L'EMPIRISTE

30. — De la fraction décimale illimitée qui se développe suivant une certaine loi, et de celle dont le développement n'a pas de loi. — Ma manière de comprendre les concepts fondamentaux des mathématiques se distingue de celle de l'Idéaliste par ce tait qu'elle se refuse à dépasser les limites du domaine naturel de représentations. Je crois que nous ne sommes pas autorisés à admettre et à faire entrer dans les raisonnements mathématiques des choses dont nous n'avons ni ne pouvons avoir une représentation. Partant de lu,, je combattrai quelques hypothèses essentielles du système idéaliste, mais tout d'abord je voudrais bien obliger l'Idéalii^te à poursuivre ses vues sur les parties en lesquelles se partage l'étendue imitée jusciu'à des conséquences (ju'il n'en a pas encore tirées. C'est pourquoi je vais pour le moment admettre la valeur des concepts de l'illi-

milé et de riiifmi tels qu'il oal été distingués par l'Idéulist? et étudier la nature d'une fraction décimale qui se continue sans fin, au point do vue de son développement illimité.

L'Idéaliste conclut à sa manière que déjà l'ensemble des nombres entiers, à fortiori celui de tous les nombres est infini. Cette logique conduit à un résultat singulier. Considérons une fraction décimale <^ 1, de la forme

Une formule, une loi, suivant laquelle on fera le développement, étant nécessaire pour qu'on puisse le continuer h l'infini, la suite illimitée et sa loi sont des concepts en quelque sorte idcnticjues. Enfin une opération infinie sans formule suivant la(|uelle on doit la continuer est une contradiction in adjecto. Car, si par infini on entend que le développement se sépare de l'esprit humain pour continuer tout seul sa route vers l'infini, il faut bien, si le développement doit se faire d'une manière déterminée, qu'on donne une formule avec laquelle il fasse son chemin : cette correspondance de la suite et de la loi implique aussi que la loi est déterminée par la suite, bien que, par sa nature, ce rapport ne s'impose pas aussi nécessairement que le rapport inverse. Soit à notre disposition un nombre quelconque de termes de la suite o, xi a-z . . . , on peut imaginer qu'un esprit d'une pénétration suffisante pourra toujours en déduire la loi de succession, parce qu'elle est nécessairement déterminée par la suite il/imitée des x.

Or quelle peut-être la nature de pareilles lois ? — Une loi particulière contiendra un nombre quelconque de quantités arbitraires. Par exemple le nombre Z =: o, xi x^ ... devra se calculer par la formule 2" = Oj a, -|- a^ a, -j- . . . où les a désignentdes nombres arbitraires en (luanlilé illimitée, les [xdes nombres donnés. Sidoncavec ridéalistejem'informe dunoinbre (le pareilles lois. Je suis obligé de me répomlre qu'il est infini ; car laformedelaloi est donnée d'avance, elleest donc désormais indépendante d'êtres pensants, et par suite, d'après la manière de raisonner de l'Idéaliste, il ne reste pas d'autre réponse possil)lc. Or si le nombre des quantités arbitraires a, illimité dans la représentation, est en réalité infini, il s'ensuit qu'il en est de môme des quantités a, en un mol, la suite entière 0, xi X., ... est arbitraire et, Justju'à l'infini, n'est soumise î\ aucune loi. Que ses chiffres soient e.\posés en nombre quelconque aux yeux de l'homme le plus pénétrant, il ne pourra rien dire de certain sur leur succession.

Bref, ce ne seraient pas là des nomln-es. Il n'est permis, en effet, à la pensée humaine d'user de ce mot que pour des parties

de l'unité exprimables en nombres el pour des parties qui, sans ôlrc ainsi cxprimalilos, sont pourtant diMcrminues par la loi de succession des clii lires.

Ainsi donc les suites élerncUemcnt dépourvues de lois ne sont pas des nombres. Correspondraient-elles h des quantités? Oui sans doute au sens idéaliste. — L'Idéaliste les suppose

continuées jus(|u'au:: termes les plus éloignés — ^ , qui sont

des infiniment petits. Ceux-ci d'après ses définitions ne changent en rien la somme des termes précédents, el par suite il correspond h la l'raction décimale infinie, ([uoiquc sans loi, un segment de l'unité. Il doit alors conclure que l'unité une Ibis bien fixée, il existe des portions sans nombre de celte unité qui ne sont pas exprimables en nombres.

L'IDÉALISTE

Je suis armé contre de pareilles consé(iuenccs tirées de mes hypothèses Ibndimenlalcs, elle ne m'embarassent nullement. L'empiriste conclut à bon droit que je dois admettre des suites de nombres ne ])ouvant jamais fournir de loi pour leur succession et, cependant , ma-'cbant vers l'infini. Cela certes n'est pas représentable, pas plus que 1' « infini » et 1' « éternel ». Les nombres non exprimables sont une conséquence n 'cessaire de la conception (ju'onl la plupart des hommes de l'essence des choses, au môme tilre ([ue linfinilude de l'espace et l'éternité du temps.

La limitation du nombre des fractions décimales possibles par les lois qu'exigent les opérations infinies n'est évidemment pas contenue de prime abord dans le concept de toutes les suites infinies formées de nombres quelconques o, i, 2, . , 9, écrits les uns à la suite des autres, elle a élé au contraire ajoutée h posteriori par la spéculation. Si on part de la représentation de quantité, toutes les longueurs moindres que l'unité sont, dans la représentation, de même nature. Soit donné l'unité et une longueur plus petite : Si on détermine par des mesures le rapport de celle-ci à l'unité, on posera pour l'exprimer un chilTre décim.il après l'autre; on pourra, dans l'hypothèse d'instruments suffisants , poursuivre cette occupation aussi longtemps qu'on voudra, et développer ainsi empiriquement une fraction décimale illimitée. Rien pourtant dans cette formation d'une fraction décimale n'exige une loi qui règle l'ordre des chiffres. Par le rapport rigoureux des deux longueurs, la fraction décimale infinie est parfaitement déterminée sans

qu'aucune règle ail besoin d'exisler, qui permettrait par exemple, étant donnés les N premiers chiffres, de calculer n'importe (luel autre à partir de là.

On pourrait aussi imaginer le mode suivant de formation d'un nombre qui continue jusqu'à l'infiin sans aucune loi. Chaque chifTre est simplement Joué aux dés. Comme on peut admettre (|u'on ait jeté les dés de toute éternité et qu'on les jette dans l'éternité à venir, un nombre sans loi prend aussi naissance dans notre pensée. Toutefois la considération de la nature nous fournit de meilleurs exemples.

Incontestablement beaucoup de constantes de la nature sont déterminées de toute éternité par l'étal de l'univers. La température de l'espace, ses constantes optiques, avant tout son potentiel, le sont certainement. Du potentiel et de quantités semblables on peut dire qu'elles sont déterminées par la totalité des masses répandues dans l'espace ; sous l'hypothèse, il est vrai, très contestable que les forces issues d'un point produisent partout leurs efi'els en même temps. Mais les autres constantes de l'espace sont engendrées par tout ce qui est et a été dans l'espace. Par exemple, la température de l'espace est le résultat de tous les états de l'infînitude de l'espace et de l'éternilé du temps. Supposons la matière finie , limitée quelque part dans chaque direction, et soit donné son état à un instant quelconque, l'expression en nombres de ces constantes naturelles doit conduire à une loi. Mais supposons la m:iticre infinie : une constante comme la température de l'espace dépend alors d'actions cjui ne doivent nécessairement se limiter à aucun rang décimal. Si on prolongeait la suite des chiffres par une loi de formation, cette loi contiendrait l'histoire et l'image de l'éternité du temps et de l'infinitude de l'espace. Comme on le voit, des considi>rations physiques de celte espèce fournissent déjà l'existence de nombres irrationnels sans loi. Au point de vue d'ailleurs des limites de pareils nombres, mes considérations s'appliquent sans changement, puisque dans ma diMnonstration de l'eKislence de la limite, je n'ai fait usage d'aucune loi. Je pourrais, ayant en vue les exemplesprécédenls, appeler empiriques les nombre^ irrationnels sans loi, pour les distinguer de ceux dont le din-eloppement a une loi et (|ui pourraient s'appeler analytiques.

L'FMPIRISTK

J'apprécie très bien la solidité de ce développement des principes idéalistes. J'ai voulu seulement montrer, par un exemple entre mille, comment la conception de l'Idéaliste, dès

les premiers élumcnls, (ranchit déjà de toutes parts les bornes de l'onlcndemonl humain au lieu do resserrer et de simplifier les principes de la science. Une telle exubérance de la pensée est peut-être pour l'Idéaliste une (jualitc louable, tandis que pour moi elle serait inquiétante. Je ne pourrais me sentir h l'aise mal;j;ré toulo la rigueur de ses conclusions, dans une science dont les branches pénètrent si souvent dans le monstreux et l'insaisissable.

31 . — L'hypothèse fondamentale de l'Idéaliste est mise à nu.

— Je porto maintenant mon attention sur les hypothèses do la théorie idéaliste.

Elle repose sur une prétendue rcprt'sontation, près do la- (juclle on passe d'ordinaire sans l'aire attention et (jui cependant pcul-être considérée plus que toute aulre comme l'origine véritable de loules les obscurités et difficultés de conception, dans les principes non-seulement des mathématiques , mais aussi des sciences physiques exactes. Cette représentation est précisément aussi peu réelle que celle de l'infiniment petit qui en résulte. L'hypothèse initiale sur laquelle l'idéaliste insiste h [ic\\\e esl Vexistence de la tnesu)'e exacte. Elle sert de fondemont à toutes ses considérations et conclusions. De la représentation de longueur exacte il déduit l'infiniment petit, qui lui sert ?i démontrer l'existence de la limite, puis son échelle infinitésimale des dilTérenles espèces de quantités. Il a recours î\ cette représentation pour rendre intelligible la formation d'une traction décimale se poursuivant sans loi jusqu'à l'infini. Enfin, il se fonde sur une température exacte, celle de l'espace, pour rendre vraisemblable l'existence efîective de pareils « nombres empiriques. » Laissons de côté la température qui est une représentation très complexe, l'Idéaliste rattache ses consé(iuences les plus importantes au concept de la longuei'V exacte, et à l'identité de nature de la longueur et de ses parties aussi petites que l'on veut, d'où il déduit ensuite le scclionnement brusque d'une ligne, le partage à l'infini, et tout le reste.

C'est ici même, à propos de la mesure exacte, que nos chemins se séparent. Je tiens cela pour imaginaire, insaisissable, bref pour un mot vide. Pour éviter une fausse conception de ma manière de voir, je vais tout de suite mettre en évidence le point dont il s'agit. Je ne nie pas la représentationde l'exact, mais le concept scienû^qxede quantités géométriques exactes, nous ne l'avons pas, ni ne pouvons l'avoir.

T^os perceptions et représentations géométriques ne sont pas inexactes, quand notre organe fait son devoir. Avec déjeunes yeux nous voyons au loin des champs de neige se détacher du

ciel avec les contours les plus nets, et quand plus tard devenus myopes, il nous arrive d'avoir été pendant quelque temps privés de lunettes, le premier regard jelé sur des formes limitées avec précision nous l'ait éprouver une vive jouissance. On est pleinement satisfait par cette certitude, parce que les perceptions ne nous en font pas connaître de plus grande, et que par suite, on ne peut imaginer une plus grande certitude que. l'impression sensible que nous produisent les lignes de séparation. Ce sont d'ailleurs essentiellement les perceptions elles-mêmes et les représentations toutes fraîches, installées depuis peu dans la mémoire, qui suffisent h engendrer l'image de délimitations exactes comme les autres images de la mémoire. Si elle ne se rafraîchit pas, elle perdra avec le temps de sa précision. Lorsque réfléchissant sans l'aide d'objets sensibles nous voulons nous représenter des images géométriques exactes avec une fraîcheur au moins approchant de la fraîcheur primitive, cela nous coûte (*) quelque efl'ort. Mais ce qui nous reste et ne peat périr comme une image, c'est le concept de l'exact dans \n. 2)crception sensible. 11 s'attache à son signe : le mot.

