CHAP1TR1<] ITI

r'arijiiniont

47. — Remarques préliminaires et vue générale. — Pour l'Empirisle oLTIfléalisIc, nno, valenr particulière ilc l'argament est une longueur qui va d'un point initial (ixc à un poini final arbitraire, longueur qui peut toujours s'exprimer en fonction de l'unité de longueur, à Tnide d'un nombre au sens génér;il, c'est-à-dire à l'aide d'un nombre rationnel ou de la limite d'un pareil nombre. C'est pourquoi, au seuil de la théorie des fonctions, nous nous réservons la liberté d'imaginer l'argument suivant le besoin du moment, ou à volonté, soit comme extrémité de longueur, c'est-fi-dire comme un point définissant une dislance, soit comme un nombre, c'est-à-dire comme un raj)port numérique à une unité de longueur.

Ijicn que la représentation géométrique forme le sens primitif de l'argument, les opérations de l'analvse ont essentiellement affaire à sa détermination numérique, et on n'a pas besoin d'avoii' toujours présente sa représentation première. La représentation de nombre se substitue à celle de longueur, comme son signe, de même (jue dans la pensée le mol nous épargne de faire renaître des représentations réelles. processus que J'ai décrit en détail dans l'article 18. Si nous pouvons suivant notre naturel nous passer plus ou moins de la représentation de quantité, et entendre par argument une succession de déterminations numérifjues, il n'en est pas moins vrai que la représentation géométrique fondamentale ne sajrait être complètement mise de colé. Elle domine même le langage. Nous parlons d'une certaine étendue, sur laquelle sont distribuées les valeurs d'argument comi-ne points; Nous partageons les étendues en étendues partielles; nous const misons .sur les points de ces étendues des valeurs de fonction, etc.

Voilà pour la valeur d'argument isolée.

De mémo là où il s'ugil de la reprcisentaliun .simullanéo d'uno inullilude de vfil(3urs d'argument, isolt^cs, les conceptions de rid(''alislo ol de rEmpirisLe no diflërcnl pas csscntii;llomenl. Tous les deux se la représentent gi''onn(''lriquement comme une série de points isolés, aussi dense qu'on voudra, voire mémo indélinimont dense; car la limite im[)osée par l'Kmpiriste à ce rossorrement peut être rocuh^o à volonté par ral"lln<jment de la représentation. Une ditrércnce profonde au contraire règne entre leurs manières ircntondre l'ensemble de toutes les valeurs d'argument, (lui sont possibli;s entre deux points, \a panfachie complète, comme nous le nommerons tout-ii-l'heure.

L'étude des groupements possibles des valeurs d'argument sur TiHcndue d'argument, de leur resserrement croissant, enfin de l'ensemble de suites fie valeurs et de ses rapports à des ensembles de points plus pauvres : voila les éléments essentiels de la théorie de l'argument à laquelle M. Cantor a incontestablement rendu de très grands services.

Mes travaux sur la théorie générale des fonctions, c'est-àdire sur des problèmes concernant l'intégralité et le domaine de validité des formules de représentation, m'ont fait découvrir depuis longtemps des voies absolument analogues aux siennes. Pourtant je ne me suis occupé (|ue de la distribution des points sur l'étendue d'argument et des méthodes d'exposition des nombres irrationnels, tandis cfue le concept de dénombrement Joint à la théorie de la puissance relative des divers ensembles de points appartient en propre à M. Cantor. (')

Je compte dans la suite de cet ouvrage revenir sur la théorie de l'argument et sur de nouvelles méthodes d'engendrer les irrationnelles dont il se compose, sans plus m'occuper de l'opposition des systèmes idéaliste et empiriste. Ici, après avoir développé le concept exact du partage de l'étendue d'argument, j'exposerai d'abord la théorie de la répartition des points telle ([u'elle s'est présentée à moi, et avec mes propres expressions (art. 10. Sqq.) (*" ) et j'ajouterai la partie

(*) Sur une propriété de l'ensemljle de toute»; les valeur.s algébriques réelles — Voir Borch, Journ. tom 77. — Contribution à la théorie des ensembles Borch, .Journ. tom 84. — Acta Math., t. 2.

