CHAPITRE II

(loiisidrralioiis finales sur ridéalisiUL'ot rKinpirisme <'l sur le coucepl de liuiUe

40. — Rapport de l'opposition de l'Idéaliste et de l'Empiriste à, l'idée qu'on s'est faite jusqu'ici des concepts analytiques fondamentaux. — .le termine là les plaidoyers de l'idi-alisle cL de rEiujiii-isle. Mon but éliiit, en recherchant, l'origine cachée des deux l'ormesde pensée généralement répandues, mnis fré(|uemment mêlées, de pouvoir suivre chacune d'elles et avec soin depuis son origine Jusqu'à ses dernières consé(|uences. (juc le lecleur s'imagine donc sous les figures de l'Idéaliste et do l'Empiriste, telles que J'ai taché de les lui présenter, des hommes raisonnant avec une précision et une logique égales mais surtout ne reculant devant aucune conséquence de leur raisonnement. En réalité, les théories pures prêchées par eux n'ont guère trouvé ni dans le passé ni dans le présent un seul adepte conscient et parfaitement conséquent. Les études qui ne remontaient pas aux perceptions et à la formation élémentaire des concepts, et qui prenaient au contraire pour base, sans aucun examen, le système de concepts commun aux hommes, tel (ju'il s'offre avec son mélange de représentations réelles et verbales, ont fait naître des opinions, des interprétations, des concepts fondamentaux, éclectiques ou mieux accommodés aux circonstances, — mais non pas une théorie. — Dans le cas le plus favorable, des intuitions ial'^rmédiaires se substituaient à l'indécision de Leibniz, sans avoir la précision ni la sûreté de ces systèmes principaux. Je ne pense pas qu'après avoir lu attentivement les pages pr('cédenles personne soit embarrassé pour connaître dans un cas donné la manière de voir soit de l'Idéaliste soit de l'Empiriste. Au contraire, il est impossible de deviner quels seront dans les mêmes circonstances les Jugements du partisan de systènjes intermédiaires.

Ainsi se montre jus(ju'ù ce jour dans les intuitions fondamentales une confusion ([ui rôf^ne et qui régnera toujours tant .{u'un principe ordonnateur d'un domaine de pensée n'est pas découvert. Qu'on doive le chercher dans la double forme de l'intuition du monde, — cela peutn'avoir pas été remarqué, parcequ'ordinairement on ne tient pour exacte qu'une seule manière de voir, et naturellement c'est la sienne. L'un regarde la ligne continue comme formée de points, pour l'autre cela est absurde. Tel ne voudra pas entendre parler de l'infinimenl petit, tel autre le rangera tout de suite parmi ses hypothèses. Un jugement impartial, une volonté sérieuse, pour arriver à une pleine clarté doivent nécessalremeyil conduire à l'opposition des hypothèsesidéaliste et empiriste. Ce seront dansle désordre des opinions accidentelles comme deux drapeaux qui se dresseront pour grouper auprès d'eux tôt ou lard la plupartdes penseurs. Peut-être aussi verra-t-on l'emporter un jour le nombre des indécis ou de ceux qui, par peur d'agiter dépareilles questions, laissent de côté ces problèmes — par une sorte de sacri- (icium intellectus : Mais les inconséquents, qui forment aujourd'hui une immense majorité ne se trouveront plus un jour que parmi les ignorants,

41. — Le mode d'exposition neutre de la théorie des fonctions. — Est-il possible à un ])arti intermédiaire de ne se ranger h aucune des deux intuitions fondamentales, et cjuel sera son langage ? Nous traiterons tout de suite cette question importante. Maintenant (|ue nous avons développé les deux intuitions fondamentales logiciucment possibles, nous aurons à poursuivre ce principe criti(}ue à travers les concepts élémentaires de la théorie des fonctions, aussi loin que cela paraîtra important, en toutcas, au-delà des indications nécessairement brèves de l'Idéaliste et de l'Empiriste. Notre but essentiel est en cela l'exposition exacte ces principes fondamentaux de l'analyse dont quelques syllogismes et résultats seulement sont soumis ;\ la criticpie idéaliste-empiriste. Quel mode d'exposilion allons-nous choisir ànotre tour, maintenant que nous nous proposons de prendre la parole nous-mêmes ? L'abime (jui sépare les intuitions de l'Idéaliste et de l'Empiriste existe réellement. Il est trop profond et trop vaste pour pouvoir être comblé par des concessions réciproques. Les conlre-proposilions sont absolument inconciliables. Or, si on a pénétré par la pensée dans les deux formes d'intuition de façon A s'approprier leurs conclusions respectives, on souhaite de voiries théories fondamentales de l'analyse développées et exposées aussi d'une manière logique ù l'aide des deux intuitions. On pourrait diMiiandcr que le titre de calcul infinitésimal fût accompa-

gnt'' •!♦' ccl .'ivcrlissement. « d'iiprù.s les principes idéalistes ou (>mpirisles » cL s'utlcndrc h ce (|uo I;i suite do col ouvrage en donne un premier exemple.

Nous croyons pouvoir olVrii- ()uel(|uc chose de plus satislaisanl. Les principes généraux, d'après les(]ucls un chapitre de la théorie des l'onclions doit être rédigé h. la manière de l'Idéaliste ou de i'Enipirislc, sont complèlemenL mis au net, el nous aurions maintenant à en montrer l'applicalion dans les cas particuliers.

