Étant donné un déterminant quelconquf

démontre, dans la théorie des déterminants ('), que Ton a toujoi

Cette proposition va nous être du plus grand secours dans le calcul que nous allons entreprendre.

Nous appliquerons ce théorème à des fonctions telles que Bg, que nous représenterons par la notation

IS(h', ..., ifi; 0', .... dB), ou par la notation

en n'indiquant que les éléments les plus indispensables. Introduisons dans notre calcul l'expression

is déterminants.

i|0 L. SAUVAGE,

qui se tire de B„e+, en remplaçant les éléments de la dernière bordure par le? dérivées partielles de la forme P.

Nous aurons

Ro = B(«", X; V, Y) = o.

Appliquons le théorème rappelé plus haut à l'expression Ru, nous aurons

B( (*"-«; ^"-9)B(i(«-0-i,X;i'"-8-i,Y)-IÎ(M"-fl-i,X;i.«-fl)B(M"-0;u"-S-i, Y)

= B(m'>-9-' ; <."-e-i) B(K«-fl, X; v"-", Y),

et, si nous posons

B(«"-0-S X;i.«-0) = Uo^,,

B(u'-C; <■"-»-', Y) = Vo+,, nous aurons la formule

Ra+i B„(i - Uo+, Vo^i = B„-D-, Rfl,

ou, en changeant en fl — i ,

RqB„(i+,-UoVo- B„aRo-,.

Appliquons cette formule plusieurs fois de suite et ajoutons à ces résultats une identité déjà démontrée, nous aurons

RiB„ u,V, = o,

R„Bi — U„V„== R„,B P Bo = — R,,.

Nous pouvons écrire ces équations sous la forme

Ri U|V, li„-i ~ lî„B„,' R, UîVj R,

et, en ajoutant, nous aurons la relation

" RiB„ '

Hosted by

SYSTÈMES DÉQl'ATIOSS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. ^I

39. Les fonctions Uo eL Vg sont respectivement des fonctions linéaires des X el des Y, et ne renferment respectivement que les variables y,, ...,y,tOu

Les expressions Bg sonl des constantes qui dépendent des valeurs attribuées aux arbitraires u et v. Nous concluons de là qu'il y a une infinité de manières de ramener une forme linéaire (P) à. Informe

Cette proposillon correspond à la l'éduction d'une forme ijnadrntlc|iie à une somme de carrés.

40. Mais le calcul précédent n'est vnlable que si les donoinîniiteurs ne sont pas nuls. On peut toujours se placer dans ce cas si Bo n'est pas nul, comme nous en ferons toujours l'hypothèse.

En effet, on a

et l'on pent choisir les arbitraires i(^"'"' et !-''+' de manière i|ue Bq^) se réduise à un mineur quelconque -rr— de Bg [voir § 3i). Tous les mineurs tt— ne sonl pas nuls si Bo n'est pas identiquement nul, car B^ et son déterminant adjoint ne peuvent être nuls l'un sans l'autre (').

Donc, si B,) n'est pas identiquement nul, on peut choisir les arbitraires u' , f' de manière que B, ne soit pas identiquement nul, puis les arbitraires k*, y- de manière que B^ ne soit pas identiquement nul, etc.

41. Si Bo n'est pas nul, les fonctions U,, ...,U„, ou les fonctions V, , .... V„, sont linéairement indépendantes.

En elFet, dans le cas contraire, on pourrait par exemple poser

U, = Cy,T, + .., + C,7,T/, (i = i,a, .,,,/i; i<n),

les nouvelles variables ï étant indépendantes.

De là on conclurait par l'élimination de ces variables n — /<■ relations linéaires et homogènes entre x, , x-,, . . . , x,i. Or, si l'on considère les dérivées partielles de P,

Y! = a,iX, + ...^a,ax. (/ = i, a, . . ., «),

(1) Voir la NciLo sur les Doterii

Hosted by

oL l'une quelconque de ces n—k relations

on pourrait éliminer x,, x-,, . . . , x„ ni l'on oblîendi'aiL un réBiiliat

GiV,-t-...4-C„Y„= o.