(") Je m'estime d'autant plus fondé à présenter cette théorie telle qu'elle s'est offerte à moi d'elle-même, amenée par les besoins de la théorie des fonctions, que j'ai dijà publié ça et là quelques fra^-ments isolés et que j'ai communique par lettre à M. Cantor la nécessité de la disposition générale de l'article 49, plus d'un an avant sa publication. (Leipz. Ann. X^') je considère comme ma propriété, avec la triple division qui en résulte, le concept général de pantachic des points et des étendues, qui n'est pas né de la .spéculation, mais au contraire, s'adapte spécialement à la théorie des fonctions, et en résulte avec nécessité.

qui s'y rapporte — de la théorie du dénombrement et de la puissance relative des ensembles. Tout cela encore, sans me placer au point de vue essentiel de l'opposition des deux intuitions fondamentales. La dernière parlie du chapitre a ensuite pour objet la séparation de la théorie en ses parties essentielles d'origine idéaliste et d'origine empiriste.

48. — Partage de l'étendue d'argument. — Qu'une valeur d'argument particutière signifie donc une longueur avec le |)oint pour signe, ou bien un nombre, l'argument, considéré comme l'ensemble de toutes les valeurs qu'il représente, ne doit pas être identifié sans reslriclion h une longueur arbitraire. Entre étendue d'argument et longueur il y a une différence {\u\ forme une partie essentielle du concept d'argument. Celte différence apparaît lors du partage de l'étendue d'argument.

Une valeur particulière .r, peut partager les valeurs d'argument de l'inlervalle (0,1) des trois manières suivantes :

0< X < x^ et Ji^j < r < 1 0< a: < cc^ et ix^^ < x <i 0<x < a;, et .r, < x <i

Ainsi donc, étant données deu.x formules dont l'une soit variable dans la première parlie de l'intervalle (0,1 ., l'autre dans la deuxième, elles ne sont complètes que si l'on indique on outre aucjuel des trois cas elles s'appli(|uent et, dans le troisième cas, ce qui arrive pour le point isolé jc,.

Bien que ces trois cas du partage de l'argumenl saccortlent avec la conception habituelle d'un terme d'une limitation en tant (ju'elles reviennent à l'inclusif et à l'exclusif ordinaire, ils cachent cependant une difficulté spéciale, (jui se réduit bien linalement à une question de définition, mais qu'il es! très utile d'avoir expressément aplanie. Cette difficulté prend naissance quand on considère ces trois modes de partage comme im procédé pour décomposer en parties l'étendue unité. Voici simplement ce qu'ils signifient: Des deux parties de l'étendue unité ou bien l'une ne possède pas de terme, du moins pas de terme rcprésenlable. palpable, ou bien, il eu est de même de la deuxième partie, ou bien enfin aucune des deux n'a de terme, en ce sens que le point qui devait le former est retranché des lieux parties. Cela ne répond pas à notre représentation habibituelle de parties dans huiuelle les parties nous apparaissent fie même nature que le tout, et n'en différent qu'en grandeur. Nous devons donc nous demander : Coinment n'imaginc-t-on ji.is [dutùl l'éteuLlue iinilt'' part.tgée en étendues?

0^07^ a;,» x^ <.vS. 1. ;ui lieu "If pri'inli-r des (''tt'iidiic.s

avec une liQiile non rcprôscnUiblc ? Il {"auL répondre à cela que ce l'ail se pfoduit dans un partage réel. 8i on imagine les quantités linéaires réellement rlécomposées, on donne naissance fi des parties de même nature que le tout, comme c'est leur caractère, et ces parties, au cas où r(''tendue unité est robjet partagé, seraient en effet délimitées d'après l'inflicalion précédente.

