sin. a = 0,31835. 6, ou sin. a
Ce sinus naturel correspond à un angle de 18''-33'. La manivelle, pendant la période d'excédant du travail moteur sur le travail résistant, décrit donc un angle de :
Pendant ce temps, le travail de la résistance est évidemment égal à :
Dans les^machines à vapeur à simple effets sans détente et à mouvement de rotation continu, la quantité de travail que les pièces de Vappareil doivent successivement emmagasiner, puis restituer, lorsque le travail de la résistance est constant, s'élève aux O^SKi du travail effectif transmis à l'arbre de la manivelle dans un tour.
La vitesse de rotation de l'arbre qui porte la maoïvelle croit d'une manière continue» mais non uniforme, pendant que cette manivelle passe de OM en DM', et décroit pendant qu'elle passe de OM' en OM, de sorte que OM' est la position de celle-ci correspondante au maximum de vitesse angulaire, et OM sa position correspondante à la plus faible vitesse.
TRAVAIL QUE LE VOLANT DOIT EMMAGASINER
PUIS RESTITUER, DANS LES MACHINES A DOUBLE EFFET, SANS DiTENTE.
(Figure 46^ pi. 12.) Nous conserverons aux lettres F, Q, 6^ r, a, la même signification que ci-dessus.
Dans ces machines, la bielle agit sur le manneton de la manivelle pendant toute la durée de chaque révolution ; par traction, pendant un demi-tour, et par pression, pendant l'autre demi-tour ; ces deux parties du tour entier étant séparées par la ligne des points morts AB.
Nous aurons d'abord, par suite de Tégalité des travaux moteur et résistant, pendant une révolution :
Si Ton tire, de cette équation, la valeur du moment constant de la résistance, on trouve :
Ce qui signifie qu'il y a équilibre entre la puissance et la résistance, toutes les fois que la manivelle prend une position dans laquelle le
bras de levier de la puissance, ou OC, est égal à — du rayon de cette
manivelle.
Il y a donc quatre positions, OM, 0M\ 0M'\ 0M"\ dans lesquelles cet équilibre existe. De OM en OM', le travail moteur remportera sur le travail résistant; de OM' en OM", le travail résistant remportera de la même quantité sur le travail moteur, et les deux mêmes phénomènes se reproduiront de OM" en OM'" et de OM"' en OM. La plus grande vitesse angulaire de Tarbrede la manivelle aura donc lieu quand celle-ci passera par les positions OM' et OM"', et la plus petite, lorsqu'elle se trouvera dans les directions OM et OM".
Si on cherche maintenant la différence des travaux moteur et résistant, entre deux positions d'équilibre, par exemple de OM en OM', on trouve successivement :
OC = 6 - = 0,63670. 6 = 6. sin. a; d'où sin.a =- 0,63670;
ce sinus naturel correspond à un angle de 39<'-33'.
Le travail résistant qui est produit pendant la période indiquée, est donc égal à :
Le travail moteur correspondant à la même période a pour valeur :
F. 2. MC = F. 2. 6. C08. 39<».33' = F. 2. 6. 0,77107. D'autre part, nous avons vu que
que la puissance transmet à l'arbre de la manivelle pendant chaque révolution^
TRAVAIL QUE LE VOLANT DOIT EMMAGASINER
PUIS BESTITTJEB, DAMS L£S MACHINES A DOUBLE EFFET, A DEUX CYLINDBES, DONT LES PISTONS TBANSîlBTTENT LE MOUVEMENT A DEUX MANIVELLES CALEES A ANGLES DBOITS AUX EXTBÉMIT^S d'uN MÊME ABBBE, SANS DÉ- TENTE ET A MOUVEMENT DE BOTATION CONTINU.
Dans les machines de cette espèce, la puissance est partagée en deux parties égales qui agissent, chacune, dans un cylindre particulier, afin que la difTérence entre les travaux moteur et résistant, entre deux positions d'équilibre des manivelles, soit moindre, et que Ton puisse, avec de plus petites masses, régulariser suffisamment la vitesse angulaire de Tarbre de ces manivelles.
(Figure 47, pi. 13.) Soient OM et OM' les deux manivelles calées à angle droit sur Farbre 0, AB la ligne des points morts, et désignons toujours les mêmes quantités par les mêmes lettres que précédemment.
Lorsque les deux manivelles occupent les positions OE et OH, Tune
est à son point mort, et la puissance -^ qui la sollicite, n'a point de
jt
bras de levier; Tautre est à son point de maximum d'action , et la se-
conde moitié — de la puissance totale a, pour bras de levier, le rayon
de la manivelle tout entier.
