I. — Sur l'étendue unité, à chaque valeur particulière

correspond un point qu'on imaginera avec une exactitude aussi grande qu'on voudra.

II. — Il n'existe pas de suite de points variable qui, en s'augmentant, s'approcherait indéfiniment de la suite de tous les poinis possibles. A la pantachie complète l'Empiriste joint

seulemenl. ];i rcpréscnlalion que sa fantaisie, quand elle veut imaginei' TtHenduc d'arf^umeiil couverte de points formant une suite de plus en plus dense, ne rencontre pas de limite,

55. — Remarques dernières sur largument de l'Idéaliste et de l'Empiriste. et sur la détermination du mode d'exposition neutre. — Si lopposilion (ilKtjlio dans l'arliclc précédent entre les conceptions idéaliste et pmpiri-ste de l'argument exen>ait une influence sur les méthodes cl sur les résultats de l'analy.-e, il ne resterait plus alors qu'à opter pour l'une des deux et qu'à établir suivant ce choix les fondements de son analvse. Mais. par bonheur, il n'en est pas ainsi. Nulle part, excepté naturellement dans la théorie des panlachies idéalistes elles-mêmes, l'analyse ne suppose plus que l'Empiriste ne donne comme rcprésenlable. Les systèm»^s de points qui sont utilisés sont des apanlachics ou des pantachies illimitées. Si, par exemple, il s'agit d'une fonction, qui est un pour les valeurs rationnelles, zéro pour les valeurs irrationnelles de l'argument, les valeurs riiîionnelles forment alors une panlachie illimitée et parmi les irrationnelles on peut également imaginer des multitudes innombrables de pantachies illimitées. Car personne ne peut attacher à une telle fonctioQ aucune autre représentation. Quand on dit ensuite: un point supposé mobile parcourt toutes les valeurs entre les points a et h, celle façon de parler est encore admissible au '^ens empiriste, si elle ne dit pas autre chose que ceci : sur l'étendue (a, h) on ne peut imaginer aucun point avcclequel le point mobile, c'est-à dire le point laissé indélerminé, ne puisse coïncider, et, en analyse, cela suffit dans tous les cas. A ces deux représentations peuvent se ramener toujours les phénomènes analytiques,

Ici, l'Idéaliste pourrait d'ailleurs avoir envie de recommencer la lutte avec l'Empiriste. Il pouri-ait lui objecter que par son renoncement à ce qui n'est pas représen table il ne laisse aux combinaisons de la pensée rpi'un domaine mesquin et même insuffisant. Gomment voudrait-ii suffire à la mi'canique, par exemple, lu trajectoire fixe devant contenir à la fois tous les points (|ue parcourt le mobile, If' concept de trajt^cloire devant donc contenir le continuum des nombres deridéalisie? — .\ quoi l'Empiriste pourrait répli(]uer ainsi : il ne conteste pas (|ue sa critique des premières hypothèses n'ait pour consé- ([ucnce une limitation très marcjuée du domaine de la pensée, il ne nie nulle part l'existence du non rcprésenlable. Mais tout simplement ce n'est pas pour lui un objet de spéculation raa- Ihématique. Il est certain que la continuité csl ({uelque chose existant quelque pari et plein de mystère. Uu point mobile srir une trajectoire déterminée se trouve à chaque inslanl à

un endroit de la trfijcctoire ; il di-si^no diiiis chacune do ses positions une valeui' diu-gunient di-U'iiuiuce, et il pusso au moins une lois par toute valeur d'argument comprise entre les extrémités du chemin (|u'il f)a[rourt. C'est tout ce (|u"on p'-ul dire, et cela sul'lit en mécanique. La continuité n'étant pas compréhensible. la mécanique aiialyli([ue décompose en réalité la trajectoire en éléments, c'est- ù-dii'e qu'en vue du calcul elle la recouvre dune pantachie illimitée de points. Qu'on imagine ensuite le point mobile parcourant successivement les ('-tendues qiu séparent deux poinls consécutil's de la panlachie, el (|u'on multiplie celles-ci indélinimentjamais ii n'en sortira une pantachie complète. (Ju'on passe entin aux limites, ce qui l'ait apparaître les quotientsdillérentiels.dans l'intégration (|ui suivra, s'il s'agit réellement dune intégration, et non pas de l'établissement dune l'onction primitive, une pantachie illimitée de valeurs d'argument sera de nouveau prise pourl'ondement, et la valeur limite de la somme, f[ue nous nommons intégrale, n'aura absolument rien alî'aire avec la panlachie complète ; elle est, elle, une limite réelle. La pantachie complète ne Joue de rùle que dans sa propre théorie.. . . Voilà ce f|ue dirait l'Empiriste.

