SIX

où le signe 5//? revient n fois.

(*] ^'('l•(li(•lllullL;'s]lllll(•tl•.

De la formation .synth('lir|Lio (|ui pr(jc(Vlo dos poinls de r.onvorgoncn fin n""" d'ordre n'-sidle que, si on exclut tous les points de convergence d'ordre n par des étendues aussi petites ([u'on voudra qui lescontiennenl,il ne reste phn que des points de convergence d'ordre n — 1, et si on continue it exclure ainsi les points de convergence en passant toujours d'un ordre à un ordre moins 6lev6 d'une unité, il ne restera plus qu'un système isolé. — Cette exclusion des [loinls de convergence h l'aide d'étendues suClisamment petites , peut , commue on le voit aisément avoir toujours lieu de telle manière que la somme do toutes les étendues destinées à cette suppression se trouve moindre qu'une étendue donnée si petite qu'elle soit. Nous pouvons nommer de pareils systèmes a systèmes isolés après suppression des points de convergence Jusqu'à l'ordre n-"'')).

Il est important fie remarquer que de ces points de couver- ' gence de points on tire également des points de convergence d'étendues. Entre un premier point quelconriue et un voisin ^ droite, par e.Kemple, une étendue est marquée; entre le troisième et le quatrième à droite, et entre le deuxième et le troisième à gauche deux étendues sont raarcjuées, etc ... Il se forme ainsi un système de convergence d'étendues d'ordre arbitraire, (*) ((u'on peut couvrir d'ailleurs de systèmes de points (iuelconf[ues. Imaginons, par exemple, le système des étendues convergeant autour du point de convergence des

zéros de t^in - , et sur r.ne première (Hendue quelconcpie un

système de points avec un point de convergence du 1'"' ordre. Sur l'étendue voisine, dans la direction ilu point j7=zo, imaginons un système de points avec un point de convergence du 2mo ordre, etc. . . ; l'ordre des points de convergence croît aude-là de toute limite quand on s'approche du point x ^z o. Le point X ^ o est, d'après cela, point de convergence d'ordre indéliniment élevé. Comparé au priicédent, ce système de points se comporte ainsi : Nous pouvons également en excluant des points par des étendues, dont la somme reste inférieure à une limite si petite qu'elle soit, le réduire h un système isolé. Car, dès que par une étendue aussi petite qu'on veut nous avons exclu le point zéro, le système de points qui reste des deux côt's ne contient que des points de convergence d'ordre fini. La difTérence entre ce système et ceux qui ont des points de convergence d'ordre n est que si nous avons exclu le point zéro, l'ordre le plus élevé des systèmes de points

') Yoi'dichtiinii'ssystom l)oli(>hit;o;- Orilnuiig Von Strcciver.

restants dépend de la longueur de l'étendue qui exclut le point zéro. (')

11 est clair- qu'avec quelque imagination on peut trouver des combinaisons de ce genre en quantité. Je vais encore m'arrèter h l'une d'elles, parceque son principe de formation s'écarte du préc(''dent et donne naissance h un système ne se laissant pas réduire à un système isolé rjar e.xclusion de points de convergence et possédant une propriété importante, qui m'a conduit à le construire.

Dans l'étendue (0, Ijje barre une étendue quelconque (a, fi) qui ne contient aucun des deux pomts 0, 1. De l'étendue originaire (0, 1) deux parties restent libres : (0, x) et (3, 1). Je procède avec celles-ci comme avec (0, 1) Je barre dans (0, a) une étendue (y, o) plus petite que (0, x) et qui laisse libre les extrémités 0, et x et, sous les mêmes conditions, je barre dans (fi, 1) l'étendue {t, ^). De l'étendue primitive il reste alors de libres les étendues : (0, y). (^, '^). (f*» s), (s. 1.- Dans ces 4 étendues j'en barre 4 plus petites, et ainsi de suite indéfiniment. Les extrémités des étendues successivement barrées forment le système de points que j'ai en vue, et les étendues forment un système d'étendues différent de celui qui a été décrit plus haut.

