennent dans tout intervalle si petit qu'il soit. Par exemple, les nombres rationnels et les irrationnels, les nombres algébriques de différents ordres et les nombres transcendants de différentes formations peuvent servir S distinguer les valeurs d'argument. On peut imaginer que si, aux valeurs d'argument distinctes, on fait correspondre d'une manière convenable des valeurs do fonctions distinctes, il se forme pour la fonction dans le plus petit intervalle qu'on puisse imaginer des différences de \aleurs qui ne correspondent plus h l'image d'une courbe visible.

La première idéo d'une pareille correspondance est plutôt due à Lejeune Dirichlet. (') Il a incidemment recours à une fonction qui prend pour des valeurs rationnelles de l'argument une certaine valeur constante s, et pour les valeurs irrationnelles une autre valeur d. Riemann (*") nous a ensuite enseigné une méthode pour lormer des ionutions de ce genre. Elle consiste à additionner une série de fonctions auxquelles on donne certaines oscillations ou discontinuités de plus en plus fréquentes. Si on a, par exemple, une suite de fondions,

Îi (a;), tpi i'x) • f$ (io)-.., dont la premieresflM(e(*")pour toutes es valeurs entières de l'argument, la deuxième pour les

multiples entiers des-, le troisième pour les multiples entiers

de T-, etc., et si on formela somme )>i wi [x]-\- h fî {x)~\-..., où les ï représentent des coefficients nuniériques cho'sis de façon à rendre la série convergen te, — !a somme de cette série représente alors une fonction qui saute dans tout intervalle si petit qu'il soit.

Il y a trois sortes de fonctions de ce genre qui nous intéressent. Des fonctions généralement discontinues — parmi celles-ci, en particulier, les jonctions intégrables, — et des fonctions continues qui sont généralement anorthoïdiques. — Le plus remarquable exemple sinon le premier en est dû à M, Weiertpass. (*"') — Toutes les fonctions de cette espèce ont contrairement aux fonctions ordinaires ceci de commun qu'on ne peut s'en former aucune représen talion visible. Les oscillations d'un intervalle, si petit qu'il soit, ne correspondent à aucune image précise au repos. Tout au plus peut-on souhaiter d'y découvrir une propriété analytique générale. Mais il oe semble pas que ce soit facile. On pourrait songer à borner la série des nouvelles lonctions àoelles qui ou bien sonlgénéralement discontinues elles-mêmes, ou bien quiont un quotient différentiel plus ou moins éloigné discontinu Mais, si on songe que,

par exemple, la fonction g ^ sin — est orlhoïdique à l'égard de

tous ses quotients différentiels, et pourtant tend vers zéro avec des oscillations de plus en plus resserrées, on comprend que la délimitation du domaine des fonctions « ordinaires » à- l'intérieur du concept général de fonction ne puisse être précise;

■") * Springt ^ {" ] M Borchardts Jourjial ». Tom. 79, p. !

qu'au contraire ici, comme il arrive si souvent dans les classifications sysiématiqucs, au lieu de la ligne limite qu'on désire, il y a une zone incommode de transition.

Tandis qu'avani Leibniz on entendait par fonction une puissance de l'argumenl, la signifîcalion plus générale du mot (attribuée à Jean Bernouilli) s'est développée à la suite du calcul différenliel. Cependant, c'est Dirichlet et Riemann qui, en signalant la dépendance aBorthoïdique ont les premiers donné au concept de la fonction sa généralité.

36 — Conclusion de l'Empiriste. — Je ne nie pas que les idées bardies de l'Idéaliste et sa théorie, évidemment logique et bien conduite, ne contiennent un excitant à de profondes recherches, plusvifquema conceplinnsi sobre des choses. Je ne conteste pas non plus que les hommes qui onl doté notre science de ses conquêtes les plus importantes aient eu peutêtre pour la plupart des vues idéalistes. Sans remonter à l'épo que de Leibniz et d'Euler, le langage de Riemann par exemple et maints passages des écrits publiés par lui ou de ses œuvres posthumes montrent qu'il était franchement Idéaliste. Mais la science, c'est-à-dire l'ensemble des opinions, des intuitions et théorèmes adoptés peu à peu par la foule, qui prend part aux recherches on eo suit les résultats avec intérêt, gui par le nombre balance peut être la force intellectuelle et gigantesque de quelques initiateurs de génie, enBn dont le jugement est d'autant plus impartial qu'il n'est point dicté par la passion qui domine aux premiers rangs du combat, la science, dis-je, transforme toujours à son profit les résultats des recherches les plus diverses et rejette sans pitié tout élément étranger à son essence môme. Elle a accueilli avec gratitude les lois do Kepler, mais a laissé de côlésaloi sur les distances des planèles au soleil.Aussi, je suis convaincu que dans son développement ultérieurelle rejettera de la théorie des grandeurs toutcequi. est étranger h la représenlation ctretiendra seulement ce qui rattache les représentationsles unes aux autres. C'est ainsi que de nos jours celte aspiration qui ne fait que devenir plus vive et qui dans les divers domaines de la science tend à la détermination des concepts fondamentaux semble s'êlre engagée déjà dans une voie essentiellement cmpiriste, bien qu'elle n'obéisse en cela tout d'abord qu'à des instincts vagues et non aux règles d'un système bien réfléchi. Sinous nous en tenons aux sciences mathématiques, nous constatons que, par exemple, dans l'analyse la conception empirisle !'a depuis longtemps emporté sur les idées fantastiques qui régnaient sur la sommation des séries divergentes, idées propres à l'époque de Leibniz et d'Euler, dont les derniers vestiges se sont conservés durant notre siècle, et