Ce concept nous continuons ensuite h le développer inconsciemment jusqu'à en faire le concept de Vexact idéal. Voici à peu près ce qui se passe. Une expérience journalière apprend que des lignes droites qui paraissent exactes , comme les arêtes des maisons vues de loin, examinéesde plus près, montrent une forme irrégulière, et que d'autres lignes droites gardent cette apparence, même observées au microscope. Nous possédons assez d'exemples d'images géométriques citées pour parfaites, lignes, arêtes, surfaces, construites par des procédés

(') En m'obscrvant moi-même, j'ai ou cette impression que je travaille, pour ainsi dire, à l'aide de deux formes de représentations, l'une plus grossier.^, l'autre plus fine, comme d'autres auront fait sur eux-mêmes des observations analogues dans d'autres domaines scientifiques. S'il faut un certain efl'ort pour se représenter des images géométriques avec toute la précision des perceptions primitives, l'efi'ort repété surtout dans nos jeunes aimées en vue de purifier nos concepts d'espace, en particulier, nos concepts mécaniques, et les développer sous une forme de plus en plus abstraite, cet effort, dis-je, renforcera notre aptitude à un seinblable travail de la pensée, mais non pas notre goût pour ce travail. C'est ainsi que plus tard on craint de préciser certaines abstractions mécaniques, parce qu'on sent très bien l'infécondité de ses etforts. Dans le travail ordinaire de ma pensée, ce sont des images imparfaites de points, lignes, surfaces, qui s'offrent à mon esprit, lorsque, par exemple, dans l'étude d'un problème géométrique, j'interromps ma lecture pour soumettre à une analyse les représentations auxquelles je suis arrivé. .le me suis ordinaii'oment représenté des figures sur le tnbleau ou des imagos stéréoscopiques.

mécaniques, cfiii montrent, nnc oxactitu.le absolue, les unes h l'œil nu, les autres h WvM armr. du mieroscope. On voit, (Jonc que : Nous possédons la reprissent al ion de l'exact sensi/ih, et en outre de l'exacl déliant la délicatesse la plus extraordinaire de nos moyens de contrôle. Dcl.'i naît une su'tc fl'idéesdont les conclusions dominent notre systômede concepts dans toutes les directions; là où une suite sans fin de représentations n'a pas une représentation pour limite, l'analogie des suites innombrables de représentations ([ui aboutissent à une représentation limite fait f|ue nous supposons malgn; nous une limite là où elle manque. Mais comme elle ne répond pas à une perception réelle, elle ne; peut être en tant que représentation une image d'objet; c'est tout simplement une représentation de mol, et elle vient s'ajouter à notre système de concepts comme le concept de (|uel(|ue chose de réel, de représcntable. Voila en peu de mots l'origine de ce que je pourrais appeler ridoal'sme commun à tous les hommes, et de toute la mélaphysiciue. C'est un phénomène essentiellement inconscient (jui se passe non seulement chez l'être individuel, mais encore dans l'espôce, (*) Ainsi nous croyons, sans l'avoir vu, à la possibilité de l'exact parfait, ou mieux, nous n'y réfléchissons même pas. Il appartient comme beaucoup d'autres concepts analogues, et sans donner lieu à aucune discussion, au système de concepts de l'homme ordinaire,

31. — L'idée de la mesure exacte est soumise à la critique de l'Empiriste. — Ainsi, c'est sans le savoir que nous sommes idéalistes. Mais au point du vue scientifique nous devons pouvoir rendre compte de nos hypothèses et de nos concepts fondamentaux, et n'accep'er inconsciemment aucun point d'arrêt. Notre problème scientifique consiste donc à revenir sur l'idée de l'exact et à la comparer à la réalité; il nous faut rechercher si la limite pour laquelle nous avons un mot dans notre système de concepts, répond à ce c[ui existe. Ainsi se pose la question : Sommes nous fondés à reconnaître la réalité objective des idéaux géométriques? c'est donc la question relative au concept de la mesure exacte, pour l'examen de la({uelle il suffit évidemment de songer h la mesure exacte de longueur, c'est-à-dire à l'étendue recliligae.

(') Ce n'est pas ici le lieu d'analyser avec plus de soin cette marche à peine esquissée de notre pensée, et de l'éclairer de nombreux exemples ; c'est ce problème que se pose un ouvrage déjà annoncé et qui paraîtra immédiatement après celui-ci. D'ailleurs, depuis que ce passage a paru en allemand, l'extrême importance du processus qu'il décrit, pour comprendre l'origine de oc que l'on appelle métaphysique, a déjà étéremarquéc.

- no- Dans l'image sensiljlc do la ligne droite limilée. on dislingue trois impressions : 1" C'est une ligne; 2"- C'est une ligne droiie; 3° Elle commence brusquement , se termine brusquement. Nous allons cependant examiner les deux premiers caractères en même temps.

D'aucune forme de la nature nous ne pouvons dire avec ccrlilude qu'elle est une ligne droite exacte — avec un commencement et une lin brusques. On ne peut le dire du Irait ni du fil, (|ui ont tous deux une épaisseur, ni de même du rayon de lumière, qui, comme le dit Newton, a des caprices, ni de l'arête aiguisée qui présente toujours nécessairement des déviations de la grandeur de grains de poudre il aiguiser ; mais des considérations physiques nous obligent encore à regarder comme s'éloignnnt par de continuels écarts, fiuekjue petits qu'ils soient, de l'image géométrique idéalement exacte, toutes les arêtes et surfaces planes préparées d'une manière aussi parfaite que possible, les arêtes de cristal formées tout fraîchement et dans les meilleures conditions, la surface des liquides capillaires, les bords de la goutte flottante, etc.. Car on ne pourra supposer pour aucune substance susceptible de changer de volume, de se combiner, de s'échauffer, de s'élec- Iriser, ou qui est composée d'atomes chimiques, qu'elle remplisse l'espace d'une manière rigoureusement uniforme. Toute portion d'espace, si petite qu'elle soit, qu'offre une pareille malièrc renfermera des dilTércnces dans sa composition, de sorte f|u'cn définitive, dans le monde qui s'ofTrc à nos sens, toute ligne si régulière qu'elle paraisse se présentera sous un grossissement suffisant, comme un objet étendu dans le sens de la longueur, avec des lorsions et des épaississemenls sans nombre. Sur de pareilles bases on r)C peut fonder l'hypothèse des cxirémilés exactes d'une longueur.

Mais ce qui importe au plus haut degré, c'est que môme s'il y avait dans la nature des lignes droites exactes, nous ne pourrions jamais le reconnaître. Car le caractère de la ligne droite est pour nous un caractère indirect. — Il exige que de l'image certaines perceptions disparaissent. Par exemple si on fait tourner une droite entre deux points fixés sur elle-même. l'aspect de cette ligne ne doit subir aucun changement, et nous pouvons ici imaginer que nous nous déplaçons autour do la droitedetelle façon que deux de ses points tombent toujours aux mêmes points de la rétine. Si on se représente la ligne droite illimitée, ou bien qu'on fasse abstraction de ses extrémités, on ne fait qu'exprimer autrement le critérium de la droite on le trouvant dans cette condition (juc, contrairement aux autres images géométriques, elle est déterminée par deux points, tandis que trois points sont nécessaires pour fixer dans

l'espace d'autres figures géométriques. Pour l'arAlc cela signilie |)liysii|ucincnl que si elle court cuire deux encluissures sou imago microscopique ne doit pas Aire changée, [lendant qu'elle se déplace sur sa direction.

Or, étant donné ([uc tous les instruments nous permettant d'observer les déviations dont la non existence caractérise la ligne droite, d'après n'importe quelle définition, sortent de la main des hommes, personne ne croira ([u'ils permettent Jamais de mesurer des déviations aussi petites que l'on veut. Mais mémo si nous avions reçu nos appareils de mains divines, et {[u'ils fussent doués d'une puissance merveilleuse, ils ne nous permettraient jamais, en présence d'une ligne droite parfaite, de la reconnaître comme telle ; car par la mesure, il faudrait établir que certaines déviations ou plus généralement certaines (|uantités dont rexistence est possible n'existent pas, qu'elles sont au contraire rigoureusement nulles. Mais cette démonstration exige que les procédés opticjues, mécaniques ou de n'importe (|uelle nature donnent un grossissement infini nu sens idculiste; le grossissement devrait être sans limite, ce cjui, de (|uelque fanon ([u'on le tourne, est inimaginable pour l'homme. Mais enfin, ils'îigit nonde delà possibililéde iirocôdcs parfaits do mesure, mais de la possibilité pour nous de nous convaincre de leur exactitude ; il nous faudrait pouvoir contrôler les appareils. Or, pour que nous ayons le droit d ^ nous en fier à notre contrôle, il nous faut des appareils de contrôle faits d'une substance bien connue, fabriqués à l'aide de procédés techniques qui nous soient famdiers, de sorte que nous puissions en apprécier la sûreté. Une pareille appréciation ne pouvant jamais nous fournir qu'une certaine quantité d'exactitude à cause de l'inexactitude de nos sens ci de nos procédés, nous en sommes toujours au point de départ. On le voit : ?i la connaissance humaine échappe iîu toute circonstance l'exact absolu, si nous n'admettons rien de certain en dehors des combinaisons auxquelles aboutit notre s\siôme de représentations.

L'étendue rectiligne idéale n'est donc que la fin admise arbitrairement d'une suite de représentations de aiesures toujours plus précises, mais d'une suite pour laquelle on ne peut démontrer l'existence d'une fin. Dans le monde tel (ju'il s'ofi're à nos perceptions, rien ne parle en laveur de l'existence de l'idéal géométri(iue, bien plus, tout parle contre.

Que reste-l-il après ces réflexions du système de l'Idéaliste?

L'unité de longueur, si par exemple nous ne songeons qu'à ses extrémités, n'a ainsi scientifiquement qu'une oxactUnde arbitraire ; elle n'est qu'une représentation oscillant entre des différences aussi petites que l'on veut, comme un étalon,

c'esl-à-dire une mesure fondamentale, construite avec toutes les précautions scientifiques dont dispose une époque. Les parties de l'unité de longueur sont évidemment toutes soumises à la môme inexactitude qu'on peut supposer restreinte autant qu'on veut. On pourra se représenter de pareilles parties en quantité innombrable sur chaque étendue, si petite qu'elle soit, précisément parceque l'inexactitude diminuée autant que l'on veut permet de pousser la division d'une étendue aussi loin que Ton veut. Mais la poursuite de celte division, quand on ne l'arrête nulle part, fiait par se perdre dans le vague flotlant.La pensée peut pousser cette division aussi loin qu'elle veut, ce travail n'a pas pour efîet de donner l'mfiniment petit, mais bien de fatiguer et de décourager l'esprit qui ne voit pas de fin à sa marche en avant dans une région uniformément nuageuse.

Les sciences mathématiques n'ont d'ailleurs évidemment pas besoin de l'exactitude parfaite des représentations géométriques. Pour la science qui pourrait les exiger au plus haut titre, la géométrie, il suffit en général de la précision des lignes droites de la nature, si on songe qu'on peut se représenter les lignes droites aussi longues que l'on veut, de façon à rendre aussi petites que l'on veut, par rapport à la longueur, les inexactitudes inévitables, moléculaires pour ainsi dire. Comme points nous avons dans les étoiles fixes qui apparaissent comme des points, même avec le plus tort grossissement, un exemple qui donne satisfaction à notre besoin de rigueur, et le faisceau de rayons qu'envoie dans notre œil une étoile fixe est certainement aussi une ligne droite sufisant à toutes les exigences de la géométrie.

La conception cmpiriste, en me conduisant ainsi à ne voir dans la mesure exacte qu'un produit verbal de la pensée, en dehors de toute réalité, à déclarer même que, eût-elle une réalité, nous ne pourrions le reconnaître, me fait rejeter ce concept comme fondement du système de concepts mathématiques. Il me faut aus-i écarter les conclusions de l'Idéaliste, dont l'unique fondement était l'idée de la longueur exacte, ainsi sa théorie de l'infiniment petit, et, avec elle, la démonstration qu'il en déduisait pour l'existence d'une limite de nombres irrationnels , ainsi que cette limite elle même. Cependant si je nie cette limite de fractions décimales sans fin u'rationnelles, je dois ajouter cju'à mes yeux il ne peut être ([ueslion non plus de limite de fraction rationne'le sans fin, comme de valeur idéalement exacte.

Si nous voulons nous mettre j\ l'abri des produits de la pensée telsque l'inliniment petit deTldéalisIe avec ses propriétés étranges, nous x)o pouvons pas quitter 1»^ domain»^ des repré-

scnlcilions réell(;s di; l'honinin, r/dv nos luis de p(Mi-iéi', c'esl-àdirc les lilialions naliirollcs de représenlions sont abstraites du inonde des ph(''noni5ncs dans le cours du développement de l'espèce lium;iine, cl il n'est pas vraisemblable (pioique possible qu'il survienne du nouveau, f|ui soit en contradiction avec nos formes de penséelcs plus ramilières, comme par exemple le concept d'égalité élargi par l'Idéaliste l'est avec le concept généralement admis. En conservant dans la pensée des concepts qui correspondent à la non réalité, au pressentiment, on dotms lieu à des paradoxes multiples auxquels aboutit l'IdéNilisme dans tous les domaines de la pensée.

L'IDÉALISTE

32. — L'existence de la mesure exacte est fondée par la théorie de l'Idéaliste. — La principale ol).jection fjue l'Empiriste fasse à mon système est la non réalité de la mesure exacte prise pour base de nos opérations logiques.

Or, qu'une ligne droite exacte ne puisse vraisemblablement être composée avec la matière dont sont formés les corps de nous connus, je l'accorde sans restriction. Je crois aussi que même si nous tenions dans les mains un prisme absolument exact, nous ne pourrions savoir par aucun moyen qu'il n'a pas de défauts.

Seulement toutes nos représentations scientitiques sont ainsi pénétrées des idéaux géométriques, la mesure exacte se trouve si bien dans la pensée de tous, que ce n'est que l'intelligence critique qui y voit un idéal, c'est-à-dire quelque chose qui n'appartienne pas au domaine de la perception, et la justification de son admissibilité, au contraire, étonnera l'homme imparti a/. II demandera depuis quand la distance de deux points a besoin d'être éclaircie comme concept exact , ce concept si familier à tout écolier. Un mode d'intuition aussi profond et aussi généralement enraciné, n'est pas commode h extirper, et on réussirait peut-être mieux h vouloir l'établir scieni^ifiquement qu'à vouloir l'éloigner. Car la pensée qu'il n'y a pas dans le monde de mesure exacte troublerait tellement ceux qui réfléchissent à la stabilité des choses, qu'ils finiraient par retourner à la ci'oyance aux idéaux géométriques. Dans toute combinaison de quantités, d'où l'on voudrait déduire quelque chose, on aurait des remords. Les idéaux géométriques pourraient sortir de la marche suivante de la pensée, et en tirer leur raison d'être scientifique.

Des représentations multiples du monde des phénomènes, le concept de l'espace est l'abstraction dernière. L'espace est

un caraclère commun aux représentations de tous les sens, particulièrement de la vue, du loucher et du sens musculaire.