Ce système a une propriété importante : Les étendues libres de points peuvent donner une ^omnae^ égale à l'unité ou moindre que l'unilé. En effet, x^ -\- (yS + s!;) + peuvent

avoir la limite 1, si, par exemple, aS rz 75, yo rz £^ =z ^. etc.

I)ans d'autres cas. la limite est < L II en résulte que, si on décrit de petites étendues autour des extrémités des étendues successives xp, yo et s^, elc, (|ui contiennent l'ensemble des points du système et forment une somme aussi petite qu'en veut, cjuand celle somme diminue la différence entre elle et l'étendue unité n'a pas nécessairement 1 pour limite, mais au contraire peut avoir pour limite une valeur quelconque < 1. Et celle circonstance est intéressante dans la théorie de l'intégrale.

En efl'et, en dehors d»\s apantachies mentionnées, qui sont tontes des constructions servant à l'examen ou A la généralisation de théorèmes, ou bien construites pour elles-mêmes, l'analyse fournit directement des systèmes de points, ijui

(") l'ar la ri"|iartition des étendues nous pouvons mêler les .^systèmes de points de la manière la plus variée ; par exemple, pautachies avec apantachies en tant (pie les premières sont portées .sur des étendues à

des |)oints de convergence.

coiirliiisenl à de certains résultais; tel est particulièrement, (Mîlui (jue Je nomme système de points intégrublc. Ce système prend naissance, comme on va le voir, dans le concept dé l'intégrale. iSi une Ibnction subit des variations brusques ([ui tombent sur des pantachics de son argument, elle a une intégrale (lélrrniinée lûrsquo tous les sauts de ce genre, (pii dépassent une (|uanlité supposée aussi petite qu'on veut, l'orment un système intégrable. J'entrerai plus avant dans ces questions à pi'opos de ma théorie de l'intégrabilité. La condition d'intégrabililé d'un système lYs'i'nonce ainsi : Partageons l'intervalle (0, l)en les étendues Ai -{- \, -|-...-|- A„. A chaque étendue A sauf ime n'appartient ([u'une de ses extrémités, une seule renferme deux extrémités. Désignons par A'i. AS. . . . A',„ celles des étendues A (pii contiennent les pointas de N et posons A', -j- A'o -f- .... + A'„, =z D. Diminuons les étendues A de telle manière que la plus grande d'entre elles n'ait pas de limite inlérieure. Si alors une limite supérieure peiû être assignée à cette étendue maximum, assez petite pour que D garde une limite supérieure fixée d'avance aussi petite qu'on veut, le système est intégrable. De cette définition résulte sans démonstration une proposition f[ui la complète, à savoir: Si le système lY est intégrable pour une hypothèse particulière quelconque, compatible avec nos conditions, faite sur les A, il l'est pour toute autre hypothèse sur les A également compatible avec nos conditions.

Des indications que j"ai données dans mes descriptions précédentes de systèmes apantachiques relativement à la somme des étendues qui éliminent certains de leurs points, résulte que ce sont ordinairement des systèmes intégraHes. Quand on étudie les systèmes h points de convergence d'ordre fini ou indéfiniment élevé, et qu'on les reconnaît tous intégrables, on peut soupçonner l'équivalence des deux concepts de système apantachi(iue et de système intégrable, car les systèmes panlachiques sont toujours non intégrables. Le dernier système apantachiciue que j'ai décrit nous apprend maintenant que l'apanlachie est le concept le plus vaste, car le système n'est intégrable que si ^ 8 -f (y o -\- t ^) -\- ... = 1, et il" n'est pantachique dans aucun intervalle si petit qu'il soit. 11 est encore h remaniuer que le système ne possède pas de points isolés.

52. — Des propriétés générales des ensembles illimités. Le concept de dénombrement. - La théorie de l'argument a surtout pour objet des ensembles illiaiités de valeurs ([argument particulières, comme les nombres rationnels. Il paraît donc utile d'introduire dans cette multiplicité avec M. Gantor quelques concepts oj-donnateurs, et permettant de mesurer

]iour ainsi flirc, des ensembles illimit<'S,en les comparant à un ensemble particulier. J'ai en vue le concopl du dénombrement d'un enseml)le el celui de la puissance relative de deux ensembles.