émergent ç^ et là à noire grand éLonAement. En géométrie, on a commencé avec grand succès h ramener à nos perceptions même le concept d'espace, ce principe d'ordination très complexe des perceptions et des représentations qui pénètre toutes nos pensées. Sans doute, je l'ai remarqué, les opinions relatives à l'inflniment grand, àl'infiniment petit, aux irrationnelles, à la ditférentielle, etc., se contrediseot parfois encore, mais dès que l'on aura reconnu que le flnisufftt à l'édiflcation des mathématiques, c'en sera t'ait pour toujours de l'inflni.

Les malhémaciens seront Ions d'accord pour dire : Le suffisamment grand ou le suffisamment petit satisfont aux conditions du problème. Tout homme qui sera à ia hauteur de la science n'admettra d'autres quantités que des qu-antUés suffisamment grandes et suffisamment petites selon les conditions du problême.

L'IDÉALISTE

39. — Conclusion. — En viendra-t-on là ? Mais avant d'opposer le mien au tableau que l'Empirislc t'ait de l'avenir, j'ai à présenter quelques remarques sur ses fonctions anorthoîdes.

Une fonction à laquelle il est prescrit de prendre une valeur pour les valeurs rationnelles de l'argument, et d'en prendre une autre pour les valeurs irrationnelles est à mes yeux une fonction incomplètement déterminée ou phitôt sa détermination suiTisante n'est due qu'à l'existence de l'homme. La condition à laquelle la l'onction est assujettie ne la fait pas correspondre à l'ensemble de toutes les valeurs de l'argument. On ne pourrait pas l'imaginer représentée par une figure idéale, comme une fonction donnée par une loi complète. Je considère un intervalle d'argument (0, i). A. une longueur partielle qiielconque correspond une valeur de fonclion, représentée gtïoméiriquement par un poitit. Ce qui est vrai d'une longueur partielle l'est également et au même titre de toutes les longueurs en nombre inûni prises dans l'intervalle considéré. Ainsi naît la représentation complète de la fonclion complètement déterminée par une loi. Mais ce n'est pas une pareille loi qui distingue les nombres ritionnels des irrationnels. Car si grands qu'on prenne les dénominateurs rationnels, il reste toujours entre les deux espèces de nombres unelacunequ'on ne peut combler. Ce sont, au conlraire,des fonctions complètes que ces séries choisies par l'Empiriste (art. 37,8), qui représentent des fonctions anorthoïdes ou des fondions de caractère anorlhoïde, parce qu'elles

ne font aucune différence entre les valeurs d'argument, pour lesquelles les valeurs de fonction sont h déterminer. Los points en nombre infini correspondant aux valeurs en nombre inliiii de l'argument sont Vêquiva'ent géométrique de ces fonctions. Je ne dis pas l'image, parce qu'il y a dans cet équivalent quelque cbose de non re présentable, rinflnimenl petit. Prenons une loi anorlhoïde, une loi qui, par exemple, donne à la fonction dos points singuliers dans tout intervalle si petit qu'il soit, comme cela peut arriver si les maxima et minima se présentent h des instants indéfiniment voisins, et demandons- nous, au point de vue idéaliste : Que sera la distance de deux points singuliers voisins ? Gomme je l'ai déjà suffisamment montré, il serait faux de répondre. qu'elle a une petitesse illimitée, car ce mot se rapporte îi la représentation que nous nous formons et non pas auï distances existant réellement en dehors de nous. Les distances des points singuliers sont infiniment petites.

Ainsi, l'équivalent géométrique des fonctions anorthoïdes esl , en quelque aorte, la réprésentation de l'inûniment petit.

Pour l'Idéaliste conséquent qui, autant que c'est possible, pose comme fondement l'essence des choses supposées indépendante de l'existence de cerveaux humains, qui, par suite, termine nettement par l'inflni les suites de représentations de l'arbitraire ou del'illîmité dans le grand, le petit, l'exact, etc., la fonction anorlhoïde engendre avec une logique inflexible l'infiniment petit. Qu'il ne s'en tienne pas là, et qu'il remonte & la véritable origine du concept de l'infiniment petit, il sera aussitôt conduit à la marche suivie dans le système idéaliste où l'infiniment petit naît déjà de la question sur les différences des longueurs possibles au-dessous d'une longueur donnée. Au contraire l'Empiriste ou celui qui ne se casse pas la tête sur les concepts fondamentaux de l'analyse, n'apprendra par ces tonctions que ceci , c'est que le concept do fonction a atteint son dernier degré de développement.

