Premier degré de développement du concept de limite

— La PaléogiMièse du cunce[)t de limite est semblable (mi général ii celle du concept de grandeur; cependant elle a son individualité et ce n'est qu'au terme supérieur de son dévcîloppement que les deux concepts se rejoignent. Voici en résumé comment nous avons fait naître le concept de grandeur.

Nous avons commencé par distinguer le concept de grandeur linéaire comme fondement de la comparaison exacte et des combinaisons mathématiques. Ce concept de grandeur linéaire lui-même ofîre au premier coup d'œil deux degrés d'abstraction : tout d'abord, c'est la représentation de grandeur naïve, puis il s'en forme une, aflinée par la science de la mesure, ets'adaptanl aux lins d'une comparaison savante.

Seulement s'il suffit dans la plupart des recherches sur les concepts d'avoir décrit ces deux degrés de développement qui sont sans doute à distinguer pour tous les concepts fondamentaux devenus utiles à la science, le concept de grandeur apprend qu'il ne faut pas s'en tenir là. Il s'y joint, en elTet, une certaintsuite fermée de représentations, qui y est liée d'une façon inséparable, ce qui fait que l'étude de ce concept nous fait remonter aux premières perceptions et à notre processus intellectuel. Il s'agit de la réunion non pas d'un certain nombre de (]uantités en une seule, mais d'un ensemble illimité de quantités de plus en plus petites, également en une seule, — qui donne ce qu'on appelle la limite, — bref c'est le concept délimite, ou au moins c'en est une partie.

Pour compléter le concept de grandeur au sens du concept de limite, et réunir les deux formes de pensée en une seule

rigoureuse, il faut faire alleindre h l'abslracLion un troisième degré, celui qui appartieni à la théorie de la connaissance. — C'est ce qui a eu lieu dans le dé'bat de l'Idéaliste et de l'Empiriste. Mais, du môme coup, la métaphysique du concept de limite est (H'idemment épuisée, ou mieux, par l'étude psychologique du concept de limite, ([ui saute par-dessus les premières étapes de ce concept, Texamcn du concept de grandeur se trouve terminé. En tous cas, nous pouvons regarder comme atteint par le concept de limite le degré où il appartient à la théorie de la connaissance, de sorte qu'il ne nous reste plus qu'à. Jeter un regard en arrière sur son origine.

Ainsi donc, comme pour le concept de grandeur nous distinguerons dans le développement d'une forme d'intuition aussi générale qu'est le cqncept délimite, un degré primitif et un degré scientifique. La composition de ce concept est quelque chose de lrès-remar(juable.

G est d'abord clairement un ensemble d'abstractions tirées du monde extérieur et du monde intérieur (ou psychi(|ue) des phénomènes. La limite est le terme conforme à l'expc-rience d'un phénomène dont la variation progressive n'a p.is de terme dans l'expression sensible ni dans la suite des représentations ({u'cngeudre cette impression. L'obscurité de la nuit qui croit pendant assez longtemps est la limite de la clarté évanouissante du jour, celle-ci inversement est la limite de l'obscurité (jui s'en va L'arrêt final d'un pendule, le tarissement d'une source ; d'un autre côté, le grossissement maximum fies eaux, la furie extrême de la tempête, le jour le plus long, la nuit la plus longue de l'année, bref la tin de toute variation à peine sensible qui semble se continuer sans fin et à perte de vue dans la représentation qu'elle suscite, mais ([ui pourtant d'après l'expérience finit par cesser complètement ou par atteindre son maximum, — voilà des exemples du processus de l'idée de limite, dont il est question,

Ainsi donc, par ces pciceptions élémentaires un phéii imène psychique et un phénomène variable s'unissent réellement en une intuition.

Cette suite d'idées esl pleinement mise en lumière [lar le fameux so[)hisme de la philoso[»hie grecque, dont toulela force ri'îside dans la séparation des deux phénomènes.

