CHAPITRE V

MaiTlic finale des fondions

65. — Principe général de convergence et de divergence et marche finale des fonctions dont l'arg-ument croît indéfiniment.— Nous avons essuyé dans le cliapiire prùcôdenL de dévelopfjer le concepl do la correspondance de la IbncLion à l'argument au sens le plus large et avec une rigueur complcle. 11 nous a suffi de supposer fini l'intervalle des valeurs d'argument. Si cet intervalle s'étend à l'infini et que des valeurs de l'onction continuent toujours à y correspondre, les suites sans loi de l'Idéaliste reviennent tout de suite en question. Cependant l'examen de tout ce qu'il est possible d'imaginer dans la marche finale des fonctions, c'est-à-dire pour l'accroissement indéfini do l'argument nous enseigne que, indépendamment des intuilions londamenlales de l'Idéaliste et do l'Empiriste, cette marche finale possède certaines propriétés générales et ([u'on y trouve sans exception certaines quantités et formes de variation dont la détermination exacte, indispensable pour les considérations de limite et do convergence do toute nature forme l'objet de ce chapitre.

Je place en tète le princijie général de couver (/ence,\wo\)riù\.é de la marche finale des fonctions qui a pour conséquence l'existence d'une limite finie, déterminée, Ivn f{x).

Nous étudierons à ce sujet les fonctions n'ayant pas de limite finie déterminée, où il intervient deux quantités fixes qui correspondent à la limite de la marche finale convergente, et dans cette marche deviennent égales entre elles et à cette limite. Ce sont les limiles crindélermination permettant de conclure par intuition au p/incipe général de divergence, suivant lequel la marche finale des fonctions, où manque la propriété supposée dans le principe général de convergence, n'a pas non plus pour terme une limite finie et déterminée.

Celte étude delà marche finale des fonctions, qui a fourni les limites d'indétermination, poussée plus avant pour satisfaire à. de nouveaux besoins, nous apprendque la marche finale de toute fonction oscillant d'une manière quelconque, se trouve

renfermée enlrc deux fondions variant chacune dans un sens unique. Je les nomme enveloppes d'indu le rmination.

Knfin nous aurons h considérer la vitesse avec laquelle les fondions qui ne varient que dans un sens croissent ou décroissent. Là inicrvient le concept de salles de quanlités Infinitaires.

A part ce dernier point qui nous ramènera do nouveau aux intuitions Ibndamentnlos, les objds d'étude ci-dessus mentionnés ne se prêtent à la discussion de l'Idiîaliste et de l'Empiriste que pour le coHcept de limite de constructions numih'iques ou (le suites générales de valeurs discontinues ne variant (lue dans un sens, — et cela seulement en tant ([u'une valeur exacte ou exacte à volonté est considérée comme limite. Il en est ainsi en particulier des raisonnements par lesquels nous établissons le principe général de convergence et de divergence. Nous pouvons ne pas distinguer fi chariue pas les deux formes d'intuition, et parler des valeurs limites comme le ferait l'Idéaliste. Je reviens là-dessus raainlenant parce que nous mettons la dernière main au concept de limite. Son élément essentiel, quoifiue le plus simple, la limite de suites de valeurs discontinues ne variant que dans un sens, nous l'avons assigné au domaine du concept de grandeur, qu'on ne pouvait compléter que de la sorte d'une façon satisfaisante. Le concOi'l de limite appartient donc en partie au concept de grandeur, seulement il a un contour plus vaste : il pose les conditions générales sous lesquelles des phénomènes quelconques, dont on peut ramener la mesure à colle des quantités linéaires, ont ou non une limite. Ce sont ces conditions que contient le principe général de convergence et de divergence.

Qu'on d(''monlroce principe à la manière de l'Idéaliste ou de l'Empiriste, les Ibiidements derniers do l'analyse, les deux concepts fie grandeur et de limite, sont complètement établis, et le professeur, qu'il écrive ou qu'il parle, n'a plus sujet de « parcourir à pas rapides l'introduction à l'analyse. »

66. — Principe général de convergence et de divergence — Remarque préliminaire. — Nous avons déjà donné ;iu principe général de convergence et de tli vergence la forme suivante :

Si la différence f (a?,) — f [x), x^ > .r, à partir d'une valt'ur suffismnment grande de x et pour dr^ valeurs arbitraires de la d'iff&ronce Xi — œ, reste au-dessous d'un nombre choisi aussi petit i/u'on a voulu, la fonction f (.r) a alors une valeur limite delcrni'née. Mais si, pour n importe quelle valeur de x, si grande r/n' elle soit, on Ironie pour{{x,) — f (x) (toujours a;, > a; ) des va'eurs supérieures à un petit nombre guelroni/ue mais indépendant de lu variation de x, l' [x] n'a pas de limite.

