CHAPITRE II

Coosidéralions linalcs sur l'IJéalisme et rËiapirisnic et sur le coQcepl de limite

40. — Rapport de l'opposition de l'Idéaliste et de l'Empiriste à l'idée qu'on s'est faite jusqii'ict des concepts analytiques fondamentaux. — Je lefraine là les plaidoyers de rifléaliste el. de l'EmpirisLe. Mon buliUa.il, en recherchant l'origine cachée des deux Fot'Kiesde pensée généralement répandues, mais fréqueniment mêlées, de pouvoii' suivre chacune d'elles eL avec soin depuis son origine .jusqu'à ses dernières conséquences. Que le lecteur s'imagine donc sous les flgures de l'Idéaliste et de rËmpirisle, telles que j'ai taché de les lui présenter, des hommes raisonnant avec une précision et une logique égales mais surtout ne reculant devant aucune conséquence de leur raisonnement. En réalité, les théories pures prêchées par eux n'ont guère Irouvé ni dans le passé ni dans le présent un seul adepte conscient et parfaitement conséquent. Les études qui ne remontaient pas aux perceptions et 6 la formation élémentaire des concepts, el qui prenaient au contraire pour base, sans aucun examen, le système de concepts commun aux hommes, tel qu'il s'offre avec son mélange de représentations "réelles et verbales, ont fait naître des opmions, des interprétations, des concepts fondamentaux, éclectiques ou mieux , accommodés aux circonstances, — mais non pas une théorie. — Dans le cas le plus favorable, des inluilions intermédiaires se substituaient à l'indécision de Leibniz, sans avoir la précision ni la sûreté de ces systèmes principaux. Je ne pense pas qu'après avoir lu attentivement les pages précédentes personne soit embarrassé pour connaître dans un cas donné ia manière de voir soit de l'Idéaliste soit de l'Empiriste. Au contraire, il est impossible de deviner quels seront dans les mêmes circonstances les jugemenls du pariisan de .systèmes intermédiaires.

Ainsi se monlre Jusqu'à ce jour dans les intuilions fondamentales une confusion qui règne et qui régnera toujours taul qu'un principe ordonnateur d'un domaine de pensi5e n'est pas découvert. Qu'on doive le chercher dans la double forme de l'inluition du monde, — cela psutn'avoir pas été remarqué, parcequ'ordioairement on ne tient pour exacte qu'une seule manière de voir, el naturellement c'est la sienne. L'un regarde la ligne continue comme formée de points, pour l'autre cola est ahsurde. Te' ne voudra pas entendre parler de l'infiniment petit, tel autre le rangera tout de suite parmi ses hypothèses. Un jugement impartial, une volonté sérieuse, pour arriver à xine çlem& c\arlé doivent nécessairement conduire à l'opposition des hypothèses idéaliste et empiriste.Ce seront dansle désordre des opinions accidentaltes comme deux drapeaux qui se dres seront pour grouper auprès d'eux tôt ou lard la plupartdes penseurs. Peut-être aussi verra-l-oo l'emporter un jour le nombre des indécis ou de ceux qui, par peur d'agiter dépareilles questions, laissent de côté ces problèmes — par une sorte de sacrilioium inlellectus : Mais les inconséquents, qui forment aujourd'hui une immense majorité ne se trouveront plus un jour que parmi les ignorants,

41. —Le mode d'exposition fleairfl de la théorie des fonctions. — Est-il possible à un parti intermédiaire de ne se ranger h aucune des deux intuitions fondamentales, et quel sera son langage ? Nous traiterons tout de suite celte question importante. Maintenant que nous avons développé les deux intuitions fondamentales logiquement possibles, nous aurons à poursuivre ce principe critique à travers les concepts élémentaires de la théorie des fonctions, aussi loin que cela paraîtra important, en toutcas, au-delà des indications nécessairement brèves de l'Idéaliste et de l'Empiriste. Noire but essentiel est en cela l'exposition exacte des principes fondamentaux de l'analyse dont quelques syllogismes et résultats seulement sont soumis à la critique idéaliste-empiriste. Quel mode d'exposition allons-nous choisir à notre tour, maintenant que nous nous proposons de prendre la parole nous-mêmes ? L'abîme qui sépare les intuitions de l'Idéaliste et de l'Empiriste existe réellement. Il est trop profond et trop vaste pour pouvoir être comblé par des concessions réciproques. Les contre-proposi- Lions sont absolument inconciliables. Or, si on a pénétré par la pensée dans les deux formes d'intuition de façon à s'approprier leurs conclusions respectives, on souhaitR de voiries théories fondamentales de l'analyse développées el exposées aussi d'une' manière logique & l'aide des deux intuitions. On pourrait demander que le titre de calcul infinitésimal fût accompa-

