CHAPITRE IV

La Fonrlion

57. — Notions premières. — Nous poursuivons mainlenanl le concept de fonctions au-delà du point où l'ont laissé l'Idéaliste et l'Empiriste. Mais nous ferons intervenir sans nouvelle explication, ([uand cela paraîtra utile, la distinction des i'onclions en anorthoïdes et orlhoïdes, — distinction (jui a évidcnîraent un caractère neutre.

Nous l'avons suffisamment indiqué : par fonction de la variable ou de l'argument il faut entendre une détermination à l'aide de laquelle aux valeurs de l'argument correspondent des valeurs de la fonction ; et nous devons encore montrer tout ce qu'impli(iue cette expression : valeur de fonction. A une valeur d'argument particulière on peut faire correspondre comme valeur de fonction une valeur particulière, ou bien un nombre limité ou illimité de valeurs, ou bien tout un intervalle de valeurs, ou bien une série d'intervalles de ce genre, lirel on peut y faire correspondre un quelconque des ensembles de points mentionnés dans l'article 51, ou des ensemi)les d'élendues qui leur étaient liés. On figure depuis Descartes les fondions en menant des lignes droites perpendiculaires h l'étendue tl'argument aux points ([ui marquent les valeurs d'argument, et en portant sur ces lignes les valeurs de fonction positives d'un côté, négatives de l'autre côté de l'étendue d'argumenl. Mais ce n'est pas seulement dans la manière dont on fait correspondre les valeurs de fonction (lu'il nous faut insister sur l'absence de restrictions ; les valeurs d'argument ijui font ])rendre à la fonction une certaine détermination peuvent être aussi choisies en pleine liberté. Le concept général de fonction, tel qu'il ressort de l'analyse nouvelle, n'exige pas, par exemple, que la fonction soit donnée pour toute valeur d'argument ; bien plus, elle peut n'ôtre donnée, quand cel» suffit h notre but, ([ue pour un seul des systèmes do points de l'art. 5'). Eh bien, pour conserver la généralité la plus grande, nous pouvons imaginer une loi, d'nprès laquelle ilans des

étendues d'argument lixées par elle on peut choisir arbilrairemenl un point cl y placer la valeur de l'onction, absolument comme nous avons fait correspondre à, la valeur d'argument unique des intervalles entiers pour valeurs de fonction.

A l'égard des valeurs de fonction qui correspondent aux diverses valeurs de l'argument, on aura à distinguer suivant leur nombre et leur nature" les dépendances simples, multiples, etc., — et celles qui sont indéterminées entre des limites données.

A l'égard des valeurs cVargunient que revendique la fonction, on aura à distinguer les fonctions données complètement, (c'est-à-dire pour la pantachie complète des valeurs d'argumenH, de celles qui sont àonnéd'àincomplelement, (c'est-à-dire, parexemple,pour une pantachie ou une apanlachie(iuelconque).

Pour éclaircir davantage le concept de fonction, bornonsnous simplement à la pantachie compUMe des valeurs d'argument 0 < a? <^ 1.

L'Idéaliste se trouve ici en face d'une question analogue à celle des fractions décimales éternellement sans loi. Il imagine une ordonnée construite sur chaque valeur particulière du continu des nombres. Sur cette ordonnée se trouve un continu de nombres exactement comme sur l'étendue d'argument, et l'Idéaliste obtient l'ensemble de toutes les fonctions en portant sur toutes les valeurs d'argument toutes les combinaisons de valeurs d'ordonnée. Dans cette marche rien n'exige l'existence d'une loi. A la conception de l'Idéaliste répond l'ensemble infini de toutes les valeurs de fonctions particulières imaginables que peut donner le hasard, et par là il atteint à l'abstraction extrême d'une fonction absolument sans loi.

