On a coutume de dire d'une fonction dont les limites

d'indétermination 0 et 6^ diffèrent (car elles peuvent aussi être

égales) qu'elle est indéterminée pour x -zn oo . Lorsqu'elle est

continue, cela signifie (|u'elle prend un nombre illimité de fois

toute valeur de l'intervalle (C/ + 'i 0 + si ), où s et £i , qui

peuvent s'annuler, sont d'autant plus petits que les arguments

sont pris plus grands. On peut exprimer cela analytiquement :

,. ri \ 0-\- u . .0— U (un f{x) rr — j^ h J -"ô

ohj représente toute valeur de l'intervalle (— 1, + !)• C'est dans le signe qu'est renfermée l'indétermination de la limite.

Si au contraire f{x) n'est pas continue, elle peut ne pas prendre toute valeur comprise entre 0 et U, et alors y ne désignera que -|- 1 et — 1, ou bien ces deux valeurs ainsi qu'un nombre convenable de valeurs intermédiaires.

Il n'est peut-être pas superflu de faire remarquer la différence qu'il y a entre le signe J et le signe ordinaire B, qui,

chez Gauchy, désigne d'habitude une valeur inconnue entre zéro et 1, par exemple, dans les considérations sur le reste, où une valeur comprise entre x el x -\- h est désigné para; + O/i, o < <■) < 1. Cette ignorance subjective marquée par H, d'une valeur déterminée appartenant à un inlervalle connu, est naturellement lout-à fa t distincte de l'indétermination objective représentée parj.

3° Pour donner quelques exemples de limites d'indétermination, soit d'abord f{x) =: cos « x. f{x) oscillera entre — 1 et -f- 1, prendra ces valeurs un nombre illimité de fois, mais n'ira

pas au-delà. Si on pose ensuite /"(x) ^ (? ^ cos a.c. et f{x) =

e^'cos a X, les limites d'indétermination de ces fonctions seront les mêmes, seulement la première n'atteindra jamais les valeurs — 1, + 1, la deuxième les dépassera toujours. Dans les fonctions qui ont — 1 et + 1 pour limite d'indétermination, la limite est y. Ainsi

,. ï i- 1 , . 1 + 1 lim e cas x = —^ \- j —^ =^.

Je citerai ensuite des fonctions qui ne varient que par sauts brusques. Nous pouvons en définir de telles que /\x) pour M <, a? < « + 1 {n étant un nombre entier) ait une va-

leûF constante 'f (n), où -^ est une fonction donnée. Posons, par exemple, cj- {n) = sin n —, fix) aura encore les limites d'indétermination -\- i, — 1, si 7/1 est pair. Au contraire, si m est impair, les limites d'indétermination sont + ( 1 — sin~ ) —

Lorsque on pose -^ (n) =r Ui -\- u-2 -\- + w,^ , c'est-à-dire

f (n) z= la somme des 7i premiers termes d'une série, les limites d'indétermination s'introduisent dans la théorie des séries, où elles rendent des services tout particuliers.

Géométriquement on représentera les limites d'indétermination par deux parallèles à o x, d'ordonnées Ue',. 0. La fonction f{x) qui, si elle est représentable, est une ligne s'étendant à l'oo dans le sens de a; ^ o, peut d'abord avoir une variation quelconque; elle finit par se renfermer de plus en plus dans la bande comprise entre U et 0, si elle ne s'y trouve pas tout d'abord.

69. — Principe général de divergence. — Nous pouvons maintenant démontrer géométriquement le principe général de divergence (|ui s'énonce ainsi :

VI. — Si la di'/fcrenre f'(.r,) — ï{j:) ne reste pas au-dessous d'u}u' qKanlité aussi pe(iC<; aiion veut pour loules les valeurs X et Xi supérieures à une valeur de grandeur su/fisanie, l{j') n'a 2)as de liniile dêlermim'i'.

