IV. r(.v) = limii^^ TT

V. Oulrc CCS t'onclion.s unorLhoïdes et orlhoïdcs parliciiliorcs, Je cilerai encore le groupe de Ibnclions

^=■90 ('OS ///,, œ,

qui, suivant l'acrcoissement relatif de j), m,, , a,, , représente toute une échelle d'orthoïdies et d'anorthoïdies (Art. 03).

Les fonctions I sont des exemples de fonctions non complètement données. Il va de soi que nous pouvons compléter ces fonctions, suivant nos besoins, en pourvoyant aux valeurs d'argument au.xquelles ne répondait rien.

59. — Valeurs de fonctions directes et indirectes. — Etudions maintenant ce qu'il faut entendre au sens le plus général par valeur de fonction.

On dira que ff'x) est simplement la valeur de fonction que la formule de la fonction fait correspondre à x. Cela est rigoureu.x; seulement à ces valeurs de fonction directes peuvent e'en ajouter d'autres qu'on est fondé à considérer comme valeurs de ffx) non pas seulement par ce que les applications y conduisent, mais parce qu'on les juge telles d'un point de vue purement abstrait. Elles apparaissent quand on forme la

valeur directe f(xj pour un point a?i ^ x, qu'ensuite on intercale une suite de valeurs x.2 x.i ,.. . entre Xi et x, qui s'approchent indéfiniment de x, et qu'on cherche la limite de la série ffxij, f{xj), t\Xi). ... On arrive ainsi par une voie indirecte à des valeurs f(x), qui peuvent différer de celles qu'on obtient directement. Nous les nommerons valeurs de fonction indirectes. Une fonction rationnelle et entière de x ne possède pas de ces valeurs distinctes des directes. Sin x, e", et les fonctions de ce genre n'en ont pas davantage. Considérons au contraire

la première fonciion I de l'article précédent. Pour x — -^

sa valeur directe est zéro, mais la limite de /'(0.3). /(0,33), etc., est 1.

On désignera une valeur de fonction indirecte correspondant hx par lim ^r.f{x + «i. On devra, bien entendu, ajouter

par quelle série de valeurs positives ou négatives on fait varier». Complétons, par exemple, la fonction I en faisant correspondre zéro à toutes les valeurs d'argument qui sont libres, 1 reslc la limite de la suite /"(OjS), /l[0,o3),. . . : pourtant, quoique les

valeurs d'argument ^—r, .-t-t: < ^-ô tendent vcrs-i zéro est

la limite de /'(.t-ô)-' /^(-n})

Dirichlet (1) a recours pour lim /(•^+», ^ une notation

abrégée dont nous ferons souvent usage. Il écrit

/ X -f-o) et / (r — o).

f {x -f 0) désigne les valeurs indirectes pour une suite de valeurs positives de i. Il doit être indiqué en outre, si c'est nécessaire, quelle est cette série de valeurs que prend e. Si on ne le tait pas, f [X -{- o) pourra désigner l'ensemble de toutes les valeurs positives indirectes. — De môme pour fÇx — <>).

Dans toutes les fonctions II, 111, IV, se présentent des valeurs indirectes distinctes des directes.

Dans la fonction lU , qui est 1 ou zéro selon que l'argument est rationnel ou irrationnel, h toute valeur de l'argument répondent à la fois les valeurs indirectes zéro ou 1.

Pour la fonction II/, , les valeurs directes sont zéro ou

suivant que l'ur^ument est rationnel ou irrationnel

Pi Pi . . ./h

et de dénominateur p, f'tp2 ^'" ' "^^rf,. Aux yeux de l'Idéaliste, soit dit en passant, cette dernière détermination peut comprendre les valeurs irrationnelles ; il suffit de concevoir les irrationnelles comme des fractions dont le dénominateur connent des facteurs premiers en nombre infini ou inflniment grands. Une irrationnelle peut encore naître, p restant fini, de l'accroissement dos p. Les valeurs indirectes existent pour toute valeur de l'argument en nombre illimité. Pour toute valeur de l'argument on a les suivantes :

parce que dans un petit intervalle renfermant une valeur d'argument il se présente des nombres de la forme

^ly Repertoriuia der Pliysik Voii Uove iiiul Muser, tome I. p. 170.

Qiianl à ia fonclion II c, ses valeurs indircclessonl toutes zùro, parce qu'on peut limiter autour declKU|ue valeur d'argument un inlervalli' où n'apparaisse aucun-nombre rationnel de déno-

Pr P' • • Pr

minatcur />,///" p/ inférieur à un nombre choisi aussi grand qu'on a voulu.

Absence des valeurs de fonction pour certaines valeurs d'argument. — Il n'est pas rare de voir les valeurs de l'onction directes faire défaut pour des valeurs d'argument parliculiùres. Les fonctions III en fournissent des exemples. Car, puisque

pour a; i= o, — est dépourvu de sens, toutes les fonctions III

pour a; = 0 cessent d'être données. Il en va de même de

a; sin — i car sin rr- ne représentant aucune quantité, on ne peut

dire que 0 sin—r-soil égal h zéro.

/ (xj — — a les valeurs indirectes f {0 -\- 0) :=z -{-xi ; f(i) - 0)

z:: — oc; c'est-à-dire que x tendant vers zéro cette fonction croît ou décroît indéfiniment.

f(x) zz sin — 'a comme valeurs indirectes les valeurs indéler-

OC

minées entre — 1 et -|- 1.

f\x) =: e-' a les valeurs indirectes /(O + G) =: + x, f(0 — 0) = 0. En général, la non existence des valeurs de fonclion se présente toutes les fois que pour une valeur d'argument la fonction est infinie, comme on dit souvent, car nos opérations analytif[ues sur les quantités pouvant fournir un accroissement indéfini, mais non point rinfinide l'Idéaliste, il faut, quand une fonction semble devenir infinie en un point, que l'illusion se traduise

dans quelque symbole dépourvu de sens comme — pour x =0.

Lorsque les valeurs directes, comme dans les exemples précédents, n'existent pas, rien ne nous empêche de les rétablir

conformément à notre but. Ainsi la fonclion a; sin — devient une

fonclion complètement donnée, des (jue j'ajoute la condition que pour x ^z 0 elle soit nulle.

Valeurs limites indirectes. — Une troisième espèce de valeurs de fonclion joue encore un rôle en analyse et doit tout au moins cire mentionnée ici. Elles se présenlcnt dans les fonctions définies comme résultats d'un passage à la limite. Les fonctions IV en sont des exemples.