gné de cet, avertissement « d'après les principes idéalistes ou empirisles » et s'attendre à ce que la suite de cet ouvrage en donne un premier exemple.

Noua crayons pouvoir ofl'rir quelque chose de plus satisfaisant. Les principes généraux, d'après lesquels un chapitre de îa théorie des fonctions doit être rédigé à la manière de l'Idéaliste ou de l'Empiriste, sont complètement mis au net, et nous aurions maintenant à en rnootrer l'application dans les cas particuliers.

Il nous laudrait donc nous décider en faveur d'un des deux sysièmes et nous efforcer de gagner le lecteur pour le système que nous aurions choisi. Mais le fait est que nous nous savons hors d'état d'assurer la victoire h l'une des intuitions fondamentaJea ; elles sont à nos yeux également autorisées à servir de base à la science, Noos aimenons donc mieux, même si nous nous étions décidé pour l'un des deux systèmes, donner à notre exposition, si c'est possible, une forme qui contentât h la fois l'Idéaliste et l'Empiriste. Il faudrait d'ailleurs qu'elle suffît alors au besoin de rigueur du lecteur qui ne possède le concept de grandeur qu'à son premier degré d'abstraction. Mais par quelle espèce d'exposition y parviendrons-nous? A cette question, il n'y a qu'une réponse.

Puisqu'un mode d exposition convenant h la fois aux conceptions idéaliste et empiriste n'est pas possible, il en faut chercher un qui ne se compose que de ce qui ne contredit aucune des deux manières de voir. Cela impose à l'exposition neutre les restrictions suivantes :

Doivent être mis hors d'usage tous les concepts qui ne répondent qu'à une des deux intuitions fondamentales. Ainsi d'abord toute la métaphysique idéaliste, l'infmiment grand et l'infiniment petit, et ce qu'une étude plus profonde nous révèle comme étant une fiction idéaliste. Nous devons, pour éviter îes protestations de l'Empiriste ne pas quitter le domaine du re présentable. Nous userons de l'idée empiriste de l'exact à volonté, comme des Actions idéalistes ; l'exposition neutre la laissera de côté. Au contraire nous appliquerons les concepts tels que grandeur, valeur, longueur, étendue, intervalle, comme ferait l'Idéaliste. L'Empiriste peut être tranquille parce que ces expressions contiennent implioitemeal la double interprétation.

Je me servirai donc, en me conformant à ces restrictions, du langage purement empiriste ('). Il a l'avantage de n'être jamais contestable puisqu'il n'emploie pas les expressions

(*) Excepté dans le dernier art. du ciajj. V.

clésignanL d'autres concepts que ceux qui sont abstraits des porcepUons ou qui peuvent s'y ramener. Les périphrases qui doivent se présenter ça et là à la place des désignations brèves de l'Idéaliste semblent bien donner au langage quelque cbose de traînant, mais il pourra ôtre intéressant d'apprendre h connaître une théorie, où l'opposition des deux intuitions fondamentales joue un rôle si important, dans un langage débarrassé de tous les idéaux.

Quant à ce qui concerne au contraire le développement logique d'une pareille théorie et de ses démonstrations, il devra être fait ii la manière idéaliste, puisque nous n'excluons pas la représentation de grandeur idéaliste, quand nous parlons de valeurs. Il faudra, en effet, des preuves donnantsatislaction à l'Idéaliste qui croit à l'exact absolu, suffisant à fortiori à l'Empiriste qui ne parle dans les rapports de grandeur que d'un exact à volonté.