Le concept de dénombrement d'une fjuantité illimitée d'objets est une extension de la méthode de numération. Le dénombrement d'une quantité finie d'objets consiste dans ce principe (ju'on les range en une série en les taisant correspondre respectivement aux nombres 1, 2, 3, ... delà suite illimitée des nombres. Le nombre qui correspond au dernier objet de la suite est le nombre des objets. Etant donné une quantité illimitée d'objets ou d'éléments, si on les fait correspondre aux nombres 1, 2, 3... de telle façon qu'on ne puisse assigner parmi eux aucun élément qui ne corresponde à un nombre de la suite 1, 2, 3..., cette ([uantité d'éléments est dite dénombrable bien qu'elle soit illimitée et ne soit représentée par aucun nombre.

Naturellement toute série simplement illimitée de quantités Oi , a-z , a.i ,... est dans ce sens dénombrable. Mais encore une suite double :

a,„„ — m =z 1, 2, 3, . . . w r= 1, 2, 3, . . , l'est également. On prend tout d'abord les éléments dans lesquels m < 10, n < 10, et on les fait correspondre à la suite des nombres entiers de 1 ;\ 100. Puis on prend les éléments où m j< 100. H < 100, on laisse de côté ceux qui ont déjà été pris, et on fait correspondre les autres à la suite des nombres de 101 fi 10,000 etc. De même en général toute suite complexe : n vi.j =r 1, 2, 3,. . .

i/ii ))h, . . . m„ , est dénombrable. On commence |)ar ordonner les IC" éléments où les m^, < 10, puis les 100'* — 10'' éléments où les m,, ne flépasseni pas 100, sans répéter les premiers, etc.

Ces exemples expliquent le concept de dénombrement dans le sens général — 11 ne s'agit ici que de coordination, car les (''l(';aient s de l'ensemble peu von ta voir une signification arbitraire. Nous appliquerons encore le concept à une forme très générale de détermination d'analyse arithmétiriue, puis aux apantachies de l'article 51.

Qu'on imagine la détermination de nombres (|uo voici :

ou chacun des Wj. de même ()ue >t peuvent être [tris arbitrai

reiucnt dans une suite limitée ou illimitée de nombres entiers.

et où '^, |)Our des valeurs (JDnni'es aux m cl aux /> pt'ul repri>-

senior non soulemonl un nombre, m'iis. p,if exemple, une ([u;inlit('î de nQml)rcs di'penrl.ml flr )i. C!<! symbole désigne bien des ospè(3i;s de noml)i'os. Il impiii|ue la suite de (lu.'inlilés eom[)lexes déjà consiilérée :

ini m.> m,, Plus il comprend les p;inl;ichics de lous 1rs ni)ml)res i-.'ilionnels :

où les nombres nrabiques:

Ilcomprend en outre principalemoni l;i panlachie de tous les <»nmbres algébriques, quand Z représente les racines réelles de ré(iuation.

0 =: m„ -f- 'w,,., ^ + m„.'i z- + . . . + m„ z" et d'innombrables autres espèces de nombres.

Toutes ces espèces de nombres sont dénombrables. (Ju'on range d'abord en une série tous les nombres

.^ = Jp {m„ 7711, l'/T-i. '>ii,i. ")

dans lesquels la valeur positive d'aucun des nombres ??/„?//,. . . . 77}„^,7i, ne dépasse pas 10, puis, en exceptant ceux-ci, tous les nombres pour lesquels les modules de ??i„. wî,, ;w„, w, ne sont pas plus grands que 100, cle. On obtient ainsi une suite dans laquelle chaque nombre particulier de la forme Z n'intervient (pi'une Ibis.

Evidemment tout ensemble illimité de points est dénombrable, si dans son accroissement il reste toujours fiiii. Nous avons deux images sous les yeux : la formule qui permet d'augmenter indéfiniment le nombre des points et l'ensemble des points lui-même parvenu h un élal (|uelconque , mais toujours déteriuiné. A cet état , nous rangeons les points isolés en une suite quelconque el les faisons correspondre à la sérit; 1, 2, .3... N. Maintenant, imaginons l'ensemble de points augmenté autant qu'on veut d'après sa formule. Faisons correspondre les nouveaux points à la suite iV" + 1,... .A'i. etc.