Pour le (lomonli'ci", c.\;miinons (ous les c;is possibles dans la marche (iiiulc des Ibnctioiis. Quand f{x) croît ou décroît audelà de toute limite, /"(.ri) — f\x) pcul toujours Aire aussi grand qu'on veut. — Si en second lieu J\x) varie entre des bornes finies, et (jue les limih^s d'indéterminalions 0 et f/qui alors existent toujours soient difl'i! rentes, fx) finissant par être aussi voisines c|u'on veut de 0 et U, la difl'érence /"(a-,) — I{t),Xi > x, peut devenir d'autant plus voisine de la difrérence 0 — U que X est plus grand.

Enfin supposons 0 et f/ égales entre elles. Si o {x) pX u {x) désignent les limites supérieure et inférieure de f{x) dans l'intervalle {x, ^), on a dans ce cas.

Uni =r 0 (a;) = Uni u {x) zzz 0 —-. U

Mais puisqu'on a toujours o {x) > /\x) > u (j), (juand O = (', la diH'érence f (Xi ) — f {x) doit avoir la limite zéro, pour X et Xi infinis.

Il y a ainsi 3 cas j^ossibles :

1" La fonction /"(ic) ne varie pas entre des bornes finies déterminées.

2" Elle varie entre des bornes finies déterminées, mais ses limites d'indétermination sont différentes.

3" Elles sont égales entre elles.

Dans le 3""" cas seulenjent, d'après ce qui précède, la limite de /* (a;i ) — f {x) est nulle, de quelque façon que o: et xi croissent indéfiniment. Si f(Xi) — /"(.r) se comporte autrement, on ne sera pas dans le 3'"'' cas f {x) aura alors des limites d'indétermination différentes (> et U, ou bien, en général, elle ne variera pas entre des bornes finies ; et dans ces deux cas, le processus infini représenté par f (x) est appelé divergent.

Par \h le principe général de divergence est mis en évidence et la connexion entre la marche finale des fonctions et celle de la différence / {xi ) — f{x) se trouve établie en toute généralité.

Nous avons été conduit par cette démonstration à des considérations générales sur la marche des fonctions à l'infini, que nous ne pouvons pas encore arrêter lii. Les limites d'indétermination sont déjà des points fixes parmi la multiplicité que présente la mai'che de la fonction. Mais il sulfit de pénétrer un peu plus avant dans les possibilités qu'embrasse cette multiplicité pour découvrir encore des lignes fixes qui accompagnent à l'infini toute variation, si oscillante et si accidentelle

qu'elle soit ; cela permet h. maintes éludes analyLi(]ues sur la convergence de faire abslraclion des oscillations et leur conserve l'avantage de n'avoir afTaire ([u'à des lonclions variant dans un sens unicjue. Les lignes (ixes (|ni sont propres à toute variation illimitée, je les nomme envelopjtes d'indi'Uerminalion. En voici la description et la théorie.

70. — Théorie des enveloppes d'indétermination. — Nous ne soumettons actuellement la marche des fonctions à aucune restriction : / [x) peut rester finie ou dépasser toute borne. Tous les cas possibles que peut présenter sa marche sont de trois sortes ;

1° Ou bien f [x) atteint, si x croît à partir d'une valeur suffisamment grande x, des valeurs revenant constamment qui sont supérieures à toutes les précédentes depuis ic. L'Idéaliste dirait que, oc étant supposé > X, f {x) ne prend que pour X -jrz ce sa valeur finie la plus grande possible ou sa valeur infinie. C'est là la première espèce de variation des fonctions. Où bien /"(y^), ([uand x croit, prend sans cesse des valeurs ({ui ne sont di'passées par aucune valeur suivante. — Gela fournit les deux autres espèces de variations de fonctions :

2' /"(.x) prend sans cesse, x croissant, des valeurs qui ne seront jamais plus atteintes.

3" /(■>£) atteint sans cesse, à partir d'une valeur A' de a; une certaine valeur ([ui, pour de plus grandes valeurs de l'argument, sera toujours atteinte mais non pas dépassée.