La fonction f (.r) n'est supposée soumise à aucune restriction. Je rcmar(jue o\pi'oss(''ment ((iio,pour plus de commodité, on peut supposer /(,r) donné poin* toules les valeurs particulières de l'argument, et par conséciuent complètement déterminé (art. 57) — niiiis (|ue nos raisonnements n'imposent Jamais à la ("onction une telle restricli(3n. Lors donc ((u'il est question d'une l'onctioPi f [x) de (a:), il ne s'agit ((ue de valeurs dea; pour lesquelles elle est donnée. J'ai en vue, entre autres, la fonction

qui représente la somme de n premiers termes d'une série, et n'existe que pour des valeurs entières de n.

On peut donner du principe général une démonstration préparatoire, pour ne pas dire superficielle, faisant ressortir les points qu'il s'agit d'élucider.

Soit donc /"^ a;) un processus ordonné suivant la variable x, et supposé susceptible de prendre des valeurs supérieures à une quantité choisie à volonté, qu'elle admette ces valeurs d'une manière continue, ou bien par sauts, ou bien par valeurs isolées. Soient .ri et Xi deux valeurs de x. Si pour une quantité £, aussi petite qu'on veut, il n'existe pas une valeur X de x suffisamment grand pour que la différence f(x^ — ((^■\) (^ <

Xy < x-i ) ne puisse pas dépasser s, f[x) n''a pas une limite finie et cV'termiyiée. En effet, s'il exislaitpour f{x) une pareille limite Y, il devrait exister, par définition dclalimile une valeur A'de X suffisamment grande, pour que x étant supposé > X. y —

px), et, par conséquent, y — j\xi) y — f{Xi), ne surpasse pas en valeur absolue^- La difTércnce de ces doux valeurs ne surpasserait donc pas s en valeur absolue.

Au contraire, s'il existe pour chaque quantité s, arbitrairement petite, une valeur Xde x pour laquelle f{Xi) — /"(a;,) [X < Xi < .)j) ne surpasse pas s, le processus {fx)a une limite

finïëet déterminée. Car alors on aura

fix,) — f{x,) -^ <0^ f{x,) - r{x;) + £

ou bien

fioc,)-t^r(x,)^r{x,)-\-z.

Cela veut dire 1° que /"(j-o) est enfermée entre des limites finies fixes, si grand que soit Xo , de sorte que f{x) ne peut pas x croissant indéfiniment, croître ou décroître elle-même indéfiniment ; 2° que l'oscillation de f{x) ne peut jamais dépasser 2 3, quantité arbitrairement petite, à partir de la valeur A', suffisamment grande. Et de ces deux faits on conclut h l'existence de la limite J'.

La démonslration du principe de divergence que nous venons do donner est parlailemenl exacte el doit suffire î\ toutes les exigences pratiques. Seulement elle laisse subsister un certain vide. La divergence d'un processus peut dériver de tant de causes que notre démonstration embrasse dans un même raisonnement, (ju'on en reste pourtant h se demander sur (|uoi so l'onde en r(îalité celte divergence. Ceci nous engage do nouveau à examiner géoméiriquement la marche finale des fonctions, comme si celle démonslration n'existait pas.

La d('monstralion du principe do convergence au contraire n'est pas sulfisantc même prati([uoment. Car, nous fondant sur les deux faits que f{x) reste finie et qu'à partir de valeurs suffisamment grandes de x, son oscillation devient arbitrairement petite, nous présumons avec la plus grande vraisemblance l'existence de la limite ; mais il faut montrer comment elle s'ensuit avec nécessité. La démonstration n'est donc pas complète.

Dans l'article suivant nous comblerons cette lacune qu'on ne saurait laisser subsister dans la démonstration d'un des Ihéorcmes les plus généraux et les plus importants de l'analyse.

Pour développer ensuite tout le contenu du principe de divergence, nous renfermons dans ces limites fixes les diverses manières suivant losf(uelles une fonction suit son argument jusqu'à l'infini : Nous reconnaissons ainsi d'un point de vue plus élevé dans quelle circonstance se présente la chose particulière qui so nomme limite, et parvenons alors à une r(''clle intelligonco du principe général.