Xotrt^ procéilé de partage donné précédemment no s'applii|uait p;is à la longueur en soi, mais à la longueur en tant qu'argumenl, à Irlmidur d'argument. Nous identilions bien une valeur d'argument isolée avec une longueur, tnais uni' l'teitdtte d'argument désigne une suite de valeurs ordonnées atiiran/ leur grandeur, de telle façon (junne quantité numerif/nenient déterminer ne puisse se présenter t/u'une fois, comme dans la série des nombres entiers cliaque nombre ne se présente (|u"une fois. C'est cet élément essentiel du concept d'argument qui fournit avec nécessité ces partages sans lerme représenlable. Le sens net et clair est donc le suivant ;

Le symbole

désigne à gauche toutes longueurs plus petites (]ue Xi, portées sur l'étendue unité à partir de zéro, et, en outi'O, la longueur Xi elle-même ; à droite, toutes les élendues supérieures fi Xi, portées à partir de zéro. Le symbole :

désigne à gauche toutes les étendues plus petites que Xi ; h droite l'étendue Xi et les étendues supérieures. Enlin

désigne à gauche les étendues inlérieures à ./;, : au milieu, Xi ; et fi droite, les étendues supérieures à Xi .

Le mode d'intuition empirisle, suivant lecfuel les longueurs sont formées de points, fournil une image claire de ces sortes d'e.virémilés des suites de valeurs d'argument.

Si nous n'ajoutons aucune détermination paniculière, on devra dans ce qui suit considérer une étendue ou un intervalle de l'argument comme impliquant les extrémités, et nous désignerons en général par {a. h)

49. — La première et la plus générale distinction entre les systèmes de points. — La réparlilion des points dans un intervalle— nous supposerons toujours l'intervalle (0,1 — peut avant tout être de deux sortes :

D'abord la détermination h laquelle est soumise une espèce de points peut être telle que toute portion de l'intervalle si petite qu'elle soit, contienne des points de cette espèce. Nous nommons une telle distribution de points pantachk/ue, de T.v.j7y.yr, -xvzxyoZ. Nous nommerons aussi pour abréger une distribution de points panlachiques — une pantacJae.

D'autre part la répétition des points peut 'Hre de telle nature que dans aucune portion de l'intervallf, si petite qu'elle soit, elle ne soit pantachique. Celte distribution do points devra s'di^\)(i\ox apanUicliique ou une npantaehie.

Ce sont là deux classes générales de distributions de points dont nous allons nous occuper sur le champ. Observons pourtant tout du suite qu'elles n'épuisent pas toutes les distributions de points possibles ; des répartitions de points peuvent n'être ni pantachiqucs ni apantachiques, et ne pas se laisser décomposer en un nombre fini d'étendues patanchiqucs et apantachiques (voir plus loin la note, art. 51).

Un exemple simple et particulièrement instructif de systèmes de points pantachiqucs est donné par les déterminations de points dyadiques ou dé(;adiqucs. Choisissons, pour que l'exemple soit plus intuitif, les points dyadiques, dont la déQnition est :

2 ■" 2-' '•••12^ où chacun des a peut être zéro ou un, et où n peut croître autant qu'on veut. Cette définition de Z est pantachique, parceque, étant donné un intervalle si petit qu'il soit n'importe où sur l'étendue unité, les x et les n peuvent toujours être déterminés de manière qu'un point Z tombe dans cet iî.iervalle. Si on tire ensuite de la définition dyadique la suivante :

où chacun des x peut-être zéro ou un, cette définilioa désigne alors l'ensemble de toutes les valeurs possib'es entre zéro et un — puisque, (art. 46) — avec des suites de valeurs de la

forme -^ ,^ +.^- ..... on approche autant qu'on veut de toute

valeur comprise entre zéro et un. Si on veut regarder cet ensemble de toutes les valeurs possibles comme un système de poinis sur l'étendue unité, il est alors naturellement pantachi(|uc /-xt' ii/j/r-j.

Quant aux systèmos apanUichi(|ue.s, on en trouvera plus loin de nombreux exemples. Nous allons dès maintenant discuter les deux espèces principales de systèmes, en commentant par les systèmes pantachiques.