Je veux parler du raisonnement de Zenon suivant, lequel un objet qui possède un mouvement uniforme ne peut parcourir une étendue: la flèche qu'on a lancée ne peut, j)ar exemple, atteindre la cible. (*)

(*) Le raisoniuMiivint de Zéiion toi qu'il e<t ^>-éiK'r;ilomont conue se rattache à la course (ju'il fait faire à .\ohille et à la tortue. L)aus le

La flèche d(^coch6c doit pjircourir successivomont la moiliù, les trois (|uarls. les sopt huitiômos, etc. — de la distance (|Lii si^'pare le tireui' de la cible. Si nombreuses ([ue soient les poiiiotis de cette dislance qu'elle a déjî'i franchies; elle en a toujours un nombre illimili^ dcvant-elle ; mais puis(|u'elle doit le3 avoir parcourues toutes pour atteindre le but, elle ne peut évidemment Jamais l'atteindre.

Ce sophisme peut-être réfuté de deux manières : Un peut dire que le temps nécessaire pour parcourir les l'raction'^

d'étendue y, q diminue dans le même rapport (jue ces

fractions; (}ue, par suite, le nombre illimité de points de

divisions ~p„ -sera parcouru dans un temps fini. — Ou bien

encore on objecte avec plus de Justesse que le partage du

•'"—1 chemin en portions de la forme ^ ^„ est une opération arbitraire et que la flèche en réalité parcourt l'un après l'autre les quatre quarts ou les huit huitièmes, etc.. de son chemin, mettant d'ailleurs des temps égaux à parcourir les fractions égales. De ces points aussi peu éloignés qu'on veut les uns des autres le sophisme tire sans aucun fondement réel une série particulière.

De telles objections sont bien contradictoires avec la conclusion du sophisme, mais elle ne l'éclaircissent pas, elle ne découvrent pas la faute du raisonnement. Cette faute se cache plus profondément.

Le paradoxe dit bien ([ue la flèche dovant parcourir en

réalité les points ô- i' y ' ' ' etc.. indéfiniment, occupe toujours

dans notre représentation la même situation en tant qu'elle a encore devant elle un nombre illimité de points à parcourir. Dans ce fait rien ne peut Jamais changer. Or, tout-à-coup, la flèche sort de cette suite de représentations, et, absolument sans transition, est fixée h là cible.

C'est donc là qu'est le point faible, le paradoxe, c'est dans l'opposition que présentent d'une part une suite de représentations, qui par sa nature est illimitée, et par conséquent non

probiémo de la flèche, Zénou traite un autre point. Bien que ceci ne soir pas essentiel pour nous, observons que ces raisonnements ne sont pas à l'origine donnés pour des sopliismes, mais servent d'appui à la jjhilosophie de Zenon. ( c<jniparer Zellor — La philosophie des grecs l, les Eléates, traduit par Ruutroux ).

seLilcment n'oxigc pas de terme mais n'en possède Aucun — et d'autre part, le fait, matériel qui met fin à celle suite de représentations.

Celte combinaison de roprésentulions, dont la séparation prend la forme d'un sophisme, se fond par l'habitude en une seule forme (Vinluilion, sur laquelle on ne réfléchit pas, et qui appartient au système de réprésentations de mots, telle que limite, fin, terme etc. .., absolument comme l'infini, l'e.Kacl, l'invariable de forme et d'autres représentations de limite, qui désifiiiont des limites, non nécessairement existantes dans .'e monde extérieur, de purs phénomènes de pensée, mais à l'existence descjuelles nous concluons, parceque le monde des phénomènes réels nous a habiluiîs aux limites.

Mais, .jus({u'ici, il n'a été question qu'en partie du concept primitif de limite. Il vient s'y ajouter quelque chose. Nous connaissons aussi l'accroissement sans fin, la variation sans Icrmo. Le mouvement en cercle peut n'être jamais arrêté, l'alternance des saisons et la succession des étoiles semblent éternelles. Ainsi il nous faut encore admettre dans celle forme d'intuition ]ii nature des variations (j>i,i comporte ou qui o^ige une limite.