Considérons la l'onclion f{x)= lim, . T , ./ On ob-

lienl la ibnclion définie caraine limite, ici el dans tous les cas analogues, où on n'a pris aucune disposition, en donnant d'ofjord kx une certaine valeur d'argument déterniinée, et en ïmaanl ensuite h [nWnl. On trouve ainsi les valeurs directes

flx) = lim, î~r-7 — ~- pour x ^ o, et 1 pour xzizo. Les

valeurs indirectes pour x z:= o sont + x cl — x .

On obtient les valeurs limites indirectes pour un argument X, en mettant h la place des x dans l'expression qui suit le signe lim une valeur d'argument différente de x, savoir x + î. et faisant ensuite en même temps h infini et t nul, ces deux variables devant être alors liées par une relation. De

. ; ■ , — — (o on tire, pour x = o, -. — r—j—, i -\- h {x -{- t}- ' ' 1 + Aî-

La relation entre £ et h sera, par exemple, ih = y. L'expression précédente devient

dont la limite pour h = x est 1 + Y. c'est-à-dire, puisque y est arbitraire, une valeur quelconque. Les valeurs limites indirectes remplissent ainsi la distance entre les deux valeurs de fonctions extrêmes qui ici sont indirectes, lien est de même des

autres lonclions IV. La fonction ^//?i arct^ hx a, pour

h zn X

j; :=:: 0, la valeur directe zéro et les valeurs indirectes + ^ el

— 11- Ses v.ilours limites indirectes remplissent, comme on le

voit aisément, l'intervalle des valeurs de fonlions indirectes

± ^ ' Seulement il faut aussi bien remarquer que les valeurs

limites indirectes peuvent sortir de l'intervalle limité par les valeurs de {onction directes ou indirectes.

60. — Du saut des fonctions. — La plus grande dinVrence entre les valeurs d'une fonliou directes ou indirectes, pour une valeur d'argument particulière, est d'un intérêt spécial. Nous nommons s^iut cette plus grande différence. Par exemple, r. est le saut de /'///, a)-ct(/ hx pour x = o.

La fonction 11, , (|ui est 1 pour les arguments rationnels el zéro pour les autres, a pour tout argument une valeur de saut égale à i.

Dans la Ibni-lion Ifi, , qui poui' luul ui'gainon! de la Ibi'iuc

pi Pj p, prend la valeur , eL pour (oui au In

Vi pi . . -A

pipi...p,-

csl nulle, lo saut est -^y pour loul valeur de l'ai^LÇuincnl.

Dans la fonction II,, tpii pour x r=. p, p.,... p7 Jicquiorl

la valeur p, p. p^. el est nulle dans les auLre.s cas, lo

Ih ih . . -p,

saul csl pour ces valeurs de a; égal à p, p., p,. el, pourx

in ih ' . . .i>' irrationnelle, il esl zéro.

Dans ces fondions de construction exlrémemenL simple, le concept du saut n'offre aucune difficulté. Maison peut dans des fonctions plus compliquées voir de moins près le sens précis de ce (ju'il faut entendre par valeurs indirectes extrêmes. Dans la plupart des applications, il suffit d'une quantité telle que le saut de la fonction peut en être considéré comme la limite, à savoir l'o'icUlatioa de la fonction^ c'est-à-dire la plus grande différence des valeurs de fonction dans un intervalle suffisamment petit entourant un point. Celle différence maximum esl aussi en général une limite de différences de valem'S de fonction dont nous établirons plus loin l'existence. Elle est une limite, car les fonctions ne prennent pas ordinairement les plus petites valeurs qu'elles ne dépassent pas, ni les plusgrandes auxquelles elles ne deviennent pasinférieures. Les ibnctions de l'article 58 en sont des exemples. Ainsi la fonction la ne prend jamais sa plus grande valeur 1.

C'est de celle limite des différences des valeurs de fonction que le saut est lui-même la limite, obtenue comme il suit. Considérons une valeur d'argument x et formons l'intervalle (07— S, X 4- o)

Soit, dans cette intervalle, g^ la petite valeur que la fonction ne dépasse pas,^u la plus grande au-dessous de laquelle elle ne descende pas, et dont nous démontrerons plus tard l'existence. Quand 8 diminue, ^o ne peut pas augmenter, g^ ne peut pas fliminuer, et tous deux ont donc, en vertu de la proposition II du chapitre suivant, des limites déterminées Go et 6'u, — si, pour plus de simplicité, nous admettons que les valeurs de ionclion qui interviennent dans le calcul sont comprises entre

^0 —Oo

deslimilQS finies. La quanLilé G^ — G^ est le saul de la fonction au pointa;. Il ne reste plus qu'à montrer que lorsqu'on prend pour base l'intervalle {x — o,, x -\-^9), où o, et 3^ deviennent nuls en restant l'un à l'égard de l'autre dans un rapport quelconque, on obtient la même limite G^ — Gy^. Supposons o, >5i. et intraduisons de nouvelles notations. Soient les intervalles

{x— 5,, ic 4- Oç,)= A,i {x — $2 a; + Ô2 ) r= A,2

Je désignerai par 5'('''' les valeurs g de l'intervalle A^,^ . \>i est contenu dans X^, ^^ dans Au : On a donc

La limite de Qo ne peut donc être autre que Cr'o, celle de

<7u que Ou. Il laut encore remarquer qu'on peut distinguer aussi des valeurs de saut unilatérales correspondant à la limite de /7o et de Qu dans un intervalle [x — o, a) ou [x, x -\- o). On désignera enfin à la manière de Dirichlet ces valeurs de saut comme répondant à Targumont x — 0 ou à l'argument x -\- 0.

6L — De la continuité des fonctions en un point particulier de l'argument. — Une fonction est dite continue pour une valeur parLiculièrc d'arguments, si pour cette valeur le saut est nul. Le point est alors un point de continuité de la fonction. Elle est dite discontinue en un point, si en ce point le saut n'est pas nul. Quand la fonction croît au-delà de toutes limites dans le voisinage d'un point x, ou qu'elle devient infinie au sens idéaliste au point même, elle est également discontinue: en un pareil point en effet, il ne saurait exister de valeur do saut puisque rjo ni ^„ ne peuvent être déterminés. Le saut, ne pouvant être évalué, n'est pas nul.

Nous devrons ici encore distinguer une continuité unilatérale. La fonction f{x) sera, par exemple, continue pour un point X — 0, si la valeur de saut pour x — 0 est nulle.