Les Idéalistes s'éteindroot-t-ils un jour ? — je ne le crains pas. Comme Idéaliste j'ai sûrement une avance sur l'Empiriste, Quand je tiens mon système pour exact, je n'ai pas besoin de considérer le sien comme faux. Si l'EmpirisIe aiguise la différence de nos représentations initiales jusqu'à l'opposition de «l'exact parfait et de l'exact à volonté» je ne peux que me réjouir de le voir atteindre avec l'exact à volonté, au même point que moi avec mon e.xact parfait, car, chaque fois qu'il parvient avec son exactitude approchée à établir les fondements de l'analyse, mon hypothèse initiale de l'exactitude parfaite trouve un appui dans ses résultats. Que l'Empiriste ait en

oulre sur certains points plus besoin que moi d'explications détaillées, pour arriver par sa méthode aux théories fondamentales de l'analyse, je ne veux pas interpréter ce fait en ma faveur. Car c'est d abord le contraire qui a lieu quand il s'agit de poser le problème de la recherche du concept de limite, qui conduit au principe général de coQVefgence et de divergence. Ce sont ici les preuves idéalistes qui sontles plus compliquées parceque prises au fond, elles exigent plus que celles de l'Empiriste, à savoir; l'exactitude parfaite. Mais c'est ensuite un pnénomène fréquent que des idées simples en apparence Lrès lumineuses, qui dans une connaissance superflcielle, semblent être le principe ordonnateur de tout un domaine scientifique, se montrent tout-à-fait insufQsantes quand on pénètre plus avant et doivent finalement s'effacer devant une théorie pénible, complexe, mais dès ce momenl seulement tout-à-fait satisfaisante.

Pour d'autres raisons, je ne crois pas au tableau que l'Empiriste a fait de l'avenir. Il exige de la science quelque chose de contradictoire avec sa propre essence. 11 serait bien possible qu'au sein de la science se produisit une doctrine qui fit comme un dogme officiel de la devise favorite de l'Empiriste : « de reprêsenlation en représention seulemeni 1 » comme il y a au sein des religions des théologies prétendues orthodoxes, les théologiens rendant pourtant hommage aux vues les plus différentes. Mais la science, c'esl-à-dire l'ensemble de tous les efforts que fait l'homme poussé par sa soif de connaître, ne rejette que ce qui est manifestement faux. La libre recherche ne s'arrête qu'en présence de la vérité absolument nette, et ne renonce à s'occuper que de problèmes dont il est démontré qu'ils sont dépourvus de sens, comme le perpetuum mobile. Ce qui engendre l'Idéalisme, le désir ardent de dépasser les limites de ce qui est aujourdhui représenlable, ne peut pas être condamné parla science, tant qu'on n'a pas tracé les limites nécessaires des recherches humaines.

Ces limites existent-elles, noire besoin d'expansion alteindra-t-il jamais des bornes? A l'égard de la chaîne immense des objets de recherche encore nouveaux, (|ui se perdent dans le lointain du proLlÈme psychique, je pourrais douter que l'humanité ait le temps de remplir sa tâche, mais non pas qu'elle reste essentiellement fidèle à ses aspirations idéales.

Dans la manière de voir des mathématiciens d'aujourd'hui je ne peux découvrir aucun parti pris, certainement pas en tous cas contre les représentations idéales. Si on peut dire en général que c'était l'instinct critique de l'époque encyclopé-

diste (*) qui corrigeait Ifis erreufs des lemps de Leibniz et .d'Eulôf , ces aspiralions n'ont pas abouti à une épuration déflnitive des représentations fondamentales mathématiques. Sans doute, ce qui domine aujourd'liuî, provoqué par l'exemple des grands mathématicien a de ce siècle, c'est le besoin de rigueur dans les démonstrations et de fondement solide des théories au goût des mathématiciens ; seulemeotjon ne voit pas trace d'efforts poussés jusqu'à la séparation systématique des hypothèses empirisle et idéaliste. Ce que i'Empiriste pourrait dire dans ce sens, la détermination du concept de la différentielle dans quelques nouveaux travaux, n'a élé écrit qu'en vue d'une certaine répugnance h l'égard de l'infiniment petit. Au contraire l'inflniment grand joue en géométrie un l'oie plus important que jamais. Les nouvelles recherches les plus profondes sur les concepts fondamentaux, commecelui del'espaco, conviennent aussi bien & l'Idéalisme et à l'Empirisme, et cette opposition ne les a provoqués ni influencés.

Du moina d'Alembert, le mathématicien de l'Encyclopédie, dans quelques pages, dirigées contro le jeune Lagrange, de son opuscule ;iur la sommation des séries divergentes a opposé des vues tout-à-fait modernes à celles d'EuIer sur la convergence,