Des nombres en tant que signes et quantités, et du

formalisme. — Gomme les nombres fractionnaires ont dû

naître du partage de l'unité qu'a exigé la mesure, on voit aussi,

dès qu'on veut y attacher un sens, qu'ils sont inséparables de

la représentation d'objets partagés. D'après cela il doit paraître

contre nature de vouloir construire l'analyse au moyen de

nombres purs, sans tenir compte de leur source : les concepts

{\c (|uantité d'objets et de grandeur. Combien une pareille

séparation est artificielle, on le voit de la façon la plus nette

(|uand il s'agit de la limite irrationnelle d'une suite de simples

nombres. Les nombres I, 2, 'A... -:r'-rr"' tt'" ^o"' O" '^i^n

des signes de cfuantités réelles, ou bien simplement des ligures dont on peut certainement se servir comme de ([uantilés de jeu, (article 14). Or il est vrai que, lorsque nous sommes plongés dans un calcul numérique ou dans un problème d'algèbre, il ne nous vient pas à l'idée de voir constamment des quantités réelles sous nos nombres ou nos lettres, qui représentent des nombres laissés indéterminés. Pourtant, dans le développement des concepts analyticjues fondamentaux, cela ne nous autorise pas plus à laire abstraction de leur origine véritable, que la philo-

Sophie du langage ne suLu-ail, pour dos raisons scnil)lal)los, se nionlror salisfailo à la conslalalioii f]'uni' langue loulo formée. La reprcsenlalion du cliilTrc vi(;nl dans le travail rapide de la pensée, à la place de celle d'un rap|)oi'l à l'uniLé de grandeur. Il en est de môme en réalité du langage, en tant (pje les mots sont devenus des représentations indépendantes. Pendant (ju'on écrit ou qu'on parle, à la place des représentations réelles défilent en grande partie les représentations de mots ellesmêmes, quoique durant ces actes, comme on le voit en s'observanttanl, soit peu soi-même, telle ou telle des représentations correspondantes emmagasinées dans la mémoire s'échappe et dépasse le seuil de la conscience.

De ces deux questions, l'étude de la texture du langage tout formé et la recherche de l'origine des mots et des formes grammaticales dans la formation des concepts humains, on pourrait se croire fondé à résoudre la dernière, par exemple, en supposant le langage inné chez l'homme, parce que précisément on trouve que le langage tout formé s'est en partie dégagé des représentations que les mots désignent : Assurémenton se ferait ainsi grâce de la moitié de la besogne. C'est à peu près ce que ferait l'analyste qui étudierait les fondements de sa science et qui, s'afl'ranchissant du concept de grandeur, ne voudrait rien voir en analyse, que des symboles numériques et littéraux.

L'insuffisance du formalisme pour concevoir le sens des opérations arithmétiques les plus simples ressort entre autres de la multiplication des fractions. Gomment arrive-t-on à la règle de la multiplication des fractions, suivant laquelle, par

exemple, -pr- est le produit de -^ et de -p- . Le détour f|ue

fait Euler cache la difficulté (*) car ce n'est pas ainsi (|uo la règle est née. On cherche vainement aussi, semble-t-il, chez les plus anciens auteurs, une explication du sens primitif de la règle. (**)

(*) Eulcr (iéfinit ô- X ît- les -^ d e t:^ , sans douto de cette façon le

résultat est établi. (Voyez Algèbre d'Euler, page 106).

(") Pour savoir comment les plus anciens traités de calcul présentent la règle de multiplication, je priai M. Cantor, à Heidelberg, de me renseigner. Il eut la bonté de me donner la réponse que voici : « Le plus ancien traité de calcul que nous ayons de l'an 1700 environ avant J.-C. (Papyrus de Ahmos, traduit par August Eisenlolir) renferme des multiplications de fractions de toutes soi-tes, et le plus souvent, en vérité, sur des nombres abstraits. On n'y trouve pas de fondement à l'égalité

tt X aoL ^ ,, . ,. o . X ,, ,,

•— X-T, — 7-7, Le calcul est ainsi conduit quej- tv ,— sonte!ralementfIecom-

Mais si on renonce à tirer une idée de purs symboles, et qu"on voie dans les fractions ce qu'elles sont réellement, c'est-à-dire des parties d'unités de grandeurs linéaires, l'origine vraisemblable do cette règle apparaît alors aux yeux de tous avec la plus grande clarté. A côté de l'unité de longueur, l'unité de surface parut aussi nécessaire pour mesurer les surfaces planes, et ce (jui fut reconnu comme le plus conforme à ce but c'est le carré, dont la forme ramène intuitivement à la mesure des longueurs. L'aire la plus simple de forme après le carré, le rectangle, (juand les côtés étaient multiples de ceux du carré unité, donnait l'image directe de la multiplication des nombres entiers. Les rectangles plus petits que ce carré en exigeaient le partage et conduisaient ainsi à la multiplication des fractions. Dans ce regard en arrière, nous supposons, bien entendu, (ju'il n'intervient que des rapports rationnels de longueur. — Quelque

esprit plus ingénieux partage le rectangle de côtés -^ et -^

am

si que le carré unité en carrés de côté -r^- pour les rendre comparables l'un à l'autre, et il reconnaît aussitôt que le rec-

tangle vaut les -:p- du carré. On croit les voir, les chasseurs qui établissent domicile, mettre trêve à leurs disputes cl désor-

•II. ,«1|1| il posées en Iractions partiellos de mimerateiir I. j- — -, \- r r~--"r r~

\—rr +f^ +•■■+%.• '^'^ '' '*'"'''

Lr.L+1

S, 'fi, ' • • ' Ba —h,„ 6, ^b,n Ô,

On réunit en une seule expression tous les produits partiels, soit en écrivant sinii)leniciit les uns à la suite des autres les élonicnts de tou.s les produits ordonnés suivant leur g-randeur, soit en eUectuant l'addition

de ipielipies uns, p:ir exemple, en remplaçant -^-t-—rli;U' -75- .— soit

enfin en les réduisant au même diMiominateur. On obtient ainsi natu-

.lellemeiit ^-7, .

0 li

mais 9,0. partager cntri' mix la proprii^h' d'aprrs rcAUi rrglc. En tous ca,s, la multiplicalion dos l'racl'Oiis devient ainsi une suite toute naturelle et cxlrêmcnienl claire de la multiplication des nombres entiers, el on peut très bien l'avoir trouvée aux premières époques de la science préhistorique de la mesure.

Du reste, de ce que Je viens d'alléguer en faveur de la vraie signification des symboles malhémati([ucs, il ne faut pas conclure que je méconnais l'utilité des recherches sur ce qu'on peut appeler le nircanismc du calcul, recherches par lcs(|uelles llamillon, Grassmaiin et d'autres, notamment de nos Jours M. Weierstrass, ont Jeté un grand Jour sur la nature des opérations composées el des ({uantilés complexes. Mais pour bien comprendre la portée de ces recherches il faut Jeter un coup d'œil en arrière sur les premiers développements historiques de la science. Les opérations analyliques les plus simples sur une ou deux (juantités, l'addition, la soustraction et la division, (|ui [)robal)lemenl a déj;\ pour origine la soustraction répétée, ont conduit par leur répétition et leurextension ^ plusieurs quantités, à l'algèbre, au calcul des puissances, aux logarithmes, au symbole imaginaire. D'un autre côté, la trigonométrie est venue se joindre à ces théories en s'amalgamant entièrement avec elles. Ajoutons la création des opérations infinies el de l'analyse infinitésimale et nous aurons énuméré les conquêtes les plus importantes qu'a faites au cours des siècles le génie analytique humain. Or tout cela n'a nullement été consiruit n priori. Au coniraire, on ne saurait douter, et l'on peut s'en convaincre hislori([ueraent, (pie l'analyse est une science expérimentale on tant (ju'cUe a réalisé ses progrès en tâtonnant à pas lents, et d'essais en essais qui ne n'm-^sissaient pas toujours. Ordinairement, des problèmes simples sur des quantités réelles suggéraient des opérations, élargies ensuite par induction, Jusqu'à former des méthodes (|ue l'on se croyait en droit de tenir pour sûres, sans avoir même songé à la nécessité d'une démonstration, comme par exemple la décomposition des polynômes en facteurs simples. C'est ainsi «[uc les choses se sont passées en algèbre durant des siècles, que nous avons presque perdus de vue, et aussi dans des temps plus rapprochés dans le domaine des opérations inSnies, où seulement depuis Gauss, Gauchy, Abel el Lejeune Dirichlet, on a senti le besoin de Justifier les méthodes fournies par l'induclion. Le fait est qu'on se trouve toul-à-coup en lace du spectacle stupéfiant de l'analyse toute formée, avec ses méthodes merveilleuses usant en partie de symboles purement littéraux, mais conduisant toujours à des résultats corrects. Nous apprenons el nous employons cette science, dont la genèse primordiale nous échappe complètement, en ne cherchant de démonstra-

lions que pour des fails isolés, démonstrations qui se fondent elles-mêmes sur le fait de l'analyse préexistante. Et ici surgit encore une ({ucstion : La forme actuelle de l'analyse est-elle nécessaire ? Ne pourrait-on pas inventer d'autres signes représentant d'autres combinaisons de conclusions et d'autres symboles littéraux, pcut-ôlre plus profitables encore que les combinaisons et les symboles actuels '? Or, quand on réfléchit sur cet ensemble de questions que nous présente le fait de l'analyse toute formée, il faut évidemment distinguer deux choses : les opérations simples dont la répétition a conduit au calcul analyticjue et ce calcul lui même. Aux premières, il faut adjoindre l'essence des opérations infinies les plus simples, notamment le concept de la limite, qui est le principal objet de ce livre.