Un ensemble de points croissant de cette façon est donc sans doute dénombrable. Envisageons à cet égard les apantachies de l'article 51. Elles ]»cuvent n'être dénombrables que

si Ifiur accroissement fini n'est pas interrompu par la formation de limites de suites de points. Qu'il s'agisse, par exemple, d'un poinl de oonveryence de deuxième ordre, c'est-à-dire d'un point p, dont, s'approchent, indéfiniment des points p , lesquels euxmêmes sont des points de convergence — mais de points isolés p" . On pourrait au peint de vue idéaliste concevoir ainsi ces ensembles: On commencerait par faire entrer la suite complète des; ;? ", ([ni converge vers un point p' — et on la répéterait successivement dans la suite complète des /)'; des suites infinies seraient ajoutées les unes aux autres, et l'ensemble ainsi formé ne pourrait évidemment pas être disposé en série.

Toutefois cette conception d'ensemble de points n'est admissible que pour l'Idéaliste. Veut-on laisser de côté leslimites de l'Idéaliste, la suite de points illimitée qui entoure le point de convergence de deuxième ordre peut-être définie de différentes manières. L'ensemble //'qui est entre deux points ;/ a une grandeur illimitée, et do même l'ensemble p' qui converge vers^j. On a ainsi dans les intervalles des points 7/ un nombre fini m de points 7)' et m nombres finis n de points p'' , et on fait croître m et n indéfiniment. Ceci peut naturellement se produire de plusieurs manières. Les nombres m et n peuvent croître, par exemple, alternativement ou simultanément. Mais toujours cet accroissement pourra être dirigé de telle manière que de l'ensemble de points, considéré géométriquement, aucun ne soit oublié, mais qu'au contraire la suite de points croissant avec m et n finisse par contenir chacun des points du système de points de convergence du deuxième ordre, et ce système devient alors dénombrable.

C'est ainsi que sont construits tous les ensembles à définition géométrique de l'article précédent. Il est inutile de le montrer ici ; bien plus la possibilité pour eux d'être dénombrés est évidemment liée à leur origine géométrique, puisque la suilc croissante n'est jamais interrompue par un passage à la limite. Si on se demande quelle est, pour l'Idéaliste, la limite de ces apantachies, on trouve une analogie remar(|uable avec le « conlinuuni des nonilires ^'> expression de M. Ganlor) ou lapantachie complète considérée comme limite des panlachies illimitées. Car do. même que le conlinuum des nombres renferme toujours des valeurs pantachicjues qui ne se trouvent pas (voir Tarticlc suivant) dans les pantachies illimitées, dont il est conçu comme la limite dans un cas donné — et cela parccque les pantachies illimitées sont dénombrables — de même les limites idéalistes de (|uel([ues apantachies géométrique? do l'article pri''cédont renferment des points (|ui n'appartiennent pas ù l'apanlachie illimitée. Par exemple, rensemble de points qui se resserre près d'un jinint de ciuivergence de premier

ordre iic rcnlcrme pas ce poini. L'ensemble caracLérisé par un point de convergence de deuxième ordre ne conlicnt ni les points ;?' ni le |)oint p.

U'ailleurs, celle circonstance n'a pas d'influence sur la possihilitil du dénomb-emenl. Car on n'a pas besoin d'ajouter ces jKjinls limites à l'apantachie illimiiée. Si pourtant on le fait, conimeilssonteux-mêmes dénombraljjos, il est laciledc les faire entrer dans l'apanlachic de telle munière (pi'elle reslo di-nombi-ables.

53. — De la puissance relative des ensembles. — J^^c concept de puissance relative des ensembles est (Mroitement lié à celui du dénombrement.

Définition. — Si deux enscmbbî.'Ç (inis ou non Unis il/ et N peuvent sans ambiguilé et complèlemcnt se correspondre l'un à l'anlre, élémenl à élément, ils on! une puissance égale.