On ne s'attache pas à trouver dans l'intuition de tous les hommes des déterminations exactes de cette nature de variation. Pourtant le sentiment distingue des phénomènes tels que l'accroissement du temps de ceux où un certain maximum est atteint — comme la croissance d'un arbre: Est modfis in rébus, sunt certi denique fines. On pourra donc regarder comme appartenant aussi au système de représentations de l'homme primit'f, — ({uoicfue sous une forme moins précise, — ce l)rincipe que une quantité qui ne fait (jue croître ou décroître tend vers une limite, si elle ne varie pas au-dclfi de toutes limites Le concept primitif de limite a donc en général le contenu (|ue voici : Des phénomènes sans nombre consistent dans des variations que nous ne sommes pas en état de poursuivre jus(|u'à leur (in, ni par la perception des sens, ni par la pensée ; et pourtant ils ont une limite. Comment elle est atteinte, noire représentation ne saurait le dire. — IV.mir'^s pii.'nomènes, au contraire, n'ont pas de terme.

Kl deuxièmement: il y a dans la nature de la variation dc^i, conditions ([ui eiilrainent la nécessité de la limite pour le phe-

lioiiièiu'.

\i(i concept dt; limite se décomposa donc on doux parties essentielles : l'exisleiire île l;i limiln, puis la nature des eonditions sniis lesiiueiles uno varialimi a une limil<*.

44. — Le concept scientifique de limite. — Ln concept f[iii est ainsi une ahstraclion primiLive lirOe aussi bien des perceptions internes i(ue du inonde exti'Tieur, va nous amener aux représentations engendrées absolument par le processus de la pensée, et ainsi naîtra le concept scienlificiue de limite. Il se rapporte taïUùt à des limites de suites de valeurs individuelles, comme c'était le cas le [jIus fréquent dans la niatliéinalique des anciens, — (par exemple, dans les f|ucslions de la circonlerence du cercle considérée comme limite de périmètres de polygones, et dans les quadratures d'Archiméde) ; tantôt la limite e«-t le terme de suites de valem\s continues, comme dans la question de la tangente, — limite de la sécante, et des nombreuses limites du calcul diflërentisl qui est sorti du problème de la tangente. Mais dans la théorie abstraite des grandeurs l'existence de la limite est toujours tirée simplement et sans discussion du concept primitif de limite. Ce qui est l'objet d'un problème scienlitique, c'est seulement la nature des suites de ([uantités, ({ui comportant une limite, et il s'agit là de règles pratiques, du critérium de convergence des opérations infinies sous des hypothèses très restreintes, et non pas d'un principe général embrassant toutes les suites de quantités possibles.

En désignant par suites asymptotifiues celles ([ui ont une valeur asymptotique, c'est- ?i-dire une limite, et sans excepter le cas où la suite oscille autour de sa valeur asymptotique — nous pourrons déterminer comme il suit le contenu naturel du concept arientifique de limite.

Il comprend l'idée de limite dans le sens oii l'entendaient l'Idéaliste et l'Empiriste, c'est-à-dire les preuves qu'ont fournies les deux intuitions fondamentales pour l'existence de la limite de suites asymplotiques aussi simples que possible, et en outre les conditions nécessaires pour qu'une suite donnéi^ soit asymptotique.

Ainsi compris le concept de limite n'était jusciu'ici pas encore h l'ordre du Jour dans le problème (jue la mathéinalique moderne s'est posé, et qui a pour objet d'assurer ses propres fondements : et ce n'était pas seulement la démonstration de l'existence de la limite qui n'y figurait pas, il en était de môme du théorème décisif sur le caractère asymplotif|ue d'une suite que J'ai appelée principe r/éncral de converqencc et de divergence On y avait si peu réfléchi (pie, en 1871, j'ai été obligé pour une démonstration d'éclaircir un cas particulier du principe (à savoir ((ue une série ?*i-|-î*2+ • • converge

si l'ensemble de Cauchy k^ -\- '/.„ .;. i -}- -\-Ua tend toujours

vers zéro, m et n croissant indéfiniment.) (*)

(*) Mon programme «l'entrée à IT'niver.sjté de Friijourg, p. 2.