Pour ne pas trop embrasser à la fois, il convient de traiter séparément ces deux genres de questions. En effet, les recherches sur les opérations simples et sur le concept de la limite roulent sur les questions les plus abstraites de la connaissance, tandis que le mécanisme du calcul peut-être traité en parlant de données purement littérales. Voici comment on peut définir le problème que présente le mécanisme du calcul : Réduire au plus petit nombre possible les règles simples entre les lettres ou signes introduits pour représenter les indéterminées du calcul ; ces règles sont censées permettre d'exécuter toutes les opéralions qu'il s'agit d'expliquer, sous celle condition que si l'on suppose données des relations quelconques, fixées par des équations, entre les lettres ou signes, ces relations subsistent durant tout le calcul (transformation des équations originaires au moyen des opérations simples ou composées), et peuvent être vérifiées pour chaque Iranlbrmaiion que le calcul fait paraître. En concevant ainsi le mécanisme du calcul, on peut aussi partir d'opérations simples qui ne découlent plus du concept de la quantité mathématique linéaire, mais qui, en satisfaisant à la seconde condition, peuvent servir de bnse à un calcul tout-à-fait légitime, cl conduisent nécessairement à des résultais corrects, comme cela a lieu pour la multiplication intérieure de Grassmann. Dans le grand nombre de traités et de mémoires qui ont paru sur ce sujet, les auteurs ont souvent confondu les fleux problèmes, celui de la mélaphysi(|ue des opérations simples, et celui du mécanisme du calcul, et la clarté des idées n'y a point guigné. Dans toute celte littérature il ne s'agit d'ailleurs guère (|ue du calcul entre quantités supposées finies. On y peut ramener, comme nous le verrons dans la suite, le calcul des différentielles, qui a tant intrigué les géomètres du siècle passé. Mais reste encore l'analyse des opérations infinies el des vai'iables continues. Ici encore on a

essayé de séparer une analyse purement lillérale des concepts (le grandeur (;l de limite. C'est Heine (jui dans ses éléments de l'onseignemcnl des propriétés des fonctions (*) introduit une lettre pour désigner la limite d'une opération constatée comme convergente par le principe g(''néral de convergence, lettre (jui figure comme les autres lettres dans le calcul. Par l?i môme il met hors de discussion toute la métaphysiriue de la limite, etc. Mais si, comme je l'ai exposé plus liaul,uno pareille séparation peut-être utile pour l'analyse algébrique, attendu (jue les opérations élémentaires y forment un problème de connaissance à part, qui peut être facilement détaché du problème littéral sur le mécanisme du calcul, espèce de jeu logique entre de purs symboles, elle paraît l'être moins pour le calcul des fonctions dans leur conception la plus générale. Un esprit qui aime h approfondir les choses ne saurait en être satisfait. Ce n'est pas à dire, (jue pour les besoins de la praticiue ordinaire, pour l'enseignement élémentaire, où l'on n'a affaire qu à des fonctions régulières, il faille remonter aux (juestions subtiles relatives ù la coutinuilé et à la limite. Un professeur chargé d'enseigner l'anglais à un élève négociant ne commencera pas par lui faire un cours sur lalinguistique générale et sur l'origine de la langue anglaise en particulier. Mais quand il s'agit de traiter toutes les questions qu'offre la théorie des fonctions de (juelque nature qu'elles soient, par exemple certaines (juestions (jui ont trait aux solutions des équations aux différentielles partielles, on ne pourra guère se dispenser de remonter aux concepts londamentaux, et quand même on le pourrait on ne serait pas au terme de ses vœux, on sentirait qu'on n'a pas pénétré à fond la matière. En somme, si pour l'analyse algébrique le problème du mécanisme du calcul ofl're peut-être plus d'attraits, pour l'analyse infinitésimale c'est bien le problème de la connaissance qui présente le principal intérêt, et l'importance décisive. Et voilà un point saillant de la question.

Un squelette purement formel et littéral de l'analyse, auquel se ramène la séparation du signe analytique d'avec la grandeur, finirait en efîet par faire dégénérer cette science, qui en vérité est une science naturelle quoiqu'elle borne ses recherches aux propriétés les plus générales des choses perçues, en un simple jeu de symboles, où les signes écrits prendraient des significations arbitraires comme les pièces du jeu d'échecs ou les cartes h jouer. Si intéressant que puisse être un pareil jeu, si profitable et même nécessaire qu'il soit aux fins de l'analyse, pour suivre jusqu'à leurs dernières conséquences littérales les règles du calcul des symboles, nées de la repré-

(') Die Elemente der Funciionenlehre, J. de Borchardt. — Vol. 74.

sentalion de quantité, cette mathématique littérale, ([uand elle serait complètement arrachée du sol où elle a poussé, ue tarderait pas à s'épuiser en une croissance inféconde, tandis que la science, si bien nommée par Gauss science des grandeurs, a, dans le domaine naturel de la percejjtion humaine dont l'extension va toujours grandissant, une source intarissable de nouveaux objets d'étude, et d'iirpulsions l'écondes. Sans aucun doute, à l'aide de prétendus axiomes, de conventions, de p/ii/osoplibmes imaginés ad hoc, d'élargissements inconcevables donnés à des concepts 1res clairs à l'origme, on pourra construire un système supplémentaire d'arithmétique, semblable en tous points à celui (jui es', né du concept de grandeur pour garantir ainsi les calculs mathéraathiques comme par un cordon de dogmes et de détinitions défensives du domaine psychologique. Une pénétration peu ordinaire peut avoir été apportée dans de pareilles constructions Seulement on pourrait aussi de cette manière inventer d'autres systèmes arithmétiques, comme cela s'est fait. L'arithmétique ordinaire est précisément la seule qui réponde au concept de grandeur linéaire : elle en est, pour ainsi dire, la première manifestation, tandis que l'analyse avec le concept de limite en avant en forme le développement le plus élevé. Aussi ne parviendra-t-on pas à aplanir h. l'aide du symbolisme ces difficultés du concept de limite, (|ue bientôt et sans crainte nous attaquerons de front. Car tout analyste qui cache autre chose qu'un faiseur de combinaisons voudra remonter à l'origine du jeu de symboles, et alors se trouvera de nouveau placé en face des problèmes qu'il avait tournés.

Il nous faudra d'ailleurs revenir sur cette matière quand l'Idéaliste et l'Empiriste auront exposé leurs systèmes, pour montrer leur rapport au fameux système arilhméti([uo de M. Kronecker qui paraît aussi répondre aux vues de M. de Helmholtz, comme cela ressort de deux mémoires, que ccsérainents géomètres viennent de publier.

Des hommes non mathématiciens ont assez souvent cherché h. éclairer les mathématiciens sur les concepts fondamentaux de leur propre science. Nous avons vu en géométrie que c'est en ditinitive le travail sérieux et bien dirigé des mathématiciens eux-mêmes qui a débarrassé la voie conduisant des perceptions des sens aux propositions de la science. De même la recherche la plus scrupuleuse peut seule supprimer toute discontinuité entre les concepts ibndamcnlaux de l'analyse et notre système de représentations immédiates. C'est une question scienliliiiue comme une autre, qui exige avec une connaissance sulti'^anle des choses toute la puissance île travail dont nous sommes capables.

19. — Gomment il faut entendre en définitive le problème qui a pour objet le concept de limite, — Li^s coiisidtM-.ilions (jui |)r(''cr'(i(înl. nous coiuluisciit (loue linalemcnl h compreridro coQiino il suit iiolro prohlrnu'. — Nous avons à fiémontror la proposition que voici :

y. oc > y.