Ainsi donc : langage empiriste, preuves idéalistes.

42. — Vue d'ensemble sur la suite de notre étude. — Cette devise entre en vigueur dans le dernier article de ce chapitre,

2 ui traite des limites des suites de quantités discontinues, et ans les trois chapitres suivants sur l'argument, la fonction, et la marche finale des fonctions. Dans la détermination de son concept d'argument, l'Empiriste s'esi déjà heurté à une difficulté qu'il a. en vérité, facilement aplanie. En pénétrant dans la nature de l'argument, l'esprit neutre voit avec clarté que précisément ici le dualisme des deux intuitions a une efficacité énorme s'élendant à des questions scientifiques qui jusqu'ici ne faisaient pas soupçonner des considérations remontant aussi loin. Naturellement l'opposition de l'argument de l'Idéaliste et de l'Empiriste domine aussi le concept de fonction dont nous pouvons maintenant seulement épuiser le contenu. Chemin faisant nous ne passerons pas sous silence ce qui se trouvera sur notre route des principes fondamentaux essentiels de !a théorie générale des fonctions. La a marche finale des fonctions » pour les valeurs indéfiniment croissantes de l'argument sera enfin soumise à une analyse scrupuleuse. A la théorie de cette marche finale appartient le principe général de convergence et de divergence, et en le discutant nous mettrons la dernière main au concept de limite.

Si nous jetons un regard sur le chemin parcouru et sur celui qu'il nous reste à parcourir, nous voyons que notre objet essentiel a été jusqu'à présent le concept de grandeur, pour la délimitalion précise duquel nous avons considéré la limite de

la fraciioQ décimale comme cas simple du concept de limite ; désormais le concept de limite lui-môme viendra au premier plan. Avec les derniers articles de ce chapitre et les chapitres suivants dont nous venons d'esquisser rapidement le contenu, nous mettons le pied sur le sol mathématique.

Il reste donc encore une lacune à combler dans cette étude sur les premiers concepts de la pensée exacte. Gomme nous l'avons fait pour le concept de grandeur, il faut aussi que par rapport au concept de limite nous lâchions de remonter à son oncine et de fixer son contenu naturel. L'étude de l'origine pronlable d'un si puissant domaine de pensée, de son étape naïve et de son étape scientifique, de sa Paléogénêse, comme on pourrait dire d'un mot, présente un grand charme. Mais ce qui nous remplit d'une profonde satisfaction, c'est la nettelé et la traaaparence qu'acquiert le concept , lorsque par le concours des perceptions dont il dérive, H naît pour ainsi dire sous nos yeux.

43. — Premier degré de développement du concept de limite. — La Paléogénêse du concept de limite est semblable en général h celle du concept de grandeur; cependant elle a son individualité et ce n'est qu'au terme supérieur de son développement que les deux concepts se rejoignent. Voici en résumé comment nous avons fait naître le concept de grandeur.

Nous avons commencé par distinguer le concept de grandeur linéaire comme fondement de la comparaison exacte et des CiOmbinaisons mathématiques. Ce concept de grandeur linéaire lui-môme offre au premier coup d'oaû deux degrés d'abstraction : tout d'abord, c'est la représentation de grandeur naïve, puis il s'en forme une, affinée par la science de la mesure, et s'adaptant aux fins d'une comparaison savante.

Seulement s'il sufflt dans la plupart des recherches sur les concepts d'avoir décrit ces deux degrés de développement qui sont sans doute à disti:iguer pour tous les concepts fondamentaux devenus utiles àlascience. le concept de grandeur apprend qu'il ne faut pas s'en tenir là. U s'y joint, en effet, une certaine suite fermée de représentations, qui y est liée d'une façon inséparable, ce qui fait que l'étude de ce concept nous fait remonter aux premières perceptions et à notre processus intellectuel. U s'agit de la réunion non pas d'un certain nombre de quantités en une seule, mais d'un ensemble illimité de quantités de plus en plus petites, également en une seule, — qui donne ce qu'on appelle la limite, — bref c'est le concept délimite, ou au moins c'en est une partie.