Ce résultai esL Incompidible avec l'indépendauce linéaire des fonci jjendaiice caraetérisée par la condltioti

En résumé, la forme P peut être ramenée, d'une indnilé de manières, à la forme (43), et il sera impossible de diriger le calcul de façon que cette forme (43) renferme moins de variables indépendantes que P.

42. Appliquons maintenant les principes précédents à la forme complexe où s est une indéterminée et où l'on a

Nous supposerons que le déterminant de la forme/n'est pas nul. Par suite, le déterminant de la forme F, c'est-à-dire

ne sera pas nul non plus. Ce déterminant sera même de degré n par rapport à s.

Appliquons-lui le théorème de Gauss démontré au § 3S, Nous aurons, avec la notalion du § 38,

de sorte que s entrera dans F explicitementd'abord, puis implicitement par les X et les Y. Si l'on considère pour un moment les X et les Y comme des arbitraires, F se présentera sous la forme d'une fraction rationnelle en s-, dont le dénominateur est du degré n et dont le numérateur est au plus du degré n — î. Mais, si X et Y sont les dérivées partielles de F, le numérateur pourra être du degré « + i . Décomposons cette fraction rationnelle en une somme de n fractions simples,

Hosted by

SYSTÈMES d'ÉQL'ATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET IIOMOGKNKS. /\'3

en nous servanL de la règle de Lagrange qui consiste à chercher, pour une racine S/ de Bo(s) = o, le coefficient de - dans le développement de ——^ — — - ('). Nous donnerons d'ahord à F la forme générale

F = U.Vi U„V^, ' ~ B,iB„, ■■■ |{",B„ '

et nous raisonnerons, sur un terme quelconque divisé par s — Sj — t,

U„-fl+, V„-6-n

On a d'ahord, avee les notations du § 38,

U„û^,= B(z^O-i,X; rO-.) =

On peut remplacer la dernière colonne par une autre, obtenne en retranchant de celie-ci les /(premières colonnes mullipîiées p^ir y,, y^, • ■■■, yn- ^-^ nouvelle colonne, écrite hoi'izontalement pour la commodité de l'écriture, devient

Nous devons remplacer 5 par 5^-1- t dans U„e+i- Nous aurons alors

de sorte que, si maintenant nous supposons que X est la dérivée partielle de F, la dernière colonne deviendra

et le déterminant, développé par rapport 8itx éléments de oetle colonne, prendrjj la forme

U„9 ^1 ^ (s — i,- - a) Ml -!- M,.

(H Voir la Note sur la Règle de Lagrange.

Hosled by

/|4 L. SAIiVAGE.

Les coefficients de U', . .. , U" sont des fonctions linéaires des mineiii-s d'ordre fi — I de B,,, de sorte que Mo est an moins divisible par la môme puissance de t r\\\e B(|,.

Quant à M, il est égal à U„e+, , r|uand on a remplacé X,, .,., X,, par

C'est donc une forme de Bo et il est an moins divisible par la même puissance deo-qne Bo-

Soient /q et i^o-i les exposants de 7 dans Bo et B(|,. On sait f|ite l'on a

Posons dès lors

on, pour simplifier l'écriture, posons simplement

On voit c[ue e est l'exposant d'un diviseur éiémenlaire correspondant au diviseur linéaire ..-s,- dcB, (5).

On pourra donc écrire

U\ et M!, n'élant plus divisiljJes par n. On aura, en outre,

Bo-, =i'o-.llg i:

B(| el B(|| sont deux f|uantilés ne renfermant plus o- en faeteui'. Cela posé, l'expression

(,ï,-^)BoB|,, devient

(j — s,- j)jVaM'|N;

en appelant N', la quantité analogue à, M', provenant du calcul de V„o+i, et en négligeant d'écrire les termes qui ne donnent pas de puisunnccs négatives de 1.