Tout nombre décimal o, X| a., . . a„ zz 7^ -)- yjù "f • • • "iTTri

s'a/tproc/te anlant ifu'on veut (/nand n croît sufllsammcitt , d'une

valeur limite Sous les fractions o. Xi ; 0, x, xi ; il fantcntendre

des multiples de dixièmes, de centièuies.... d'une longueur unité dont les exlrémilrs seraient 0 et i . Si on porte les lonr/ueurf o, %i ; o, sci x.> , . . . sur l'unité de longueur 0. . . I , à partir du point 0, leurs extrémités tournées du eôté du point I vont en se resserrant de plus en plus et le point limite ferme la suite qui se resserre indéfiniment de telle sm^le que toutes les extrémités sont situées j)ar rapport à ce point limite du même rôté que le zéro, les distances des poin's o, a, ; o, a^ %.,', ■ • • 't^ point limite tombant au-dessous de toute valeur.

Ge\[(i c()7iception géométrique du prolilôme doit maintenant ne pas(Mre une hypothèse, ni impli(picp aucune restciclion ; mais en traitant dans ce chapitre du concept de grandeur, j'ai eu précisément pour but de montrer ([ue dans le champ si parfaitement illimité de la pensée nous ne pouvons imnoçiner sous la limite hypothélhique rien autre qu'une ([uantité linéaire représcntable, ainsi, ce qui atteint très bien ce but, une longueur. Une limite numérique abstraite est une façon de parler dénuée de sens : nons ne faisons pas tort le moins du monde à la généralité de notre recherche, cpiand sous la limite hypothéti(pie nous imaginons une quantité mathématique linéaire et donnons au problème l'énoncé qui précèilc.

Et maintenant j'ouvre la discussion de l'Idéaliste et de l'Empiriste sur le problème proposé.

Les deux conccplions Idcalisle ('( Empirisle do la liniid' et de la (jrandem'

Système idéaliste L'IDÉALISTE

20. — Concept de limite. — L'existence de la limite a besoin d'une démonstration. — .le pose la longueur exacte comme Ibndemenl de la science des grandeurs, et je me représente comme unité un segment de ligne droite parfaitement délimité, dont je désignerai les extrémités par 0 et 1. Sur cette étendue, nous connaissons une foule innombrable de points déterminés de différentes manières; parmi eux il laut considérer particulièrement ces sortes de points dont nous pouvons trouver des représentants dans toute portion, si petite qu'elle soit, de la longueur unité. Ce sont les longueurs rationnelles, c'est-à-dire des demis, des tiers, des quarts, etc.. ou bien des multiples de ces fractions de l'unité de longueur. Ce sont aussi les longueurs en quantité innombrable susceptibles d'être construites, qui ne sont pas des fractions rationnelles de l'unité, mais des racines de nombres rationnels ainsi que des l'ractions rationnelles et des multiples de ces racines. La pensée peut multiplier indéfiniment le nombre de ces espèces de points, et la longueur unité se recouvre dans notre représentation d'une foule de points de plus en plus dense. Seulement nous avons be;iu iaire croître le nombre de ces points, notre pensée attentive ne voit jamais deux points coïncider, toujours au contraire deux points voisins restent séparés par un segment de ligne droite (jui, abstraction faite de sa longueur, ressemble complètement fi la longueur unité. C'est là l'image qui accompagne toujours ma représentation de grandeur.

.Je ne viens de citer comme points distincts de l'étendue 0....i que les fractions rationnelles île l'unité, ainsi que des lignes qu'on peut construire théoriquement.

Dans ce qui suit, nous considérerons ces points comme donnés et comme déjà connus, et il nousfaudra loulde suite décrire

ei élcndfo la manièiNj dont de nouveaux poiiils si> rattachent à ceux-liV L'origine des points dont il s'agira corrcsponfl à la considération du pass.ige analytique ù la limite. Le nouveau j)oint délermine sur l'unité une élendue f|ui est la pnHondue limite c'est-.Vdire le terme d'une suite d'étendues qui diiïcrent de moins en moins les unes des autres.

Soit Xi Xi. . . des nombres pris dans la suite 0. L -■• • • 0 el soit donnée pour la suite

o, X, y., . . . zr T- 4- 1 — î + . ' - 10 "^ 10- ^

une loi ((ui permetti' de la continuer in(li''liniinen(. (Juand les a^, d'un rang déterminé reviennent péi'iodiquement, la somme o,ai X2 ••^i> , lorsque^} augmente, s'approche d'un certain nombre rationnel qu'on apprend h connaître dans les mathématiques élémentaires. Si on imagine maintenant portées sur l'unité de longueur 0... 1, à partir de 0, les étendues o, X,; 0, xi a^ ; etc.. o, 3Ci Xi ...x^, ; ,.., elles sont elles-mêmes rationnelles puis- (|u'elles sont des multiples du dixième, du centième, etc.. de la longueur unité ; et dans le cas de la périodicité du nombre décimal illimité, la suite précédente possède une limite L, qui est aussi représentée par un point rationnel sur l'étendue 0...1, et qui remplit cette condition que lorsque jj augmente la difTérence L — o, xi a., , . .x^, devient aussi petite que l'on veut. Mais si la suite^des Xj, n'est pas périodique et que aucune des espèces de points dont nous avons admis l'existence ne contienne un point L ([ui remplisse la condition de limite relative à L — o, x^ xj. . .a^„ c'est alors ([ue se place la proposition dont nous avons ù, nous occuper ici et qui est celle-ci : La

suite o, X, ; o, xi x^, ; .. etc., détermine un nouveau pointsur

l'unité de longueur, c'est-à-dire ([ue cette suite l'introduit de force dans le domaine de nos représentations; le point s'appelle alors la limite de cette suite. Il n'appartient pas, par hypothèse, aux espèces de points considérés comme connus ; il est donc hors de doute que son existence doit-être démontrée tout d'abord, et son existence est et restera une hypothèse, si une pareille démonstration ne réussit pas ; c'est là maintenant ce qu'il nous l'aut examiner.

21. — Concept de limite. Des démonstrations de l'existence de la limite. — J'ai beau chercher, Je ne vois que deux points do vue principaux pour démontrer l'existence de la limite L de o, xi X2 . . . Xj, . En premier lieu le point limite L s'offre comme la limite d'une étendue, dont la longueur décroît indéfiniment el tombe au-dessous de toute quantité. En second lieu il est saisi par l'esprit comme le pomt de séparation de deux éiendues.

Voici commûnl on peut exposer la première déraonslralion : Tout d'abord on a, pour toute valeur de p et de </.

o, xi y., . . . a,^ < o, a, x. ... {x^ + 1) parce que

\i)„ — W^' "^ îô^- + ■ '

et, d'après Ihypothèse que o, a, Xo ... n'est pas un nombre

rationnel, les x ne seront à partir d'aucun rang touségaux h 9.

Si on construit ainsi sur la longueur unité une étendue s^,

de longueur jT-; 5 reliant les points 0, Xj x^ ... a et o, a^ a^ . .

(x^, -f 1), toutes les étendues o, xi x, ... x„, si grand que puisse être n, se termineront en des points silués sur 5^ , de sorte que la longueur limite hypothétique Z, (définie parce tait que L — o, a, xo . . .a„ , pour les valeurs croissantes de n, peut devenir aussi petite que l'on veut) doit tomber elle aussi dans cette étendue s^, . Imaginons maintenant qu'on donne à p des valeurs de plus en plus grandes , s^, deviendra aussi petit qu'on voudra et chaque nouvelle s^ sera contenue dans toutes les précédentes. De la sorte, le point hypothétique se laisse rcs-;errer entre des limites de plus en plus étroites. Faisons maintenant tendre l'étendue Sj, vers zéro, ses extrémités finiront par se confondre en un même point et ce sera le point L hypothéti(|ue, dont l'existence se trouverait ainsi démontrée.

11 n'y a pourtant là point de démonstration, mais bien ime surprise. En effet, l'étendue .f^, est et reste indéfiniment limitée par dos points appartenant aux espèces supposées données. Nos hypothèses nous autorisent sans doute ù diminui r indéfiniment l'étendue s^, ; mais c'est là une opération de la pensée c|ui ne change en rien la nature de notre représentation. Grande ou petite, l'étendue s,, reste toujours une étendue comprise entre deux points rationnels. Si maintenant toul-à-coup et sans tondement logique, nous substituons à Vctenduc un po'ml, c'est là un acte par lequel nous faisons clairement et gratuitement int-^-rvenir une représentation nouvelle ; nous la laissons suivre immédiatement la première et anticiper précisément sur ce (jui devait être démontré. Une rencontre graduelle de deux points, expression dont on se sert et ([ui semble très bien traduire le fait, est absolument un non sens. Ou bien on a des points séparés par une étendue, ou bien on n'a qu'un seul point, il n'y a pas de milieu.