Par portion d'un ensemble M, on devra comprendre tout autre ensemble M' dont les éléments sont aussi des éléments de M. Si deux ensembles.)/ et A' ne soni pas d'égale puissance, ou bien M et une portion de N, ou bien iVet une portion de M auront même puissance. Dans le premier cas, nous dirons que la puissance de M est plus petite, dans le second cas, plus grande que celle de iV/'*).

La puissance plus grande ou plus petite peut encore se définir ainsi : La correspondance de M h N' élément à élément esl-clle impossible, et quand on fait correspondre n'importe comment les éléments de Mli ceux de iVreste-t-il, par e.\emple, dans l'ensemble X, des éléments tels qu'il n'y correspond aucun élément de M, la puissance de il/est tilors dite plus petite que celle de N. D'après cela deux ensembles finis ne sont d'égale puissance (jue si le nombre des points est le même. Des ensembles finis sont de puissance moindre que des ensembles dénombrables intinis. Des ensembles dénombrables infinis sont entre eux d'égale puissance.

La plus importante proposition sur ce sujet s'énonce ainsi : Des ensembles dénombrables sont toujours de puissance moindre que le Continuum des nombres ou la pantachie complète. (**) Je veux donner à cette proposition, en vue de ({uestions h étudier plus tard, le sens suivant :

(') Borcli-Journ, tome 84, p. 242 G. Cantor, et Acta Mathematica tome 2, Une contiibiition à la théorie des enseinbles.

{*') G. Caiitor sur une propriété de l'ensemble de toutes les valeurs algébri(iues réelles — Borcli. Jouru. tome 77, page 260 — et sur les ensembles infinis linéaires — Leipz. Ann. 15, ]>. h — Voir également Acta Mathematica, tom. 2.

L ensemble <le toutes les vaiears possibles ne peut se mettre sous la jnrvie d'une série simple : mais toute série de valeurs détermine elle-même dans tout intervalle, quel qu'il soit (a, b ) des valeurs qui ne lui appartiennent pas. M. Canlor montre cela de la manière suivante : Supposons la suite de quantités dénombrables ordonnée en une série oij ,w, ... et considérons une étendue d'argument {a,b). Soient maintenant «i et bt , où «1 <^ bi , les premières quantités de la suite des i» qui tombent à Vintérieur de l'intervalle (a, b). Envisageons t'i présent l'intervalle (a, b^ j. et désignons par fa-, J)i ),a.2 < b' bi , les deu.K premiers nombres de la suite des w, qui tombent dans Tinlervalle ( Ui bi ) etc. On donne ainsi naissance h deux séries tburnies par la suite des w : «i a^ , ... .et b, b-, ... On a a, < a, < ... el bi > A. :> ... Des intervalles [a, b), (ai bi )..., chacun renferme tous ceux qui suivent.

La série des intervalles (a, b)^ ( «, ,//, )... ou bien (init par s'arrêter, ou bien est illimitée. Dans le premier cas (jui se présente en général dans les systèmes de points apantachiques une seule valeur to peut encore tomber dans le dernier intervalle,et toutes les autres valeurs de ce dernier intervalle sont étrangères ?i la série oj, d'après le choix qui a été prescrit des groupes de valeurs successives a^, , b^,. Si la série des intervalles n'est pas limité?, les séries «i. a^. ... et bi. bo. . .. sont illimitées, et les a^ aussi bien (jue les bj, possèdent des valeurs limites ax) clbx),... puisque ce sont des séries de ([uanlités seulement croissantes ou seulement décroissantes el ne dépassant pas des limites déterminées, puisque les a restent inférieurs aux b, et les b^, supérieurs aux a. Il peut maintenant arriver d'abord que ace < /»» , alors aucune valeur de l'intervalle {aoo , bx) n'appartient à la série des w. On peut en second lieu avoir a oo :^ b co , comme cela a lieu dans toutes les paulachies. Alors cette limite commune « x =bx, qui n'est Jamais atteinte, n'appartient également pas à la série des (0.

Après avoir étudié la puissance des ensembles dénombrables par rapport à la pantachie complète et avoir établi que la première est plus petite, il nous reste parmi les ensembles mentionnés à considérer les panlachies infinies.