Il nous faudrait donc nous décider en laveur d'un des deux systèmes et nous efl'orccr de gagner le lecteur pour le système que nous aurions choisi. Mais le fait est que nous nous savons hors d'état d'assurer l.<. victoire îi l'une des intuitions fondamentales ; elles sont à nos yeux également autorisées îi servir de base à la science. Nous aimerions donc mieux, même si nous nous étions décidé pour l'un des deux systèmes, donner à notre exposition, si c'est possible, une forme (|ui contentât ;\ la fois ridéalistf! et l'Empiriste. Il faudrait (railleiu\s qu'elle suffît alors au besoin de rigueur du lecteur qui ne possède le concept de grandeur qu'à son premier degré d'alDstraclion. Mais par quelle espèce d'exposition y parviendrons-nous? A cette c|uestion, il n'y a (lu'une réponse.

Puisqu'un mode d'exposition convenant à la fois aux conceptions idéaliste el empirisle n'est pas possible, il en faut chercher un ([ui ne se compose que de ce qui ne contredit aucune des deux manières de voir. Gela impose à l'exposition neutre les restrictions suivantes :

Doivent être mis hors d'usage tous les concepts qui ne répondent qu'à une des deux intuitions fondamentales. Ainsi d'abord toute la métaphysique idéaliste, l'infîniment grand et l'infiniment petit, et ce c[u'une étude plus profonde nous révèle comme étant une fiction idéaliste. Nous devons, pour éviter les protestations de l'Empiriste ne pas quitter le domaine du repi^ésentable. Nous userons de l'idée erapiriste de l'exact à volonté, comme des fictions idéalistes ; l'exposition neutre la laissera de coté. Au contraire nous appliquerons les concepts tels que grandeur , valeur , longueur , étendue , intervalle , comme ferait l'Idéaliste. L'Empiriste peut être tranquille parce que ces expressions contiennent implicitement la double interprétation.

Je me servirai donc, en me conformant à ces restrictions, du langage purement empiriste {*). Il a l'avantage de n'être jamnis contestable puisqu'il n'emploie pas les expressions

(*) Excepté dans le dernier art. du cliap. \ .

désignant d'autres concepts que ceux qui sont abstraits des perceptions ou qui peuvent s'y ramener. Les périphrases qui doivent se présenter ça et là à la place des désignalions brèves de l'Idéaliste semblent bien donner au langage quelque chose de traînant, mais il pourra être intéressant d'apprendre à connaître une théorie, où l'opposition des deux intuitions fondamentahîs joue un rôle si important, dans un langage débarrassé de tous les idéaux.

Quant à ce qui concerne au contraire le développement logique d'une pareille théorie et de ses démonstrations, il devra être fait à la manière idéaliste, puisque nous n'excluons pas la représentation de grandeur idéaliste, quand nous parlons de valeurs. Il faudra, en efîet.des preuves donnantsatisfaction à l'Idéaliste qui croit h lexact absolu, suftisanl à fortiori à l'Empiriste qui ne parle dans les rapports de grandeur que d'un exact à volonté.

Ainsi donc : langage empiriste, preuves idéalistes.

42. — Vue d'ensemble sur la suite de notre étude. — Celte devise entre en vigueur dans le dernier article de ce chapitre, qui traite des limites des suites de quantités discontinues, et dans les trois chapitres suivants sur l'argument, la fonction, et la marche finale des fonctions. Dans la détermination de son concept d'argument, l'Empiriste s'est déjà heurté à une difliculté qu'il a. en vérité, facilement aplanie. En pénétrant dans la nature de l'argument, l'esprit neutre voit avec clarté que précisément ici le dualisme des deux intuitions a une efficacité énorme s'étendant à des questions scientifiques qui jusqu'ici ne faisaient pas soupçonner des considérations remontant aussi loin. Naturellement l'opposition de l'argument de l'Idéaliste et de l'Empiriste domine aussi le concept de fonction dont nous pouvons maintenant seulement épuiser le contenu. Chemin faisant nous ne passerons pas sous silence ce qui se trouvera sur notre route des principes fondamentaux essentiels de la théorie générale des fonctions. La « marche finale des fonctions » poui" les valeurs indéfiniment croissantes de l'argument sera enfin soumise aune analyse scrupuleuse. A la théorie fie cette marche finale appartient le principe général de convergence et de divergence, el en le discutant nous mettrons la dernière main au concept de limite.

Si nous jetons un regard sur le chemin parcouru cl sur celui qu'il nous reste à parcourir, nous voyons que notre objet essentiel a été jusqu'à présent le concept de grandeur, pour la délimitation précise ducjuel nous ^vons considéré la limite de

la rraclioii décimale comino cas simple du concept de limite ; désormais le concci)t de limite lui-même viendra au premier pian. Avec les derniers articles de ce chapitre et les chapitres suivants dont nous venons d'es(|uisser rapidement le conlcnn, nous mettons le pied sur le sol mathr'mati(|ue.

Il reste donc encore une lacune à combler dans celte (Hude sur les premiers concepts de hi pensée exacte. Comme nous l'avons fait pour le concept de grandeur, il faut aussi que |)ar rapport au concept de limite nous tâchions de remonter à son origine et de lixer son contenu naturel. L'étude de l'origine problable d'un si puissant domaine de pensée, de son étape naïve et de son étape scientilic|ue, de sa Paléogénêse, comme on pouri'ait dire d'un mot, présente un grand charme. Mais ce qui nous remplit d'une profonde satisfaction, c'est la netteté et la transparence qu'ac(|uiei't le concept , lorsque par le concours des perceptions dont il dérive, il nait pour ainsi dire sous nos yeux.