Le conccpi scienlifîque de limite est donc compltjli'' au sens que nous avons indiqué par la démonstration que donne le chapitre Vdu principe général de convergence et de divergence. Nous bornerions là ces considérations générales sans le souvenir de (luekiues difficultés qui ont une fois enrayé notre m;ii-che,el dont je vais faire mention pour finir, —pour qu'elles achèvent de donner une idée exacte de ces rechercher sur les concepts.

45. — Des limites de suitos discontinues et continues. — Ayant reconnu ((ue la limite ne possède pas l'évidence d'une perception directe, j'e ne négligeai aucun moyen accessible pour en démontrer l'existence. C'eût été vraisemblempnt une découverte merveilleuse. Tout efTort cependant fut vain, il ne me restait de cette première partie de mes recherches que les deux démonstrations de l'Idéaliste (arl. 21) avec leur réfutation.— J'en déduisis tjue l'impossibilité de démontrer la limite pouvait seule donner le problème delà théorie critique de la connaissance , correspondant au 3'' degré d'abstraction du concept de grandeur.

A la vérité ce problème ne résultait pas encore exclusivement de rimpossilîililé delà démonstration de la limite. .le crus d'abord devoir chercher un passage à la limite d'une ciîrtaiue naliit'c loutc simple, d'où les autres limites puissent se déduire ()îir combinaison. Et ma recherche s'est trouvée arrêtée par cotio opinion que la formation de la limite est un concept distinct suivant qu'elle procède de suites discontinues ou continues, de sorte que pour chacun des deux cas il faut trouver la forme simple fondamentale. Tout au plus la limite des suitos discontinues serait à considérer comme impli(iuéc dans celles des suites continues. Pour cette raison beaucoup (le preuves (]ui s'oll'raient h moi pour l'existence de la limite des suites continues, sous l'hypothèse de la limiledela fraction décimale, provoquèrent ma profonde méfiance. Mais alors. Je \i< colle observation : Si Je voulais, sous l'hypothèse de la limite d'une certaine succession continue, démontrer les théorèmes généraux, hîs démonstrations implifjueraient inévitablement, sous une forme ([uelconque, la suite de cjuanlités discontinues. Celle ci était toujours là. Je m'ai^pliquai fin;ilement à considérer cette apparition comme une propriété de noire pensée, qui non seulement, comme on le sait, résout la continuité dans une variation s'effectuanl par sauls ('), mais

(') D;uis los poiccptioiis do la viio, le inoiivcmiMit sacoadr do la priinollo ([iii s'olisoi'V(> dans la coiitoiiiplation d'un ohjot ôtendii est un siirno twtôiiiMir de reflo ]ir<)|ir;(''tt'' do la ponsôo, niontionnoo dan<j lo toxfo. I.e.-*