Si nous parlons non pas de la valeur de saul de la fonction, mais de sa difï'érence maximum de valeurs dans une étendue, difl'érence dont le saut est la limite, nous énoncerons ainsi la condition de continuité :

La fonclion /"(.r) est continue au point x, s'il est toujours possible de limiter autour de ce point un intervalle a-sez pelil pour (lu'il ne s'y trouve aucune différence des valeurs de fonc-

[ion f [x) supérieure à uno quanLilé prise aussi pctilo qu'on aura voulu. Ce qui veut (lire, cii langage analyrK|ue : Soient e el £, deux ([uanlilés de signes que]con([ues. La conlinuilé de f (x) au poiuL X fait qu'il y a toujours aux valeurs absolues de £ cl £2 une limilc supérieure assez petite pour (jue la valeur absolue de la dinv-rence

reste au-dessous d'une f[uanlité prise aussi pelilo (ju'on aura voulu.

La condition habituelle, qui sert pratiquement à établir la continuité, s'énonce un peu autrement. Il n'y est question f[ue d'une quantité s, et elle exige f(u'on puisse donner à la valeur absolue de s une limite supi'rieure assez petite pour que, abstraction faite du signe. f{x) — f{x -\- z) reste au-dessous d'une quantité choisie aussi petite qu'on aura voulu. Les deux énoncés reviennent évidemment au même, car dans la première expression qu'on peut mettre sou? la forme

chacune des deux parties doit tomber au-dessous de toute limite, el la deuxième expression résulte de la première quand on fait £ ou £1 nul.

Si on prend pour la condition de continuité l'expression

on voit immédiatement que si la valeur /{x) n'existe pas, le

point X n'est pas un point de continuité. Il ne pourra le devenir

que si, pour la valeur de fonction qui manque, on fixe à volonté

une valeur propre. Ainsi la fonction x sin - au point x -=1 0 ne

peut être regardée comme continue que lorsqu'il est posé qu'elle est nulle pour x z= 0.

Pour ce qui est des fonctions de l'art 58, il ne saurait être

question de conlinuilé à propos des fonctions I non complètement données.

Des fonctions II, II a ni II b ne sont continues pour aucun point. La fonction le est continue pour tous les points irrationnels, discontinue pour les points rationnels.

Les fonctions III et IV sont toutes — et celles du groupe V sont en partie — discontinues au point ^ =: o.

62. — De la continuité des fonctions dans un intervalle. — Si une fonction est continue sur une étendue, non seulement la valeur du saut est nulle en chacun des points, mais encore cette fonction se fait remarquer à propos des plus grandes différences de fonction qu'elle présente dans un intervalle de cette étendue de continuité.

Nous avons vu plus haut f[u'une fonction peut ne pas prendre re''cllcmenl. la limite supérieure de ses valeurs dans un intervalle (Fonct. I a de l'art. 58). Encore nous faudra-t-il di'montrcr l'cxislcnce d'une pareille limite supérieure. Je vais m'appuycr ici sur une proposition rpji sera démontrée plus loin (Art. 61, III), à savoir que une fonction coniiyiue dans un intervalle y possède réellement des valeurs maxima et ininhna, et non pas seulement des limilcs supérieure et inférieure. D'après cela, l'o'ciltation ou la plus grande diiïércnce de valeurs dans un intervalle de la fonction continue est la différence de deux valeurs que prend réellement la fonction dans cet intervalle. Soit {ah, ooo) l'intervalle, f{x) la fonction. Son oscillation dans rintervalle (xi, x.) a donr- la forme f{x") — f{x'), abstraction faite du signe,

cci <x' < X " <.ro.

Si une fonction est continue en chaque point d'un intervalle, ses rapports aux valeurs voisines sont par là établis en chaque ]K)int et, par conséquent, de point en point, pr©iir tout l'intervalle. Pour exprimer de pareils rapports, bornons la fonclioti continue à l'iniervalle (0, 1 ); mais imaginons que la fonction se prolonge dans la direction x > 1, pour la valeur /"( 1 ), et dans la direction x < o, pour la valeur f{o), afin de pouvoir traiter aussi les extrémités de l'intervalle ( 0, 1) comme des points intérieurs. Puis introduisons certains intervalles /\.

Lesïnl'rvalles ^. — Soit M la plus grande différence de valeurs do f (x) dans l'intervalle (0, 1) et <j. une quantité < M. En outre, soit 1 l'intervalle maximum qu'un point x partage en deux parties égales, — (et que nous regarderons comme correspondant à ce point) — où l'oscillation atteigne la valeur y.. Je remarque exprcs^sément que les intervalles A ne sont pas li('^s il l'intervalle (0, 1). Au contraire, à cause de la précaution prise au sujet de la continuation de ffxj, ils peuvent dépasser les limites 0 et 1 ; et, pour les points voisins de ces limites, cela aura toujourslieu. .x et;/, déterminent évidemment A, et voici ce que l'on peut dire de ces quantités.

— Supposons d'abord x fixe.

A diminue et augmente en mémo temps (|ue a. Si a augmente, A peut ne pas croître d'une manière continue comme le montrent des figures faciles Ji construire ; mais il doit croître sans interruption. Car si on supposait que a variant de a, h ;/.j , A restât constant, mais (pi'il posséilàt pojr ;/. <^\i-i une plus polite valeur A', qui pour u. rz: a, deviendrait égale ù Aune difi'érence -te valeurs ;j.o — ;;., de la fonction /).r) devrait nécessairement tomber dans la différence îles intervalles A elA'. Celle-ci se compose de deux intervalles qui ont zéro pour limite quand

A' lend vcrs/\. Peu importe commoni la diiïiircncc a. — ;xi se dislribucra (Unis ces intervalles, elle s'y conserve, et, si on rend les intervalles de [)lus en plus petits, il y correspond au moins une disconlinuité de f{.t). Ainsi donc :

Si on imar/i)ir tjue <j. croisse oi(, décroisse d'une manière continue, A augmente ou, diminue en même Itwps, sans prendre ta vil'me valeur pour deu.^; valeurs de y.. Mais A pcuj carier par sauts brusi/ues.

En outre : Lorsi/ue /(.r) n'est pas constante autour de la valeur considérée de x, i\^et a tomijent en même temps a i-dessotis de toute limite.

En effet, si A reste supérieur h une limile /\u pendant ciuc a devient aussi pclit qu'on veut, il ne peut y avoir à l'inlérieur de ;;^i aucune diCIcrence fonctionnelle. Mais si la valeur de x considérée est située dans un intervalle où la fonction soit constante, ^ ne peut lombor au-flessnus du double ne la dislance qui sépare :e de l'extrémilé la plus voisine do Tinlervalle constant.