Des objets {lacés l'un h côté de l'autre, l'un devant l'autre, l'un derrière l'autre h des intervalles comparables, le mouvement relatif de l'objet perçu et de celui qui perçoit, tout cela laisse comme résidu ce qu'on appelle concept de l'espace. Par la pensée nous nous supposons en mouvement dans l'espaec nous et les choses ; d'autres se mettent h notre place, de sorte que le contenu de l'espace finit par devenir accessoire dans notre représentation. C'est-Ià l'origine de l'abstraction de l'espace vide ([ui est d'une nature tout-à-fait scientificiue. Pour ce que nous avons en vue, il sufliraiL de nous reporter h la représentation d'espace homogène, ([ui a été abstraite des perceptions des corps liquides et transparents. Cependant l'esprit scientifique met en doute l'homogénéité de ces corps natuiels, de sorte que nous sommes obligés de nouveau d'en revenir h l'espace vide pour en faire le fondement de nos considérations.

La représentation d'espace vide est sans doute une limite de représentations réelles, mais on ne peut dire si elle est réelle elle-même, c'est-à-dire s'il y a ou y aura un espace dans lequel les corps se meuvent exactement suivant la loi de l'inertie, qui ne laisse passer aucun rayon de lumière, dans lequel aucune force ne pénètre, bref, si grâce aux acquisitions fpie l'avenir réserve à la physi({ue, à côté des machines pneumatiques, il y aura les pompes destinées h supprimer les impondérables. Pour ceux qui considèrent le monde matériel comme limité ou comme formé d'ensembles isolés, l'espace vide est même encore une conséquence nécessaire de leur conception. Dans tous les cas, je pourrai donner l'espace vide comme. fondement fi mes considérations, car toute chambre est l'image, la représentation réelle d'un espace et comme je peux retirer en grande partie ce que elle contient, supposé que je dispose de moyens suffisants, j'ai la représentation de cet espace vidé de tout ce qu'il contient de matériel, limite toute naturelle de nos représentations réelles, et la science devrait renoncer à beaucoup, si elle se refusait à admettre celle limite, ■le piirs ainsi de l'espace vide ou plus généralement de l'espace homogène.

Evidemment dans tout espace vide non seulement on peut introtiuire par la pensée des figures sans nombre, mais encore elles y sont réellement. Dans ce bloc de marbre est taillé notre portrait, puisque le sculpteur peut avec son ciseau et suivant son talent atteindre une ressemblance plus ou moins grande. De môme j'aflirme que dans cet espace que j'imagine homogène comme l'air l'est pour nos sens, ou bien vide, toute figure de

ibrmo précise iion-.sciilcmonl poul-cMro siipposiic iniis encore est conlonuc rt-ellemcnt. Si J'imagine une sphère ayanL un certain poinl, pour centre eUlonL la surface passe par un second point de ([ueUiue façon (|ue soil choisi le système des deux points il existe dans l'espace une [)areille sphère, absolument comme dans lo bloc do marbre d'où on peut la faire sortir avec le ciseau. C'est une représentation si naturelle (ju'.Mle est claire même pour l'enfanl. (*)

Maison n'a pas besoin de faire appel à l'imaginalion pour s'assurer de l'existence de l'exact giîométrique. L'étude des éléments derniers des corps conduit au même résultat. Quekiue représentalion qu'en se fasse de la matière .'[ui remplit l'espace (jue ce soit un système de points agissant à dislance les uns sur les autres, ou bien une matière homogène el continue (lugicpiement on ne saurait faire une 3'"" hypothèse car l'idée d'une matière hélérogène répugne h l'esprit jusqu'à ce que, l'ayant décomposi', il l'ait ramenée à des représentaiions d"es|)aco homogène ou d'espace sans contenu), la pensée (jui analyse doit toujours aboutir à des images exactes. Suppc-set-on la matière homogène, il faut qu'elle ait toujours des liniil allons de quel(|ue espèce, qui forment avec loute la précision désirable la lin d'un corps homogène et le commencement d'un autre. Mais l'esprit ne trouve pas sa satisfaction dans la matière homogène et continue, il la décompose el la ramène à ses éléments formels vides de tout contenu, agissant à distance les uns sur les autres ; alors ces cléments, pour atteindre h'i limite de la pensée, doivent être saisis tout simplement comme des images exactes, comme des surfaces, des lignes, des points idéaux. Si on veut s'en tenir aux points, leur dislance est une ligne droite qui a tout au moins des extrémités exactes, et c'est là l'hypothèse fomlamentale du système idéaliste.

C'est à mes yeux môme comme un contre sens de ne vouloir admettre que des formes non exactes. Quel avantage a donc une certaine inexactitude sur l'exactitude ? — Celte certaine inexactitude n'est-elle pas nécessairement exacte dans ses contours, de sorte (lu'on trouve forcémentl'exact dans l'inexact? 11 nous faudra pourtant bien accorder à l'idéal géoraélriciue le même droit à l'existence qu'à n'importe quelle caricalui'e de l'idéal !

Ainsi les homiiies sont certainement idéalistes. Pourquoi donc se donner tant de peine pour se convaincre d'un doute sur l'évidence des idéaux géométriques, s'ils ne parviennent

(*) Ces réflexions ont été communiquées à l'auteur, alors enfant, par son père.

ainsi qu'a échanger une intuition claire et précise contre un mode de représentations incertain et lîottaut ?

L'infiniment pf;tit inséparable de l'idéal, que l'Empiriste représente comme un danger contre lequel il faudrait se garer, ne s'est certes pas encore fait une place incontestée dans le système de concepts communs à tous les hommes, et cela s'explique suClisamment, comme Je l'ai montré. Mais l'infiniment petit correspond d'une façon incontestable à l'infiniment grand, qui trouve immédiatement accès, et même doit être considéré comme appartenant au système de concepts communs ?i tous les hommes. C'est notamment le concept d'égalité généralisé, suivant lequel a ~\- un infiniment petit ^ a, si a est liai, qui semble répugnera rÉmpiriste et qu'il nomme propriété étrange de l'inliniment petit. Or en mathématique depuis longtemps l'égalité oc + une quantité finie z= x a acquis droit de 3ité. Cette propriété de l'infiniment petit n'est pas formellement distincte de celle de l'infini. L'égalité précédente est pour ainsi dire moins élevée d'un degré que cette dernière.

Maison peut encore comprendre la chose autrement. On peut dire que le signe d'égalité ne s'applique qu'aux parties finies dans les deux membres de l'équation tout comme on décide dans certains calculs que ce signe ne concerne que la partie réelle ou que la partie imaginaire de chacun des deux membres. De cette façon on n'iniroduit pas dans le calcul cette propriété de l'infiniment petit, qui consiste à ne pas changer le fini par voie d'addition : du moins on ne l'introduit pas d'une façon formelle, car au fond le sens des opérations la suppose.

33. — Sur le double concept des idéaux géométriques. — La définition des idéaux géomL'Lri(iues n'est pas une définition nette ; au contraire, on se trouve en face des deux manières essentiellement différentes de concevoir le point, les lignes, les surlaces , dont l'une reconnaît à l'inliniment petit un rùle important, et c'est ici le lieu d'insister un peu sur cette question. Il y a deux manières de concevoir la formation des idéaux géométriques, comme limites de représentations ordinaires. L'une donne à la pensée pour poir.t de départ l'espace fermé, limité par des surfaces, et la fait donc partir de la surface idéale qui ne forme une limite exacte que d'un seul coté, celui où elle sépare l'espace donné de ce qui l'entoure, et qui de l'autre côté est négligée comme l'est, dans la représentalion de l'angle, l'espace compris entre ses côtés. Deux surfaces se coupent suivant une arête, celle-ci est limitée par deux autres surfaces qui engendrent ainsi avec ses deux points extrêmes l'étendue limitée en longueur.

L'autre mode de formation des idéaux géométriques repose

surlfi rcprrst'nliilion dn limilo de l"in(iinmont pL-lil, cl fl.ivtiloppe les ropri'isonlations g(''om(''lri(|U('s rondîinionlales dans l'ordre invcrso. Ici se place tout (l'al)ord le point é(|uivalent il un espace ([ui se contracle à l'iniini dans chacune de ses directions, c'esl-à-dire à un espace qui ne pe\it ôlre mesuré dans aucune direction à l'aide d'une unilé finie. Quelques auleurs font, ensuile engendrer les lignes par le mouvemcnl continu de cet espace — point intinimenL petit, et la surface par le mouvement de la ligne. Abstraction faite de ce que ce mode de représentation exige un certain rapport de mesure entre les trois idéaux géométriques fondamentaux, auquel ils ne sont pas soumis en eux-mêmes, ce mode de représentation naît uniquement d'une image spi'Ciale à peu près comme naissent des espaces creux dans les levains, (]uand on y lait entrer de force des corps solides ; il revient en somme au mouvement et ne possède pas en général le degré d'abstraction auquel on doit aspirer dans la détermination de concepts aussi importants.

Sans avoir égard au mode de formation du point, il faudra concevoir la ligne comme la limite d'un fil ténu. D'après ce principe de définition la surface doit être considérée comme un corps infiniment ténu suivant une seule dimension, selon la représentation de Gauss [Disqui.silionncs circa superficies ciirvas, art. XIII). Il est incontestable que le deuxième mode de formation se rattache mieux à la représentation mathématique des figures géométriques fondamentales. Seulement, il suppose le concept de l'inDniment petit, auquel nous n'arrivons toutefois qu'en partant des représentations géométriques exactes de la première espèce.

La suite la plus logique des idées qui mène aux idéaux géométriques des mathématiques, pourrait être celle-ci : On mettrait en tête le premier mode de représentation, suivant lequel on conçoit la ligne non limitée comme arête. Puis de la représentation de l'arête exacte, découle, comme je l'ai montré dans le système de l'Idéaliste, le concept de l'infîniment petit, ce qui permet en définitive de concevoir les idéaux géométriques d'après le deuxième mode.

L'EMPIRISTK

34. — Conclusion de sa critique de l'Idéalisme. — Ce (jui jusqu'ici est sorti de notre plume pour et contre l'Idéalisme, suffit Ji montrer nettement l'opposition et l'incompatibilité de nos deux modes d'intuition, qui doivent s'étendre non-seulement aux concepts fondamentaux des mathématiques mais à

l'ensemble de notre conception du monde. Une suite de représentations, qui éveille en nous le désir de la poursuivre jusqu'à son terme, peut par sa nature ne pas posséder un pareil terme dans notre système de représentations . Je me contente de poursuivre la suite de représentations aussi longtemps qu'elle impliiiuc des représentations , mais l'Idéalisme donne sa conclusion comme un fait, même quand il ne peut pas en d(''montror l'existence ni, à plus forte raison, s'en former une représentation. L'Idéaliste se tire d'afl'aire avec des aximnes.

Axiome est et reste l'existence de la mesure exacts, car Je ne puis reconnaître aucun caractère concluant ;i la démonstration (|uc l'on Vient de tenter à ce sujet. Elle repose tout d'abord sur une limite non rcprésentable, l'espace vide ou l'espace homogène. Toutefois pour admetire cette limite, on n'a nullement besoin d'accorder que l'espace vide renferme en réalité toute ligure. De fait, il ne renferme rien. Nous tirons de notre mémoire des images de figures passablement exactes et nous nous représentor.s alors au lieu de l'espace vide un espace qui renferme ces figures. C'est inconleslablemenl tout ce qui s'est passé. La méthode que suit l'Idéaliste pour conclure de ce fait h l'exislence des idéaux me semble fausse. Car son argumentalion, suivant laquelle les idéaux géométriques sont présents dans l'espace, sous prétexte (|ue tout bloc de marbre renferme des milliers de statues qui attendent (juc le sculpteur les délivre, et que d'ailleurs l'idéal doit être aussi vraisemblable (|u'une certaine déviation, repose déjà absolument sur l'hypothèse de l'idéal, — une déviation déterminée, dont la définition géométrique est de môme nature (jue celle des idéaux, (lovant obéir aux mêmes lois que ceux-ci. Quand je parle de (igures géométrique? inexactes, c'est-à-dire oscillant entre des limites qui sont à établir d'une manière (juelconque, je n'ai point eu vue une figure spéciale, mais toutes figures possibles renfermées dans ces limites.

Enfin, l'Idéaliste invoque les éléments derniers du monde des corps, lesquels éléments doivent avoir des limites exactes, car, dans le cas contraire, on ne serait pas encore arrivé au dernier degré d'abstraction. Toutefoison ne saurait en conclure simplement l'existence de figures exactes, pnr la raison (jue ces éléments derniers sont précisément des limites de re[)résenlations aussi peu représentables que les idéaux géométriques; je les juge également inadmissibles les uns et les aulres. .le n'ai rien à objecter aux théories eorpusculaires, quani aux atomes je les rejelle.

La dilTéi'ence de nos méthodes de logicjue se montre de la liK^'on la plus nette dans une détermination de concepts de ridéalisle à latjuelle il attache lui-même une importance toute

spi'ciiile, je veux pJU'U.'r de sa disliriclion fiitro (c illitiiité ;j ol " inlini »(|ucjc voii\ encore allu(|ucr en finissant. Pour ma j)art, avec la nieillciire volonti'' dinnon(le,je ne; puis me liguror (|ue des choses (inics d'une gi-andeuc eL d'une peli' esse arbitraires ; i\ mes yeux, c'tMt un hasard malheureux (|ue « inlini » diso auUinl (jue « non fini ».

Le sens primiliC du mol est assuromenl « sans fin ■> synonimc lie « illimité ».

Oui doulc que nos perceptions des sens ne nous permellenL qu'une pénétration tout h fait imparfaite dans l'essence des choses ?

Seulement dansce penchant. î franchir les limites naturelles fie notre pouvoir représentatif avec des limites de concepts insaisissables, .je vois un égarement de notre instinct de connaisance et je tiens pour sage de contenir à l'occasion cet instinct tout comme les autres et tie me résigner, lorsqu'une connaissance profonde m'est refusée.