Pour compléter le concept de grandeur au sens du concept de limite, et réunir les deux formes de pensée en une seule

rigoureuse, il faut faire atteindre à l'abstraction i degré, celui qui appartient h la théorie de la connaissance, — C'est ce qui a eu lieu dans le débat de l'Idéaliste et de l'Empiriste. Mais, du môme coup, la métaphysique du concept de limite est évidemment épuisée, on mieux, par l'étude psychologique du concept de limite, qui santé par-dessus les premières étapes de ce concept, l'eiamen du concept de grandeur se trouve terminé. En tous cas, nous pouvons regarder comme atteint par le concept de limite le degré où il appartient à la théorie de la connaissance, de sorte qu'il ae nous reste plus qu'à jeter un regard en arrière sur son origine.

Ainsi donc, comme pour le concept de grandeur nous distinguerons dans le développement d'une forme d'iutuition aussi générale qu'est le concept de limite, un degré primitif et un degré scientifique. La composition de ce concept est quelque chose de Irès-romarquable.

C'est d'abord clairement un ensemble d'abstractions tirées du monde extérieur et du monde intérieur (ou psychique) des phénomènes. La limite est le terme conforme à l'expérience d'un phénomène dont la variation progressive n'a p^s de terme dans l'expression seusible ni dans la suite des représentations qu'engendre cette impression. L'obscurité de la nuit qui croit pendant assez longtemps est la limite de la clarté évanouissante du jour, celle-ci inversement est la limite de l'obscurité ■ qui s'en va L'arrêt final d'un pendule, le tarissement d'une source ; d'un autre côté, le grossissement maximum des eaux, la furie extrême de la tempête, le jour le plus long, la nuit la plus longue de l'année, bref la fin de toute variation à peine sensible qui semble se continuer sans fin et h perte de vue dans la représentation qu'elle suscite, mais qui pourtant d'après l'expérience finit par cesser complètement ou par atteindre son maximum, — vodà des exemples du processus de l'idée do limite, dont il est question.

Ainsi donc, par ces perceptions élémentaires un phénimène psychique et un phénomène variable s'unissent réellement en une intuition.

Cette suite d'idées est pleinement mise en lumière par le fameux sophisme de la philosophie grecque, dont toute la force réside dans la séparation des deux phénomènes.

Je veux parler du raisonnement de Zenon suivant, lequel un objet qui possède un mouvemeut uniforme ne peut parcourir une étendue ; la flèche qu'on a lancée ne peut, pwr pie, atteindre la cible. (')

Le raisonnejnant de Zéaon tel qu'il est généralement conue se rattache à la course qu'il fait faire à Achille et à la tortue. Dans le

La flèche décochée doit parcourir successivement la moitié, les trois quarts, les sept huitièmes, etc. — de la distance qui sépare le tireur de la cible. Si nombreuses que soient les portions de celte distance qu'elle a déjà franchies; elle en a toujours un nombre illimité clevant-elle ; mais puisqu'elle doit les avoir parcourues toutes pour atteindre le but, elle ne peut évidemment jamais l'atteindre.

Ce sophisme peut-fttre roFuté de deux manières : On peut dire que le femps nécessaire pour parcourir les fractions

d'étendue p 5:- -■ -diminue dans le môme rapport que ces fractions ; que, par suile, le nombre illimité de points de divisions -^^sera parcouru dans un temps fini. — Ou bien encore on objecte avec plus de justesse que le partage du chemin en portions de la forme „^ est une opération arbitraire et que la flèche en réalité parcourt l'un après l'autre les quatre quarts ou les huit huitièmes, etc.. de son chemin, mettant d'ailleurs des temps égaux parcourir les fractions égales. De ces points aussi peu éloignés qu'on veut les uns des autres le sophisme tire sans aucun fondement réel une série particulière.

De telles objections sont bien contradictoires avec la conclusion du sophisme, mais elle ne l'éclairci.ssent pas, ello ne découvrent pas la faute du raisonnement. Celte faute so cache plus profondément.