Nous avons considéré A comme fonction de [x et nous posons L^='i ('^% jji-) puisque /\ dépend aussi évidemment de a-. De ce que nous savons sur la relation qui lie A î'l i-'- nous pouvons déduire ce qui suit pour la fonction inverse ;j.=: p(-r,A). Faisons décroître A d'une manière continue, l<i où A, fonction de a, passe brusquement d'ime valeur A , à une valeur din'érente Ai, — ;-»• restera simplement constant, ^ variant d'une manière continue de A i i A l> •

Ainsi donc : Pour tout valeur de x autour de laquelle f {x) n'est pm constante, la fonction u =: p (îc, t\) tombe avec /\ audessous de toute limite sans jamais croître. Elle peut toutefois rester invariable pour des étendues de l'argument. Pour des points X autour desquels f (x) est constante, a fonction dej\, atteint le zéro plus vite que A f^' reste alors nulle, pendant que A diminue encore.

Je rcmaniue enfin que pour les considérations (|ui suivent, on pourrait aussi utiliser l'intervalle minimum où l'oscidaLion de la fonction atteint la valeur a, tout comme aussi dans les deux cas, les Jemi-intervalles ^r — A, x), {x, x -j- ^ )• Bornonsnous cependant pour le moment à nos déterminations de tout à l'heure.

Etude de la fonction \^~ zj( x, [j.J, x étant la variable. — Supposons maintenant y- constant et étudions A comme fonction de X. Ici se place tout d'abord une proposition que nous devons à M. Luroth i*) :

(•) Math. Ann. VI. 319. —

^ pxt continupar rapport à x ; il a donc une valeur minima [^0 cl preti'lcetln valeur pour une certaine valnur de x, x^,

Prenons dans l'inlervalle (a? — ,— , o: -f ~\ ou a 9 TT

un point a?i donl la dislance à x soit 5. On a alors :

car jusqu'à ^ t'I^; !^) — ^ o" pourra toujours agrandir -5 t'(^i!a)

sans que la difïcrence maximum de valeurs de f [x] dépasse a.

En outre -^ ^ [xx, a) ne pourra être supérieur à -zy^ix, a) 4-5,

sans quoi on pourrait élargir rinlervalle A. Mais de

i ;p (a?, , ix) > I cp (^, a) — 0 résulte

— :>5 ^ o (a-, , a) - cp (r,,a)^ 25.

Or 5 étant la valeur absolue de Xi — .r, -f (xi , a) — o (a;, a) tombe axec Xi — a; au dessous de toute limite.

Il est à remarquer que l'inégalité précédente, quand on récrit

fixe des limites au quotient diiïérentiel de ;p par rapport ii .r, que ce quotient soit ou non déierminé. Ainsi donc !f (.r, a) est continu; il existe une valeur minima /^, de ^, et dans tous les cas au moins un pointa;, 0^^<! 1, auquel elle correspond.

Le minimum ^^ de \ r= ^ (r, a). — La relation entre a cl A() a beaucoup d'analogie avec celle qui exi.^te entre a et A = 'f (a;, a), quand x est (ixe.

Ao touibi au dessous de toute limite. A une valeur particulière \t. corresp-ind une va'eur S^ déterminée, et si ia, varie, ^0 varie aussi, diminuant ou augmentant en même temps ; mais Ao j^eut n'être pas fonction continue di^ a. ^0 doit tomber avec u au-dessous de to-ite limite, car. pour une valeur particulière

de a;, autour do laquelle /"(.r) n'est pas constante, A~ ? (^> H^) tombe au dessous de toute limite. Ainsi pour la valeur particulière Xi ,Ao comme minimum est toujours K'f (ar, , u).

\']n outre il n'-sullo de la définition de /\ correspond un seul A„. 11 laut encore moni didV'renls correspondent deux /^„ did'ércnts. a ait diminué Jusqu'à, ;/.,, et qu'à ces deux vale pondent des minima Ào égaux. So't x^ le mili a?,, pour [Xi Xo ne peut tout d'abord être (''gai '^ [x, [x), X étant fixe, varie avec [j-. Mais, pour

Xi ne peut pas élre ^ Xo parce que 'f {x^, [j-i ) <

varier quand a varie, et il doit pour la môme tiori diminuer.

a qu'à chaf[ue tx rer (ju'à deux a

Admettons que urs de \j. correseu de ÀiPOura,

à xi , parce (jue la morne raison

Ao .^odoit donc

raison et à i'or-

Ao peut n'ôtre pas fonction conlinuc de </. comme le montre la ligure suivante sur laquelle on peut étudier la variation de

Le trait accntui' ligure /"(a;), et nous supposons fy., <a <[^-i+u.2. Alors le minimum An sera > a jusqu'à ce que y. s'abaisse à [x, Dos que (X -rixi, Ao devient />. —

Si au contraire A o est l'argument et [x la fonciion.la relation ix = P (Ao) est tout-à-fait analogue à la relation ix = p{x, /\), pour un X déterminé, autour duquel f\^x) n'est pas constante.

;x =r /* ( A o) déo'oll quand t^^o décroît sans jamais cvoilre ; celle fonclion ueul, pendant que ù\o diminue d'une manière continue,demeurer constante sur certaines étcndues,mais elletomôe avec Au au-dessous de toute limite.

De ces simples considérations nous tirons aisément des propositions utiles sur la continuité dos fonctions. De ;x rr p (.r, A) résulte

f(x)-f{co+\)=p{x,S). K,

où K < 2, et où p {x, [\,^ représente une fonction tombant en

mf^-me temps f[.ie A, sans Jamais croître, au-dessous de toute limite. l^]n posant '2c, {x,[\, ), rr r {x, ^), nous obtenons

comme formule de détinition de la continuité. Elle est encore valable, comme on s'en renrl compte aisément, si f(x) n'est continue (ju'au point x. Pour la nalure de la conlinuilé, la fonction r{x, A) est caractérislifiue. C'est la quantité (|ue J'ai nommée degré de continnUé an point x. (*) J'y reviendrai plus loin.

Enfin, il résulte de a = P ( A„) que

pour tout point x de l'intervalle (0.1), — où P (A) désigne une quantité décroissante avec/\, sans Jamais croître, et finissant par tomber au-dessous de toute limite.

Cette égalité signifie en somme ([ue le degré de continuité de la fonction a un minimum, ce qui n'était pas plus nécessaire (jue le fait qu'une fonction ait dans un intervalle une valeur minimum, puisqu'elle peut tomber au-dessous de toute limite. Mais, en faisant abstraction du degré de continuité que nous ne voulons pas encore définir ici avec une complète précision, voici ce qu'on déduit de l'égalité précédente :

Pour loule quantilè l\ on peut dé terminer une quantité a différente de zéro telle que, en supposant 5<^,ç<0<.r<l,

on ail.