67. — Principe général de convergence avec des propositions complémentaires. — C'est donc !a vari.ition de la tlilVérence ff^io,) — f{x), .{.'i ^00, X croissant indéfiniment, qui établit une première classification pour la marche finale des fonctions.

La première proposition de convergence est la récipro(|ue d'une conséquence immédiate de la propriété essenliellf de la limite. Si f (-v) croissant indéfiniment, a une limite .y, c'est-àdire si des dilTérences de la forme y — /(r-', y — f{x\) ont

la limite zéro, (juand x, Xy , .... prennent une suite quelconque de valeurs- croissant sans limite, — alors zéro est aussi la limite de la difl'érence [{•'%) — f{x) de deux pareilles différences y— /"^at"), , y — /■(•'-•i ). La réciproque s'énoncera ainsi :

I. Si la difj\'rencc f (a;,) — f {•>'), •''"i > x,x crois^mtt inii/iniment,a pour litnilr zéro, il existe une quantHi' y telle que y — l(.v) a aussi la limite zéro pour la jncme variation de x.

pémonslrallon.— Puisque /'{x^j— f (x) peut devenir aussi petit qu'on veut pour dos valeurs de x sutflsammcnt grandes, fixons une valeur .r' telle que pour x < x <^Xi , la valeur

absolue de f (x,) — f (x) no dopasse pasHnc qiianliU'i c' choisie aussi polil qu'on aura voulu. I.n valeur de f (ce) tombera alors pour toulo valeur x > .v dans l'inlervalle {fx'\~ e', [{x") -\-t). Posons f{x) — s' = J,l' {x) -f î' ~ fi". Fixons onsuiLe x" > x telle (jue pour x" <jb < .r,, la valeur absolue /* fa;,) — f (x)

ne dépasse pas t" < t. La valeur /'(.r) tombera alors, pour X > x", dans rintervalle ( f{x") — ^', f {x'\) + z" ). Celui-ci peut ne pas apparlenir tout, entier à rinlcrvalie(a', |3'), mais une seule des valeurs f (y ) — s", /' (.r") + i" peut tomber en dehors de (x', fi'). Désignons par (a", fi") la partie d^: l'intervalle \ f ix") — s", /■(«■') -)- s") (|ui appartient à (x fi'^ / {x) reste à, partir de j; := x", dans l'intervalle (-/" fJj, qui est<2i".

De cette façon nous pouvons assigner h f {x) des intervalles de plus en plus petit. Fixons x'" > ,r" de telle façon que la valeur absolue de la différence / {x) — f [x], pour 5c"'<^ a: < ^Ti , ne

dépassent pas z'" < s", et désignons par ( a"',8"']Ta portion de l'intervalle/' (.*'") — s'", / [x'") + t'") qui appartient h. ( a" jî" ). A partir de a?r= x"\ f {x} variera dans l'intervalle (oc"' fi'")< 2 &"',

et ainsi de suite. Les suites de valeurs oc', a", x'", .. .fi', (3 ', fi"'.., fjui ne varient que dans un sens ont chacune une limite, et ces

limites sont égales si s", s", s'", ont pour limite zéro. Soit

;/ la limite commune aux x et ;iux ja. On pourra toujours indiquer une valeur x de x assez grande pour que, x éianl > x, la valeur absolue de y — f (x) reste au-dessous d'une quantité petite fixée d'avance 2e. On a s'" < s <£'■"■'", de mêmea;=r x'^''\

Si la fonction f {x) n'est constante dans aucun intervalle de l'argument cas qui n'est pas exclu de la démonstration précédente, les valeurs a;', jr", a-'",. . ., croissent infiniment. C.Q.F.D.

On peut encore démontrer la proposition autrement, en construisant numéri(|noment la limite )'. Toutefois la démonstration précédente, qui n'est pas longue, satisfaii a le lecteur.

11 y a une proposition assez générale, sans l'être autant que I, qui est souvent utile; c'est la proposition TU de l'article 46. étendue des valeurs discontinues aux fonctions.

II. Une fonction ï {x), ne variant que dans un sens ei qui reste comprise entre des /imites finies, possède toujours une limite déterminée quand C argument croil indéfiniment.

A une époque, où Je considérais cette proposition comme un axiome devant former le concept propre de limite, je me

donnai beaucoup de mal pour en déduire la proposition I. Je voulus me persuader que la proposition II est le premier principe. Toutefois entre ces deux-là et celle ({ui est relative à la limite do suites de valeurs discontinues variant dans un sens unique, il existerait plutôt le rapport que voici : La dernière est en réalilc; le premier principe, en tant qu'elle permet de passer des limites les plus élémentaires (ju'on peut imaginer, comme les limites de fractions décimales posées par nous comme fondement, aux propositions géuérales 1 et II. Mais l'expression la plus générale comprenant tous les cas particuliers est certainement la proposition I.