Comment du point de vue neutre envisagerons-nous la pantachie complète, l'ensemble des (juantités mathémati(jucs linéaires ''*

Elle est certainement, de quelque manière ([u'onlaconsidère, quelque chose d'essentiellement distinct d'un ensemble de points illimiié, c'est-à-dire d'un ensemble de valeurs isolées se resserrant aussi rapidement qu'on veut.

L expression : Z :iz -^j- -f- -, — |- . . . a, rz o, ou 1,

contient, si les a ne sont pas tous nuls à partir d'un certain rang, l'ensemble des lois, suivant les(|uelle3 une suite illimitée des X peut être déterminée. Mais l'ensemble de pareilles lois et celui des fonctions d'une variable apparaissent, quand on approfondit ces questions abstraites, comme des concepts d'égal contour. Et on ne peut se faire absolument aucune représentai ion de l'ensemble de toutes les fonctions possibles.

Nous n'apporterons pas de restriction à cette natui-e si vaste delà pantachie complète, et la question sera de savoir comnien! nous devrons comprendre l'argument, pour ne tomber sous la critique ni de l'Idéaliste, ni de l'Empirisle.

Si le continuum des nombres était une limite de représentations réelles, comme un triangle idéal est la limite de représentations que l'Empiriste rend aussi exacles qu'il veut, on pourrait laisser de côté ces difTérences dans l'exposé neutre de

l'analyse, sauf à s'en souvenir, comme on le fait à propos des expressions quantité, valeur, longueur, etc. (art, 41), quand on parlerait du conUnuum des nombres. L'un y verrait la limile idéale, l'autre un degré vers la limite. Seulement le fait que le conlinuum des nombres n'est pas une limite réelle ne laisse à l'exposé neutre d'autre choix que d'y renoncer et de se rattacher à la conception empirisle. L'Idéaliste ne peut alors nous adresser, comme il a déjà fait à l'Kmpirisie, que le reproche de limiter inutilement h ses yeux le champ de la science. Maintenant, quoique nous donnions h la suite de notre exposé la conception empiriste pour fondement, remarquons bien que nous n'avons pas choisi entre les deux modes de conception et que nous ne nous sommes décidément pas arrêté à la conception empiriste. 11 s'agit ici seulement d'un mode d'exposition fiuinechoque la manièrede voir ni de l'Idéaliste ni de TEmpiriste.

Gomme la pantachie complète, les pantachies infinies sont aussi de nature idéaliste et le concept de la correspondance élément à élément ne l'est pas moins en tant qu'il se rapporte à de pareils ensembles. C'est un transfert idéal de la coordination, susceptible de dénombrement et de représentation, à l'ensemble de toutes les valeurs possibles. Sans doute, les fonctions d'une variable données pour chaque valeur de l'argument sont des correspondances de valeurs de fonction aux valeurs d'argument de la pantachie complète. Mais ces formules sont toujours de telle nature fiu'elles sont valables ou bien pour toutes valeurs d'argument, ou bien, comme on verra dans le chapitre suivant, pour l'ensemble de ces valeurs à l'exception do pantachies dénombrables, auxquelles s'appliquent d'autres déterminations. Par là, les correspondances fonctionnelles tombent sous la conception empirisle. La correspondance abstraite de valeur à valeur dans des pantachies infinies est purement idéaliste.

Le fait qu'aucun ensemble de points supposé croissant n'approche du conlinuum des nombres de l'Idéaliste, que les deux ensembles sont de nature loul-à-fait hétérogène, puisque le premier est représenlable tandis que le second est en dehors de toutes représentations, ason coté intéressant. Eneffet, (luand, à propos de pantachies complètes ou infinies de l'Idéaliste, on fait des considérations quelconques, on en lire des conclusions empruntées à l'image d'une snite de points aussi resserrée (|u'on veut, on court le risque do îomber dans des paradoxes. Car la pantachie illimitée n'étant nullement une approximation fie la pantachie complète, il n'est pas permis sans autre raison de conclura des propriétés de la première aux mêmes propriétés de la deuxième.