Le paradoxe dit bien que la flèche diïvant parcourir en

réalité les points Ô' 7> o ' ' ' etc. ,indéflnimRnt, occupe Loujours dans noire représentation la même situation en lant qu'elle a encore devant elle un nombre illimité de points h parcourir. Dans ce fait rien ne peut jamais changer. Or, tout-à-coup, la flèche sort de cette suite de représentations, et, absolument sans transition, est fixée à là cible.

C'est donc là qu'est le point laible, le paradoxe, c'est dans l'opposition que présentent d'une part une suile de représentations, qui par sa nature est illimitée, et par conséquent non

problème de la fièche, Zenon traite un autre point. Bien que cet pas essentiel pour nous, observons que ces raisonnements ne soi l'origine donnés pour des sophismes, mais servent d'appui à snphie de Zenon. [ comparer Zeller — La philosophie des gre Elèates, traduit par Boutroux ).

seulement n'exige pas de teemo mais n'en possède aucun — et d'autre part, le fait matériel qui met fin à celte suite de représentations.

Celte combioaiaon de représentations, dont la séparation prend la forme d'un sophisme, se fond par l'habitude en une seule forme d'intuition, sur laquelle on ne réfléchit pas, et qui appartient au système de réprésentations de mots, telle que limite, fin, terme etc. . , , absolument cjmme l'infini, l'exact, l'invariable de forme et d'autres représentations de limite, qui désignent des limites, non nécessatremeuL existantes dans le monde extérieur, de purs phénomènes de pensée, mais h l'existence desquelles nous concluons, parceque le monde des phénomènes réels nous a habitués aux limites.

Mais, .jusqu'ici, il n'a été question qu'en partie du concept primitif de limite. Il vient s'y ajouter quelque chose. Nous connaissons aussi l'accroissement sans fin, la variation sans terme. Le mouvement en cercle peut n'être jamais arrêlé, l'alternance des saisons et la succession des étoiles semblent éternelles. Ainsi il nous faut encore admettre dans cette forme d'intuition la nature des variations qui comporte ou qui exige une limite.

On ne s'attache pas à. trouver dans l'intuition de tous les hommes des déterminations exactes de cette nature de variation. Pourtant le sentiment distingue des phénomènes tels que l'accroissement du temps de ceux où un certain maximum est atteint — comme la croissance d'un arbre: Bst modus in rébus, sunt certi denique fines. On pourra donc regarder comme «ppartinant aussi au système de représentations de l'homme pi'imit'f, — quoique sous une forme moins précise, — ce principe que une quantité qui ne fait que croître ou décroître tend vers une limite,si elle ne varie pas au-delà de toutes limites Le concept primilit de limite a donc en général le contenu (lue voici: Des phénomènes sans nombre consistent dans des variations que nous ne sommes pas en état de poursuivre jusqu'à leur fin, ni par la perception des sens, ni par la pensée; et pourtant ils ont une limite. Comment elle est attemte, notre représentation ne saurait le dire. — D'autres phénomènes, au contraire, n'ont pas de terme.

Et deuxièmement : il y a dans la nature de la variation des conditions qui entraînent la nécessité de Sa limite pour le phénomène.

Le concept de limite se décompose donc en deux parties essentielles : l'existence de la limite, puis la nature des conditions sous lesquelles une variation a une limite.

44. — Le concept scientifique de limite, — Le concept (|ui eal ainsi une abstraction primitive tirée aussi bien des perceptions internes que du monde extérieur, va nous amener aux représentations engendrées absolumeat par le processus de la pensée, et ainsi naîtra le concept scientifique de limite. Il se rapporte tantôt à des limites de suites de valeurs individuelles, comme c'était le cas le plus fréquent dans la mathématique des anciens, — (par exemple, dans les questions de la circonférence du cercle considérée comme limite de périmètres de polygones, et dans les quadratures d'Archimède) ; tantôt la limite est le terme de suites de valeurs continues, comme dans la question delà tangente,— limite de la sécante, et des nombreuses limites du calcul difîérentisl qui est sorti du problème de la tangente. Mais dans la théorie abstraite des grandeurs l'existence de la limite est toujours tirée simplement et sans discussion du concept primitif de limite. Ce qui est l'objet d'un problème soientilique, c'est seulement la nature des suites de q^uantités, qui comportent une limite, et il s'agit là de règles pratiques, du critériumde convergence des opérations infinies sous des hypothèses très restreintes, et non pas d'un principe général embrassant toutes les suites de quantités possibles.