L'autre méthode de démonstration est la suivante : Les points que nouî imaginons donnés sur l'étendue unité ne partagent en 3 catégories : 1° ceux qui finiront par se trouver couverts par les étendues que l'on porte successivement sur la

longaeur 0 ... 1, savoir, o, x,, o, x^ x, ... etc ; 2" Les poinlspour lescjuels cela n'arrivera Jamais. 3" Les points hypolhéli(|ues de telle nalurc (pi'ils n'apparlicnncnl )\ aucune de ces deu.\ premières catégories. 11 est tout d'abord facile de voir que la troisième catégorie contient ou pas de points ou un point au plus ; car on peut faire les deu.x remarques suivantes : 1" des qu'un point appartient i\ la première catégorie, il en est de même de tous ceux qui se trouvent entre zéro et lui, et dès qu'un point appartient h, la deuxième, il en est de mC-me de tous ceux qui se trouvent entre lui et un. 2" tous les points décimaux appartiennent à l'une des catégories 1 ou 2.

Il s'ensuit qu'il ne saurait y avoir 2 points de la troisième catégorie, car on pourrait imaginer des points décimaux dans l'intervalle qui les séparerait ; ces points seraient ou non couverts dans la suite des constructions o, ocj o, aj acj ... et il en serait de même des deux points en question ce qui est contre l'hypotbèse. Ainsi la catégorie 3 ne peut contenir que un ou aucun point.

De la remarque(l) résulte maintenant que les étendues sur lesquelles se trouvent les points de l'une et de l'autre catégorie sont sans interruption de sorte que le point de 3'"'' espèce, s'il existe, ne peut être que l'extrémité commune aux deux étendues. Mais si l'étendue unité se partage en deux portions égales telles que les points de l'une (iniront par être couverts, tandis que les points de l'autre ne le seront jamais, il faut (pie leur extrémité commune soit également la limite hypothétique L, car ce point précisément satisfait h la condition

Li/ii (Z> — 0, ai Xj . . . a^,) =r o ;

d'où il suit encore qu'un point de 3""^ espèce est impossible parceque le point limite n'est jamais atteint.

Si convaincante que nous paraisse toute cette explication, elle cache encore cependant une surprise, quoique un peu moins visible que la prétendue première démonstration ; j'avouerai même que pendant un certain temps je me suis imaginéavoir réellement découvert là la preuve de la limite.

Pour caractériser d'un mot le point faible de la démonstration, elle serait absolument rigoureuse si nous élargissions encore le concept de quantité géométrique par cette proposition complémentaire « que la longueur est formée de points » Cela va tout de suite devenir clair.

Je remarque d'abord que jusqu'à la phrase qui comnaence par ces mots : « de la remarque (1) résulte maintenant que....» le raisonnement ne souffre aucune objection. C'est seulement la conclusion de la démonstration qui n'est plus satisfaisante.

Nous nous plaçons en un point d'où nous pourrons juger la valeur de pareilles démonslrations, même sans examiner les conclusions séparément, en nous attachant à ce qui peut-être démoniré d'une l'açon générale sur le fond de notre représentation de grandeur, telle ([u'clle a été donnée au début de l'exposé tlu système l'idéaliste.

Le concept de quantité supposé ne nous fournil rien de plus qu'une longueur précise 0 ... 1, cl, sur celle-ci, des points innombrables que nous pouvons sans doute imaginer aussi resserrées f[ue nous voudrons; mais, comme je l'ai dit, dans tant effort d'imaginalion, qui correspond à un image déterminée passant devant la conscience sans le moindre nuage, nous nous représentons toujours entre deux points voisins un segment de ligne droite qui co'incide exaclement suivant son étendue avec l'unité. Ce que nous avons dit des nombres décimaux, à savoir qu'ils doivent appartenir ou a la catégorie 1 ou à la catégorie 2, est vrai de toute espèce de points dont nous supposons que se composent les points donnés sur la longueur unité. Ainsi nous pouvons dire qne les points donnés appartiennent à la catégorie i jusqu'à un point :V' incl'.isivement et à la catégorie 2 à partir d'un point A" inclusivement, de sorte que, en outre, A' et N' sont aussi rapprochés qu'on veut l'un et de l'autre, et qu'enfin entre eux il ne peut y avoir aucun des points considérés comme donnes. Voilà, en toute rigueur^ absolument tout ce qu'on peut démontrer et ce qu'a démontré le raisonnement précédent.

La surprise dès lors réside évidemment en ceci, que nous admettons des étendues déterminées pnr les points que l'on suppose connus, sans que les extrémités en soii^nt données. Une étendue n'est déterminée que par ses deux extrémités. Les deux étendues en le-quelles se divise l'unité 0...1, ont certainement les extrémités 0 et 1, mais l'extrémité commune n'est pas déterminée par ia première partie de la démonstration. L'une des étendues n'est précisément déterminée (jue jusqu'à un point iV de la suite des points représentés, et l'autre à partir d'un point jV' analogue. Sur la partie de ces étendues situées entre ces deux points, on ne découvre rien. Nous pourrons bien par l'imagination augmenter à volonté la densité de la suite des points. 11 viendra, à la place des étendues A. . . N', d'autres étendues Xi.., AV 'jui sont toujours contenues dans les précédentes cl tombent en petitesse audessous de toute limite. Mais il n'ya jamais que des étendues: et. comme nous l'avons expressément relevé dans le premier mode de démonstration, celle Aiçon de diminuer ne saurait rien changer à la nature essentielle delà représentation; au contraire, le fait d'annuler l'éiendue ou de la transformer en

un point csl un iicti' arbitraire qui no souffre pas une d('!mons- Iralion réelle.

Mais si nous changeons cssciitiellcnicnl la représentation do la longueur, et que nous la concevions non seulement comme le support de points ; déjà connus, mais comme un agrégat de [) )inls si nous abandonnons cette représenlalion suivant laquelle ligne et point sont cjuelque chose de tout-àfait difTérenl, la criti([ue de la. deuxième démonstration croule évidemment, et il fiut rf connaître à celle-ci une entière rigueur. Nous ne pouvons peut-être pas nous représenter par l'imaginalioii tous les points dont l'étendue se compose; mais il suffit qu'ils existent réellement. Ils se décomposent toujours on deux catégories suivant cju'il leur arrivera d'être une fois ou de n'être jamais atteint, et de la troisième catégorie, il ne pourra y en avoir qu'un ; mais qui, étant donné qu'un point n'a pas de longueur, n'entre pas en considération et doit nécessairement coïncider avec l'extrémité commune aux deux étendues. Car l'extrémité do l'éicndue des points atteints ne sera elle-même jamais atteinte, c'est-à-dire no touchera jamais à la limite.

On sent d'ailleurs qu'en considérant la longueur comme formée de points on suppose par cela même avant tout l'existence de toute longueur limite, et que dès lors celte représentation doit engendrer une suite d'idées toute difl'érenle de celle qui nous préoccupe ici.

Mais cette représonli.lion n'est ni claire ni nette. On peut bien, pour l'expliquer, citer l'image d'un crayon dont la pointe trace un trait fin. Mais il y a là ridi''0 de mouvement, le trait est le trajectoire de la pointe mobile. La représenlalion de l'espace, immobile et fixe, ne lora jamais sortir l'image d'une ligne véritable uniforme d'une suite de points, si dense qu'elle soit, car des points n'ont pas de dimension^:, et par consé(|ucnt une suite de points aussi dense qu'on voudra ne peut jamais devenir une distance ; bien au contraire, on considérera toujours la dislance comme la somme fies interv.dles de points.

La conception de la ligne comme suite de points répond encore à la même lacune dans la suite des idées que nous avons critiqui e déjà deux fois. En effet la suite de points sur l'étendue recliligne, avec ses intervalles aussi petits qu'on veut, est une représentation dont l'essence n'est pas changée par la diminution poussée jusqu'à l'ijifini des intervalles de points. Quand tout-à-coup nous supposons ces intervalles nuls, nous sautons brus(]uement suivant notre fantaisie et sans transition à une limite, qui cette fois non seulement n'est pas représentable, mais aussi est tout-à-fait absurde ou du moins para-

doxale. Je rejette ainsi l'élargissement duconcept de grandeur, suivant lequel la ligne doit être composée de points, la surface de lignes, etc.

Il me Faut donc renoncer à une démonstration de lalimite L du nombre décimal o, xi %i .... fondée surles hypothèses faites au début.