J'ai déjà remarqué (|ue jus(|u'ici les panlachies infinies que nous connaissons, — à l'exception de la pantachie complète, tirent leur origine de celle-ci par élimination de panlachies illimitées ou d'apantachies, dans tous les cas d'ensembles dénombrables. Des enseml)les dénombrables on aussi grand nombre (]u'on voudra forment par leur réunion un ensemble

— lô!» —

('^g.-iliiinont d(^nf>ml)r;il)Ic ; si «loiic, un supprime de la pantaclii(! compIMf (les ensembles déiiomiorablcs le reste ne peut (Mre dénoaibrfibli', sans (juoi la panLacliie Cijniplèlj^ devait ôLre tout d'abord di'-nombr.ible. Les panUichies inlinies iurmées par une semblable <''liininalion ne sont donc [jas dénombrablcs.

Mais il y a plus encore : M, Canlor di-monlre (|u'(;lles ont la môme puissance (|iie le continuum des no/nbres (*). Nous avons donc en réalit(î j'us([u'ici deu\ ensembles à l'un desquels tout ensemble de nous connu est égal en puissance : la série des nombres entiers positifs et le « conliuuin des nom/jyes. » M. Cantor estime comme très vraisemblable f|u'il n'y a en général (pie deux puissances. Les considérations des articles suivants contiennent maints indices, difficiles à expli- (|uer avec rigueur, de ce fait (jue dans les ensembles de quantités linéaires, mais seulement dans celles-là, les cboses se passent ainsi. La conclusion suivant la(]uelie la puissance de la pantachie complète n'est pas diminuée par la suppression d'une suite dénombrable est applicable h toute pantachie supérieure à la suite dénombrable. Il faudrait donc encore montrer que si une pantachie n'est pas amoindrie par la suppression en ((uestion, elle a môme puissance que la pantachie complète.

Nous avons exposé cette th(''orie suivant le mode de raisonnement habituel aux mathématif|ues, sans la critique des intuitions tondamentales ; cependant, il intervient souvent dans ces notions des limites nouvelles de nature spéciale ; par exemple, les limites de suites de points (jui se resserrent non seulement comme auparavant près d'un seul point, mais encore dans toutes leurs étendues, de sorte qu'il importe de nouveau d'envisager séparément l'intuition idéaliste et l'intuition empiriste.

54. — Critique de la Théorie de l'Argument par l'Idéaliste et l'Empiriste. — Le concept empiriste des ensembles ou suites de r)oiuts de grandeur dlinùlée et le concept d'ensembles dénomhrables sont évidemment absolument identiques.

Que tout ensemble qui s'accroît suivant une règle quelconque mais qui est envisagé comme fini à tout instant de son développement est dénombrable, c'est ce que nous avons montré, plus haut. Mais en outre que toute suite dénombrable, si elle n'est pas une suite finie déterminée, forme un ensemble de

(') Cela résulte directement tle la déuionstration 55G. Rorcli Juurn Tome 84 p. 254.

grandeur illimitée, cela va de soi. Car,si on le fait correspondre à la série des nombres entiers, c'est, sous cette forme, un ensemble illimité. Avec une autre disposition il peut n'être considéré comme dénombrable qu'en tant que cette disposition 'peut fournir, sans perte d'éléments, une série ordonnée suivant des indices entiers.

Les ensembles dénombrables et, en particulier, les pantachics illimitées sont au sens empiriste des représentations et appartiennent à bon droit à la mathématique empiriste. 11 s'agit de savoir jusqu'où nous parvenons ainsi avec l'Empiriste, quand ne renonçant Jamais .^ l'acte de la représention, nous cherchons à approcher le plus que nous pouvons de la limite de ces représentations.

Dans la voie tracée par cette question la pantachie complète, comme limite d'une pantachie illimitée, sera l'objet propre de notre étude. Considérons cependant tout d'abord un cas plus simple de formation do limite ; par exemple, une apantachie caractérisée par un point de convergence de premier ordre.

Qu'il s'agisse simplement de la suite de points

là' ■ ■

. . . ou ^ =;

et supposons que le point - n'appartienne pas à cet ensemble.