Si on supposeque les manivelles, partant simultanément de ces positions OE et OH, décrivent un angle de iS"" et passent dans les positions ON et 0N^ on pourra remarquer que les projections, sur la direction OH, des petits arcs successivement décrits par le point E, sont plus grandes que les projections, sur la même direction, des petits arcs égaux décrits par le point H, parce que les premiers font avec cette direction OH des angles plus petits que ceux qu'elle fait avec les seconds ; donc, pendant ce mouvement de iS"", le bras de
3i6 RÉGULARISATION DE U VITESSE DES MACHINES.
levier de la manivelle OE augmeolera plus que celui de la manivelle OH ne diminuera ; de sorte qu'il y aura accroissement continu
dans la somme de ces bras de levier, et comme les forces^, qui agissent
à Textrémité de chacun d'eux, sont constantes, il y aura accroissement continu dans la somme des moments de ces forces. L'effet inverse se produira pendant que lés manivelles décriront Fangle de iS"" suivant ; puis ainsi de suite, alternativement, pour chaque angle de iS"*.
Ainsi, les manivelles seront dans une position de maximum d'action, quand elles feront, avec la ligne des points morts, des angles de iS^", et dans une position de minimum d'action, toutes les fois que Tune ou l'autre traversera la ligne des points morts; de sorte qu'il y aura, par tour, quatre positions de maximum et quatre positions de minimum d'action, et comme, en passant de Tune de ces positions à la suivante, elles passent nécessairement par une position d'équilibre avec la résistance, il en résulte qu'elles se trouveront huit fois dans une position d'équilibre, pendant chaque révolution.
Commençons par déterminer les positions d'équilibre.
Soient OM et OM' les deux manivelles dans une position d'équilibre, et a l'angle qu'elles forment avec les positions de départ OE et OH.
Nous aurons successivement :
F Q. 2 T r = 2-^. 4 6, comme dans l'emploi d'une seule manivelle,
ce qui donne sin. a = 0,6367 ± 0,3084. 0,3383.
Ces deux sious naturels correspondent à des angles de IQ^'-IO' et de TO^'-KO' ; de sorte que les manivelles seront dans une position d'équilibre, toutes les fois que Tune fera, avec la ligne des points morts, et Fautre, avec une perpendiculaire à la ligne des points morts, un angle de lO*»-!©', ou un angle de 70«-50'.
Soient OM, OM' et OS, OS' deux positions successives d'équilibre; en passant de Tune à Fautre, les deux manivelles décriront un angle de 700-50'— 19«-10' = 51'»-40'=3100'. Pendant ce mouvement, il y aura excès du travail moteur sur le travail résistant et accroissement de vitesse dans Tappareil. Pour passer de cette seconde position d'équilibre, à la suivante OM', OiM", les manivelles n'auront à décrire qu'un angle de 2. 19<'-10' = SS^'-^O', et, pendant cette seconde période, le travail résistant l'emportera sur le travail moteur d'une quantité égale à lexcès de celui-ci dans la période précédente, et il y aura diminution de vitesse; puis les mêmes phénomènes se reproduiront pour des angles alternativement décrits, de Sl^-iCy et de 38^-20'.
11 sufiSra donc de chercher la différence entre le travail moteur et le travail résistant, pendant Tune ou Tautre de ces périodes alternatives; nous choisirons les passages des positions OM, OM', aux positions OS, OS'.
L'angle décrit pendant celte période étant de 51 MO', ou de 3100', le travail résistant qui lui correspond sera de :
Pendant ce temps, le travail moteur sera de :
I CD + 1 CD' = F. CD, parce que CD' = CD.
Or, CD =6. C05 19*»-10 — b. cas 70®-50', ce qui fournira pour valeur de ce travail moteur, F 6 (cos 19«-10' — co5 70«-S0') = F6 (0,9451 — 0,3283) = F 6. 0,6168.
El comme, d autre pari, Q 2 5r r = F. 46 ; d'où F 6 == -^^ , on
trouvera, pour différence entre le travail moteur et le travail résistant,
pendant les périodes d'excédant du premier :
Q. 2«-r /iiî^^ —0,14352^ =Q. 2 ^r. 0,0106.
C'est, comme on le voit, dix Tois moins que lorsqu'on n'emploie qu'un seul cylindre pour produire le même travail.
On tire de là, le principe suivant :
Dans les machines à vapeur à double effets sans détente^ à mouvement de rotation continu et à deux cylindres dont les pistons agissent sur detAx manivelles calées à angle droit sur le même ar6re, le travail que les organes de l'appareil doivent successivement emmagasiner y puis restituer y quand le travail de la résistance est constant ^ est égal aux 0,0106 du travail effectif que la puissance transmet à l'arbre des manivelles pendant chaque révolution.
Cette faible quantité de travail, tantôt en excès, tantôt en défaut sur le travail de la résistance, explique pourquoi, dans certaines circonstances, on a pu se passer de placer un volant sur l'arbre des manivelles des machines de celte espèce.