/■(^)-/-(a7 + 0)< iX

La différence /(./■) — f\x -\- l) tombe donc en même temps dans l'intervalle entier au-dessous de toute limite, non pas fi coup sûr avec la môme rapidité aux divers points. Mais on peut déterminer des quantités a, , ao. ... se succédant aussi rapidement qu'on veut et y faire correspondre des intervalles /^i, A,, .. de telle sorte que pour o < /^i . < A-' •••• f[-^) —

(') Zur Gcschichte (1er trigonoiiiotrisclion Koilion, Tiiljiii^on 11. I.aupp, (pa-îc 41). Comptes roiulus, 18 avril 1881. J'ai depuis amplement tliseutê cette matière (bns un mémoire (pii vient de paraître dans le centième volume du .loui'iud de Matliéinatiques [>ures et appliiiuéos (Ancien .Journal de {'i-elle), sous le titre « l'eber don conver^ieuirrad der variaheln Keihen und (1er stctiiikcitsirrad der Functioncn zwoier artrumente. f

(\x -\- o) soiL dans loiit rintervalle <^ y., ,;/.>, ... CuLlo rcmrir- (|iic iinporlanlc a ôlo CaiLc par M. llninc (*) ([ui a nomriK'! ccL l'Ial (le cho.si^s continullr unifor'ne. Je n'aime pas celle (h'^riominalion. I<]llc ('iveille de l'ausses rcprésenlalions , (juatul on csl. Jirmé du cfincepL du dcgrc'; de conliniiili'!. Ou nommerait alors unilormémnnL conlinuc dans un intervalle une (onclion c[ui y possède tout le lomps le même degré de conlinuiti', comme pour toute valeur de x les fondions e"" , sin x. Et c'est alors un théorème dû à Ampère que des fonctions ne peuvent être uniformément conlinues que si A csL lc degré de continuité de f(v) — f\.v +/\V Une fonction [/œ ne serait pas uniformément continue dans l'intervalle o <^x < 1, car pour

a; n: 0, j//\ est son degré de conlinuilé. A mon avis, on se conlorme mieux au.\ faits, en nommant l'égalité

le principe de limtfalion d" degré de co ni mu' té.

63. — De la continuité anortlioïde. — La condilion de conlinuilé à l'intérieur d'un inlcrvulle enlicr implique i:ne restriclion notable du concept général de fonciion. Onne saurai! pourlanl Y attacher trop d'importance. C'est que nous sommes loin de pouvoir nous former une image convenable de la marche d'une fonciion soumise h celte seule condilion, comme cela a lieu pour les fondions élémentaires de l'analyse. Bien plus, l'Enipiriste(art. 37,8) adéjj\dil f|ue la ligne de démarcation ou plutôt la zone de séparnlion des dépendances orthoïde et anorthoïde traverse le domaine des fondions conlinues, de sorte (]u'ii y a une continuité anorthoïde (|ui fait encore l'objet d'un chapitre intéressant de la théorie générale des fonctions, 11 y a plus: Si on approl'ondit ces considi'rations, on voit bientôt que la continuité orthoïde a précisément le caractère de l'exception, de la particularité, vis-à-vis de la continuité anorthoïde f]ui e^t à priori beaucoup plus vraisemblable. Il faudra pourtant étudier cela avec plus d'exactitude dans la tliéorie du quotient dilTérentiel. Je voudrais ici insister encore un peu sur notre impuissance, signalée par l'Idéaliste (art. 39), à nous former une représentation de la continuité anorthoïde.

Je considère le groupe de fonctions V de l'art. 58

- Aj, s/;?, cas {mi,Xt (**)

(') Boich. Journ. vol. 74, p. 188.

(") Dans l'ai-ticlc 58 il y a y. au lieu de A^,— ' , — j'écris égalemen sans préciser shi ou cof, parce (pie dans certains exemples le si>i est plus commode.

Cclto formo analytique peut fournir à une bonne partie de la Itiéorie générale des tondions des exemples instruclifs. Aussi y consacrerai-je un chapitre spécial. Suivant l'accroisse-

menl relatif de /^ m,, , f~' elle fournit une suite graduée de fonctions qui conduit des fonctions les plus générales aux fonctions continues de variables complexes.

En supposant que X~^ croisse en même temps que p, d'abord assez lontemeni, nous rencontrons premièrement des fonctions partout discontinues non intégrables, puis des fonctions partout discontinues intégrables. Ensuite commence et se continue, pour une détermination convenable des m^, , la classe des fonctions continues saafen des points isolés ou sans exception, non difTcrentiahles — et des fonctions différentiables.

Vient ensuite, A ^ croissant de plus en plus rapidement, et nij, croissant convenablement, la foule des lonctions continues avec tous leurs quotients différentiels, mais non représentables par la série de Taylor, et enfln on parvient au domaine des fonctions, exprimables en séries entières, de la théorie des fonctions complexes.

Imaginons maintenant une fonction f(xj^ lim fa(x)

00 n = co

= lim ^ \, cos J7ij, ar, qui représente une fonction anor-

n = ooi thoïde continue non difTérentiable. On peut sans doute se représenter la marche d'une seule fonction X^ sin m^ x. On peut aussi, si grand que soit n, imaginer tracée une figure nette de la fonction fn(^), et on reconnaîtra clairement que la tangente n'y possède pas de position limite déterminée, et la fonction fn{x) restera toujours à nos yeux, quelque grand que soit n, une limitation d'aire plane. Voilà évidemment tout ce que nous sommes en état de nous représenter. Dès qu'on passe de la fonction /„ (,r) h la fonction f\x) = lin /'„ (x) , toute

?? = 00 représentation cesse. Je remarque expressément que cela ne lient pas à une trop grande complexée ; la fonction cesse d'être représentable en principe, comme l'infini, l'infiniment petit, l'action à distance, comme la véritable essence des choses, comme tout ce f(ui exigerait, pour être perçu, des sensque nous n'avons pas.

Les fondions anortho/des ne peuvent correspondre â aucune image, et nulle image de fonction ne peut être cnrisagée comme approximation d'une pareille fonction.