L'Empirisle au contraire, pour qui il n'y a pas de continu des nombres, peut imaginer des points innombrables pourvus de valeurs arbitraires ; il peut faire correspondre indéfiniment des valeurs de fonction à des panlachies et apantachies sans nombre d'après une loi arbitraire : il aura toujours à pourvoir de valeurs le reste de la pantachie complète, qu'une pareille détermination n'aura pas rendue plus pauvre en points.

Cette pantachie infinie t[ui reste lorme toujours l'arrièrefond, dont l'Empiriste n'approche jamais malgré l'hypothèse que tous les points d'argument accessibles à sa fantaisie sont pourvus de valeurs. Pour déterminer complètement la fonction, il est obligé d'avoir recours à une formule générale (jui fasse correspondre la fonction aune pantachie infinie de l'argument. Pour l'Empiriste c'est là une nécessité.

Voici donc où est conduit l'Empiriste : Pour obtenir une fonction complètement déterminée, des points isolés pris arbi-

trairemenl peuvent être pourvus de valeurs arbitraires ; à des apantachics et à des pantachif-s illimitées prises arbitrairement on peut l'aire correspondre comme boa semblera des valeurs de l'onction : à cùté de ces déterminations, il faut qu'on donne une formule générale, d'après laquelle l'ensemble des valeurs d'argument de la pantachie infinie qui reste encore doit être pourvu de valeurs de fonction.

C'est là pour l'Empirisle le concept le plus giinéral d'une fonction donnée complètement, que ncus n'avons pas le droit de dépasser dans notre exposé neutre, parce que nous devons laisser de côté, comme pure fiction idéaliste, les fonctions complètement dépourvues de loi. (*)

D'après cela, il faudrait distinguer avant tout deux catégories de fonction : celles où une loi généralement valable lie la fonction et l'argument, et celles où certaines espèces dénombrables de points sont exceptées de la formule générale et doivent être pourvues d'autres valeurs que celles que prescrivait la loi générale.

On peut à peine considérer cela comme une restriction, si on renonce à l'image idéaliste de la fonction, ou mieL;x à son équivalent géométrique (art. 39). Ce que la critique de l'Empiriste en laisse subsister est encore, k y regarder de près, d'une si étonnante généralité qu'une pareille base peut, comme elle le doit d'ailleurs, nous suffire pleinement pour le iléveloppement du concept de Ibnction. Dans ce chapitre nous ne ferons plus que quelques réllexions sur le concept général de fonction. Il s'agira exclusivement de la fa(:on dont se comporte une valeur de fonction particulière à l'égard des valeurs voisines, et des éléments du concept de continuité qui se rattache directement à cotte question.

Si plus lard, nous reprenons cette étude générale, le procédé naturel et logique consistera à restreindre peu h peu ce

(*) La romarqiio, incontestablement exacte pour ]'Idéalt.<te (art. 39), à .savoir qu'une l'onction donnée pour la pantachie complète à l'exception (le pantachies illimitées, ot donnée en particulier, mais avec une autre détermination, pour ces pantachies illimitées — ne doit pas être considérée comme complètement donnée, — que bien plus une loi commune doit nécessairement détenuiner toutes les valeurs de fonction, — ne doit pas être prise en considération dans notre exposé neutre ; l'abiuie entre illimité et infini ou Fétenduc nuageuse (art. 30) est une fiction idéaliste ijue ri^npiriste n'accepterais pas sans la di.scuter. .le remarque d'ailleurs q^ie dans beaucoup de câis cette olijection de l'Idéaliste peut perdre sa force même aux yeux de rifléaliste. Nous en trouvons un exemple dans la fonction Ib, art. r>^), avec son interprétation (art. h9\ où je montrei-ai comment la loi s'appliquant à la pantachie illimitée peut être étendue à la pantachie complète.

concept gC'iiéral dans la direclinii rlos Ibnclions dites analyti- (|ues; en quoi le principe de classidcalion sera fourni par les concepLs d'inlégmle, de ffiiolienL diiïérenliel, mais principalement par les diverses conditions de possibilité de représentation des (onctions à l'aide de formules de représentation. Une classilication de plus en plus ligoureus^' <'l parlailo des l'onctions peuL-élre considérée non seulement comme l'étoile f]ui guidera nos recherches, mais aussi comme le but asymploticpie de l'analyse.