Ces distributions permettent de resserrer en général la variation illimitée des fonctions entre des fonctions ne présentant pas d'alternative de croissance ou de décroissance.

1. Dans le premier cas, faisons croître a- à partir d'une valeur X suffisamment grande et construisons une fonction toujours croissante 0{x), comme il suit :

Soit d'abord A"] la 1''^ valeur de a; < A', pour laquelle /(a:) n'est pas moindre que pour une valeur précédente ((uclconque

de X {X <x < A'i). Dans l'intcrvulle A' A',, soit 0(x)— /\X)

Soit ensuite O(x') =1 /"(a;) pour toutes les valeurs a- (à partir de A^i) pour les(|uelles /\x) est plus grande que pour toute valeur antérieure de ^'.•. Pour les autres valeurs .c, 0(x) est toujours égal à la dernière valeur 0(x) (|ui était égale à f(x).

2. Si /(a), X croissant, prend sans cesse des valeurs ([ui ne seront plus atteinti^s, soit A la i^' de ces valeurs. Dans ce cas, définissons une fonction O (x) n'augmentant jamais, telle que 0 (x) ^ f{x) pour toutes les valeurs qui rendent /'(j) plus grand qu'il ne sera désormais. Pour les autres valeurs de

X > A', soiL 0{.t) og.ilo à la 1" valeur suivanlc de f{x), qui sera égale h 0{x).

3. Si l'{oc), h partir d'une valeur A' de x, prend sans cesse une valeur i|ui sera do nouveau loujours alleintn, mais jamais dé|)as.sr;i>, soit 0{x) rgale à cette valeur.

Dims lacouslruci.ion que Je viens de d'écrire, j'ai en vue de mettre hors de doute de la manière la plus rapide et la plus générale l'existence de pareilles lignes renfermant ù, l'intlni tout processus illimité. Mais il existe évidemment des fonctions en nombre infini variant dans un sens unique, (jui se comportent exactement de la môme manière à l'égard de la marche (inalc de f{x). Le point essentiel doit être maintenant placé dans cette manière de se comporter, et la nature des enveloppes d'indétermination importe peu pourvu (ju'elles fournissent les mêmes r 'sultats ({uo celles décrites plus haut. IJéterminonsdonc le concept des enveloppes d'indétermination par la proposition suivante :

VII. — Soil donné une foncAion quelconque ï{x) d'un avgv.tnent x (jue nous faisons croître indéfiniment, il existe alors toujours deux fonctions 0 [x) et U [x) tjuijiossèdent les projpriétés suivantes :

1. Chacune de ces fondions varie dans un sens unique mais peut aussi être constante.

2. X croissant sans limite, 0 (x) — ï{x) s'annule un nombre illimité de fois aussi bien que ï{x) — U {x).

3. On a toujours 0 (x) > ^{x)> U (x), mais dans le seul cas ou ï[x) elle-même varie dans un sens unique 0 (a;):=f(.i7) ^ \}[x).

4. Lorsque les fonctions 0 {x) et U(j:) ont des limites, ce sont les limites d indétermination Oet\} de ï{x).

Toute fonction possédant les 4 propriétés précédentes doit s'appeler enveloppe d'indétermination. La fonction f{x) oscille entre elles. Par enveloppe on entend ordinairement, au sens de Monge, des figures imaginées autrement que nous venons d'indiquer. Toutefois on me passera cette dénomination à cause du caractère enveloppant des fonctions 0[x) et U{x).

Mon concept des enveloppes d'indétermination va déjà nous servir pour décrire rapidement la marche des fonctions. En efïet,

1. Les enveloppes peuvent, toutes deux dans h', sens > o ou toutes deux dans le sens < o, ou l'une dans le sens > o, l'autre dans le sens < o, dépasser toutes bornes.

2. L'une peut dépasser toute borne, ^ o ou <( o, l'autre avoir une limite.