L'IDÉALISTE

L'opposition psychologique de nos modes d'intuition, telle que l'a présentée l'Kmpiriste est incomplète sur un po nt que ridéalistc considère précisément comme décisif. Le domaine de notre pensée ne renferme pas seulement, la mosaïque de tout ce qui est perceptible, et les représentations et concepts qui en dérivent par le travail de notre pensée, c'est-à-dire par une suite de transformations et de combinaisons, mais encore nous possédons la conviction inébranlable — peu importe ici comment nous l'avons acquise — de l'exi.^lcnce de certaines choses en dehors du système de représentations.

C'est un sentiment semblable à celui qui nous fait admettre comme fondement de nos perceptions des existences réelles en dehors do nous, quoique nos perceptions ne leur soient pas adé(iuates, et que nous ne puissions jamais être en état de nous former une représentation du réel, dont nos perceptions, suivant une expression de M. HelrahoUz, sont les signes.

Les concepts idéalistes d'infini, d'exact, etc.. sont dans un rapport direct avec cette réalité, cette machinerie insondable qui se cachedans les coulisses du monde des phénomènes. L'Idéaliste tout aussi bien que l'Empirisle juge inutile d'ergoter sur la nature propre du réel ; de môme il n'essaie pas de démontrer l'existence de ce qu'il pense en dehors du système de représentations, de l'infini, de l'exact, etc.. au sens ordinaire. Car une démonstration, comme une explication, pour

parler d'une façon générale, consiste en somme à rétablir une suite logique de représentations entre une représentation qui nous inquiète et des représentations qui ne troublent pas notre quiétude. La suite devrait ainsi se trouver avec ses deux termes extrêmes au-dedans de notre système de représentations ; donc une pareille jjreuve de l'existence de nos idéaux géométriques est inimaginable.

Mais il y ajustement des cas où, les représentations se trouvant à l'intérieur et leurs limites à l'extérieur de notre système de représentations, l'existence d'une limite de représentations saule immédiatement aux yeux comme lorsqu'il s'agit de l'infinitude de l'espace. L'espace ne saurait être mesuré avec des muliiples d'unités de longueur finie. Supposons donc l'espace objectif indépendant de l'existence d'êtres pensants, la mesure n'en sera pas donnée par un nombre fini. L'Idéaliste n'aflirme pas davantage, et c'est uniquement de cette propriété de la mesure de l'espace qu'il fait usage. L'espace une fois admis, l'espace vide l'est aussi, car ce que renferme fortuitement l'espace change de place sans rien changer à l'espace.

L'espace existe en lui-même. Si on m'accorde en outre l'existence dans un bloc de marbre d'un tétraèdre dont Je peux indifjuer les angles à un sculpteur, avec toute la précision que permet la nature du marbre, je peux en réclamer autant ?i i'égarfl de figures quelconques de l'espace. Car h la fin de la suite de représentations d'images s'écartant de moins en moins ([d'idéal, apparaît l'arête exacte, et il sera aussi impossible de la rejeter que l'infinitude de l'espace.

Dans l'exposé prt'senté par l't^mpiriste du processu-; psychologique (jui conduit aux idéaux, il n'est donc pas fait mention (le cette impulsion irrésistible qui nous pousse suivant certaines directions en dehors du domaine de ce qui peut-être représenté.

Ainsi, quand nous nous abandonnons à ces pensées qui paraissent si naturelles, l'Empiriste voit en cela un égarement de l'instinct de connaissance. Il est possible que son intuition du monde le garantisse de mainte illusion, toutefois le renoncement cju'il s'impose n'est pas précisément le fait de cliacun. En ne donnant un libre cours à ses pensées (|ue dans les limites des représentations et des concepts qui répondent à des perceptions ou en sont abstraits, il agit comme l'enfant sage ([ui se garde bien de franchir la haie du jardin. La pensée idéaliste est le garçon pétulant ([ui se moque des limites, revendique comme sien le domaine entier des représentations et pressentiments et arrive à franchir les broussailles, a gravir les roches, pour atteindre it des hauteurs, d'où l'œil embrasse

un vaste horizon. Il pourra s'égarer, mais ?i coup sûr il verra plus de choses (jue l'enfanl srige.

L'Kinpirislc a dans sa criLiiiue rejeté presque tout ce que nous appolons'coiicepls Ibndamcntaux des maLhémali(iues, le bagage dont nous armons le commen(;ant au seuil de cette science. Il ne veul rien savoir de la mesure exacte, des (igures géomélri(iues exactes; il nie l'existence de la limite malhèmati(|ue ; pour lui, 11 n'y a (juo du lini, rien (.l'infini dans Kfispace ni dans le temps. Qu'il nous enseigne donc maintenant comment il veut melire en harmonie ses vues avec les exigences des malhémali(|ues en ce ([ui louche la rigueur des concepts.

Le Système einiMiisIe

L'KMPTRISTE

3. — Epuration du système de concepts. — .l'ai dô.jà énoncé ou tout, au moins indiqué dans ma critique du système idéalislo les idées fondamentales du mode de représentations fies choses de l'Empiriste. Loin d'autoriser le libre usage des concepts communs à tous les hommes, mes hypothèses exigent une limitation dans certains sens. Je dois, pour les appliquer aux notions (jui servent de base à, l'analyse, les exposer avec plus de détails et bien montrer en quoi elles consistent.

Tout ce qui est bien fonrU scientifiquement , toute connaissance sure dérive des perceptions immédiates et doit jiouvoir se ramener â notre système de représentations correspondant aux objets perceptibles. J'entends ici par perceptions, toutes aperceptions, par suite, non-seulement les perceptions des sens, mais encore celles qui se rapportent à notre entenrlemenl.

Cette proposition à hesoin d'éclaircissements. En donnant à mes raisonnements scientiru[ues comme unique fondement solide le système de perceptions, Je veux dire ({ue j'admets seulement de noire système de concepts ceux qui, d'une manière quelconque, peuvent se ramener à des perceptions. Les représentations qui s'introduisent dans la pensée ne correspondent pas nécessairement, même pour la plus petite part, à des perceptions qui ont eu lieu ; ce sont souvent des produits de l'imagination, c'est-à-dire d'une activité psychique qui a fait notre système de représentations ce qu'il est et l'enrichit sans cesse au moyen de décompositions, de combinaisons, de variations de grandeur, de forme, d'intensité, de qualité des objets perçus (par qualitéj'entends, par exemple, la couleur, le son, bref ce qui ne peut se ramener aux qualités linéaires).

Toutes nos représentations doivent donc pouvoir se ramener par combinaison, décomposition, variation de grandeur, de forine, d'inlensité, de (jualité, à des perceptions des sens. Je dirai d'un mode de représentation qu'il est réel, quand il satisfera à celle condilion. Or, comme je l'ai déjà remarqué, il s'introduit dans notre système de concepts des mots auxquels ne correspondent pas des représentations réelles, mais bien des limites non représenlables de représentalions. Ce n'est (|ue comme mol ((u'uneparcMlb^ limite esl une représentation nielle: di^ l'ail. pIIo scrédiiil à un pressi^nlinvut vaguf.à un»^ tiMiInlivo,

- lOi! —

toujours ihfruclucusc de Cranchirles bornes de notre esprit. De purs concepLs-mols de cnLlo csprcc, Je les exclus du processus de m;i pensée, laissant ainsi do côté les idéaux géoiné- Iriques, et beaucoup d'autres.

Cette! é[)iiralion du sysIèiiK! de concepts repose toulolois sur une hypothèse. Si J'adniels (jue le système empiriste de concepts répond point par point à la perception immédiate, Je ne pn'tends pas dire que tout homme dans son développement doit se le foi-mer de nouveau ù l'aide de ses percep lions. Les raisons les plus concluantes nous Ibnt croire, au contraire, que notre système de concepts, et non pas seulement le système empiriste , est en grande partie transmis par rtiérédilé. (*) Mais l'hypothèse suivant la([uelle notre système de concepts ne renferme que des représentations provenant de percîcptions ou pour m'exprimer brièvement, de portions de perceptions — que ces perceptions se soient produites chez chaque individu ou dans l'humanité durant son développement entier, — n'est précisément qu'une hypothèse, et elle peut ôtre attaf|uée, comme on va voir tout de suite. Notre système de représtMilations auquel tout d'.dûord est réductible notre système de concepts pourrait encore renfermer une troisième chose, h savoir le roprt''sentable dont on ne peut démontrer qu'il se ramène à des perceptions où à des portions de perceptions. En effet, on pourrait bien s'imaginer que dans le cours des siècles, depuis l'origine de l'être organisé Jusqu'au développement du cerceau des mammifères et plus tard encore — des perceptions se sont réalisées (lu'il est actuellement impossible de reproduire. Mais ceci devrait résulter de l'analyse de nos concepts, et un phénomène psychique aussi remarquable eût été certainement constaté. Cependant l'éventualité ((ue J'ai signalée nous oblige à compléter la conception empiriste par l'hypothèse que toute représentation humaine est formée de perceptions ou d'éléments de perceptions possibles aujourd'hui encore.

34. — Application des principes erapiristes aux représentations initiales de l'analyse. — Remarques préliminaires. —

Tels sont les traits principaux fie l'intuition empiriste ; je vais montrer ce que sont pour elle les concepts fondamentaux de l'analyse. Je pose avant tout que nos représentations initiales doivent nécessairement suffire à nous fournir toutes les propositions, les méthodes, bref, tous les résultats des mn thématiques, à amener p.ir const'quent cette science à n'importe quel degré de son développement. Car toute relation exacte

(') Cette (luestion est traitée dans Touvrage déjà cité page 89.

entre les concepts, qui peuvent facilement se résoudre en perceptions ou portions do perceptions, Je dois pouvoir la tirer des perceptions, sans l'aide du non rcprésentable. L'Idéaliste nedoiLdonc pouvoir obtenir entre des rjuantités mathématiques aucune égalité exacte que Je ne puisse déduire de mes représentations.Sans doute il trouvera entre ses fictions, l'exact idéal, l'infiniment petit, etc., des relations ([ui ne s'offrent pas à moi, mais c'est seulement parce que Je repousse toutes les fictions.

Ma première tâche est d'éclaircir, au point de vue empiriste, le concept de limite, que l'idéaliste est obligé de considérer comme un axiome. Car peu importe ici que l'Idéaliste nous demande de croire à la limite olle-mômc ou h l'infiniment petit, ou à l'idéal exact : au commencement ou à la fin, il faut que quelque part la foi supplée à un anneau dans la chaîne de ses raisonnements. La mathématicjue de l'Empiriste n'admet pas d'axiome. Si le besoin s'en fait sentir, c'est que ses principes fondamentaux ne sont pas suffisamment approfondis. On range à la vérité bien souvent parmi les axiomes des relations entre certains concepts appartenant évidemment au domaine du réel, mais non encore assez complètement analysées. Ce ne sont pas là de vrais axiomes. L'axiome dontil est ici question exige toujours qu'on tienne le non représentable pour une existence.

Ma preuve de l'existence de la limite se déduit de mes représentations géométric|ucs fonflamontalos. C'est une représentation réelle qui se iornio, quand J'imagine une ligure répondant ù, sa définition avec une exactitude de plus en plus grande. .Je peux donner un libre cours b. ma fantaisie, quand elle idéalise indéQniment la finesse de la plume à dessiner, de la feuille de papier, de la toile, etc. Le fait d'idéaliser est parfaitement fondé pour ri']mpiriste, là où pourtant il n'existe pas d'idéal représenLable. Car lorsque J'idéalise, Je modifie bien peu à peu mes représentations dans un sens choi?i arbitrairement, mais elles ne cessent pas d'être des représentations réelles. Devant l'idéal lui-même Je fais volte-face. Ce n'est à mes yeux que le terme fictif d'une suite de représentations qui prennent naissance dans un raisonnement scientifique et qui de fait n'admettent pas de terme.

Par exemple, .je permcis à ma fantaisie des variations de grandeurs relatives. Ce que j'en déduis lorsque les déductions sont tirées correctement, suivant le jugement humain, doit logiquement, suivant le Jugement humain aussi, être correct cl C(3ntenudans mes hypothèses. Les deux touristes cosmiques du Micromégas sont sans doute des représentations réelles et Je ne crains nullement de donner pour fondement à mes considératirtiis de pareilles rèvei'ios. Comme exemple d'une ligne

(Iroilc (|ai poiirrait Irr^ hirn suflifi' aux hiîsoins iln la gi'jjnn'lrie, J'ai cilô lo laiscoau do rayons i\[i\ va (Vwno (Hoilc lixo à noire pupille. Imaginons une table assez grande el, assez plane pour recevoir sur sa surface une section longitudinale de ce faisceau, ()ue nous marquions h la craie par oxempi ;, puis repn'isentonsnous toutes les dimensions de celte lablc diminuant Jusqu'à la grandeur d'un carreau de vilre, nous n'avons Jamais ([uitté notre système naturel de repr(!^senlations, mais nous sommes parvenus à une ligne droite, qui di}passe peut-être en exactitude tout ce t|ue la nalure ou la main de l'homme p(^ul fournir.

Ainsi rien ne nous empêche de trouver au sein même des représentations réelles l'image d'une ligne droite de plus en plus parfaite, bien que dans le monde des phénomènes où nous vivons la distance moléculaire ou quek[ue chose de semblable lixe une limite ii l'exactitude des images géométriques. Il est absolument interdit à notre fantaisie de d(''duire des représentations l'idée de la ligne droite parfaite, comme je l'ai prouvé dans ma critique du système idéaliste (art. 31). Ainsi l'opposition entre l'Idéaliste et moi se concentre dans l'opposition de l'exact parfait et l'exact ô volonW. Cette distinction peut paraître une vaine subtilité, (juolle erreur ! On verra qu'elle a une portée très profonde.