C'est aussi en effet qu'on demande l'impossible, quand on veut d'une suite de points exclusivement composée de points appartenant à une catégorie donnée, faire sortir un point n'appartenant pas à cette catégorie. Pour moi la chose est tellement inimaginable que J'affirme qu'aucun travail intellectuel n'arrachera jamais à un cerveau humain une démonstration de ce genre, dût-on y supposer réunis le don de divination de Newton, la clarté d'Euler et la puissance écrasante de l'esprit de Gauss.

Toutefois il est conforme à l'intuition générale que la fraction décimale o, x, oc^ ... indéfiniment prolongée, représente une valeur, à laquelle nous pouvons donner une forme sensible, soit h. l'aide d'une longueur ou bien d'une autre quantité mathématique, par exemple, d'un poids. En en"et,une foule innombrable de fractions décimales ont une limite qui peut être représentée par une longueur, et rien dans les fractions décimales ni dans les longueurs ne peut éveiller le moindre soupçon que, à l'égard d'une propriété aussi générale (|ue la co-existence de fraction décimale et de limite, une différence entre elles soit possible. Enfin on peut, en tout cas, approcher autant qu'on veut de la limite hypothétique, c'est-ii-dire on

peut troaver une quantité Li telle que Lj — o.aci a^ a^, ...

pour toute valeur de j) reste au-dessous d'une longueur, si petite qu'on l'ait choisie, en resserrant, comme je l'ai fait voir, la limite hypothétique dans un intervalle convenable.

22. — L'objet des considérations précédentes va être complété au sens de l'Idéaliste. — !Si nous n'avons pu conclure avec nécessité, de nos représentations le point limite L, c'est (lue, ou bien réellement il n'existe pas, ou bien nous n'avons pas encore tiré tout le parti possible de nos représentations. Elles renferment encore des rapports «pie nous n'avons pas considérés, carlors(iue notre représentation ilc grandeur est complète, et ([ue ses liaisons avec le reste de notre sy^^téme de représentations se montrent clairement, il faut que les points limites, s'ils existent, en découlent nécessairement.

Il y a, en effet, une ciuestion essentielle que nous x\o. nous sommes pas encore posée. Etudions encore une fois la formation de la limite L : ce que nous avons en vue viendra aussitôt

— Tien plt'iiie lumièi'c, si nous cx.i minons les choses d'un point de vue plus physifiuo.

Comme idi-alisle, Je crois h la réalit6 de mes iiléaux, je crois il la réalilé objeclive de mes idées poursuivies Juscju'aux liniiles o\LrAmt;s de ma pensiie, ([uoicjuo, en vérité , comme l'irdini, elles ne soient pas représenlables. .Je crois à l'infini et ù, l'existence objective d'images géométriques précises ou plus co.Tectcment à leur possibilité ; car cette possibililé signifie (|ue seules des circonstances secondaires et accessoires peuvent s'opposer à leur existence, comme on dit qu'il est possible que deux montres aillent parfaitement ensemble. Et toutes conclusions qui reposent sur de pareilles hypothèses doivent tomber dans Iccioniaine de la possibilité, ou bien, suivant leur nature, dans celui de la réalilé.

Maintenant considérons une longueur précise, non-seulement imaginée, mais existant ffuehjue part. Les longueurs 0, «1 ; 0, xi %i .... existeront pareillement, et alors, ou bien leur point limite est une réalité objective, ou bien il n'y en a point. Tout cela est indépendant du fait que dans le monde il y a ou non des cerveaux pensants ; nous n'avons donc pas à nous demander :

Pouvons nous parvenir avec nécessité, par un chemin quelconque, de nos représentations initiales à la représentation finale d un point limite ?

Mais : Exi te-t-il, indépendamment d'un être pensant, un point linùtc, lorsque les étendues n, x, ; o, aj x.> ; .... existent ?

Cette façon d'envisager la question nous prescrit évidemment pour la traiter, une autre route que celle suivie tout d'abord. Nous n'avons plus le droit de poser en principe, comme nous l'avons fait au début de l'exposé du système de l'Idéaliste, les points que uous pouvons par la pensée placer sur la longueur unité, mais bien ceux qui y sont réellement.

Il se présente donc à nous tout d'abord la question du nombre de points de division qu'il faut distinguer surl'étendue unté. Nous pouvons nous en représenter autant que nous voulons, mais combien y en a-t-il qu'il faille regarder comme distincts ? — Nous pouvons encore nous demander à un point de vue plus physique : Combien d'étendues moindres qu'une étendue donnée existent ou sont possibles ; c'est-ù-dire,si elles n'existent pas, doivent seulement au hasard de ne pas exister?

Pour donner à celte question une réponse satisfaisante, je vais d'abord établir une distinction de la plus haute importance entre deux concepts.

23. — Des conceptsderillimité et de l'Infini. — La quantité de points de division de l'unité de longueur ou d'étendues partielles en lesquelles se partage l'étendue unité est dite illimitée ou bien infinie. Dès que nous aurons établi exactement le sens de ces deux expressions, les questions relatives au nombre de parties d'unité et h l'existence de la limite trouveront d'un coup leur solution.

Un exemple éclaircira pour nous le sens de ces deux mots. Demandons-nous quel est le nombre des corps célestes répandus dans l'espace. Quand nous regardons de l'œil nu le ciel étoile, (|uel(]ues étoiles brillantes nous apparaissent bientôt, comme parmi les points de division de l'étendue unité, notre pensée voit d'abord les fractions rationnelles. Une observation plus exacte faite h l'aide du télescope peut nous révéler, en raison de l'intensité de lumière et du grossissemeni dont nous disposons, partout où semblait s'étendre une obscurité uniforme, des masses d'étoiles de plus en plus denses. Nous avons ainsi l'impression qu'il n'y a pas de limite au nombre des étoiles ; et nous disons : Les corps célestes nous apparaissent en nombre'illimilé. Mais à cette question « Quel est donc le nombre ?» — illhniié ne serait certainement pas une réponse satisfaisante, parcequ'on voit toujours là par la pensée un homme (jui compte et qui n'arrivera pas à la fin de son calcul, soit qu'il n'existe pas de fin dans ce qu'il compte, soit qu'il ne puisse atteindre C(;lle c|ui exis'e.

Par le mot in/îtil la plupart des gens instruits entendent c|ue l'extension ou le nombre ainsi qualifié dépasse en réalité et indépendamment de l'existence d'êtres pensants tout ce qui peut ù. l'aide d'une unité déterminée se mesurer ou se compter. On dit « l'espace infini » et si on se le représente répandu partout avec les corps célestes qu'il contient, on dira aussi le nombre des corps célestes est infini. L'exactitude de cette proposition peut bien être contestée, mais à l'égard de l'expression personne n'aura rien h objecter.

L'expression «je me représente l'espace comme illimité» est inatta(iuable ; mais il serait impropre de dire : je me représente l'espace comme infini, parcequ'on ne peut pas précisément se représenter l'infini, qui sort du cadre de toute repi'ésentation. Il nous faudrait dire : je crois qu'il est infini.

Tout cela bien pesé, voici maintenant comment on peut résumer le rapport de l'illimité à l'infini : Nous nommons illimité en grandeur ce ((ui, tout en étant fini, ne peut être dépassé par des multiples de mesures fixes, parceijue nous nous le figurons grandissant et sortant des confins de toute sphère.

Représentons-nous une mesure aussi grande (jue nous

voudrons, nous nous figurons la (|u;inlih; illimiU^e comme la dépassant. (Jue la (|uanLiLé illimilùc soil all'ranchio de l'idée qui l'-accompagnc dans noire ospril, ([uc celui-ci renonce à salisCaire au besoin qu'il a d'une rcprésontalion, alors de l'illimité sort le concept de ce qui est supérieure toute (juanlité et ne peut plus se représenter, l'infini.

Il est de la plus haute importance de bien établir que rillimitc est toujours /?/it, et que l'infini s'applicjue à ce qui suit le fini dans la direction de ce qu'on suppose illimité, c'està-dire, fi ce qui n'est pas fini.

La question : Quel est le nombre de points de division situés sur l'étendue unité? reçoit donc de ce qui précède la solution suivante : Z)a«.s- la représentation, ce nombre est W.ijnile, et par suite, dans la n'-alit'- objective, il est infini.

24 — L' Infiniment petit et ses principales propriétés. — La proposition que le nombre des points de division de l'étendue unité est infiniment grand engendre avec une nécessité logifjue la croyance à Vin/înimenf petit.

En effet, nous avons établi plus haut que, selon le véritable concept de grandeur, les points ne se suivent pas les uns les autres sans intervalle sur la longueur, qu'ils ne peuvent donc se rejoindre mais sont toujours séparés par des étendues, de sorte que de simples points ne peuvent jamais former des étendues; à leur tour les points infiniment nombreux sont séparés par des étendues infiniment nombreuses. Donc, de ces étendues aucune ne peut élre finie, c'est-à-dire ne peut être contenue un nombre fini de fois dans l'unité de longueur, parce que, l'unité de longueur étant arbitraire, toute étendue si petite qu'elle soit doit-être constituée comme l'unité de longueur, et contenir aussi une infinité de points de division.