On pourra concevoir cette détermination de points aussi bien à la manière idéaliste qu'empiriste. Pour l'Idéaliste elle comprend h la fois tous les points qu'elle définit : les distances des points Unissent par devenir infiniment petites. L'Empiriste s'imagine les points existant seulement Jusqu'à un n""", cl il prend le nombre n aussi grand qu'il veut suivant son besoin. Or il importe do rechercher si l'ensemble idéaliste est une limite réelle de l'ensemble empiriste. c'est-à-dire si l'ensemble empiriste tend vers l'idéaliste de façon à s'approprier finalement tout point qui lui appartient; c'est précisément ici le cas,

puisque nous avons exclu le point .5- de l'ensemble. Nous

pouvons appliquer les mêmes considérations à toutes les apanlachies de l'art 51. Toutes, à l'exception du système de points isolés, apparaissent, quand on les examine de près, comme des ensembles illimités dans le sens empiriste, ayant une limite idéale réellement e.';istante lorsque d'ailleurs (art. 52.) les points de convergence eux-mêmes ou bien sont exclus de l'ensemble, ou bien sont comptés d'une manière spéciale.

Ces suites de points permettent ainsi une exposition neutre ; on n'a pas besoin de prendre parti pour la conception idéaliste

OU empirislo. Les raisonnemcnls que l'on appli(|ue h de pareils ensembles restent indopendanls de l'opposition des deux modes d'intuition. Les choses se passent ici comme en géométrie où il importe peu aux résultats des recherches que l'on prenne pour fondement l'exact idéal ou l'exact illimité, qu'on regarde la ligne droite comme infiniment mince ou comme engendrée de la façon déjà décrite (art. 34). Du moins jusqu'à maintenant il ne s'est pas présenté une obscurité ou un paradoxe qui pût se ramener à l'opposition des deux modes d'intuition.

Après avoir établi f[iie les apantachies illimitées ont des limites idéalistes, nous allons soumettre à un examen semblable la limite des pnn'.achins illimitées, c'est-à-dire voir comment l'Idéaliste et l'Kmpiriste doivent saisir la pantachie complète.

Nous pouvons de nouveau donner pour londemenl à la pantachie complète le symbole analytique

Z rr lim (?f +-^ + . • . +^)' ^, =r 0 ou 1

11 désigne l'ensemble d^ toutes les (]uanlités correspondant à des valeurs 0 ou 1 données aux y. d'une manière quelconque, qui sont définies par la série finie ou sans fin.

Laissons de côté les suites élernel]<:'ment sans loi comme une fiction de l'Idéaliste déjà suffisamment considérée. Alors au point de vue analytique la pantachie complète doit être envisagée comme l'ensemble de toutes les lois de succession possible des symboles 0. 1, mis à la place des a dans la suite

3c, , X, , as L'Idéaliste admettra cet ensemble comme

existant réellement, toute loi encore imaginable existant de toute éternité, indépendante d'êtres pensants. L'Empiriste y voit des lois déjà connues, et un cadre pour toutes celles qui sont encore à trouver. Cependant, reportons-nous à l'image géométrique de la pantachie. où à chacune des suites particulières des 3Ci , xj .... correspond un point particulier.

L'Idéaliste arrive ainsi au but tout naturellement. Il range toutes les valeurs Z comme points idéaux sur la ligne droite idéale, et entre les points isolés se trouve les étenclues infiniment petites de tous ordt»es. \

Il renonce à se faire une image de cette suite de points ; il ne cherchera donc pas à s'en représenter le mode de formation. La pantachie complète est pour lui la limite réellement exis-

lanlc de la pantachie illimilée, dans ce sens que les valeurs particulières en nombre infini de cette limite existent en même temps, absolument comme ua nombre fini de quantités.

11 attribue donc au concept « lim {-^ + -r + + .ft)

pour toutes les combinaisons des -x », la même raison d'être'qu'à la limite de la fraction décimale sans fin. Il le range parmi les êtres existaots auxquels la logique lui ordonne de croire.