TRAVAtt QUE LE VOLANT DOIT EMMAGASINER,
gasiner et à restituer dans ce cas, nous démontrerons un théorème préliniiiiaire qui facilitera singulièrement celte recherche.
(Fig. 48, pi. i 3.) Soient OA, OB, OC les trois manivelles faisant entre elles des angles de l^O*", dans une position quelconque, et KK' la ligne des points morts.
Les bras de levier des puissances qui agissent sur ces manivelles, seront Ax et Cz d*un côté de la ligne des points morts, et By de Tautre côlé.
Si on prolonge GO jusqu'en D et qu'on abaisse Dn perpendiculaire sur la ligne des points morts, on aura évidemment Dn = Cz.
Joignons le point D au point B, puis menons nh parallèle à DB :
hB sera égal à Dn, ce qui donnera Cz »= AB.
D*autre part, DB, corde d*un arc de 60'', est égal au rayon ; donc le côté opposé nh du même parallélogramme est aussi égal au rayon des manivelles, et comme Tangle AOB est de ISO"" et Fangle DBO de GO*", ensemble ISO"", DB est parrallèle à AO ainsi que nh. Il en résulte que les triangles AOx et nhy ont leurs côtés parallèles, les hypothénuses égales, et sont égaux ; de sorte que Ax^^A et qu'il vient, en définitive, Cz + Ax = AB -f- Ay = By.
Ce qui signifie que, quelle que soit la position des trois manivelles, la somme des bras de levier, de part e\ d'autre de la ligne des points morts, sera la même ; il en résulte qu'en observant les variations du bras de levier de la manivelle qui se trouve seule d'un côté de cette ligne, on connaîtra les variations de la somme des bras de levier des deux manivelles qui se meuvent de l'autre côté.
Ce principe posé, en observant que la puissance se partage ici eu
trois parties -^ qui sont égales et invariables^ on reconnaîtra aisément,
à rinspection de la figure 49, pi. 13, que les trois manivelles se trouvent dans une position de maximum d'action, quand l'une quelconque d'entre elles traverse le diamètre perpendiculaire à la ligne des points morts, et dans une position de minimum d'action, lorsque l'une quelconque traverse la ligne des points morts. Or, ces manivelles passent, évidemment, de l'une à l'autre de ces positions pour chaque mouvement angu-
laire de 30^; donc, pendant une révolution, elles se trouvent six fois dans une position de maximum des moments des puissances, six Tois dans une position de minimum et douze fois dans une position d*équilibre entre les puissances et la résistance.
Soient OM, OM', OM'' les trois manivelles dans la première position d'équilibre qu'elles occupent, après que la manivelle OM a traversé la ligne des points morts AB ; on aura successivement :
Q, 2 T r = 3 -^ 46; d'où Q r=~.— ;
ce qui signifie qu'il y a équilibre entre les puissances et la résistance, toutes les foia que la somme des bras de levier de ces puissances est
égaleà— ,ouà6.1,9i01.
On doit donc avoir, dans cette position d'équilibre :
oy'\'OX'\'OZ'='i^9lO{.b ou, d'après le théorème démontré : 2. oy = 1,9101. 6, et o»c= 0,95505. 6.
Si a est l'angle que la manivelle OM'' fait alors avec la direction perpendiculaire à la ligne des points morts, on aura :
oy=ib cos M = 0,95505. b ; d'où cos. a = 0,95505.
Ce cosinus naturel correspond à un angle de 17<'-15', ou de 1035'.
La manivelle OM fait alors, avec la ligne des points morts, un angle
de 12«-45', et la manivelle OM' un angle de 30»-f 12«-45= >l2»-45'.
qu'un angle de W-45' — IT*»-!»' = 25»-30', pour qu'elle ait un bras de levier égal à oy, et pour que Tensemble des manivelles se retrouve dans une position d'équilibre.
Pendant le passage de la seconde à la troisième position d'équilibre, le travail résistant l'emportera sur le travail moteur et la vitesse de l'appareil décroîtra, puis les mêmes phénomènes se reproduiront indéfiniment, pour des mouvements angulaires successifs de Si^'-SO' et de SS^'-SO^l'emmagasinement du travail ayant lieu pendant les premiers et la restitution de ce travail, pendant les seconds.
Cherchons maintenant la différence entre le travail moteur et le travail résistant pendant l'une de ces périodes, par exemple pendant que les manivelles passent des positions OM, OM^ OM'', aux positions ON, ON', ON".
Le mouvement angulaire étant de 54''-30^ ou de 2070^ le travail
2070' résistant sera Q. 2 ^r r — — c= 0,09583. Q. 2 t r.
Pendant le même temps, le travail moteur sera :
I 2. OD -f 1^ BC + 1^ GH, ou, comme BC = GH, o 3 3