En désignant par suites asymplotiq^ues celles qui ont une valeur asymptotique, c'est-ù-dire une limite, et sans excepter le cas où la suite oscille autour de sa valeur asymptotique — nous pourrons déterminer comme il suit le contenu naturel du concept scientifique de limite.

Il comprend l'idée de limite dans le sens où l'entendaient l'Idéaliste et l'Empiriste, c'est-à-dire les preuves qu'ont fournies les deux intuitions fondamentales pour l'existence de la limite de suites asymptotiques aussi simples que possiblp, et en outre les conditions nécessaires pour qu'une suite donnée soit asymptotique.

Ainsi compris le concept de limite n'était jusqu'ici pas encore à l'ordre du jour dans le problème que la inathémalique moderne s'est, posé, et qui a pour objet d'assurer ses propres fondements : et ce n'étaii pas seulement la démonstration de l'existence delà limite qui n'y figurait pas, il en était de même du théorème décisif sur !e caractère asymptotique d'une suite que j'ai appelée principe général de convergence et de divergence. On y avait si peu réfléchi que, en 1871, J'ai été obligé pour une démonstration d'éclaircir un cas particulier du principe (à savoir que une série M,-i-Mj+.. converge

si l'ensemble de Cauchy u^ + i*m ■^ i + +**ii f'îrifl toujours

Vers zéro, wi et n croissant indélîniment.) (')

(') Mon programme d'entrée à l'Uiiiversité fie Fribourg, p. 2.

Le conoepi soienliRque de limite est, donc complété au sens que nous avons indiqué par la démonstration que donne le chapitre Vdu principe général de convergence et de divergence. Nous bornerions là ces considérations générales sans le souvenir de quelques difficultés qui ont une fois enrayé notre marche, et dont je vais faire mention pour finir, —pour qu'elles achèvent de donner une idée exacte de ces recherches sur les concepts.

45. — Des limites de suites discontinues et continues. — Ayant reconnu que la limile ne possède pas l'évidence d'une perception directe, Je ne négligeai aucun moyen accessible pour en démontrer l'exislence. C'eût été vraisemblemcnl une découverte merveilleuse. Tout effort cependant fut vain, il ne me restait de cette première partie de mes recherches que les deus démonstrations de l'idéalisie (art. 21) avec leur réfutation. — J'en déduisis que l'impossibilité de démontrer la limite pouvait seule donner le problème delà théorie critique de la connaissance , correspondant au 3" degré d'abstraction du concept de grandeur.

A la vérité ce problème ne. résultait pas encore exclusivement de l'impossibilité de la démonstration de la limite. Je crus d'abord devoir chercher un passage à la limited'une cortaine nature toute simple, d'où les autres limites puissent se déduire par combinaison. Et ma recherche s'est trouvée arrêtée par cette opinion que la formation de la limite est un concept distinct suivant qu'elle procède de suites discontinues ou continues, de sorte que pour chacun des deux cas il faut trouver la forme simple fondamentale. Tout au plus la limite des suites discontinues serait à considérer comme impliquée dans celles des suites continues. Pour cette raison beaucoup de preuves qui s'offraient à moi pour l'existence de la limite des suites continues, sous l'hypothèse de la limite de la fraclion décimale, provoquèrent ma profonde méfiance. Mais alors, je fis cette observation : Si je voulais, sous l'hypothèse de la limite d'une certaine succession .continue, démontrer les théorèmes généraux, les démonstrations impliqueraient inévitablement, sous une forme quelconque, la suite de quantités discontinues. Celle ci était toujours là. Je m'appliquai finalement à coasidérer cette apparition comme une propriété de notre pensée, qui non seulement, comme on le sait, résout la continuité dans une variation s'cffectnant par sauts ('), mais

(*} Dans les perceptions de la vue, le mouvement saccadé de la prunelle qui s'observe dans la contemplation d'un objet éfandu est un signe extérieur de cette propriété de la pensée, mentionnée dans le texte. I^es