Si on fait croître assez vite le nombre ;? dans /'„ (.r), tout intervalle entre nombres dyadi(|ues,à numérateurs différent de

1 cL à dénominalcurs croissant indiJlinimcnl, conlicmlra des maxima de la fonction oscillante fn [y^) Passo-t-on à la lin:iite ù la manière do l'Idéaliste, des nombres dyadicjues naît la panlachie complète, et dans les intervalles entre les nombres subsistent les maxima. Pour se former une représentation réelle de la ionclion f{x), la première condition serait donc qu'on pût se représenter la pantachie complète de l'idénliste, ou, au mo'ns quehiue chose d'approchanl. Nous avons vu que cela est impossible ; mais il s'y ajoute celte condition essentielle de .se l'aire une image de l'inliniment petit dans son rapport avec le fini, ce qui est également impossible.

Pour l'Idéaliste, la correspondance géométricpje des valeurs de fonction à la pantachie complète de^. valeurs d'argument ne cesse donc pas, mais sans répondre même d'une façon approchée aune image Aussi il n'est pas impossible que des considérations ou conclusions auxquelles l'ensemble des valeurs de /„ (.r) sert de fondement, fjuand on les élend à l'équivalent géométrique de la fonction /"(r), comme dit l'Idéaliste, donnent lieu ù des paradoxes.

L'Empiriste peut-il se faire une image approchée de la dépendance anorthoïde? Naturellement non, car elle existe pour lui aussi peu f[ue la pantachie complète comme système de points. Pour l'KmpirisIe, la fonction de lout-à-l'heure f {x) ne désigne ([u'une formule, qui permet de calculer pour toute valeur d'argument une valeur de fonction avec une approximation arbitraire. Elle détermine donc pour tout argument rationnel ou irrationnel, ou pour toute loi qui répond à une valeur d'argument irrationnelle, une loi correspondante remplaçant, pour ainsi dire, la valeur de fonction.

64. — Construction numérique des valeurs de fonction hypothétiques. — L'image géométrique des fonctions qui en possèdent une nous dispense de maintes démonstrations pour l'existence de certaines valeurs particulières de la fonction, qu'il arrivera de supposer, comme, par exemple, s'il s'agit de la plus grande et de la plus petite dans un intervalle.

Si une démonstration aussi bien qu'une explication consiste au tond dans un enchaînement satisfaisant de représentations, liant une représentation troublante à une représentation finale bien familière, l'image curviligne des fonctions peut pleinement nous suffire comme représentation finale. On la restreindra selon les rigueurs de la précision mathémati([ue, et on exigera peut être de telles courbes que leur marche possède les propriétés essentielles des courbes algébriques.

Or, les considérations de l'arLicle précèdent monircnl que loujours dans les fondions ancrlhoïdcs une représenlalion finale familiôre de ce genre fait absolument défaut. Il ne s'y Irouve pas d'inluilion déterminée cl nette à laquelle nous puissions nous référer. L'analogie des courbes représenlables peut fournir quelque chose de juste, seulement nous n'en avons aucune garantie. Personne, par exemple, ne sentira la nécessité d'une démonstration pour ce fait qu'une fonction comme a?", sinx, etc, entre deux points qu'elle lie d'une manière continue, prend toute valeur intermédiaire. Mais dans les fonctions anorthoïdes, cette proposition n'est nullement évidente. Leur image pour l'Empiriste n'est jamais qu'une masse aussi compacte (jue l'on veut de points séparés, et la proposition no pourra donc résulter ([uc do la condition analytique de la continuité.

Dès que nous accordons à l'image curviligne une plus grande multiplicité que ne présente, par exemple, le concepi des courbes algébriques, nous voyons quel'inluition, cjuand ilpeul en être (juestion n'est sûre que si elle se fonde sur une expérience suffisante. Uu exemple très instruclitesl ofTert par celle proposition : une fonction toujours finie dans une intervalle y renferme une valeur raaxima et une valeur minima. — Un profane dans le domaine expérimental de la théorie des fonctions est prêt à l'accorder tout de suite : et pourtant elle est fausse déjà pour des fonctions qui sont orthoïdes à l'exception de certains points particuliers. En vérité nous ne le savons que parce que les discontinuités des formules de Fourier, et depuis d'autres exemples sims nombre, comme les fonctions la de l'article 58^ nous l'ont appris.

D'ailleurs par intuition on conclut souvent à des dépendnnces limites, dont l'existence ne doit pas à la vérité être mise en fiueslion, mais qui, à cause de leur mode de formation également compliqué pour l'Idéaliste et pour l'Empiriste, ne peuvent luillement être considérées comme établies avec la rigueur mathémaliquc. J'ai en vue entre autres les courbes enveloppes qui peuvent prendre naissance do deux manières. Une enveloppe est ou bien (pour Tldéalisto) le lieu des points d'intersection successifs des individus en nombre inlini d'une suite inlinimfnl dense de courbes ; — ou bien la limite du contour du domaine total que couvrent les segments d'aire plane limités par les courbes individuelles.

Qu'il s'agisse, par exemple, d'enveloppe de cercles. Dans le cas le plus simple où les centres d'une série de cercles égaux décrivent une ligne droite, l'enveloppe se compose évidemment de droites parallèles ù celle-là. Seulomontsi les cercles ne sont

pas (."igaux, ou si le lieu ilc leurs centres n'est pas une droite, ou cnlin (juc ni l'un ni l'autre n'ait lieu, la rorm;ilion de la courbe enveloppe ou de ses ])oints isolés n'est pas, même avec les fonctions les plus Camiliùres, d'une nécessité tellement évidente (lu'ori ne sente vivement le hosoin, pour l'élablir de procéder avec plus de rigueur qu'on n'a l'iiabitude de le faire. A plus forte raison ce scr;i le cas, si les cenires ou les rayons des cercles sont soumis h une variation an'^rthoïdiquc. Qu'on tire l'enveloppe, par exemple, de celle représentation que les cercles couvrent un domaine dont le contour a pour limite, (|uand leur nombre augmenli;, l'enveloppe des cercles, — celleci sera également anorihoïJique. Mais nous avons vu (]u'une déprndance anorllioï(li(|ue (|ui n'est pour l'Empiriste (ju'un système de points aussi resserré (pi'il veut, ne peut être considérée comme limitation d'un domaine; l'existence de la Ibnclion qui correspond à la courbe cnvelopp ■ ne peut donc pas être démontrée de cette façon.

La méthode de démonstration de ^exi•^lenco Aqs valeurs de l'onction hypotbélif[ues consiste en ceci : que l'on montre comment elles peuvent être exprimées numéri(juement. pnr extMiiple, par une fraction décimale dont on pourrait calculer clKupie chid're, si les quantités indé'tcrminées du problème étaient données numéricpiement. .l'ai déjà donné (art. 46), en lùi'mant l'expression de la limite d'une suite de quantités croissantes, un exemple de ^nireiWdsConstruciious Jimnéfiques, comme Je les ai nommées ; je vais dans cet article construire numériquement (|uelques autres valeurs de fonction hypothétiques, et mon choix est tombé sur des théorèmes tout particulièrement connus et auxquels beaucoup d'autres analogues peuvent se ramener. J'observe pourtant qu'il ne faut pas songer ici h épuiser l'objet ou seulement à donner une vue générale des espèces possibles de valeurs de [onction hypothétiques numériquement représentables, que les recherches peuvent mettre au jour dans la théorie générale des fonctions.