La limite dont II affirme l'existence dans les conditions énoncées peut sans difficulté se représenter numériquement, comme nous allons le montrer. Mais les hypothèses qu'énonce cette proposition peuvent se ramener aussi facilement à celles de la proposition I. Voici une d(3monstration concluante de la proposition II.

Supposons que f {x) augmente sans cesse pendant que a; croît indéfiniment, qu'elle ne dépasse pas une quantité fixe, et qu'elle ne reste jamais invariable à partir d'une valeur de x. Il y a alors dans tous les cas un plus grand multiple x» de l'unité de longueur que /"(.r) dépasse en croissant, sans quoi cette fonction croîtrait au-delà do toute limite. La fonction f{x) ne peut pas atteindre le miiltif)lc suivant, car elle devrait alors le dépasser en vertu de l'hypothèse ([u'elle ne reste jamais constante. Partageons maintenant l'étendue qui s'étend de ao à ao -|- 1 en dixièmes de la lonp^ueur unité. Il y a alors un

plus grand multiple a, de j^ (a, < 10) qui sera dépassé par

f [x) — a„ , tandis que oci -|- 1 dixièmes ne seront pas atteints, f [x] varie ainsi, à partir d'une valeur suffisamment grande de X, entre «„ aj , et a^ a, -j- 1. Puis elle varie, à partir d'une valeur plus grande de x, entre a,, x, a.> et x„ a, a. -|- 1, etc. Soit

J — a^, ai ao

Quand f{x), poura; = a7p a dépassé la (luantité a^,, a, x.. ... x^ on a, pour x > .o-p,

«,», a, %i ... a,, < f{x) < Xr. x, a.. ... x,, -f- 1

ou f{x) — x,, X, X, .... Xp < j^

On a aussi

Si donc on retranche celle deuxième différence de la précédenlc, on a i\ forliori

r -/■(..)< fi;

cl on pcul rendre celle difTércncc aussi petite qu'on veut, en prcn.iiil p assez grand , el, par consùtiuenl, en choisissant assez grande hi limite inférieure des valeurs de .r. Y est dont la limite de /'(.i), C. O. F. 1).

De ce (pi.c \{x) croissant conalamment ne d'-passc pas une limile finie on dédnira la condition de la proposition I, à savoir que ^[X\) — \'(x),X[ i> ■'', quand X croit indéfiniment a p')ur limite zéro. Si, en efTol, il n'existait pas de valeur .x' telle ((ue pour X <- X <r Xx, la dilTérence ï{xx) — ï{x) ne dépasssât plus

une quantité 5, prise aussi petite qu'on aurait voulu, il y aurait nécessairement pour toute valeur de a;, une valeur plus grande .ri. pour laquelle /"(.Vi) — f\r) i> t. El si on forme une suite illimitée de pareilles valeurs x, Xi, x>, .... de f{x\) — f\.t) >■ t, résrdle /(xo) — /]|r,) •> s, etc. de sorte que f{x) croîtrait indéfiniment, ce qui est contre l'hypothèse.

J'ajoute à cette étude du principe de convergence des propositions complémentaires. La condition de la première proposition, que f{r\) — f{x) doive tomber au-dessous de toute limile, peut-être porlbis, surtout dans le cas de variables imaginaires , avantageusement remplacée par une autre , comme on va le voir.

III. — Si le quoiirnt '-—-^ a pour lim 1 nrand x et Xi crois-

sent Indêfîmment, f{x) possède toujours une limite. Seulement f{x) peut aussi, sans que cette condition soit remplie, avoir une limile, si zéro e<<t cette limite. Alors, au lieu du quotient simple

c'est \, [ , — » oii a a une valeur arintraire, i/ui a pour lim 1. f(x) -\- X

Si iLLll a pour limite 1, fin) ne peut croître au-delà de toute f{x)'^

limite, car pour Xi > x, ce quotient pourrait prendre une suite

de valeurs aussi grandes qu'on voudrait. Mais si f(xj ne peut

croilre au-delà de toute limile, il résulte de l'égalité

/(xi) . A^-i) - (A)

f(x ) que f{xi) — f{r) a pour lin zéro en même temps que '4-4-' — 1.

Puis de

il résulte que le second facteur s'évanouit en même temps que f{xi) — f{x), et réciproquement.