35. — Représentations empiristes des imiges géométriques. — L'image empiriste de la ligne qui vient d'être es([uissée est du reste double, suivant qu'on songe à un tracé idéalisé on a une figure de l'espace. Dans le premier cas, comme nous l'avons indiqué plus haut, on se représente une bande plate, dans l'autre cas, un bâton ou un fd ; le faisceau de rayons de tout à l'heure est un exemple de ce dernier cas. Ma conception de l'étendue détermine en même temps ma conception du point. Ce point aussi ne peut être qu'un espace, petit à volonté dans tous les sens. Sa déOnition ulli'srieupe de forme variera suivant le problème qu'on traitera. On pourra le définir en luimême ou bien à l'aide de représentations où il intervient. Une pareille description du point est fournie par la réciproque de la proposition. « Les lignes se coupent en des points. » Elle donne : Le point est la portion d'espace commune à doux ligiics qui se coupent. Si nous restons dans cette détermination du concept qui exige seulement la représentation de la ligne, la conséquence la plus directe est (|ue, au point de vue empiriste, la longueur est formée de points, ou peut être considérée comme telle. Si fine que Je puisse me figurer la ligne, elle a toujours une épaisseur qui certes n'est pas exacte, mais reste nécessairement dans un rapport fini avec la longueur de la ligne. Que mes rcprés.->ntations partent de l'image de la ligne,

le point sera alors un morceau de la ligne, d'une longeiir égale à l'épaisseur de celle-ci, eL ses dimensions resteront dans un rapport fini avec l'unité de longueur. Quand on songe au point isolé, on se le repr(''sente d'ordinaire dans un dessin comme un disque mince, petit, en forme de cercle, et, dans l'espace, comme un petit sphéroïde. Cependant la forme du point, tout comme celle de la section de la ligne est indifférente. L'un et l'autre sont seulement soumis h la condition d'avoir dans tous les sens des dimensions petites îi volonté.

Quant fi la conséquence quf-. la ligne, et de même naturellement l'espace, est un composé de points sans lacune, la conception empiriste ne saurait s'y refuser quelles que soient les représentations simples ciu'elle prenne pour base.

36. — Le concept de limite. — L'intuition empiriste, expliquée par son applical on au.x lignes et points, fournit tout de suite la représentation de la limite d'opérations infinies et certes avec une clarté et un naturel ijui donnent pleine satisfaction à noire soif de recherche, au point qu'un novice doué de jugement, à qui les choses auraient été expliquées suivant la méthode empiriste, n'aurait jamais l'idée de voir la raanifeslatiou de l'infinimenl grand et do l'infiniment petit dans une fraction décimale sans fin.

Chacune des voies parcourues par l'Idéaliste (art. 21) et par les(iut']les. comme il dit, on pourrait essayer de dt''monlrer l'existence de la lirailo. conduit l'EmpirisIe au but.

La voie la plus courte est pouf-ètre la première.

Etant posée un nombre sans lin o, a, aj.., de l'inégalité o. a, X., ... Dc,, < n, a, x-2 .. (a^, -|- 1) salislailc pour toute valeur de p et de 7, on concluait que les extrémités de toutes les longueurs s^,

0, xi a.,. . y.^,.;.r, r = l, *2, . . . tombent dans l'élendin^ (|ui itIIo les points o, a, a^ ... x,, o\ o, a, xo... (x,, -\- 1).

Chacune des étendues suivantes s^.-.i tombe dans la précédente «,,. La ligne droite que nous nommons étendue unité, est, dans noire représentation, mince à volonté, el nous concevons comme point sur l'étendue unité un morceau de celle ligne aussi court qu'elle est mince. Que nous nous figurions la ligne droite mince au-delà de toute niesure.il existera toujours, déterminée directement par cotte minceur, une valeur de // pour la(|uell(' l'iMoiiduc ,"»',, n'atteigne pas en longueur l'épaisseur de notro ligne droite, el alors n, x, x., x^, est la limite de la ligne (0, x, x> ) avec l'exactitude (|ue nous apportons dans notre représentation momtMitani'o. Celle exactitucle varie î\ ni>lrc gr.'. o| ollr appartiont égalomont aux longueurs

ralionncllcs ot aii.v longueurs irralionncllos fju'on poul rons- Iruirc do (|ucl(|uc mnni('''rn nu (|ui sonl il(';t('.rmin(''cs p;ir dos Iraclioiis dociinulcs sans fin (iuolcon(iucs. Knirc loulos cos longuours il n'y a donc pas la plus petilo difrércnce,

La douxicMno d(''monst,i'alion cilée par rid(''alislo osl ogalt.'nient fi mes yeux pleinement rig(jurouse, parce que je regarde la ligne comme composée de points. On l'ail voir dans cette clénionslralion que l'étendue unilo (0, 1 ) se divise on deux parties, l'une ne conlenanl ([ue des points (|ui finissent par ôlrc; couverts par los étendues o, a, ; o, x, -/.■,.. etc., portées ji partir du zéro, tandis (|ue les points de la deuxième ne seront jamais couvertes. Les deux (''tendues se touchent ou bien elles ne sonl séparées que par un point hypothétique ducjuel on ne poul dire ni qu'il sera couvert ni qu'il ne le sera pas. Ou bien ce point, ou bien un point occupant la place oii les deux étendues partielles se touchent, forme donc la limite.

Cette démonstration de l'existence de la limite est donc rigoureuse pour l'Empirisle. Je n'affirme pourtant pas que ce soit là la suite d'idées f|ui nous est naturelle. Comme je l'ai déjà remarqué, nous sommes sann le savoir, il serait peut- être mieux do dire de nalssanc<', des Idéalistes. Ma démonstration est la consé(|uence immédiate d'intuitions aux(iuelles on parvient en épurant le système des concepts d'idéaux non représentables ; mais cette épuration impose une violente contrainte au processus de la pensé'o qui est p-'nélré d'idéaux de toutes pai-ts.

Dans le dessin par exemple, on représente la limite comme je l'ai brièvement indiqué à l'article 11>. On s'imagine les extrémités des longueurs o, a, ; o, a, x-, : elc ... portées à partir du zéro raarcjuées par d<îs traits fins et courts coupant transversalement la ligne. Ces traits se resserrent toujours davantage et ils cessent nécessairement quelque part, i arce que les instruments refusent finalement de marquer et que surtout on ne peut tirer des traits en nombre illimité. Vient ensuite, séparé des traits o, X) x,>... a^, par une courte étendue (pie nous nommerons nébuleuse, et formant le terme de la série des poin's, un trait fin, aigu, un peu plus long que les traits précédents, il représente la limite. C'est dans l'étendue nébuleuse qui précède la limite que les fantômes philosophif|ues prennent leurs ébats. C'est sur elle que roulent les sophismes fameux, et c'est elle ([uc l'Idéalistea résolue en (piantités infinitésimales.

Le dessin do l'iMniiii'isto a une ])hysionomie (piek[ue peu difTérente. Les traits seront continués môme cjuand les instruments de dessin ne permettront plus de les faire distincts. Alors les traits se confondent les uns avec les antres, de sorte

que leur largeur est plus grande que la distance de l'étendue 0. «1 %i... x^, à la limite. On ne cessera ce tracer de nouveaux traits que lorsque leur continuation ne prolongera plus visiblement l'étendue à marquer, c'est-à-dire quand ils persisteront à occuper la môme place. C'est alors la limite.

37. — La théorie empiriste dans les éléments de la haute analyse. — L'Empirisli; voulunl alTranchir son langage de mots et de tournures, qui ne peuvent avoir de sens acceptable que dans la bouche de l'Idéaliste, devra souvent s'exprimer toul-à-fait autrcmeni que ce dernier. Son exposé des concepts fondamentaux, argument, difï'érentielle , etc.... s'éloignera dans beaucoup de cas de celui de l'Idéaliste. Je vais tout d'abord caractériser le langage empiriste sur quelques points essentiels, cl expliquer ensuite ma conception de l'argument, de la difîercntielle etc.

1. — Avant tout, l'infiniment petit et l'infiniment grand au sens de l'Idéaliste n'existant pas poiir l'Empiriste, ces mots, s'il lui arrive de s'en servir, ne signifient rien de plus que petit ou grand illimité, sans fin, non mesurable, etc. ... et d'autres termes signifiant que dans un sens ou un autre notre imagination n'est arrêtée par rien.

2. — Au lieu dr dire d'une quantité variable qu'elle devient infinimeni grande ou infiniment pelile, l'Empiriste préfère dire {|uo conformiMncnt à un but proposé, on lui donne des valeurs suffisamment grandes ou suffisamment petites.

3. — C'est une question un peu délicate du langage précis. (|uc de savoir si et quand on a le droit de dire d'une quantité variable qui prend la valeur a pour une certaine valeur de son argument : elle devient égale à a pour cotte valeur de l'iirgument. Sans doute dans tous les cas il est exact de dire simplement : a est pour cette valeur de l'argument la limite de la (juantité variable, et par suite dans tous les cas douteux — et dans (pielques cas non douteux, l'Empiriste ne s'exprimera pas autrement. La première manière de s'exprimer est fondée lorsque pour la valeur correspondante de l'argument la fonction a un sens cl;iir et une valeur calculable sans aucune indication complémentaire, comme cela arrive, par exemple, à une fonction e .tière et rationnelle de iv pour toute valeur finie de la variable. Mais si la valeur de l'argument est infinie au sens de l'Idéaliste, comme est la valeur de // por.r la limita de

-:j- -f — -f- . . . -|- .)— =: /( n) ou si, pour une valeur île 1 argument, l'expression de la (fuantilé variable cesse d'avoir un

S'^'ns ot d'être calculable, comme (1 ~\- x) ' pour x rz: o. l'Em-

pirislc ne pmit, alors einployor (|uc, lu (loLixioinL- muniùrc de parler ; lil c'est ici (|uc son langai^c dilTèro le plus de celui do riiloalisLo. Celui-ci est, en effet, amené par ses ruisonnemcnls h

croire fondée celle façon de parler : (I + x)' devient eiaclemcnt égal à e, cpiand x devient infiniment petit (Art. 27). — En outre, l'Empirislc ne rcjcllcra le pur zéro que dans les applications manifestement absurdes de ce symbole au calcul.

IjCs formes — ' — de, lui paraissent tout aussi dénuées de

sens (|u'î\ ridéalisle. Seulement il ne voit pas de raison pour ne pas employer clans ses calculs le zéro aussi bien que des quantités, comme valeur ; il est assez souvent une limite. D'ailleurs la représentation empiriste de l'exact à volonté s'étend aussi au zéro.

4. — L'argument ou la variable indépendante. — La détermination empiriste du concept de l'argument exige cerlaines distinctions délicates, landis que l'argument de l'Idéaliste est certainement une l'cprésentation beaucoup plus simple. Pour l'Idéaliste, lavariaiiondes longueurs et l'expression numérique des quantités à l'aide d?. l'unité donnent les deu.x conceptions géoméiricpie et arithmétique de l'argument et se correspondent directement. Ces deux conceptions sont également fondées. El, bien que la quantité linéaire soit le concept primitif, on peut cependant à rhacfue instant dans la détermination du concept de l'argument placer au premier rang l'une ou l'autre des deu.K conceptions. Pour l'Enipiriste les choses se liassent autrement.il y a, sans doute, entre une longueur exacte à volonté qui s'ofTrirait à nous n'importe comment, et une fraction décimale sans fm, dont la loi de continuation nous serait donnée, une complote équivalence. Car,sije puis mesurer cette longueur exacte à volonté, cela me permet d'écrire autimt de chifï'res que j'en désire à la suite de la fraction décimale sans (In, tout comme si j'en connaissais la loi. Que la loi puisse me fournir les rapports à d'autres fractions, ou me permette de découvrir les structures de celle dont il s'agit, cela sort de la question de la pure équivalence en grandeur. Au surplus, les chiffres nombreux « fi volonté » déterminent la loi de leur succession.

Mais si nous considérons non plus seulement une seule quantité déterminée, — donnée des deux manières, comme longueur et comme fraction d'unité exprimée numéri(]uemenl. mais l'ensemble des quantités comprises entre deux limites, alors pour l'Empiriste l'équivalence entre les deux conceptions

de l'argumenl se heurte à des difficullcs. Que je rejelle les nombres élern^llemenL sans loi de l'Kmpirisle, cela imporlc peu. Seulement les considérations suivantes sont en faveur d'une supériorité de la conception arithmétique de l'argument.

En partant de la représentation giîométrique, comme je n'admets pas qu'une longueur ait un terme exact, j'étendrai la môme inexactitude à toutes les longueurs intermédiaires d'un intervalle. J'ai beau imaginer l'idéalisation de la ligne droite limitée poussée aussi loin qu'on veut, toutes ses parties rationnelles sont entachées de la même inexactitude, il n'existe donc en réalilt) que des fractions rationnelles de la ligne droite dont les dénominateurs après réduction ne dépassent pas une certaine ({uantité, — celle-ci dépend du degré d'cxacîitude que j'admets momentanément, .le pourrais par suite poser pour l'ondemenl, comme image de la grandeur de l'argument, parmi tous les segments o, %i x-z ... possibles, ceux seulement ([ui possèdent un nombre de chiffres déterminé quoique grand à volonté. C'est évidemment une conception très-restreinte, toutà-l'ait insuffisante.

Pour conserverau conceptde l'argument toute sa généralité il faut donc, ou bien que le nombre avec sa loi de continuation forme la valeur particulière de l'argument, ou bien encore, ce qui revient au même, que la longueur partielle de l'étendue unité soit supposée avoir une exactitude aussi grande qu'on veut, indépendammeni de la représentation de l'étendue unité tout entière.