On voit donc que l'étendue unité se décom/)Ose en une infinité d'étendues partielles, dont aucune n'est finie. Ainsi l'inf>,niment petit existe réellement.

Voyons maintenant de plus près les propriétés de cette nouvelle espèce de grandeur. La propriété principale de l'infiniment petit est la suivante :

Un nombre fini d'étendues infiniment petites ajoutées les unes aux autres ne donne pas une étendue finie, mais de nouveau une étendue 'infiniment petite.

Il est vrai qu'on ne peut pas plus se faire une idée du domaine de l'infinimont petit que de celui du fini. On ne peut assigner de limite supérieure ni au fini ni à l'infiniment petit ; mais ce qu'il y a de sûr, c'est que, si grande qu'on puisse se figurer une étendue finie, un nombre fini de pareilles étendues

disposées h la suite les unes des autres fournit toujours de nouveau une étendue finie. Celte propriété convient aussi à l'infinimcnt petit, d'après son origine. Car si un nombre fini d'étendues infiniment petites donnait une étendue finie, elles ne pourraient pas toutes être infiniment petites, parcequ'il serait pour cela nécessaire ([u'elles fussent en nombre infini sur une étendue finie, — d'où résulte la proposition.

Ce n'est pas sans peine que la croyance h l'infiniment petit s'impose. Cependant, si on saisit l'idée hardiment et sans pré- Jugé, si on ne recule pas timidement devant les dinicultés mais qu'au contraire on accepte les propriétés de ce;te nouvelle espèce de grandeur, telles que la logique les impose avec néiîessité, comme quek|ue chose où il n'y ait rien h changer ni à interpréter, alors la méfiance première fera bientôt place à une sécurité bienfaisante grâce à laquelle on se sent tout-à-fait h l'aise dans les fondements de la science exacte, si obscurs et si litigieux qu'ils soienl, et on peut prendre position d'après des principes fixes.

Celui pour qui est nouvelle la conception développée ici de l'infiniment pelit trouvera bien épineuse l'extension qu'elle implique du concept d'égalité. En effet, je nomme égales deux étendues finies, lorsqu'il n'existe entre elles aucune différence finie. Cela n'empêche pas, et c'est là la difficulté signalée, ([u'on peut supposer qu'elles diffèrent par des infiniment petits. Si on voit des difficullés sérieuses à cette extension du concept d'égalilé, c'est qu'on n'a pas encore une vue nette des raisonnements logiques qui conduisent à l'infiniment potit. Sans doute ce concept d'égalité est coniraire à l'idée qu'on s'en l'ail d'ordinaire, suivant laquelle la différence est absolument nulle et brave toute représenlalion. Mais l'essence propre de l'infiniment petit est précisément qu'il réside et doit résider en dehors de nos représentations et par suite nous ne pouvons exiger qu'à propos fl'ijne de ses propriétés, qui peut nous paraître étrange, il s'off:e toul-à-coup à nous en une représentation. Nous concluons donc :

Deux quantités finies dont la dilJrrence est infiniment petite sont rgalci.

En raison de son importance. Je montrerai que celle proposition n'est pas en contradiction avec le concept de la quantité malhématif|ue, tel que nous l'avons donné dans l'iniroduclion (art. !()). Quand deux quanlités de même espèce sont inégales, leur dillérence est à son tour une quantilé mathématique de même espèce (2°"^ propriété). Mais l'infiniment petit n'est pas une quantité malhémalique de même espèce. Car s')l l'élaif, en vertu de la i-J"* propriété, on pourrait à l'aide d'un mulli-

plo fini flo celle diiïérencc infiiiiinenl pelile cli'p.'is?er toute (luantité m.ithémarKiuc: ce qui exclut le concept de l'inflnimcnt petit. Ainsi il n'y a entre les deux quantité-! aucune difTércnce de mên:ie esp'ici;, elles ne peuvent donc èlrc inégales, c'est- à-direqu'ellessont égales, enverludela propriété I, parcetiLiedes (juantilés malhéniali(iues sont ou égales ou inégales. Nous donnons encore à la proposition la forme suivante :

Une quantité finie ne change pas si on y njoute ou qu'on en retranche un infiniment petit.

Ces rapports une ibis établis nottemenl entre le fini et, l'inlinimcnt polit, demandons-nous maintenant : Comment faut-il s'imaginer l'infiniment petit ? — Car si son rapport au fini n'est point repré.sentable, on tout cas l'infiniment petit peut en lui-même, si on fait abstraction de ce rapport, correspondre à certaines représentations. Naturellement on doit se le représenter tel qu'il prend naissance sous nos yeux, c'est-à-dire, (en tant que nous considérons la longueur comme type de quantité), comme une portion d'étendue, par conséquent comme quelque chose d'identique au fini, comme une étendue.

Et généralisant tout naturellcinent, nous appliquons alors tout ce que nous savons sur le partage et l'addition d'étendues finies aux mesures des longueurs infiniment petites, parceque rien dans les idées acquises Jusiju'ici n'oblige à admettre pour les longueurs infiniment petites des propriétés s'éloignanl du fini. Par suite

L'infiniment petit est une quantité mathématique et a de commun avec le fini l'enaembte de ses propriétés.

Quand une fois on a placé l'infiniment petit à côté du fini dans nos concepts de la réalité, il ouvre la voie à de très nombreuses et nouvelles recherches.

Il se présente, par exemple, tout d'abord la question suivante : .\ l'aide des conclusions précédentes, étudier l'infiniment petit dans ses rapports avec l'infiniment petit, en tirer de nouvelles conclusions et ainsi de suite. De cette façon prend naissance une suite d'espèces de quantité se succédant de telle sorte qu'un nombre fini de quantités d'une espèce ne fournit jamais une C[uanlité des espèces précédentes.

Lorqu'on étend aux quantités d'une seule de ces espèces les propriétés des ([uantilés mathématiques ordinaires, et par conséquent les mêmes règles de calcul (jne pour le fini, la comparaison des difTérenles espèces de quantités les unes aux autres est l'objet de ce qui a été appelé le calcul infinitaire. Ce calcul opère sur les rapports de quantités infiniment petites ou d'infiniment petits d'espèce à espèce ; et ces espèces montrent entre elles des liaisons qui échappent au concept ordinaire de

quantité. Les passages d'une espèce h une autre ne présentent pas, par exemple, la continuité de la variation des quantités naathémaliques, quoiriu'clles ne donnent pas de changements brusques ; [jref nous sortons ici, pour ainsi dire, de la science des grandeurs, et nous entrons dans une voie nouvelle où l'on étudie non pas les rapports qu'oni entre elles les quantités d'une même espèce, mais les rapports des espèces de quantités qui se distinguent les unes des autres à l'aide de l'infini.

Dans l'analyse ordinaire , on distingue les ordres des quantités dites intlniment petites, et on entend par là leurs puissances entières. — Les puissances fractionnaires ont les mêmes droits h être prises pour des ordres, mais les différentes espèces possibles d'infiniment petits, forment, comme l'apprend le calcul infmitaire.une suite de degrés beaucoup plus resserrée, .semble-t-il, que celle des n )mbres épuisée déjà par l'ensemble des puissances de la quantité qui devient infinie. Aussi au point de vue de la possibilité d'approcher d'unevaleur déterminée quelconque , la suite de degrés des ordres de l'infini possède d'autres propriétés que la suite desquantités linéaires.

25. — Le concept de limite et les nombres. — De même que nous substituons aux nombres des longueurs, de même nous substituons les nombres aux étendues partielles de l'unité.

Dès qu'on a complété par l'infiniment petit le concept de quantité, l'existence du point limite o, x, x, . . . . est aussitôt mise hors de doute. Chacune des deux démonstrations données plus haut acquiert alors une rigueur absolue. Considérons par exemple la deuxième : les points susceptibles d'èlre couverts vont ,jus(iu'à un certain point TV; ceux (pp ne le seront pas partent d'un point N . Mais l'étendue NN' est maintenant infiniment petite, tandis que précédemment il fallait la considérer comme décroissant sans limite. Acceptons donc le point N comme point limite, extrémité de la longueur L : il doit en réalité satisfaire à la condition que Zy — o, x, a., ... x,, pour les valeurs croissantes de 73 tombe au-dessous de toute limite, car la différence ne peut pas rester supérieure à A'.V, et, puisque cette étendue est intlniment petite, elle n'ajoute rien à oXow L

Inversement à chaque étendue correspond un nombre 0, X, x., .... si L n'est pas une fraction décimale de l'étendue lunité, «1 est alors le plus grand multiple de dixièmes de l'étendue unité , qui soit inférieur à L, x. le plus grand

multiple de centième, ([ui soit inférieur à L — 0, xi etc cela

donne naissance à une fraction décimale illimitée, dont le point limite est L.