Le but des recherches ((ui s'y rapportent serait d'après cela une classilication systémati((ue des l'onctions, absolument comme la science de la nature s'efforce d'en établir une pour les êtres vivants, nécessaire par elle-même et partailement conforme aux phénomènes. Je me complais dans cette comparaison : Il existe certainement une analogie d'une part entre les formes vég('tales et animales les plus simples, la faible liaison des parties, etc., et le concept le plus général de fonction, celui de fonction anorthoïde (art. 37,8), et d'autre part entre les formes plus élevées d'animaux et les fondions de la théorie complexe des fonctions. Il suffit d'une parclle de plan pour déterminer ces fonctions dans tout le plan, comme un os suffisait à Guvier pour reconstruire l'espèce. Entre les deux classifications on remarque pourtant, au moins pour le moment, une difTérence formelle. La classification des êtres vivants établit des classes essentiellement coordonnées, quoiqu'ici ce soit un principe de subordination qui préside, comme il doit le faire, à la répartition. Mais les classes successives de ia théorie générale des fonctions ne sont Jusqu'ici que subordonnées, car toute classe nouvelle, étant née de la Imitation d'un concept de fonction plus général, doit appartenir à toutes les précédentes. Cela n'est pourtant ({ue le premier germe de la théorie future. Comme la théorie des fonctions analytiques, qui comprend maintenant déjà diverses classes de fonctions coordonnées, — la théorie générale des fonctions ressemblera de plus en plus, grâce aux recherches futures, à la classification des sciences naturelles.

58. — Quelques exemples de fonctions. — Je commence par donner quelques exemples simples de fonctions pour rendre plus claires les distinctions que nous allons établir. Les nombres rationnels s'offrent comme pantachie illimitée qu'il faut pourvoir de déterminations particulières de fonction. J'utiliserai les propriétés suivantes :

Je donne au nombre rationnel la forme -y, où Z est pre-

mie r avec A'. N sera pris delà forme p/ jj2^'...pr ^^ où les

p désignent des nombres premiers, et les f des nombres entiers.

1" On peut autour de chaque point limiter un intervalle assez petit pour qu'il ne renferme , à l'exception de ce point, que des nombres rationnels à dénominateur plus grand qu'un nombre iVi choisi aussi grand (ju'on aura voulu.

Car tous les nombres rationnels à dénominateur > A'i forment un système de points isolés^ et dans tout intervalle, si petit qu'il soit, il y a des nombres rationnels.

2" Etant donné un intervalle A et une série de nombres premiers ^îi, pi,- . . pr, où p\< 2, l'intervalle A renferme toujours

des nombres rationnels de la forme : : 7~

p, '^^ pi' ...pr-'-

Cela est évident.

J'indiquerai maintenant les fonctions suivantes.

Fonctions anorlhoïdes la. — f (oc) z::z 'S X pour les valeurs :

ce— 0,3; 0,33; 0,333; etc.

et f{x) ^^ o pour .r =z i

b. — f {n) := iio -\- u, -\- ih -\- ... + u^ , où les u sont des quantités quelconques. Cette fonction n'a de sens que pour les valeurs entières de raj:'gum8nl.

lia. — f (.r) HT 1 pour les valeurs rationnelles de jo, f (o:) -:^ 0 pour les valeurs irrationnelles de x.

b. — / {x) prend pour x r= : r ~ les valeurs ,

p, ^' Pi •"- ... Pr^'

p, Pi... Pr

et f{x) = o pour toutes les autres valeurs de x.

c. — / {x) prend pour x =: z r — les valeurs

ih^' p,^' .,. p.^'

et / {x) ~ 0 pour les autres valeurs de .r.

Fonctions orlhoïcles i 1.1 .Il e^~ ^