1. — Pour toute fonclion f (a;) et dans tout Intervalle {a, h) de son argument, oh elle reste comprise entre des limites finies, — il y a une valeur minima qu'elle ne depaise /jas dans cet intervalle, et une valeur maxima à laquelle elle nestj^as inférieure. Nous nommons de préférence ces valeurs « limilts supérieure et inférieure des valeurs de fonction. »

Démonstration de l'existence de la limite supérieure. — Supposons, ce qui n'est pas une restriction, la fonction f(x)

> 0 dans l'inlervalle {a, l>), el considérons les intervalles de Ibnction :

Si nous considérons maintenant l'ensemble des valeurs de fonction f(x) dans l'intervalle (7, /j), il y aura un dernier intervalle a„ < y <: a^ -|- 1, où tomberont encore des valeurs de

fonction apparlërTant à l'inlervalle {a, bj .

C'est d'une affirmation semblable que découlent la plupart des démonstrations de ce genre. Or, puisqu'il intervient un ensemble de valeurs de fonction, il nous faut l'exaininer de plus près. Pour l'Idéaliste il n'y a là rien qui ne soit irréprochable. Il a en vue son ét(uivalcnt de fonction géoméirique consistant en toutes ses valeurs de Ibnction construites sur toutes les valeurs d'argument d'une étendue {a,b)\ et quand il s'agit de savoir si des valeurs de fonction appartenant à cet ensemble tomberont ou non dans un intervalle de valeurs, il lui importe peu que le nombre des valeurs de fonction soit fini ou infini; ou bien il tombe des valeurs de fonction dans l'intervalle, ou bien il n'y correspond aucune de ces valeurs : lerlium non datur. — L'Empiriste se heurte au contraire àdes difficultés qui naissent de son concept de l'argument, puisque la panlachie complète des valeurs d'argument considérées simultanément, ou des valeurs de fonction correspondantes n'existe pas pour lui. Toutefois, à l'égard ce ces difficultés, la limitation du concept général de fonction établie au commencement de ce chapitre, lui vient en aide. Si on s'en lient au concept de fonction de l'EmpirisIe, noire proposition est également irréprochable^car la fond ion consiste, à ses yeux, en formules valables pour des ensembles dénombrables de points particuliers de l'argument, et on une formule générale pour le reste de la panlachie complète de l'argument. Considérons d'abord celle dernière formule générale, sans tenir compte des points exceptés. De qufcl(|ue ma-iière que l'on s'imagine cette formule, analytiquemcnt ou d'après la théorie des nombres, il faut que sa signification soit telle que nous puissions décider si les relations

sont ou non possibles en même temps. C'esl là le résidu logique de la question, l'hypothèse nécessaire de l'EmpirisIe, Quant aux ensembles dénombrables des valeurs de fonction exceptées, les limites sujiérieure et inférieure ont toujours, pour elles un sens très clair, comme cela résulte de la théorie exposée au chapitre suivant, des limites d'indélerminaliou.

Pûiir lii(lt!innns(falioii (|ui nous uccupo, il noiissiilfU (1(3 nous on l'apporlci" îi celle |)i'0|)osilioii (Widentc (|ue les valeurs indivi(liirll(!s (l'une suite (|ue!c()n(|iie de (|u;i.nlil(''s toujdurs finies, linironl, ou non par (I6[)asser une (luanlilé donn(''e d'iivance.

A|)fùs ces réllcxions, la suite de la dénionstr.ilion est très simple «0 < y < «o + 1 tilail le dernier intervalle de la suite.

0 <y ^1, 1 < y £^2, 2 < y ^3, etc.

où lombaient des valeurs de fonction correspondant h l'intervalle d'argument {a, b). Partageons l'intervalle y-o < y ^ ^-o + 1

en dixièmes

Parmi ces intervalles il y en aura encore un dernier contenant des valeurs de l'onction l\x), a (^x ^h. Pour ce dernier, soit

n = a,. Continuons de même. Comme terme de ce processus, nous obtenons une valeur

y = x„, a, ao . . .

t|ui est la limite supérieure en question des valeurs de /"(a?) dans l'intervalle (a, h). D'après son mode de formation, aucune autre valeur particulière de la fonction ne peut la dépasser, car les valeurs de fonction ne dépassent pour aucune valeur de p la quantité ao, aj x^ . . . {xj, -{- 1), et la différence entre cette ({uantité et la fraction décimale sans fin oc,,, a, a2 . . a^, , lorsque p croît, tombe au-dessous de toute limite. Il n'y a pas de valeur plus petite jouissant de celte propriété, car toute valeur plus petite est dépassée par une valeur Xq, a, a2 ... a,, , et toute valeur de cette forme est dépassée par les valeurs de la fonction.

Remarque com/ilèmentaïre. — Il est à peine nécessaire d'ajouter que le théorème est encore vrai dans le cas d'un intervalle indéfini, si, par exemple, cet intervalle comprend toutes les valeurs d'argument a; > «, intervalle que nous

désignerons ainsi {a, oo ). Car pnr la substitution x zn- à tout argument de Tintervalle (a, ce) correspond un et un seul

argument de l'intervalle (- ,0).

A celle proposition ciui s'applique aux fonctions en général s'en rattachent d'autres ayant trait à des fonctions soumises h certaines restrictions, comme l'intégrabilité d'abord, puis la continuité. Il sera question plus tard de l'anorlhoïdie intégrais

ble. Pour le moment, nous devons démonlrer quelques propositions parliculicrcment ulilos, concernant les fonctions soumises à la condition do continuité ; (il en est une d'ailleurs sur la(|uelle nous nous sommes déjà plusieurs fois appuyé). Cf. sont des c(jnsé(iuences directes de la proposilion suiva!ite réduite à sa plus simple expression.

II. Soit une fonction i\x) continue dans l'intervalle (0, 1). supposons r(o) ^ f(l) ,• enfin soit y' une valeur quelconque salisfaisanl à l'incga'ilc l'(o) ]> y' > r(l) \ il y a toujours une

valeur niinima x' (o < x' < 1), pour laquelle on a ('(r') =r y'.