Les poinis de, division de ri'jlcndiio unih; sont iiinsi loul ù t'iiil ('•((uivaleiiLs iiu\ nombres, y compris ios IVacLions décimales limitées ou non. A chaque point correspond un nombre, b. chaque nombre une fraction décimale de l'unité, de sorte (jUG nous disons :

L'ensemble de tous les }iombres i-st infini

Maintenant allons plus loin dans nos conclusion?. Ici comme lorscju'il (''(ait(|ucstion de l'ensemble des corps célestes, intervient un ensemble indéfiniment grand. Les ensembles sont mesurés par les nombres entiers. Il y a donc une inlinité de nombres entiers. En vérité on sera disposé au premier abord h ne tenir la suite des nombres entiers ([ue pour illimitée, parcc- (pi'on pense à celui ([ui compte ; mai> il l'aut encore ici séparer l'oprit ({ui compte du nombre lui-même. On lit f[uelquerois dans Gauss : Nnmerits infinité niaf/nus,Q[. ses expressions sont ordinairement bien pesées.

Si on s'imagine le nombre entier non pas tel qu'il est écrit dans le système décimal, mais sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances croissantes de 10.

B^ + B^ 10 + B, 10'+ ... , fi^ = 0, 1, 2, . . 0

la série infinie donne alors Timagedu nombre entier infini. H se

produit ici ce (ait curieux que les derniers term.is du second

membre, que l'on perd de vue cjuand le nombre quitte le

domaine de la représentation, ont précisément la plus grande

influence sur sa valeur. Cette circonstance présente un inti''rêt

tout parculier. Si en effet avec le concept de l'infinimont grand,

nous admettons naturellement, comme nous l'avons fait dans

notre système de concepts, celui de l'intiiiiment petit, nous

devrons le représenter numériquement par cette fraction,

un nombre fini ., .... i '• i i • c ■

i ^—. — . De cette façon de s nnagmer le nombi-e mfmi

un nombre mlmi

résulte maintenant que la forme particulière du numérateur e'du dénominateur disparait complètement de cette fraction. Car les chifTres dans le fini sont sans influence en comparaison de celle qu'ils ont dans l'infini ; et les chifTres dans l'infini sortent de la perception, et ne peuvent être indiqués, de sorte qu'en fait la valeur numérique de chaque terme est complètement laissée de côté et que l'infiniment petit apparaît comme se tenant en dehors de tout rapport numérique avec le fini.

Si donc je pense qu'il est tout h fait nécessaire de concevoir l'ensemble des nombres entiers comme infini, les nombres rationnels au contraire (nous les supposons encore compris entre zéro et un) forment un ensemble illiinilé et non pas infini. Gela est impliqué dans leur définition même qui les présente comme des fractions simples ayant un numérateur et un déno-

minateur finis. La reslriclion f[ue les numérateur et dénomileur ne puissent pas devenir infinis ("ait que l'ensemble des nombres rationnels peut, en vérité, être supposé aussi grand (jue l'on veut, mais qu'il reste toujours fini, c'est-à-dire que, si grand ((u'on le suppose pendant un instant, il peut toujours être dépassé par un autre ensemble fini.

L'ensemble de tous les nombres est infini, parce qu'il ne suppose pas l'existence d'êtres pensants, tandis que l'ensemble des nombres rationnels est lié à la personne (|ui pense, ce qui déjà est impliqué dans le caractère arbitraire de la grandeur qu'atteignent le numérateur et le dénominateur.

26. — Le zéro et l'infiniment petit. — La propriété de l'infiniment petit que, ajouté au fini, il ne le change pas, fait paraître tout à l'ait inutile une ligure quekiuefbis incommode en analyse, le vrai zéro, qui désigne l'absence de toute quantité. Quand une variable x est assujettie à parcourir en entier le domaine des quantités réelles, on pense le plus souvent que ce domaine comprend le pur ziiro; je crois que c'est une erreur. Dans bien des cas, il est vrai, il importe peu que l'on accepte ou (|u'on rejette le zéro. Il peut cependant, quand on perd de vue le véritable sens des symboles, obscurcir la signification des formules, et maintes confusions sont déjà résultées de ce que parfois d'une manière purement formelle le zéro a été traité comme une quantité.

Les formes—-) -^- par exemple, que l'on rencontre si souvent sont absolument à réprouver, car elles manquent d'cxac> titude ou de sens. Elles sont en tous cas incompréhensibles pour le débutant. Le zéro doit-il être un infiniment petit, elles sont inexactes, le zéro doit-il signifier «rien» un divisé par rien est évidemment un, et rien divisé par rien demeure rien. Heureusement la tendance à épurer la mathématique de pareilles coml)inaisons de symboles dépourvus de sens, chose si désirable pour l'étudianl, gagne tous les jours des partisans nouveaux.

Si la variable étant supposée positive, on la fait tendre vers zéro comme cela est prescrit dans les questions de limite, et si on lui fait parcourir d'abord tous les degrés des grandeurs finies, chafjue degré étant si l'on veut augmenté ou diminué à l'aide d'un infiniment petit, et que par suite on lui fasse parcourir tous les degrés de l'infiniment petit de tous les ordres X a épuisé le domaine des quantités positives Si on ajoute ces mômes valeurs supposées négatives, x aura épuisé tout son domaine de qua)itilés rcellea. Le vrai zéro n'apparlieni pas à ce domaine, il n'est pas un»' (luantilé.

Lorsquiî (l'ailleiirs on ubordo la (jutïslion au poini de vue psychologique, cela paraît ôlrc un aclo violent do l'imaginalion (["annaiiLir une ((uanlilé malhémaliiiue indéterminée ou de variation arbitraire, et de la créer ensuite do nouveau, comme on rallume un llambeau éteint. Une quanlilé variable dt^signe une suite de représentations de môme espèce ne difTérant que par leurs mesures numéricpies, et annuler ce qu'on suppose varial)le, c'est évidemment introduire, par un acte spécial de la volonté, une représentation nouvelle dans le concept de Ja quanlité.

L'Idéaliste ne doute pas que le vrai zéro ne soit tout h fait inutile h l'analyse, 11 est pourtant nécessaire d'insister sur ce point. On ne devrait pas dire, par exemple : x' — 1 devient nul pour a; = 1, mais devient infiniment petit pour a; =: 1. On

dirait; T devient 1 quand a; devient infiniment petit, — devient

infini positif, quand u devient iniiniment petit positif, et infini

négatif, ([uand x devient infiniment petit négatif; ^-—r n'est

bien déterminé (|uo pour une valeur finie de x ou une valeur de a; qui difi'ére infiniment peu de 1. Enfin on peut voir dans toute égalité f/ = 0 ce fait que l' est un infiniment petit d'ordre plus élevé fjue les termes positifs on négatifs (pji interviennent, (Jans l'égalité U:izQ, et qui peuvent par une addition ou une soustraction d'euA-mémes dans les deux membres de U zn 0 être transportés dans un seul.

Les expressions précédentes sont loin d'ailleurs d'être nouvelles, elles ont été souvent employées au contraire, mais pas toujours avec le sentiment bien net de leur portée.

27. — Quelques mots encore sur la terminologie de l'Idéaliste.

— Nous suivrons encore le langage de l'Idéaliste dans les deux expressions de limite les plus connues :

1" A notre conception répond cette façon de parl-ir. La

valeui" de (l + ~) .lorsque x devient infiniment grand, se

transforme en l'irrationnelle e. De môme (1 -\- x)^ , quand x devient infiniment petit, se transforme en e. L'une et l'autre expression doivent être prises à la lettre. Cola n'aurait pas de

sens de dire que (1 + x)^ tend vers e, quand x devient nul,

car pour a^^O, (1 + x)^ est un symbole dénué de sens. Dé-

signons par t un inQniment petit d'ordre quelconque et de valeur quelconque (étant donne- son ordre), on a alors en toute rigueur

2" Si Aj/ désigne l'accroissement de la fonction y = t(x), qui rijsulte de l'accroissement \x donné à l'argument, ot /'(a) le quotient différentiel de f\x) supposé exprimable h. l'aide de

procédés connus, de sorte que dans l'égalité ~- := f{x) + o, 5

tombe au-dessous de toute limite avec Aa;, nous dirons alors que 0 dévient infiniment petit, quand Aa; le devient lui-même, et, désignant par dx, dy et ; des quantités infiniment petiles, nous écrivons

égalité absolument rigoureuse. Non moins rigoureuse est celle-ci

d'après la proposition sur l'addition des infiniment petits. De même donc

<ly zzi f {x) Ix et cette égalité équivaut, d'après ce qui précède, à celle-ci : dy — f'{x)dx ^z un infiniment petit d'ordre supérieur à dx.