oncoro fait naîtro la liniilp dos ph(!noin(''nos conlinns do point (le repos disconlinus de la |)cnsc''e ailciilivo. Gela csl incontostablcinonlcii faveur d'une vérilablc unilormiiédcs représcnlalions sans lin. Car la limite, eomme longueur d(Herniin(^e, ne peut être (jue la rcprcsenlation finale, de même nature que les précêt lentes, d'une suite. i\c longueurs également déterminées, .l'ai dit (Introduction)([ue. une Ibis disparue toute obscurité sur la limite tic la fraction décimale, la voie serait ouverte et l'analyse serait maîtresse chez elle. Cola signilie maintenant : le théorème sur l'oxislcnce d'une suite particulière discontinue, la fraction décimale, par exemple, rloit suflire pour (ju'on en fléduiso à l'aide de la raath(Mnatique ordinaire les principaux théorèmes sur la fonction en général et le principe général de convergence et de divergence. D'après la remarque précédente cela ne peut pas nous étonner, etles chapitres suivants en donnent la preuve. Mais, comme ainsi la limite des suites discontinues demeurait seule indémontrable, je me trouvai placé directement en présence du troisième degré du concept de limite, celui qui appartient à la théorie de la conn;iissance. Le problème réduit à la limite de la fraction décimale devait donc faire naître cette question : Si les (iuantil(!'s ilisconlinues qui doivent avoir une limite en restent éiernellcmont distinctes, comment peuvent-elles déterminer cette limite? Quel rjippoi't doit-on se représenter outre /rurs valeurs isolées et leur limite. Un ne peut s'en représenter aucun, et on tombe ainsi sur cette solution (|ue, ou bien elles finissent par se mêler avec la limite on une représentation unicpic^ (intuition empiriste); ou bien leur différence cesse d'appartenir au domaine de repiésentations de l'homme (intuition idt'alisle), ce qui résout le problème défînilivomenl.

La suite des idées ((uej'ai tracée convient aux applications, parcequ'elle a pour résultat un mode de démons! ration uniforme pour les limites, qu'il s'agisse de variation continue ou de suite de valeurs discontinues. Les démonstrations se ramèneront dans tous les cas à la formation de la limite de valeurs

autres sens nous effront quelque chose de semblable. Dans le .son variable de la sirène,je distins^ue toujours des sons qui restent les mêmes un certain temps et qui, selon toute vraisemblance, se fixent dans notre cerveau pendant quelcjnes instants, nous empêchant alor.s d(; saisir la variation de son. Notre attention qui se réveille subitement et la fati.ffue de notre attention qui se repi'oduit péi'iodi(juement font dominer pendant un certain temps les impressions remues et doiuient ainsi naissance à la discontinuité de la perception. Cette discontinuité est peut-être la cause physiologique de notre penchant à résoudi'e le continu en variations brusques.

discontinues, cl de suilcs aussi simples qufi possible, com'ne le sont, les IV.acLions décimales. Ainsi prend naissance une méthode de démonstration permettant de fréquentes applications ([ue Je nomme consiructiims numériques. Nous allons, dans l'article suivant, ap[)uyer ce qui précède par des exemplse, après avoir résume- les résultats numériques de notre étude antérieure.

46. — Comparaison des limites des suites de valeurs discontinues. — 1. A l'égard do la limite de la fraction décimale, le résultat de l'étude précédente est le suivant :

Si on pose

Xn =r 0, 0C| -/., ... 3C„ , Xp m 0, 1, 2. . . .i) il existe toujours une quantité x de telle nature que x — x„- , pour des valeurs suffisamment grandes de n, reste au-dessous d'une valeur choisie aussi petite fju'on veut.

Nous écrivons :

xz=: lifn„^^{^^, y-] 'J-i . . .x„ ) = 0. x, x., ... et l'on a

.f — J",, i=r 0, 0 . . . x^,.;.ia^,^2 • . . < 10—^' .si tous les y., à partir de %,, .■. i, ne sont pas des 9 : — on aurait :

si tous les chiffres étaient des 0.

Nous pouvons imaginer la lim. x h la. manière de l'Idéaliste ou de l'Empiriste, sans (jue cela ait aucune influence sur la marche et les résultats de nos recherches analytiques. Aussi laisserons-nous de côté cette différence, excepté là ou il est précisémentquestion d'elle. Il faut ensuite remarquer que si dans les applications ù" ce théorèmeon faitintervenir tôt ou tard une loi déterminant la suite des x, cette hypothèse n'est nullement nécessaire pour la validité générale des preuves fondées sur l'existence de la limite de la fraction décimale. Pour l'Empiriste cela tient à ce qu'il suffit ([ue les x puissent être donnés indéfiniment, i)our que la détermination de la limite soit aussi exacte que l'on veut. Pour l'idéalisle, cela tient h ce que si réellement la suite des x était sans loi Jusqu'à l'intini,'' sa limite existerait tout de même au sens idéaliste.