IV. — Si la différence de deux fonctions /"(j,) — -y (r) tombe au-dessous de toute limite quand x et X\ croissent indi-fîniment, f[x) et o [x] ont chacuno. tme limite, et ces limites sont égales.

On ne suppose aucune relation enire a: eta^i . Qu'elles soient égales ou inégales, /^Xj) — f[x) doit avoir pour limite zéro. Ecrivons

f\x,) -^{x)z:r. /\x,) - /\x) + [/(.r) - '^ [x)] fiXi) — cp {x) = cp (a;,) - -y (x) + [f{xi) — -. (or,)]

Il s'ensuit que /(x) et cp [x) ont chacun une limite, et de lim {f\x) — ^ (.3?) rr 0 résulte (|ue ces limites sont égales.

Nous en avons fini avec le principe général de convergence. La discussion du principe de divergence exige maintenant que nous considérions la marche finale des fonctions qui n'ont pas de limite. Il intervient \l\, au lieu d'une limite^ deux valeurs limites que j'ai appelées limites d'indétermination, et dont il est question dans l'article suivant.

68. — Limites d'indétermination. — La fonction f{x) ne peut évidemment, quand x croît indi-finiment^ que posséder une limite ou n'en point posséder.

Dans le second cas, f[x) peut ou bien prendre des valeurs qui, en grandeur, soit dans le sens >■ o, soit dans le sens <^ o, soit dans les deux, laissent en arrière toutes limites, ou bien f[x) devra nécessairement rester comprise entre des limites déterminées, et puisqu'elle no doit pas avoir de limite, oscillera indéfiniment.

Examinons de plus près le dernier cas. Ou sent que, de quelque manière que se lasse cette oscillation, elle doit, suivant les vues de l'Idéaliste, finir par se produire entre des limites déterminées Des éclaircissements précis sur une pareille marche finale de fonction sont fournis par la proposition suivante relative aux limites d'indétermination, par sa démonstration et les considérations qui s'y rattachent.

V. — Si une fonction \\x), x croissant ind'''finitnrnt, reste comprise entre des bornes finies, il existe deux i/uanliics fixes U et 0, entre lesquelles i'{x) oscille à partir de râleurs suffisamment grandes de x : ou bien elle en approche autant qu'on veut, ou bien elle finit par les dépasser d'aussi peu qu'on reut ; ou bien enfin, sans les dépasser, elle leur est l'-gale un nombre indéfini de fois.

Ces quantités U cX 0, nous les nommerons limites d'indétermination de la fonction /(.r).

Toul (l'ul)oi'(l il doit y iivoir pour cli.Kiiie v.ilour dn x une [)lu.s poLilc (|u;inl,il('! o {.v), (juc ne di'ip.isse plus /'(.r -f- ^). ^^ gt'.ind (ju'un imaj^ino ;, puis([u'un supposer (jue /"(.x) ne [)cul pus cfuîtrc iiulùlhiinionl. (Arî. (ii, I cl coniplémenls). La (juanlilé o (;v), quand x augniiMilo, no croit pas, |)arco (|ue c'est la plus polilo que /(x) no d(';|)asso pas. Mais alors comme elle ne peut toaibcr au-dessous do tout(! limilc, il oxislc nécessairement (art. G7) une ((uantilo dolcrminôo 0, telle que 0 — o(ic -\-l) puisse tomber au-dessous de toute limite pour j; suffisamment grand. Nous nommerons 0 la limite supérieure d'indclorminalion. — On arrivera de même à l'existence de la limite inCéricure 6^" d'indétermination. — C. Q. F. D.

A celte démonstration de l'existence des limites d'indétermination 0 et f/ je Joins (jue]({ues éclaircissements et quelques exemples.

1. — Comme nous le montrera un examen plus approfondi à propos des enveloppes d'indétermination, il y a tout d'abord au point de vue de la fonction o{x) doux cas h remart[uer. Ou bien f[x), pour x sunisamment grand, admet dans l'intervalle [x, 00 ) une limite supérieure, qui lorsque x croît indéliniment reste invariable dans ce cas o{.r) est constante et égale à 0, r[ui est alors la limite supérieure d'indétermination de f{x). Ou bien la limite supérieure de f{œ) dans l'intervalle [x, x) diminue quiind x augmente : C'est le cas où o{x) est variable et ne (ait que diminuer jus(ju'!i 0.

Pour parler comme l'Idéaliste, la fonction f(x) oscille fi

l'inlini entre les valeurs 0 et U, auxquelles elle redevient sans

cesse égale.