Ce n'est qu'ainsi (|uo l'Empiriste lui aussi se croir;i fondé à considérer comme équivalentes les conceptions arilhméti(iue et géométrique de l'argument.

Il peut être très commode au mathématicien cmpirisie de laisser de côté ces distinctions géométriques ennuyeuses, et de donner la p'-éférence h la conception arithmétique de l'argument. Il ne faut pas oublier qu'elle ne peut être que le Proleron. — Le Proton est et reste la quantité mathématique linéaire. Car d'abord le besoin de partage, et en particulier la mesure des grandeurs a pu engendrer le nombre et par conséquent ses lois de formation. La science de la mesure partage tout d'abord l'unité en parties égaler, elle exige ensuite le partage incommensurable de l'unité, pourdéterminer par l'arithméticjue des rapports géométriques intuitifs et donne ainsi naissance au concept de l'irrationnelle et de ses loi> ; la généralisation scicntifi(]uc de ces processus fournit flnalemiMit le concept de l'argument.

L'Idéaliste semble arriver plus rapidement au but. L'éiiuivalcnce fondée pour lui logi(|UiMnent entre l'argument géométri(nic et rargnnienl aritliméti(|ue le dispense, pourrait-on

penser do consitlrriilions an.ilogues aux priîcédenles. Cependant, s'il y rcgai'dr di; près, il trouvera (luon ne lui en l'ait pas grâce. Précisi'inonl l'idcnlilé de nature des parties exprimées nuinéritpii'niriil l'oblige aussi h tenir compte de la signification arilhméticiue des points de l'argument. Kn géométrie et (Hi mécani(jue, rien n'empechc [)réalablenient une conception géométri(|uc de l'arguniciit, et en cela les hypothèses do l'IOmpiriste ne son! pas moins applicables que celles de l'Idéaliste. Mais dans l'analyse, on trouve des parties où la conception purement géomi'lrique est insuffisante, et oij le nombre doit être joint à l'argument. Les fonctions dont il s'agit ici n'appartiennent plus au calcul différentiel, dont, je vais éclaircir les idées fondamentales au sons empirisle.

5. — Les principes fondam-;ntaux du calcul différentiel dans la théorie empiriste. — Ce calcul est plus ([u'une miHhude qui r(''soud certaines classes de problèmes, c'est plulôl une forme de |)enséc bien déterminée qui saisit en des concepts d'airain et porte h l'expression la plus précise ce (pii dans les rapports des f(uantités variables est immuable et échappe ou reste obscur au vulgaire. Qui pourraitdouter que, si les habitants de Mars possèdent une analyse, il faut qu'elle soit identique à la nôtre dans toutes ses parties essentielles ! Je vais tâcher d'expli({uer la suite des idées qui doivent conduire au calcul diffiirenliel.

Il co'ïncide à l'origine avec une propriété spéciale de notre pensée. C'est un procédé bien vieux que celui suivant lerjuel nous cherchons ii décomposer des représentations com()li([uées en de plus simples qui nous satisfassent. La vue d'une ligne à courbure comp'iquée attirera notre attention, et par suite, troublera notre (luiétude plutôt qu'une ligne droite uniforme, sur la(|uelle le regard re surprendra ni courbure ni surtout variation de courbure. Les arcs de cercle aussi, les surfaces planes, les sphères nous laissent plus indifférents que d'autres ligures dans le plan et dans l'espace. Ce sont des fermes familières de ce genre que nous tâchons de retrouver dans les représentations complexes, et notre procédé consiste il les morceler Jusqu'à ce que les éléments perdent le caractère des représentations compliquées et montrent une apparence simple qui nous soit bien connue. Les rapports de mesure que présentent entre- eux ces éléments de représentation et qui, lois élémentaires du monde des phénomènes dans la physique mécanique, sont le but des recherches, trouvent dans le calcul des difîérentielles la forme qui leur convient exactement. Les différentielles sont l'expression de ce procédé de la pensée humaine, qui lui est équivalente.

Il vaut la peine de développer, de ce point de vue, avec

une complùle précision, les principes l'ondamenlaux du calcul difTérenticl.

Le rapport de dépendance le plus lacile h saisir est la simple proportion" alité. Quand on explique au profane le concept de fonction, il songe tout de suite à une croissance ou à une décroissance simultanées ; il voit devenir simultanément deux ou trois fois plus grandes des quantités variables qui dépendent l'une de l'autre. Si on désigne par x la variable supposée indépendante, l'autre par y = fix), soient .r, y, et a:, y, deux couples de valeurs correspondantes, y sera la ibnction de x la plus simple riu'on puisse imaginer, si l'on a constamment

Xi — X

où a est supposé indépendant de x et de Xi

La conception plus générale du concept de fonction engendre ensuite naturellement le désir de retrouver la dépendance la plus simple dans la dépendance sans restriction, et maintenant c'est un résultat de l'intuition yéom<''lriques\uox\ puisse y parvenir par un morcellement, c'est-fi-dire par l'élude de la variation de la quantité dépendante dans des intervalles suffisamment petits de l'argument. On doit ce résultat h. la méthode de Descaries, pour figurer les dépendances, et au concept de la tangente, une des plus anciennes abstractions de l'homme. Dans le concept de la tangente est impliqué le retour de la dépendance sans restriction à la proportionnalité et cela sur le fond d'une figure qu'on trouve souvent dans les traités de calcul différenliel et qui est probablement due iàBarro\v,le maître de Newton. La figure consiste en la courbe // = /(a:), deux ordonnées y et //i de la courbe corresponriant aux abscisses a; et a^i , une parallèle ii l'axe des x, menée par le point X, y ^ f{x) et enfin la corde r, y \ Xi . //i Soit a l'angle de la tangente à la courbe au point >r. y, avec l'axe des ar, si on pose a =r igv., on a

Xi — X Xi —o: "^ ""

oïl (la tangente étant en vertu de la représentation géométrique ionclamentale la position limite de la corde) on peut rendre s aussi petit qu'on veut, en prenant pour x^ — a; et par suite pour y, — // des valeurs suffisamment petites.

Cette relation contient le retour île la dépendance générale îi la proportionnalité et elle est le fondement du calcul dill'érontiel. Elle est de nature géométrique el ce doit être, car les représentations viennent en premier lieu, les abstractions analytiques suivent.

Ce <|iii précède .i (luelquc peu besoin d'un exposé plus exact, pour pouvoir servir île londomcnt aux principes du calcul.

D'abord la quantité a zn fg x ne dépeml que de x, parce que nous avons mené la langenle au point x, y de la courbe, et nous voulons introduire ici le symbole u?.Ufl t'{'^)- ^^^ oulre nous n'avons fait appel (ju'il liniuition géométrique qui peut ne pas s'étendre à toutes dépendances, qui peut morne s'y refuser complètement. Car par dépendance d'une quantité à l'égard d'une autre, l'argument, ou par Ibnclion.il faut entendre au sens général, qu'aux valeurs particulières de l'argument correspondent des valeurs de la fonction, entre lesf[uelles il n'existe pas la moindre liaison. La correspondance peut résulter du problème dont nous nous occvipons, ou bien être imaginée parnous dansuneintention f|uelconque.Et alors |)eut naître une suite intuitive de valeurs de la fonction formant une image cohérente, mais ce n'est pas nécessaire et on démontre même que ce n'est pas toujours le cas.

Voici donc ce que nous pourrons dire :

Comme l'intuition et rexpiM'iencc l'apprennent, des dépendances sans nombre se comportent de telle manière que l'égalité

Xi—X I \ I '

peut être posée. Dans cette égalité f'( x ) 7ie contient pas d'autres quantités variables que (x); et t pour des valeurs de \, su/'/isaminenl voisines de x(xi peut-être <^ x, ) peut être rendu aussi petit qu'on veuf.

Les fonctions qui possèdent cette propriété sont l'objet du calcul différentiel.

Il semble convenable de leur donner un nom particulier, et je propose de les appeler fonctions ortho'ides. (*) La condition de l'ortho'idie est certainement très restrictive, puisque déjh

(*) C'est là la classe de fractions, que l'auteur [Versuch einer Classification der xcillhàrlichen Funclionen etc, Borchardts Jauni. Tom. 70. p. 27) a appelées différentiables. Il place ce nouveau nom dans la bouche de l'Empii-iste, parce qu'il lui semble que le sens plus profond au point de vue de la critique delà conna'ssance, de la propriété de fonction dont il s'agit, devait au moins être indiqué dans la dénomination. En effet, l'intellig-encede Texpresiona ditférentiable » suppose le concept du quotient différentiel, tandis que VorthoUlie comme la continuité est en première ligne. C'est seulemeut l'extension au concept de fonction le plus abstrait qui fournit au concept de l'orthoïdie le caractère analytique. Quand à l'expression elle-même , on la tirerait en vérité plus correctement de £Ù^-j? que de dpSroç, seulement il faut aussi tenir compte de la commodité du langage.

dans les courbes inluilives usuelles, il irilervient des points anorthoïdes, comme le point j-j^iO dans la fonction// -xsin —,

si , pour X :n 0, lorsque - n'a plus de sens, on donne à celle

fonction la valeur zéro. Mais Je viendrai plus loin à l'anorthoïdie

6. — Du calcul à l'aide des différentielles d'après la conception de l'Empiriste et celle de l'Idéaliste.— J'ai exposé ce qui me parait (Mrc U; propre fondcmenl du calcul diflT-renliel. Ce calcul opère essentiellement sur deux formes d'égalités, égalités sans dilférenlielles, ne contenant ({ue des quotienls différentiels et égalités avec différentielles. En vertu de la méthode des limites, la proposition fondamentale ci-après énoncée donne lieu à des égalités rigoureuses, lorsque les différentielles sont remplacées par des //uotients di/fï-renùels, supposé l'orthoïdie des fonctions introduites dans le calcul. La méthode des fluxions de Newton et le calcul des dérivées de Lagrange sont, quand on s'est accommodé du concept du quotient différentiel, des méthodes de calcul très-claires, que ne vient troubler aucune difficulté de conception. Au contraire, le calcul avec différentielles n'est pas toujours fondé encore avec autant de ccrtilude et de rigueur qu'on pourrait le désirer, pour une méthode parvenue à un usage si général, (|uoi(iue, depuis surtout le fameux prix proposé par TAcadémie (les Sciences de Berlin en i784(*),des tentatives sans nombre iuent été faites dans cette voie. Malgré tout cela, la détresse dénoncée par l'Idéaliste subsiste encore aujourd'hui ; c'est à mes yeux un des phénomènes les plus curieux de la liltéralure sjientifii|ue. Aujoui-d'hui encore c'est à peine s'il parait succc'ssivement dans « la plus infaillible^ de toutes les sciences « deux traités (jui, lorsqu'ils louchent aux concepts fondamentaux, ne se contredisent de la fagon la plus absolue. Aussi, sous le

(*) L'Académie a pensé (juc le noble titre de « sciences e.xactes > devait être maintenu aux .sciences mathénjatiques, bien que la « grandeur infinie » (jui leur sert si suuvent de base d'après la manière de voir des i-'éomètres distinirués impliquât une contradiction. Klle demande donc : l ne théorie claire et précise de ce qu'on appelle Infini en mathématique. Lhuilicr de tienève obtint le pri.x en 178(). Son travail couronné : Exposition élémentaire des calculs supérieuis, Berlin 17S(), ne m'est pas parvenu ; mai-^ j'ai pu prendre coniuxissance de ses vues essentielles dans le.'S additions de .J . K. F. Hauffà sa traduction de l'ouvrage Carnot réfle.xions snr la métaphysicpie du calcul infinitésimal (Krancfort-sur-le-Mein 18(X)^. Le mode de conception de Lagrange, qui a appaitenu à l'Académie jusqu'en 1787 et de Lhuilier sont Empiristes. In inconnu obtint encore dans ce concouis un accessit. Etait-ce l'Idéaliste ou bien avait-il exprimé moins convenablement que Lhniler la manière de voir de Lagranycf

rapport tio son tbndcmeni, la science des (liderenliollcs a pou progress'.'' depuis Leibniz, (jui. on le sait, ne put parvenir ?i aucune vue déterminée.

Comme Empirislc, Je m'e\pli(iue les choses ainsi :

J'écris légalité initiale

Xi — X Xi — X / V 7 ~r -'

où je pose Xi — x = rlx, //i— y =: dy, sans rien chanf/cr au sens des (Quantités Xi — x, y\ — y, ainsi j'écris

il en résulte

Dc-Ti = f'[x) -\- i, il résulte encore dx

dy = dx [ f'{x) -f ô ] I

égalité tout à fait rigoureuse, si petite que soit dx, môme quand on tient compte du concept de l'exactitude au sens empiriste. Peu importe si j'entends par dx un nom])re (jui désigne une longueur, ou si j'y vois directement une longueur. J'imagine toujours le degré tl'exactitude de la mes-jre uniquement soumis à mon bon vouloir, assez grand pour que les oscillations subsistant encore dans la représentation de l'unité, ne puissent avoir d'iniluence visible sur les formules.

De l'égalité I que l'Idéaliste (art. 27) donne sous la l'orme

•^ = f\x) -j- î., se tondant sur sa proposition relative à la

non influence de l'iniiniment petit additif, il tire, en faisant devenir A x et 5 infiniment petits, l'égalité idéaliste

dy =1 f\x)dx dans laquelle d-j' et dy désignent donc des valeurs infiniment petites. Mais cette déduction est encore à compléter par la remarque que, lorsque deux quantités qui se correspondent ont en même temps pour limite zéro, si Tune d'elles parcourt une série de valeurs ayant la limite zéro, comme les quantités \x et 0 de l'Idéaliste ou mes dx et £ de tout à l'heure, toutes deux en môme temps doivent finir par être infiniment petites au sens idéaliste. Car, supposé que l'une devînt infiniment petite et l'autre non, celle-ci, devant alors rester supérieure à une petite valeur finie, ne pourrait avoir la limite zéro. Cette remarque me permet de transformer sans plus d'explications mes égalités en égalités idéalistes.