La pensée ne suit pas ici un processus logifjue nouveau. S'étant posé (art. 22) cette question fondamentale « combien cxisto-t-il d'étendues moindres qu'une étendue donnée, et combien y en a t-il de possibles, c'est-à-dire ne devant qu'au hasard de ne pas exister ? » — il a répondu que le nombre en est infini ; eh bien il a ainsi saisi et exprimé exactement le sens indiqué ci-dessus de la panlachie complète. Les étendues parlielles plu.> petites sont équivalentes à toutes les valeurs d'argument possibles, et, par conséquent, l'image que l'Idéaliste se t'ait ici de l'argument ne s'éloigne en aucun trait de la première, née d'une autre suite d'idées.

Voyons maintenant comment l'Empiriste doit se représenter leschoses. Avant tout, il doit rejeter la panlachie complète r<jnime l'ensemble de toutes les quantités possibles existant à la l'ois. Car cet ensemble ne peut être fini, et il ne peut être non plus seulement d'une grandeur illimitée, puisqu'il contient déjà toutes les valeurs particulières possibles ; il est donc infini, et,' par suite, non représentable, sans existence pour l'Empiriste. Il pourrait donc n'être qu'une limite non représentabte, mais de quoi ?

L'Hmpirisle se représente sur l'étendue unité des points sans nombre, il les multiplie par la pensée autant qu'il veut et en resserre l'ensemble de plus en plus. Il peut s'arrêter quelque temps à cette représentation, ou se composer tout de suite son étendue d'argument, eomme suite de points qu'il imagine ici plus fins, là plus grossiers, — il ne pourra jamais, en affinant sa représentation, changer l'essence de cette image. L'ensemi)le de points (|uoique aussi dense qu'on voudra reste un ensemble fini. L'Empiriste ne peut se représenter autre chose. Or, jus(iue là, il n'y a rien de surprenant dans l'apparition des deux modes d'intuition.

Il semble plutôt que nous ne fassions que répéter la distinction première entre la limite et le premier degré vers la limite, entre l'exact à volonié et l'exact idéal, distinctions que nous venons d'établir plus haut dans les apantachies il limitées. Mais, si on y regarde de plus près, on voit ijuil y a du nouveau.

L'Empirislc ne peut imaginer l.i panlachio complète que dans le devenir, c'esl-?i-dire que comme ensemble d<' points qui augmente et s'approche indéduiment de la pantachie complète, et alors il se demande si e( comment on peut iniaf/ïner une suite de points cvo\ssan\.(i, dont /a limite est ia pantar/iie complète, c'est-îVdire une pantachie t/ui en croissant /^.n/l par renfermer toute valeur. — Voici la réponse :

// n'y apa% d'ensemble d" points croissant on par exemple dans une suite finie initiale viennent peu à peu s'introduire de nouveaux points en vertu d'cne règle quelle quelle soit, et qui s'approche de la pantachie complète de manière que toute valeur particulière finisse par s'y montrer.

La preuve en est déjî\ faite. L'ensemble toujours Uni qui croit est dénombrable;maisil fournit donc dans tout intervalle, si petit (ju'il soit, des valeurs qui ne lui'appartiennent pas. (Art. 53). Ces valeurs Jbrmant une pantachie sont donc étrangères à l'image empiriste d'un ensemble quelconf[ue de poinis recouvrant l'argument.

Aussi ces nouvelles valeurs ne sont pas non plus de môme nature que les points de convergence de certaines apantachics dont il a été question plus haut, qui n'appartenaient pas non plus d'eux-mêmes à l'imago empiriste, mais qui pouvaient y être introduits. Elles forment bien plutôt la grande majorité, puisque, comme on l'a vu, la pantachie complète par l'e.xclusion d'ensembles dénombrables n'est pas plus pauvre en valeurs isolées.

11 résulte de là que :

La pantachie complète de l'Idéaliste ou le continuuni des nombres n'est une limite réelle d'aucune suite empiriste de représentations.

Pour l'Empiiiste le continuum des nombres n'existe donc pas, ni comme limite, ni comme terme final d'une approximation ; il n'existe absolument pas pour lui. Ceci est vrai non seulement pour l'état actuel de la science, mais pour toujours.

A l'argument l'Empiriste Joint donc la représentation suivante :