50. — Répartition dos systèmes de points pantacliiques. — Les deux p;inlnchies de l'arlicle précédant (|u'a Ibiirnies la dédnilioii dyadi(|uo établissent une distinction importante entre les systèmes de points pantachiques ou mieux entre les ensembles de valeurs pantachiques.

Soit donnée une délinition Z (|ui fournisse un nombre Uni aussi grand qu'on veut de poinis et suposons que ces points, (|uand on en augmente le nombre en rlisposant convenablement des (piantités arbitraires de la détinition, finissent par se présenter dans tout intervalle si petit (|u'il soit. Je nommerai ce système de points une panlachie illimitée. L'ensemble limite des pantachies illimitées — c'est-à-dire l'ensemble de tous les points possibles, Je le nommerai ^janfac^/e complète.

Entre ces deux classes extrêmes de systèmes pantachi({ues, il y a des panlochies sans nombre formant les classes intermédiaires, et auxquelles nous donnerons un nom, — parce (|U*elles interviennent dans la suite de la théorie. Je désignerai d'un mènae nom toutes les pantachies qui ne sont pas illimitées, ce seront les pantac/n'es infinies. La /jantachie complète est également d'après cela une pantachie infinie. On en obtient encore, si on retran(;he de la pantachie complète les nombres rationnels, par exemple, ou les nombres dyadicjues ou les nombres décadiques, ou n'importe quelles pantachies illimitées ou apantachios en nombre aussi grand qu'on voudra. De cette façon on obtient des pantachies qui ne sont pas simplement illimitées, parce que, comme on le verra èi propos du concept de dénombrement, une pareille soustraction d'un nombre quelconque d'apantachies ou do pantachies illimitées ne réduira jamais la pantachie complète à l'état de pantachie illimitée. Qu'il existe encore des pantachies infinies d'une autre provenance, nous n'en savons rien Jusqu'ici. L'expression: « pantachie infinie n est emprunl('?e à l'intuition idéaliste. L'Empiriste pourra la tolérer comme un simple mot.

5L — Les systèmes de points apanticliiques. — Passant aux systèmes apantachi([U(\>, puisons dans leur riche variétés les exemples les plus simples et les plus clairs.

Nous placerons en tète le système de points isolas, que nous nommerons aussi pour abréger systèmes isolés, entendant par h\ un système de points ennoml)re fini aussi dense qu'on veut, mais déterminé, de sorte qu'on ne peut pas comme pour les

panlachies illimitées, resserrer les points autant qu'on veut on disposant do paramptres. Ainsi à la formule :

correspond un système isolé, si on met à la place des x toutes les combinaisons de zéro et de un.

Le syslcmo plus complexe qui vient immédiatement après prend naissance quand nous imiginons un système de points isolés ({ui dans le voisinage d'un point déterminé finissent par se resserrer de plus on plus et indé'liniment comme les

points -7- ,-y~ -^ —-, -;^ 4- -T -4- •,-77,... sc rcssorront indclmi- ' 4 4 H .1 8 15

ment on approchant du [joint — . Un exemple de pareils points

de convergence, (*) à l'intérieur d'un système d'ailleursisolé, est

fourni par les racines de .s//? — =: 0 autour du pointa':=: 0. De

\o\s points de convergence du premier ordre peuvent se présenter dans un intervalle aussi souvent (ju'on veut, comme

cela a lieu pour les racines de siti —. rr 0, fruand a est pris

^ stn a X ' '

sultisamment granrl.

Puis les points de convergence peuvent converger euxmêmes vers un cerlai-n point, comme la séparation des racines

de s)n - — r m 0 autour da ccttz 0 en donne un exemple. De

stn T '

tels points de convergence de deuxième ordre se présentent à leur tour innombrables dans un inlcrvulle. comme le montrent

les zt'M'os do s/'it —.- 1

■sùi a x' De cet le façon on arrive d'une manière générale aux points de convergence d'ordre, n. cornuK! le jioinl a- rr 0 pour les zéros de sin. 1