— llf. -

Il en est de même de la difîérenlielle d'une fonction de deux variables z = f(ûCi , y). On a :

dz = /\x -^ dx,y Ar dy) — f{x, y) = f(x + dx, y + dy) f\x, y + dy) + lf\x, y + dy) - fix, y]

Pour pouvoir appliquer aux différences de droite l'f^galité fondamentale I, il nous faut supposer f|ue les valeurs x, ce -\- d.c: y, y -\- dy Lombenl dans un intervalle pour le(|uel f(x,y)soil orthoïdique à l'égard de x, y étant fixe, et h. l'égard de y, (juand x est fixe.

On obtient alors par rapplicalion de l'égalité I aux deux difFérences :

^^. ^ dfrx,y + dy) ^^^ ^ dji^ ^^ ^ ^^ ^^^. ^ ^^

dx dx

'iy

où il tend vers zéro avec dx, et £i avec dy. Si maintenant le quotient difTérentiel -J- est une fonction continue de y au point x. y (*). on peut poser :

d fx, y 4- dy) d f{x, y)

dx ~ dx ^ '

(*) La condition (jue le quotient difforentiel-X soit continue par rapport

&y o\x -J- par rapport à x, ajoute une nouvelle restriction à la premio'C

et inév table condition d'orthoïdie de z zz. f[x, y) dans la direction des X et des y. L'absence de symétrie de cette condition fait en vérité soupçonner que l'orthoïdie de /'(c, y) a pour conséquence la continuité des quotients différentiels. Ce soupçon cependant ne se justifie pas ; des considérations géométriques, dans lesquelles on ne peut entrer ici plus avant , nous apprennent qu'une fonction continue partout dans le voisinage d'un point x^., yo peut malgré cela donner une valeu) ilnie pour

la différence ^^(''^'"\^° "^ ^^' — ^KI^IlJA, do même si le qu .tient difîe-

axo (f^'o

rentiel est continu pour x©.

Il suit de là que pour dériver la formule d: =:'-^dx-\- ^dy onun point,

cette absence de symétrie par rapport à x et y se comprend très bien. Si.

par exemple, le quotient différentiel t,- est discontinu par raiq>oit à x. il

faut alors nécessairement que l'ordre soit celui du texte. En outre, il

résulte que si la formule doit-ètre valable pour tous les points d'un

domaine les conditions suivantes doivent être remplies : Pour chaque

point /■(.».•,(/) doit être orthoïdi<[ue par rapport à j/. x restant fixe, et par

df df ....

rappoi-t ;» .r. y restant fixe « 7^ • / doivent être oontmius respective-

oïl v, lomho avec dij au-dessous fin loulo limilo. Il en l'i'sulto dz — ^-^ dx -f -jL d]j -\- i^ dx -{- {i: + r,) di/

Si on (Hablit entre les variables dx el di/ une relalion telle (|uc leur rapport reste compiis entre des limiles d('lernnin(''(!S (|ni ne compfMinent pas '/ato, la quantité £| dx -\- (t, -\- -/j) d// diviséf. parc/.vou di/ aura alors pour limite //'■ro en même temps (jue dx el dy.

Ainsi des relations .v ~ f{x), z — f(x, y), — (dans la 2^' X et y doivent être considérées comme indépendantes) — résultent les difTérentielles

dy = r{x)dx -j- z.

Q pi

où j^ > v~:ont pour limite zéro en môme temps qu<; ^/.r, quand

le rapport de dx et dy ne peut ni tendre vers zéro ni dépasser une certaine valeur Unie.

A CCS égalités rigoureuses correspondent les égalités idéalistes

dij =". f''{x)dx

dx dy

ment par rapport à y et à a;. Les conditions suffisent, et on peut, comme je l'ai remarqué, en démontrer la nécessité par des constructions ij;cométri(|ues.

A ce propos, je pourrais faire remarquer (jue dans les traités la formule pour la différentiation do fonctions de plusi -urs fonctions :

df{u, Vy.) df du .df dv

dx du ' dx ~^ dv ' dx >"'

est ordinairement insuffisamment démontrée. On pose, par exemple : dfiihv) ^ ^ .^^^ \f(u -\- du,r-\-do)-f{u,x-+dp)du , nu,v-\-dv]-r[>(,v) dv) dx ' l du dx dv dx)

Quand dx tend vers zéro, duel dv v tendent en ytiéme temps, et la première fraction de droite n"a donc pas la forme qui donne naissance à un quotient difl'érentiel. Pour déduire les formules générales de difiërentiation, on doit partir de la formule rigoureusement démontrée dans

le texte c?c = -4— dx -\- -j-dy -\- un(> correction. Cet exposé de la tliéo-

rio, qui s'écarte un peu de l'usage ordinaire, n'implique aucune ilifficullé. Pour la diirérentiation de fonctions spéciales, il suffit d'avoir établi la différentiation d'une fonction d'une seul" fonction à laquelle il est facile de donner toute la rigueur possible. Les concepts les plus simples do différentiation partielle permettent alors de pa-^ser à la dérivation de la formule générale.

Ici encore est valable la condilion relative au rapport de dx et dy, car, si des quantités dx et r/y l'une est infiniment petite par rapport h. l'autre, le terme mulliplic par elle disparaît simplement — on vertu de la proposition sur les infiniment pelils additifs.

Maintenant, l'analyse ne fait pas usage ou moins ordinairemont des r-galités exactes de forme empiriste^ et il n'en résulte aucune faute de calcul. Comme cela paraît être en faveur de la rectitude de la marche idéaliste, je me sens doublement obligé à montrer et ù e.\pli([uer que les égalités empirisles non exactes q.i'on obtient en négligeant p et pi et qui concordent avec les égalités initiales de l'Idéaliste, doivent conduire à des résultats exacts, de sorte que c'est à la combinaison algébri- ([ue fortuite des égalités exactes que l'Idéaliste doit de pouvoir tirer de ses hypothèses un calcul rigoureux. Bornons-nous aux égalités linéaires par rapport aux différentielles. Soient .Ti, Xi. . . . Xa, — les variables. Quand il s'agira d'une différen-

tialion, on aura entre les différentielles dxi, dx> comme

nous l'avons montré plus haut, une égalité de la forme 2; a,, dXp -)- p rr 0; homogène par rapport aux quantités dx et p, où les rapports des dx varient entre certaines limites fixes qui ne comprennent pas zéro, et le rapport de p à l'un des dx a pour limite zéro avec dx. S'agit-il, par exemple, d'une équation de Pfafî, J'y ajoute une correction p. Qu'on imagine maintenant autant d'équations de ce genre qu'on voudra, entre din'érenlielles. données au sens empiristc avec les corrections correspondantes; que sur ces équations on effectue des calculs algébriques: additions, multiplications, élimination, introduction de nouvelles variables à la place des x, décomposition en facteurs, etc., on ne pourra Jamais obtenir d'autre résultat qu'un nombre quelconque d'équations de nouveau homogènes par rapport aux dx et aux p. Je suppose qu'un pareil système d'équations forme le terme du calcul. Chacune des équations se compose alors de deux parties, une partie indépendante des p, et une qui les contient en facteurs. Si on passe aux ({uotients différentiels, en divisant les équations résultantes par l'un des dx avec l'exposant convenable, chacun des p dans la partie qui les contient est divisé par un dx el comme

dx décroissant indéfiniment les -f- ont zéro pour limite, ^ou^e

la partie qui dépend des p daiif le^ équations qui portent ter les quotients dilférentiels disparaîtra, cxactonml comw; s' nous l'avions laissée de cùtr dans les '•ijuafions primitircs.

Celle simple remarque algébri(iuo dévoile tout le myslèrc. C'est parce qno les équations initiales sont homogènes par rapport aux diHV'renli<'!l<'S e> auxp que les éiiualions finales le

sont aussi. El (iiKintl on passe cnsuilc aux é(|uations, aux ((uolicnls(linV'renlit.;ls,c'esl-?i-flire aux résuU.als réels, les corrections disparaissent. On pourrait donc les laisser de côté dans les éijualions initiales.

Nous nous sommes placés dans le cas le plus sim[)le d'un syslrme d'équalioiis initiales linéaires par rappof'l aux dillV-renlielles. Si, parmi ces équations, il s'en présente p;ir suite d'une double diiïérenliation, Je suppose, (|ui renlermeni des tlifl'i'rences secondes c?- j?i , d- Xi ,. Ces secondes se comportant à la limite comme carrés ou produits des différences premières, on arrive au mémo résultai, toutefois après avoir convenablement opéré sur les corrections correspondantes. Aussi je n'entre pas plus avant dans ces généralisations, dont la marche est facile.

Cette détermination empiriste des bases du calcul diflëronliel doit satisfaire au besoin de rigueur, mais elle ne doit pas nous égarer en nous détournant du sens habituel des symboles, ni enrayer la marche facile du calcul par l'introduction pédante

de corrections. L'Empirislc lui aussi posera ^^ nz /"(r) et

négligera les p dans les éijualions difTércntiellcs, absolument comme l'idt'^aliste. Pourtant, il n'oubliera pas que les corrections sont sous-entendues et que les équations sans elles ne sont que des abréviations, comme par exemple :

on"

•t mis

pour 1 =

Di

= oc

Ce qui e«t encore, aux yeux de l'Empiriste (|ui n'admet pas d'inlinis, une abréviation pour : 1 est la valeur limite dont

-;^, difTère aussi peu qu'on veut (pjand on donne à /i des

valeurs suffisamment grandes.

7. — Conception intermédiaire de la dilTérentielle. — P^ntrc la conception de ridéalisle pour (|ui c/.r est purement et simplement un infiniment petit, aut[uel pourtant il joint l'idée de quelque chose au repos, non variable, — et ma propre conception, suivant laquelle dx est fini et suffisamment petit mais également au repos — il s'en présente une troisième, (mentionnée plus haut) — qui voit dans d.r une quantité évanouissante. C'est alors une quantité qui varie d'une manière durable dans la direction du zéro. Cetleidée d'une (|uantitéqui s'écoule

sans cesse me paraît inacceplable h l'esprit humain. 11 me répugne de regarder des signes comme des f|uantit6s qui attendent pour se mettre en mouvement et accourir vers le zéro que je considère les formules, et (|ui pourtant ne peuvent arriver au zéro qu'à la fin du calcul. Tant que le livre est fermé, il règne un profond repos, dès que Je l'ouvre, commence la course vers le zéro de toutes les quantités munies de d. La représentation de la quantité illimitée est pour moi un peu moins troublante, parce qu'elle ne suppose pas d'état durable dans l'accroissement comme celui qu'on supposait dans la diminution des différentielles ; elle désigne an contraire des quantités qui dépassent de façon à échapper à toute mesure tout ce que fournissent les formules. Seulement je préfère encore donner à mon exposé une forme telle que je n ai jamais besoin q^e de valeurs suffisamment grandes.

De telles représentations, ou mieux de telles prétendues représentanons de quantités qui croissent ou décroissent constamment au-delà de toute quantité finie — (c'est-à-dire audelà du représentable) naissent d'un Idéalisme obscur ou timide. D'ailleurs, je ne m'élève pas contre le mouvement des quantités d'une formule approprié à des buts déterminés. Que de fois, par exemple, il nous arrive de chercher ce qu'il advient des fonctions , qu'elles limites elles ont quand leurs arguments prennent certaines séries de valeurs 1 Nous-mêmes venons de donner comme équations finales du calcul sur des différentielles finies, les équations liant les valeurs limites des quotients des difTérentielles.

Ce sont seulement les quantités marchant sans cesse vers un but déterminé qui me semblent être une concession bien dure dcraandt''e à la fantaisie du lecteur.

8. — Quelques remarques sur les fonctions anortho'ides. — Ce n'est pas l'anorthoïdie en des points isoles (jui est un c u'aclère distinct if de la malhémati(jue moderne, mais bien l'anorthoïdie/^cvmanew/e de certaines fonctions. Elle suppose décidément la conception numérique de l'argument parcequ'elle donne naissance à des difTérences formelles dans les valeurs de l'argument, qui reviennent dans tout intervalle si petit qu'il soit. Par exemple, les nombres rationnels et les irrationnels, les nombres algébriques de différents ordres et les nombrestranscendanis de différentes formations peuvent servir à distinguer les valeurs d'argument. On peut imaginer que si, aux valeurs d'argnmi^nt distinctes, on fait correspondre dune manière convenable des valeurs de fonctions distinctes, il se forme pour la fonction dans le plus petit intervalle ([u'on puisse imaginer des différences de \aleurs cjui ne correspondent plus à rim«ge d'une courbe visible.

La première idée d"unc pareille corrcsponflance est plutôt duo h Lejoune Dirichlel. {*) Il a incidemmenl rocours h une fonction (|ui prenii pour des valeurs rali<jnnflles de l'argument une certaine valeur constante i, et pour les valeurs irrationnelles une aulro valeur d. RiemannC") nous a ensuite enseigné une mélhode pour lormcr des fonctions de c*- genre. Elle consiste à additionner une série de (onctions auxtpielles on donne certaines oscillations ou discontinuités de plus en plus fréquentes. Si on a, par exemple, une suite de fonctii^ns, T»! (-î^). T'2 (■^') . =p3 i^)---, dont la premi0resr/?/7c (***) pour toutes les valeurs entières de l'argument , la deuxième pour les

multiples entiers de g-, le troisième pour les multiples entiers

do -r-, etc., et si on Ibrmcla somme X, -y, 'x}-{- a.^ -^.y (.x)+...,

oîi les X représentent des coefficients numcri([ucs cho'sis de façon à rendre la série convergente, — la somme de celte série représente alors une fonction rjui saute dans tout intervalle si petit qu'il soit.