Par exemple, M. Ganlor est conduit par l'analogie avec les séries simples, doubles, etc. — ([ui sont également dénombrables à l'aide de la suite des nombres entiers — à certains théorèmes sur les ensembles continus des nombres, et il trouv*' entre autres (|ue le continuum de points sur une ligne a une puissance égale au continuum de points sur un plan. Cette conclusion un peu embarrassante a paru paradoxale ; elle a semblé répugner à ce qu'on appelle 1<' sens commun. Lo fait est que c'ost tout simplement la conclusion d'un raisonnement où intervienneni des fictions idéalistes, auxf(uellos on l'ait jouer le rôle de véritables ([uantités, quoiqu'elles ne soient pas même des limites de représeulations de (iuantili''S. Voilà où réside le paradoxe. On a vu comment la conception idéaliste conduit avec nécessité au concept de l'intiniment petit, qui du moins était une véritable limite, — on ne peut donc pas s'étonner de ce que le raisonnement sur le continuum de nombres, qui n'est pas une limite, conduise à des résultats plus singuliers encore, qui d'ailleurs restent, ainsi que l'infiniment petit et SCS propriétés, dans le domaine de la conception idéaliste. Les principes que nous avons exposés dans ce livre acquièrent donc une certaine utilité pratique en mettant à jour la source de paradoxes qui se cache dans des concepts très répandus, — de mémo (|u'its servent, comme on le verra, à rendre plus clair et plus précis le concept de la fonction.

Des quantités ou nombres croissants, on peut dire ou bien qu'ils ont une limite ou bien, au sens idéaliste, (lu'ils deviennent infinis. Une suite de points croissante n'a pas de limite, au sens ordinaire ; il faudrait donc faire correspondre le continuum des nombres à l'infini. Or, il a effectivement avec lui une propriété commune. De même que l'inlini ne devient pas Uni. si on en retranche le fini, demème le continuum des nombres n'est pas plus pauvre en valeurs mdividuelk's, ne diminue pas en puissance, ([uand on en retiredespanlachiesillimitecs.il semble d'ailleurs que ce soit là l'unique analogie que présentent les deux limites de représentations de l'Idéaliste.

Un rôle est échu à la théorie des panlachies dans les sciences physiques.

Ce n'est pas dans le concept d'atome même cju'une différence essentielle se fait valoir entre les intuitions idéaliste et empiriste. C'est plutôt dans la manière dont, en mécani([ue, les éléments d'action, les molécules agissant à distance, sont supposés distribués dans l'espace. L'Empiriste qui ne peut prendre pour base qu'un nombre fini suffisamment grand n'ira pas loin avec ses théories corpusculaires. Il ne peut évidem ment parvenir qu'à la synthèse de la classe de phénomènes d'où est abstraite l'idée de la molécule agissant à distance,

c'esl-à-dirc de phénomènes mécaniques. Pour la synthèse d'autres classes de phénomènes, par exemple dans le domaine de la chimie, il aura peut-être besoin d'autre chose que de l'action à distance. Et maintenant encore les phénomènes organiques ont sans doute leur abstraction dernière spéciale.

L'Empiriste ne prendra donc pour hypothèse l'ubstralion de la molécule agissant à distance comme utile h l'e.xposé des phénomènes ((ue dans la mécanique ordinaire. L'Idéaliste au contraire, quand l'exige sa conception du monde, possède dans la pantachie complète un concept qui doit avoir h ses yeux un contenu inllniraent plus riche que les pantachies illimitées de l'Erapiriste.

Théoriquement, en liant la représentation de molécules disséminées dans l'espace à la pantachie complète de l'Idéaliste, on pourrait réussir,par exemple, à déduire la pression — s'il était possible de l'aire entrer dans le concept physique de la pantachie complète d'atomes un contenu répontlant à notre besoin d'exactitude.

Le développement de ce chapitre et une partie du suivant montrent combien il est nécessaire dans maints domaines analytiques de voir nettement si pour l'exposé neutre on met au jour une mathématique acceptable ou purement idéaliste. Ce n'est qu'ainsi qu'il nous est possible de distinguer ce qui appartient au domaine réel de représentations de ce qui lui est emprunté sans l'image d'un mot et se trouve impliqué dans le processus logique se poursuivant au-delà du réel.

.le donne à la (in de ce chapitre une vue générale sur les ensembles de points dont il a été question.

56. — Vue générale sur les ensembles de points. I. PaDtacliies

A. Paulachie complHe.

L'Kmpiriste entend par là l'ensemble de toutes les quantités imaginables déterminées par une définition géométrique ou numérique, ou encore à déterminer. — L'idéaliste y voit le Continu des nombres ou des quantités sur l'étendue imité, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les quantités possibles existant à la fois.

H. Paulachie illimilée.

C'est une détermination de nombres telle ((ue dans tout intervalle, si pelil qu'il soit, se trouvent des points y répondant. Cet ensemble de points est toujours linl et peut être supposé aussi grand qu'on veut.