Démonstralion. — Parlagoons l'intervolle (0, l)en dixièmes: 0 < a; -< 0, 1 ;'0, 1 < ^' <0, 2, etc.

et soit o, a, <^ X <C '-*' '^ + 1 le premier dixième où les valeurs de fonclion ne sont pas toutes ^ j/'. Partageons de nouveau en dixièmes l'intervalle o, oc, <::^ u; <i o, y., + 1» et soit o, Xi ol^

< X <C 0, xi x, <^ l le premier centième d'intervalle (0, 1) où les valeurs de Ibiiction ne sont pas toutes > y', etc. Soit alors

x' zz: 0, Xi Xi ' • • Il faut démontrer l'égalité f{x') = y'.

Dans l'intervalle o, a, x-, ... x^, ^ x<^ o, xix, ... x., -\- 1,

(iO (/')

soient y,, > ^a les limites supérieure et inf(Vieure des valeurs de fonction f{x). Nous avons simultanément

y.i ^i/' = yk

Or la dilTérence entre y,, et///.' lorsque jj augmente, peut devenir aussi petit que l'on veut ; il ne saurait donc y avoir de dinerence entrer' et f{x'), car cette différence devrait être indépendante de p.

Si c'est l'intervalle (a, h) au lieu de (o, /). dans lequel la fonction est continue, que l'on prerme pour argument xa -\- t {b-a), et t ira de o h 1, pendant que x variera de a h b.

Df> la proposilion précédente résulte immédiatement :

II. Quand une fonction t{x) est ontinue dans un intervalle {a, h), il y a pour toute valeur y' située entre [\a) et l{b) une valeur x' située entre a et b, telle que \\x') rr y'. S'il existe plusieurs valeurs intermédiaires x' de ce genre, il s'en trouve Itarmi elles une qui est la plus petite x < et une qui est la plus

— lO.j

grande x • Pour ces valeurs on a donc les relations : a < X < x^ < b

fia) >f{x\) = /•(a.;) = i/' '^ f(b).

III. Une /'onction f{x) conlinuc dans un intervalle [a, b) y devient égale à un cet tain instant à sa limite supérieure et à sa limite inférieure. (*)

Démonstration. — Il suKiL de considérer, par exemple, la

limiLe supéricLrc. Je suppose tout d'abord f [a] ^ f{b)i et, par

exemple, /"(a) <^ /■ (6). Nous pouvons encore pour simplifier poser /'(«) := o, sauf à lever ensuite facilement cette restriction. Soit maintenant /(:=%. Si fi.>. ... la limite supérieure des valeurs de Ibnction f{x) dans l'intervalle {a, b) ; la fonction, d'après la dédnition de cette limite, prend dans {a, b) des valeurs com[)rises dans l'intervalle (A — o, A) si petit que soit 5. Supposons h — o > fio 3, 3., ... p^, et soit /" une va-

h—Z leur de fonction satisfaisant à la condition h — Z <^ f <. h. On

peut alors concevoir, au sens de la proposition II, les quantités So: Ôo. fil: h pi h Po. [il 8, 8^, Gomme

valeurs intermédiaires de f {v) entre f{a) et /' , auxquelles

h — 0 appartiennent les plus petites valeurs intermédiaires de l'argument, 0^0, Xi x> .... Xj, . En diminuant o, nous pouvons faire croître p. De là résulte ({ue à la suite illimitée po,- po. Pu etc. correspond une suite illimitée Xo. Xi x-2. ... de valeurs toujours croissantes, mais n'atteignant pas b, qui possède donc une limite : Appelons-la A''. 11 faut alors montrer que f{X) r^ h. Limitons autour de A" un petit intervalle A. Il renferme des valeurs de fonction ^o. Pi p2 • • - Pn , ciue je désignerai par h — 3^, , où par conséquent o^, quand ;; croît où que A décroît, tombe au-dessous de toute limite. Soil t la plus grande difîérence des valeurs de fonctions f{x) dans l'intervalle A. Alors

{') Cette proposition III est énoncée d'après ^I. Weicrstiass qui la démonire et J'emploie dans ses cours. Elle est donnée sans démonstration par M. Scliwarz (Borch. Journ. vol. 72, p. 141, sous la forme suivante : « Une fonction continue es [x) d'une variable réelle a; donnée dans un intervalle a. . .b, les limites incluses, atteint le maximum ff des valeurs qu'elle prend, au moins pour une valeur Xo de la variable, telle qtie '•^lxo]zzzg- » En tous cas, AI. AVeierstrass parait avoir le premier attiré rattention sur la nécessité d'énoncer et de démontrer de semblables propositions.

la diiïérence entre /'(A') cL h — o^, n'est pas plus grande que -, ou la difï'érence entre f{X) cl h n'est pas plus grande quer -j- 5^, . Une dinV'rence entre f{X) et h est donc impossible, car en resserrant l'inlervalle \ on rend la quantité " 4~ ^p aussi petite qu'on veut et f(X) et h sont absolument indépendants de l'inlervalle à.

Quand on a /"(a) = /'(A), la construction numérique du point .Y est tout-à-lait analogue. Si les deux valeurs extrêmes de l'intervalle {a, h) sont elles-môraes les limites supérieure et inférieure, le théorème devient une tautologie.

On obtient dans le premier cas la proposition que voici :

nia. Si une fonction ï{.£) est continue dans un intervalle {a, h), et que l'on ail ï {a) z=: ['(h), elle devient égale dans cet itilervalh. à ses limites supérieure et infi':rieure pour des valeurs intermédiaires a <^ x •< b, lorsque les valeurs f (a) =r f(i6) ne sont jias elles-mêmes limites supérieure ou inférieure. Si par cxemp'e, \'{fi) =z {'(/j) est limite inférieure, ï{x) peut ne prendre cette valeur poiw aucune valeur intermédiaire de x, mais elle devient égale à sa limit" supérieure pour quelque valeur intermédiaire de X, si on n'a pas constamment {{x) zz \{a) =: f(i).

La construction nuniériciuc dos poinls des lignes enveloppes est analogue et ne présente aucun intérêt nouveau de nature générale. C'est pourquoi je ne m'attarderai pas plus longtemps là-dessus, (*)

Dans le dernier chapitre de ces élémentsje considérerai une Ibnclion non pas dans un intervalle déterminé, mais pour un accroissement illimité de l'argument. Les propriétés générales de la marche de la fonction qu'on y trouvera concernent naturellement aussi la marche de la fonction dans le voisinage d'un point particulier de son argument.

(*) On en trou\euae étude plus serrée. Leip. Math. Aun.-tniie XMII p. 597.