La question relative à l'essence du nombre irrationnel et à son rapport au nombre rationnel pourrait être également résolue par ce théorème. Pour résumer la marche de nos idées, autant qu'elle a trait à la reprt»sentation dos f|uantités irrationnelles, rappelons que le nombre, c'est-à-dire le nombre r.dionnel, est aux parties correspondantes de l'étendue unité (prise jtour type des quantités lini'';iiros) ce ([uo le mot est à un

concopl ou h une l'cpréson talion. Mais il on est aussi fie inèiue des irrationnelles qu'on tloil tenir pour éfjuivalentes }\ la ibrmule d'après laquelle se lait leur dévf^lopperaent. Or donc, h cette Ibrmule aussi correspond une longueur linaite, comme au nombre une fraction rationnelle de l'unité.

L'iri'ationnelle est ainsi comme le nombre rationnel une ([uantité mathématique linéaire, et la difCérencc entre les deu.x consiste en ce que le nombre irrationnel est une longueur limite de nombres rationnels, de sorte ([u'il y a entre eux un passage h la limite. Seulement cela n'entraîne pas une did'érence essentielle. Car notre représentation de longueurs rationnelles et irrationnelles est de même naiure, — aussi bien pour l'Idéaliste (juc pour l'Empiriste. Ce sont des morceaux tjuelcon([ues d'une quantité mathématique linéaire. Hien ne les distingue donc, que leur détermination numérifjue. c'est-à-dire leur origine accidentelle. Je dis accidentelh;, parceque des déterminations de ce genre devraient faire paraître des espèces innombrables de longueurs irrationnelles comme différant de nature autant (jue difl'èrent les longueurs rationnelles des irrationnelles. Ainsi des longueurs peuvent être rationnelles ou irrationnelles par rapport à des longueurs données comme irrationnelles, elles peuvent être, par exemple, des longueurs limites d'une suite de longueurs irrationnelles, et ainsi de suite. L'unique difl'ércnce réellement essentielle, qu'on puisse imaginer dans ladétermination numéri- (pie d'une grandeur, concerne l'absence de loi ou la conformité à une loi pour les suites des nombres. Les suites sans loi, quand on les accepte comme possibles avec l'Idéaliste, sont en vérité franchement irrationnelles, seulement elles ne constituent qu'un cas limite du concept de l'irralionnalité. Nous aurons souvent afîairc dans cet ouvrage aux difTérents modes de détermination numérique des irrationnelles mais le concept de nombre me semble complètement mis au net par ce qui précède, et nous ne nous en occuperons plus.

IL — ,]'ai montré dans l'article précédent ([ue le concept de limite se rattache par sa nature aux suites de nombres, c'està-dire aux suites de quantités discontinues, c'est pourquoi non-seulement toute limite, comme c'est facile à montrer, peut s'exprimer comme limite de suites de nombres, mais encore la démonstration des limites hypothéti([ues de phénomènes continus dans les théorèmes élémentaires de la théorie des fonctions, se fait toujours vraisemblablement par la conslruct ion nniuériqiw, comme y n\ nommé ceitt' méthode. Si nous possédons une espèce de suites de'nombres, dont on puisse prouver ffu'elle s'approche de toute limite possilile.la démons-

tratinn spéciale do l'exislcnce des limites devra poivoir se l'aire en ramenanl les suites de valeurs qui doivent posséder une limite aux suites de nombres de l'espèce considérée. Notre tâche sera donc tout d'abord de rechercher, parmi toutes les espèces de suites de ce genre, celle qui est aussi intuitive, aussi familière que possible. Par l'établissement d'une pareille espèce de suites fournissant toute limite, nous serons ramonés en réalité h la forme la plus simple et présentant le plus petit nombre de cas particuliers, à laquelle l'axiome idéaliste sur l'existence des limites puisse se rattacher.