11 y a trois sortes de fonctions de ce genre qui nous intéressent. Des fonctions généralement discontinues — parmi celles-ci, en particulier, les fonctions intégrables, — et des fonctions continues qui sont généralement anorthoïdiques. — Le plus remarquable exemple sinon le premier en est dû à M. Weiertrass. (****) — Toutes les fonctions de celle espèce ont contrairement aux fonctions ordinaires ceci de commun qu'on ne peut s'en former aucune représentation visible. Les oscillations d'un intervalle, si petit qu'il soit, ne correspondent h aucune image précise au repos. Tout au plus peut-on souhaiter d'y découvrir une propriété anali/fir^xe générale. Mais il ne semble pas que ce soit facile. On pourrait songer à borner la série des nouvelles fonctions àcelles qui ou bien sont géni'ralcment discontinues elles-mêmes, ou bien qui ont un quolientdifférentiel plus ou moins éloigné discontinu Mais, si on songe que,

par exemple, la fonction g~~sin — est orthoïdiqueà l'égard de

tous ses quotients différentiels, et pourtant tend vers zéro avec des oscillations de plus en plus resserrées, on comprend que la délimitation du domaine des fonctions « ordinaires » à l'intérieur du concept général de fonction ne puisse être précise ;

i*) Journal de Crelle, vol. 4. p. 169. ") Gesamraeite math. Werke. 22<S.

*") « Springt ».

("") (( Borchardts Journal ». Tnm. 7'.*. i». 2Î).

qu'au contraire ici, comme il arrive si souvent dans les classifications sysiématiques, au lieu delaligne limite qu'on désire, il y a une zone incommofle de transition.

Tandis qu'avani Leibniz on entendait par fonction une puissance de l'argument, la signiflcalion plus générale du mot (attribuée h Jean Bernouilli) s'est rleveloppée h la suite du calcul difrérenlieI.Ce{)en(lant, c'est Dirichlet et Riemann qui, en signalant la dépendance anorlhoïdique ont les premiers donné au concept de la fonction sa généralité.

36 — Conclusion de l'Emplriste. — .le ne nie pas que les idées hardies de l'Idéaliste et sa théorie, évidemment logique et bien conduite, ne contiennent un excitant à de profondes recherches, plus vif que ma conception si sobre des choses. Je ne conteste pas non plus que les hommes qui ont doté notre science de ses conquêtes les plus importantes aient eu peutêtre pour la plupart des vues idéalistes. Sans remonter à l'épo f[ue de Leibniz et d'Euler, le langage de Riemann par exemple et maints passages des écrits publiés par lui ou de ses œuvres posthumes montrent qu'il était franchement Idéaliste. Mais la science, c'est-à-dire l'ensemble des opinions, des intuitions et théorèmes adoptés peu ù peu par la foule, qui prend part aux recherches on en suit les résultais avec intérêt, qui par le nombre balance peut être la force intellectuelle et gigantesque de quelques initiateurs de génie, enfin dont le jugement est d'autant plus impartial cju'il n'est point dicté par la passion (|ui domine aux premiers rangs du combat, la science, dis-je. transforme toujours h son profit les résultats des recherches les plus diverses et rejette sans pitié tout élément étranger à son essence même. Elle a accueilli avec gratitude les lois de Kepler, mais a laissé de côté sa loi sur les dislances des planètes au soleil. Aussi, je suis convaincu que dans son développement ultérieurelle l'ejettera de la théorie des grandeurs tout cequi est étranger h la représentation etretiendra seulement ce qui raltacheles représenlalionsles unes aux autres. C'est ainsi quedenos jours celte aspiration (|Lii ne fait (|ue devenir plus vive et qui dans les divers domaines de la science tond à la détermination des concepts fondamentaux semble s'être engagée déjà dans une voie essentiellement empiriste. bien qu'elle n'obéisse en cela tout d'abord qu'à des instincts vagues <^t non aux règles d'un système bien réfléchi. Si nous nous(Mi tenons aux sciences malhémati(iues, nous constatons (|ue, par exemple, dans l'analyse la conception empiriste l'a d'q)uis longtemps emporté sur les idées fantasti(|ues (]ui régnaient sur la sommation îles séi'ies divergentes, idées propres à répO([ue de Lribniz et d'Kulcr, dont les derniers vestiges se sont conservés duriint notre siècle et

nmorgenl vh et là h noire pivind ('lonnfnvnl. lui g6omi''lric, on a commencé avec grand succès h ramener fi nos percoplions même le concepl d'espace, ce principe d'ordination très complexe des perceptions et des représentations ([ui pénètre toutes nos pens»''es. Sans doute, je l'ai remarcjué, les opinions relatives à l'inliniment «rrand, à l'infiniment petit, aux irrationnelles, fila dilVérentielIc, etc., se contredisent parfois encore, mais des ((uc l'on aura reconnu (pie le fini sulllt h l'édification des mathématiques, c'en sera t'ait pour toujours de l'infini.

Les mathémaciens seront tous d'accord pour dire : Le suffisamment grand ou le suffisamment petit satisfont aux conditions du problème. Tout homme qui sera à la hauteur de la science n'admettra d'autres ([unntités t/ur des i/uanliiés suffisamment f/randes et suffisamment petites selon les conditions du problème.

L'IDÉALISTE

39. — Conclusion. — En viendra-l-on Ifi ? Mais avant d'opposer le mien au tableau ({uc l'Empiriste fait de l'avenir, j'ai à présenter quelques remarques sur ses fonctions anorthoïdes.

Une fonction à laquelle il est prescrit de prendre une valeur pour les valeurs rationnelles de l'argument, et d'en prendre une autre pour les valeurs irrationnelles est à mes yeux une fonction incomplètement déterminée ou plutôt sa détermination suffisante n'est due qu'à l'existence de l'homme. La condition à laciucUe la fonction est assujettie ne la fait pas correspondre à l'ensemble de toutes les valeurs de l'argument. On ne pourrait pas l'imaginer représentée par une figure idéale, comme une fonction donnée par une loi complf'le. Je considère un intervalle d'argument (0, 1). A une longueur partielle quelconque correspond une valeur de fonction, représentée goomélricpiement par un point. Ce qui est vrai d'une longueur partielle l'est également et au même titre de toutes les longueurs en nombre infini prises dans l'intervalle considéré. Ainsi naît la représentation complète de la fonction complètement déterminée par une loi. Mais ce n'est pas une pareille loi qui distingue les nombres rationnels des irrationnels. Car si grands qu'on prenne les dénominateurs ratioimels, il reste toujours entre les deux espèces de nombres une lacune ([u'on ne peut combler. Ce sont, au contraire, des fondions complètes que ces séries choisies par l'Empiriste (art. 37,8), ([ui représentent des fonctions anorthoïdes ou des fonctions de caractère atiorthoïdc. parce qu'elles

ne font aucune différence entre les valeurs d'argument, pour lesquelles les valeurs de fonction sont à déterminer. Les points en nombre inlini correspondant aux valeurs en nombre infini de l'argument sont l'équivalent géométrique de ces fonctions. Je ne dis pas l'image, parce qu'il y a dans cet équivalent (juclque chose de non représenlable, l'iofinimenl petit. Prenons une loi anorthoïde, une loi cjui, par exemple, donne à la fonction des points singuliers dans tout intervalle si petit qu'il soit, comme cela peut arriver si les maxiaia el minima se présentent à des instants indéfiniment voisins, et demandons-nous, au point de vue idéaliste : Que sera la distance de doux points singuliers voisins? Comme Je l'ai déjà suffisamment montré, il serait faux de pépondre (|u"elle a une petitesse illimitée, car ce mot se rapporte à la représentation que nous nous formons et non pas aux dislances existant réellement en dehors de nous. Les distances des points singuliers sont infinimenl pelitfs.

Ainsi, l'équivalent géométrique des fondions anorthoïdes est, en quelcjue sorte, la réprésentation de l'infiniment petit.

Pour l'Idéaliste conséquent qui, autant que c'est possible, pose comme fondement l'essence des choses supposées indépendante de l'existence de cerveaux humains, ([ui, par suite, termine nettement par l'infini les suites de représentations de l'arbitraire ou de l'illimité dans le grand, le petit, l'exact, etc., la fonction anorthoïde engendre avec une logique inflexible rinliniment petit. Qu'il ne s'en tienne pas là, et qu'il remonte à la véritable origine du concept de l'infiniment petit, il sera aussitôt conduit à la marche suivie dans le système idéaliste où l'infiniment petit naîù déjà de la question sur les différences des longueurs possibles ;iu-dessous d'une longueur donnée. Au contraire l'Empiriste ou celui qui ne se casse pas la lète sur les concepts fondamentaux de l'analyse, n'apprendra par ces fonctions que ceci, c'est fjue le concept de fonction a atteint son dernier degré de développement.

Les Idéalistes s'éteindront-t-ils un Jour ? — Je ne le crains pas. Comme Idéaliste J'ai sûrement une avance sur l'Empiriste. Quand Je tiens mon système pour exact, je n'ai pas besoin, de considérer le sien comme faux. Si l'Empiriste aiguise la différence de nos représentations initiales Jusqu'à l'opposition de « l'exact parfait et de l'ex.ict à volonté )^ Je ne peux que me réjouir de le voir atteindre avec l'exact à volonté, au même point que moi avec mon exact parfait, car, chaque fois (ju'il parvient avec son exactitu(lenp|)rochée à (Hablir les fondements de l'analyse, mon hypollièse initiale de l'exactitude parfaite trouve un ap]uii dans ses résultats. Que l'Empiriste ait en

outre sur certains points plus besoin que moi d'explications fl(!laillécs. pour arriver par sa méthode aux théories fondamentales de l'analyse, je ne veux pas interpréter ce fait en ma faveur. Car c'est d'abord le contraire (jui a lieu (piand il s'agit de posor le problème de la recherche du conce|)t de limite, ({ui conduit au principe général de convergence et de divergence. Ce sont ici les preuves idéalistes (fui sont les plus compliipiées pai'ceqiie prises au fond, elles exigent plus ({ue celles de l'b^mpiriste, h savoir: l'exactitude parfaile. Mais c'est ensuite un phénomène fré(iuent fjue des idées simples en apparence très lumineuses, cpii dans une connaissance superficielle, semblent être le principe ordonnateur de tout un domaine scientifique, se montrent tout-à-fait insuffisantes quand on pénètre plus avant et doivent finalement s'effacer devant une théorie pénible, complexe, mais dès ce moment seulement tout-à-fait satisfaisante.

Pour d'autres raisons, Je ne crois pas au tableau cpje l'Empiriste a fait de l'avenir. 11 exige de la science quel(|ue chose de contradictoire avec sa propre essence. Il serait bien possible qu'au sein de la science se produisit une doctrine (pli fit comme un dogme officiel de la devise favorite de rKrapiriste : « de représenlatiou en repre'seniion seulement ! » comme il y a au sein des religions des théologies prétendues orthodoxes, les théologiens rendant pourtant hommage aux vues les plus différentes. Mais la science, c'esl-à-dire l'ensemble de tous les efforts que fait l'homme poussé par sa soif de connaître, ne rejette que ce qui est manifestement faux. La libre recherche ne s'arrête qu'en présence de la vérité absolument nette, et ne renonce à s'occuper que de problèmes dont il est démontré qu'ils sont dépourvus de sens, comme le perpetuum mobile. Ce qui engendre riiléalismc,le désir ardent de dépasser les limites de ce qui esl aujourd'hui vepréscn\dh\e, ne peut pas être condamné parla science, tant qu'on n'a pas tracé les limites nécessaires des recherches huma-ines.

Ces limites existent-elles, notre besoin d'expansion altcindra-t-il jamais des bornes? A l'égard de la chaîne immense des objets de recherche encore nouveaux, qui se perdent dans le lointain du problème psychique, je pour-rais douter que l'humanité ait le temps de remplir sa tâche, mais non pas qu'elle reste essentiellement fidèle à ses aspirations idéales.

Dans la manière de voir des mathématiciens d'aujourd'hui je ne peux découvrir aucun parti pris, certainement pas en tous cas contre les représentations idéales. Si on peut dire en général que c'était l'instinct critique de l'époque encyclopô-

disle (*) (jui corrigeail los erreurs des temps de Leibniz et d'Eulcr , ces aspirations n'ont pas abouti à une épuration définitive des représentations fondamentales mathématiques. Sans doute, ce qui domine aujourd'hui, provoqué par l'exemple des grands mathématiciens de ce siècle , c'est le besoin de rigueur dans les démonstrations et de fondement solide des théories au goût des mathématiciens ; seulement, on ne voit pas trace d'eft'orts poussés jusqu'à la séparation systématique des hypothèses empiriile et idéaliste. Ce que TEmpiriste pourrait dire dans ce sens, la détermination rlu concept de la différentielle dans quelques nouveaux travaux, n'a été écrit qu'en vue d'une certaine répugnance h l'égard de l'infiniment petit. Au contraire l'infinimenl grand joue en géométrie un l'ôle plus important que jamais. Les nouvelles recherches les plus profondes sur les concepts fondamentaux, commecelui dei'espace, conviennent aussi bien à l'Idéalisme et à l'Empirisme, et celle opposition ne les a provoqués ni influencés.

(') Du moins d'Alembert, le mathématicien de l'Encyclopédie, dans quelcjues pages, dirigées contre le jeune Lagrange, de son opuscule rur la sommation des séries divei'gentes a opposé des vues tout-à-fait modernes à celles d'Euler sur la convergence.