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détermlnani formé par les n- coefficients A ei qui a l'une des deux formes

ist appelé le déterminant de la forme P.

On remarquera la relation

33, Appelons Bd le délerminant de la forme P et formons tontes les expre que peiU donner le déterminant B,, bordé comme nous allons l'indiquer. I

Cliaque bordure, la k'™" par exemple, distinguée par l'indice supérieur k, est olilenue au moyen de 2/( arbitraires formant deux groupes distincts, soient

, w,, pour la bordure en colonne et f ,, . . ., c* pou:

a bordui

! en ligne.

Développons Be (') par la règle de Laplace (*) en combinant les éléments des 9 dernières colonnes de toutes les manières possibles, de façon à former des mineurs de degré 9, et en multipliant chacun de ces mineurs par le mineur de degré n qui reste quand on a supprimé les 6 dernières colonnes et les 9 lignes cboisies.

Les produits du degré />- + 9 que l'on obtient ainsi renferment des paramètres c provenant de toutes les bordures et sont du degré h — G par rapport aux éléments du déterminant Bj. La même règle de Laplace est applicable à chaque mineur de

(') Les diï terminant s B5 pourraient iHre appelés des Ilessiens bordés. ('.) Voir îa Note sur les déterminants.

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Donc Be est une fonction linéaire et homogène des mineurs d'ordre 6 de B„ quelles que soient les valeurs attribuées aux arbitraires u et r.

34. Si î'on connaît le déterminant [P, Q], qu'on pent représenter parBo{p, q)^ on voit que la fonction Be(/), q) sera enliôrc et homogène en p et q, et, si les minem-s de degré n — Q de Bo(/), q) sont divisibles par («y^ ~\- hq)', on voit que B(i(p, q) sera divisible par [ap -+- ii/)'. On peut d'ailleurs choisir les arbitraires qui entrent dans Bg de manière qu'il se réduise à l'un quelconque des mineurs de Bo- Par exemple, on a

Donc, pour qu'un diviseur [ap+bqY soit commun à tous les mineurs d'ordre Qrf^ [P, Q], il faut et il suffit qu'il divise la fonctionB^(p, q) correspondante, quelles que soient les valeurs attribuées aux arbitraires.

On pourrait en conséquence définir les diviseurs élémentaires de [P, Q] an moyen des déterminants B(j(/>, q').

3S. La première forme Bo est

En la développant, on a

Si l'on retranche de la dernière colonne les autres multipliées par ^y,, j^j, •■■■, yn, puis ensuite que l'on retranche de la dernière ligne les' autres multipliées par x,,

-(Kia^,+...+ «>3^„)-(^|y,-i-...+ ^,;jK„} + (a-,X, + ,,.-t-3;„X^)

d'équations différentielles linéaires et homogènes. 39

Si l'on remplace alors les arbitraires u el c par les dérivées X, Y de la foniie bilinéairc P, on aura

Bi = -Bof.

CeLle formule permcl d'exprimer P en fonction de B, cE de B,,.

36. La fonction Bq^., est liée à la fonction Be par la relation simple

37. La dernière fonction Bq est B„, car toutes les fonctions suivantes B,;^,/ se On a