11 s'offre à nous tout d'abord la suite la plus générale de fractions rationnelles non décroissantes, h dénominateurs croissants.

ni ' n-i '

ou

«1 < W| , -2 <W2 , etc., »| < /?2 < .... ^ <^ — <[

C'est une suite d'étendues ne variant que pour croître et toujours intérieures à l'unité, ijui, d'après leur mode de formation, à partir d'une valeur suffisamment grande n,„ ne peuvent augmenter que de quantités dont la petitesse est choisie à notre gré. Cette sorte d'accroissement est, en vérité, assez aisée h. montrer, nnais elle ne saute pourtant pas aux yeux sans explication, de sorte que la suite susdite doit céder le p.is à d'iiutrcs plus simples encore.

Si les dénominateurs ni , n^ , forment une série géométrique tr'llo que l'unité soit divisée en tj, parties, chacune de ces parties le soit ensuite en ni parties et ainsi de suite, il existe une série très nette de nombres, dans laquelle la venue de la limite atteint le plus haut degré d'évidence intuitive.

D'abord toute longueur (ou limite) peut être regardée comme limite d'une pareille suite. Posons w, i= oc et supposons donnée la longueur L <( 1 ; il existe alors un nombre

entier x, < x tel qu'on ait — <^ L <( -!-^t — , Il v a ensuite un

nombre entier x, < x, tel que %• K L —— < ^' T etc. . - \ ^ x- =- X ^ X-

jusqu'à?^ <L-(^+"^-f...+ ïf ) < 5Vi^. La dilTé-

rencn L — ( :iL -| ?^ l . . . 4. ï/i. \ ;i ,|,,n(; l.i limite zé'ro. Cela \ X X- ' x'' /

saule surtout au yeux si on .-uiî ce raisonnemcnl sur une ligure. Ainsi donc si une opération f(\) a une limite // < 1. celle-ci

doit aussi pouvoir iHrc rogardtle coiunif /////( — -|--|- -\-...-\-'^ \

Il s'jigiL encore de savoij(|uel est le choix le plus convenable (|u'il lauL laii'e d-îs a. Supposons x:=i2; nous obtenons alors la suite de nombres la plus sonimaire. A l'égard de son image géom6tri(iue, (jue peut-il y avoir de plus simple que de diviser sans cesse par 2? Les (juantités x, , x, ,••■ ne pouvant être que 0 ou 1 sont les plus petites possible, de sorte ([ue l'axiome appli(iut' }\ la Corme

se rapportera aussi au pkis petit nombre possible de séries. Ce sont là incontestablement de grands avantages du système de numération dyadicfuc — qui tenait tant à cœur à Leibniz, et on s'en servira toujours volontiers dans les leçons au tableau {i cause de sa simplicité intuitive. Mais, dans une exposition écrite, il pourrait être plus convenable de prendre xzr 10, c'est- ?i-dire d'appliquer, comme nous l'avons fait Jusqu'ici, le système décimal, ((ui éveille en nous des représentations arithmétiques bien plus familières que le système dyadique.

m. - Pour terminer, donnons comme exemple de construction numérique la preuve de la limite d'une suite discontinue de quantités ne variant que dans le sens de l'accroissement, mais n'augmentant pas indéliniment ; c'est un des cas les [ilus importants et le plus souveni utilisés dans les démonstrations de la théorie des fonctions. Soit donc :

ces quantités x devant rester intérieures à une valeur déterminée, sans être Jamais toutes égales — à partir de quelque rang (|ue ce soit.

Soit d'abord Xo -|- 1 le plus -petit nombre entier que ne dépassent pas les quantités x^ , œ-, ;.... Elles doivent alors finir par dépasser oc,, ; désignons par ^„ le premier des x^, qui remplit la condition

3Co < ;„ < ^0 < 1 tous les a;,, )> ;„ satisfont de même à cette inégalité.