Ces exemples sulliront pour caraclériser les conceptions et le langage de l'Idéaliste et nous mellre à même de nous en servir correctement dans toutes les occasions.

28. — Des différentes conceptions de l'infiniment petit en mathématiques. — L'infini monl petit a acrjuis droit de cité en mathémali(|ues depuis Leibniz qui l'appelaitfiuantilas infinilésiraa, mais seulement comme terme scientifique. Mais Leibniz n'est pas parvenu à saisir nettement le sens de l'infiniment petit, et depuis l'apparition de ces fameuses six pages et demie dans les acla erudilorum, 1084 (^), le travail des matbémaliciens

(') Page 'iHT — 47.3. Introduisant la différentielle dès les premières lignes de ce niénioiro, aujourd'hui oncoie ilifficile à coniprenilre, il dit : Jain recta aliqua pro arhittio assumta vocetur dx.... de sorte que (et c'est ce que rend probaljlo la figure) ici, les lignes semblent ifaltord avoir été supposées proportionnelles aux accroissements différentiels, devenus plus tard d'un usage courant. Qu'on lise aussi ii ce sujet les i-emarques préliminaires de M. C. Gerhard, Leibniz, ed F'ertx, III suite. ^'olume V, page 215.

e.sscnlicUtMnenl appIiiiiK' aux mélhoLles et aux nî.suUals du calcul diilVM'cnliel n'a pas éciairci davantaj^o le concept de la didV'rcnlicUe. Celle incerlilude l'ail peu d'honneur à noire science (]ui d'ordinaire esl donm'C en module aux autres.

Los uns, Molammenl les mathématiciens du siècle dernier, ont pris l'inlinimenl petit tout-ci-rail au sérieux : ils veulent entendre par \h, une sorte de quantité extérieure au domaine commun des quantités, et qui possède une existence réelle. C'est plutôt, en vérité, un pressentiment qu'une déduction logique, comme celle que j'ai essayée plus haut, qui les a conduits à cette manière de voir.

l'ius tard des analystes, f|ui représentent une opinion intermédiaire, considéreni rinlinimenl petit, non pas sans doute comme une (juantité ordinaire, mais au contraire comme une quantité qui s'écoule, en mouvement vers le zéro, saisie surle point de s'évanouir, par conséquent (juelque chose comme ce ([ue nous avons appelé illimité en petitesse.

Une troisième sorte de rcprésonlalion rejeltc absolument l'inlhiiment petit, le tient pour une expression impropre mise il la place de aussi petit (|u'on veut ; la quantité aussi petite que l'on veut, pouvant être supposée assez petite pour donner aux relations le degré de rigueur nécessaire. Les relations portant sur des quantités ainsi faites infiniment petites sont alors inexiicles, à peu près comme celles de la physique mathématique, avec celte seule différence qu'elles sont aussi peu inexactes que l'on veut. Cependant Je regrette dans notre littérature l'absence d'un développement logique de celte idée, qui dissiperait complètement à sa façon les difficultés relatives au calcul à l'aide de différeniielles.

Enfin, il n'a pas manqué de mathématiciens qm n'ont pas introduit dans leurs relations l'hypothèse de l'infinimenl petit comme exprcssionlillérale, et certes il ne s'agil pas là d'esprits moindres que Newton et Lagrange. Les efforts do Lagrange n'ont pourtant servi qu'à célébrer le triomphe de la diff'érentielle qui aussitôt pénétra de nouveau à travers tous les pores de la science d'une façon si irrésistible, que l'édition de ses œuvres qui parait maintenant adopte les notations différentielles.

L'Idéaliste se range à la première de ces quatre conceptions, pourtant il ne se fonde pas sur des pressentiments, mais au contraire sur des conclusions qu'il lui faut accepter. Autant les savants sont disposés à placer l'infini au-dessus de l'illimité dans l'espace et dans le temps, autant la plupart d'entre-eux se décident difficilement à croire àrinfiniraent petit, quoiqu'il possède le même droit à l'existence que l'infinimenl grand, et que mêmeil doive s'en déduire avec une nécessité logique.

On s'éloigne peu volontiers et difficilemenL des grandes routes du domaine de reprt''sentalions frayées par l'éducation générale de l'esprit. La vue du ciel étoile fût-elle refusée h l'homme, le génie humain lut-il né et se lut-il développé à la façon des troglodiles, dans des espaces fermés, ses savants au lieu de parcourir à l'aide du télescope les r/;gions lointaines de l'univers se fussenl-ils habitués à n'examiner que les plus petits éléments des corps à l'aide du microscope et à pénétrer ainsi par la pensée le sens de la petitesse au-delà de toute mesure, qui pourrait douter qu'alors l'inOniment petit n'occupât dans notre système de concepts la même place que tient aujourd'hui l'inlininicnt grand ? — D'ailleurs, la tendance à remonter en mécanique Jusqu'aux plus petits éléments agissants n'a-l-elle pas depuis longtemps introduit dans la science Vatome, c'està-dire l'inliniment petit à qui on a donné un corps? El les elTorts qu'on lait pour le rendre inutile à la physique ne vontils pas avec certitude au-devant du sort qu'a eu la lutte de Lngrange contre la dilTérentielle '■*

29. — Rapide coup d'côil en arrière sur le système de l'Idéaliste. — Pour résumer finalement en peu de mots mes représentations mathématiques fondamentales, Je dirai qu'elles donnent lieu à cette suite de quantités.

Infiniment petit, illimité en /tetUesse, fini, lllimil'' en fjrandeur, infiniment (jranâ.

Le zéro n'y est pas compris, ce n'est pas une ([uantilé. Parmi ces quantités, sont réelles et inrlépendantes de l'existence d'êtres pensants : l'infinimenl petit, le fini, l'infiniment grand. La représentation de l'illimité est liée à l'existence d'un être c[ui pense, ce n'est pas la représentation d'une quantité fixe immobile, elle renferme au contraire l'idée d'un mouvement au-delà de toute borne, dans lequel notre pensée suit insépai^ablemenl la quantité (jui croît ou décroît, celle-ci est donc toujours finie.

La pensée idéaliste suppose un monde (|ui, non seulement corresi)ûnd en quelcfue manière à nos représentations, voire môme à nos intuitions et à nos concepts les plus abstraits, mais qui possède encore par delà nos représeni allons un contenu réel et dont nous avons profondément conscience, malgré l'impossibilité pour nous de nous le représenter. Ainsi l'idée que la plupart des hommes se font de l'univers est tout d'abord celle d'un espace, qui, comme espace a, il csl vrai, des dimensions, mais dont l'étendue échappe à toute représentation. L'Idéaliste, pour désigner les dimensions véritables do l'univers, comme pour le nombre des parties de la quantité mathémalhiquo, emploie un mot qui ne veut pas dire que nom

ne [)uuvon.s pas inosurer ces dimensions, compter ce nombre, m.iis (|iie ces dimensions cl ce nombre exislenl réellement, (|ii()i(|ue non mesurables j\ l'aide de mesures (inies, ce mol esL infini. Les parties de la (|uantil6 linic devant être en nombre infini, chacune doit elre infiniment petite.

Do là il résulte premièrement (|uc toute Traction décimale iUimit(''e o, a, a., ... a pour limite fixe une grandeur matln!'malirupie, deu.\iùmcmcnl (ju'il y a une infiniti'" de (iuaritil(!s iiuniérifiues o, a, a^ . .

Pour ce qui touche à rinfiniraent petit, il donne lieu h. des ordres infiniment variés. Si on reste dans le même ordre, il se compose comme une ciuantité mathématique ordinaire, et un infiniment petit ajouté h un infiniment, petit d'ordre moindre ne le change pas. Le fini correspond à l'ordre zéro.

La conception fondamentale de l'Idéaliste est donc l'exislence réelle non seulement de ce qui est l'objet de nos représentations mais encore des intuitions ([ui résultent involontairement de nos représentations. Dès (jue nous les tenons pour existantes, il nous est permis de nous demander f|uelle est l'essence de ce qui se dérobe à nos perceptions, el tlont l'existence s'impose à nous comme celle des dimensions réelles tle l'univers ; et cette question ne peut recevoir d'autre réponse (|ue celle donnée par nous.

Ciiliquo du Sjslènie de l'idéalisle faite par 1 Empinslc