Soit ensuite a, -|- 1, où xi < a, le plus petit nombre de

fractions - de l'unité, qui n'est pas dépassé par les quantités

de la suite x^ — xq , x-i — acg ,... Ces différences, qui d'après la première hypothèse finissent par être positives, devront finir

par dépasser — . D»^signons par ;i — x,j la première de ces difTérences qui remplil la condition

- >,. -:'o <— ornons écrivons, en nous conformant aux règles ordinaires de numération écrite,

Tous les Xj, > Il satisferont de même à celle inégalité. Soit en troisième lieu x^ -(- 1, où x-2 < x, le plus pelit nom-

bre de fractions — de — ' c'csi-à-dire de fractions -?- de

l'unité, qui n'est pas dépassé par les quantités JCi — Xoi *i • x-i-^a, xi. . . Ces quantités, (jui d'après la deuxième hypothèse

finissent par être pasilives, finiront aussi par dépasser-f-.

Désignons par ço — Xo, oci la première de ces différences qui remplit la condition :

'jCo . >. X. + 1

.i < ;■' — 3Co ai < -^-!—

ou a, Xi X2, < ;» < Xo. X, Xj + 1

Tous les aY > ;.> satisferont de même h ces inégalités et ainsi fie suite....

.le remarque que la preuve empiriste se trouve par ]h

achevée. Car la suite desxo.Xo. xi.x^^ Xi x^ - ayant une

limite aussi exacte qu'on veut, (qu'on peut, par exemple, supposer atteinte par Xo X, X, ...Xp) les a; ne dépasseront pas

de-— la limite de la fraction x„ x, x„ Mais — - (luand p

augmente, peut-être rendu aussi petit qu'on veut ; donc les oc ont pour l'Empiriste une limite, qui ne peut dépasser d'une étendue donnée avec autant d'exactitude tju'on veut la limite

de la fraction Xo , x, x^ ; les .r et les x„ x, x, etc. ont

donc la même limite.

L'Idéaliste a besoin de formuler plus exactement l'égalité des limites, de manière ii montrer leur différence comme infiniment petite.

La suite illimitée de quantités Jt'i, x, ^ . . . donne une détermination uni(}ue pour une suite de no.mbres également illimitée X(, x, Xj . . .

soit X =1 Xo , X, xo ... in inf.

Nous avons trouvé que pour toute valeur arbitraire de ji il existe un nombre r minimum pour lequel on ait

- ii:i -

!Xo , xi x-, ... x^, < ^c, < Xo , a, a. .. x^ .i.1, (/z=r,r +1,. . . ou bien en diminuanl le côlé gauche ol augmentant le droit, tel (lue A - — < 0-, < A + -

qu'on fasse croître ;> indédniiiient, r croît aussi et par suite q, au delà de toute limite, et la dilTérence A — cr,^, (jui est

inférieure à — tombe au-dessous de toute borne, ou devient

pour 1 Idéaliste lu/rnnnent petiti'.

Par suit(>,

lim Xj, =: 3c„, a, x, . . . . z= X

Dans toutes les constructions numéricjues la preuve cmpiriste peut de celte façon être considérée comme complète, plus tôt (jue la preuve idéaliste, et il sul'lira de l'avoir montré une fois.

Le développcmenl de la fraction ilécimale at,,. a, x, . . . est ce que nous entendons par construction numérique de la limite lim ccj, = X. La proposition établie ci-dessus est un cas particulier de la suivante, h laquelle elle sert de fondemmit. Si deux suites Xi , :-%2 , ..• et j/t , y-i •■■ son! de telle nature que leurs différences x^, — y,, restent au-dessous d'une petitesse arbitrairement choisie, quand p et q ont dépassé une valeur suHisamment grande, chacune des deux suites a une limite, et les deux limites sont les mêmes. Cette proposition est de nouveau comprise dans la quatrième du o'""^ article, chap. V ; inutile donc d'en donner une démonstration particulière.

Ainsi armés, entions dans l'étude des concepts tondamenlaux analytiques plus restreints, de l'argument et île la fonction.