On peut encore écrire

SYSTÈMES d'ÉQUATIOSS BlfFÊREiSTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. /| ^

Or M, renferme linéairement y, , ^^, . . . , y„ et N', renferme linéairement x,, ri, . . , , X„. 11 en sera de même des coeffieicnts de leurs développements par ■apport à <T. Soient

r.c coefficient de - que nous cherchons sera donc

s poserons, pour simplifier,

vojons ainsi que, étant choisie la racine 5/, - nous donneront

Au lieu de réunir tous ces résultats en considérant les diviseurs linéaires .î — 47, s — sj , . . -, considérons les diviseurs élémentaires

et il importe peu que les diviseurs linéaires correspondants soieni distiocis ou non, nous aurons, en ajoutant tous les résultats obtenus,

F=/< + 9 = -2 !<■- ")<•'- '■■-«'■>-.-'l- On voit donc que chaque diviseur élémentaire fournit son lernie dans le déve-

4b L. SAUVAGE.

Joppemenl de F. C'est en cela que consiste l'indépendance des rôles do ces seiirs élémentaires dans le calcul que nous venons de faire.

-^3. De la formule précédenle on tire

Il faut remarquer que l'on doit poser

44. Les expressions Ç sont des fonctions linéaires et homogènes dej',, ...,y les expressions ïj sont des fonctions analogues des x,, . . . , x„.

Nous allons montrer qu'on péril réciproquement exprimer x, , w-î, . . . , x fonctions linéaires et homogènes des r, el y,, y-., . . . , y,, en semblables f tions des ^.

En effel, de l'équation

et, par conséquent, le déten

int de la forme S(h)« est égal

et n'est pas nul. Appelons S ce déterminant.

Si l'on fait le changement de variables qui change les ç en j' et les r, en x, Je déterminant 3 sera multiplié par les deux déterminants de substitution que nous appellerons Sj: et Sj-. Mais, quand les variables sont x el y, le déterminant de S(Çï|)e est celui de/ et est supposé différent de zéro. Soit S( ce délerminani, on a la relation

d'où l'on conclut que S^^ el By ne peuvent primer les x en t, et les y en 'q.

Hosled by

SVSTKMr.S D liQUATlOKS DIFFÉnEiSTlELLES LUNEAIRES ET HOMOGENES. 4/

En tiiilre, puisque les délcrminaiits Sj^ei Oj- ne sonL pas nuls, il y a bien n fonctions ^ et rt fonctions -/i-

•16. Les formules (44) onl clé données par M. Weierslrass. L'éiiiinenL analyste leur a donné eneore une autre forme plus symétrique que' la pt'écédcnle et que nous allons indiquer.

Soient g, h, g', h' quatre nombres, entiers si l'on veut, tels que le déterminant gh' — kg' soit égal à l'unité, et posons

/=-{^-P+ftQ),

Nous tirerons de là

F = {^'s-g') F + {hs^ h') Q =/>P -r- 5Q, en posant

hs — h' = ']. Nous aurons, en outre,

"P + bq = (ag + bh)s ~ (ag' -h bh'j.

Su]}posons que ap -H bp soit nn diviseur du déterminant [1*, (^] et remplaçons a et b par des valeurs proportionnelles, de sorte que l'on ait

ag' -V- bk' ~ Si,

ap -V- bq =^ s — S/.

il résulte de là que les diviseurs élémentaires du déterminant de la l'orme F :^/;P4- çQ correspondront aux diviseurs de la forme F:= — [fs + fp). Si Ton résout alors le système d'équations

ag'+bh^si.

ou aura, on introduisanl un indice pour a et b,

Enfin les équations

Hosted by

donneronl.

46. On voit (loue que, si P et Q sont deux formes bilinéaires telles que le déterminant [ 1', Q] ne soit pas identiquement nul, si g et h sont deux constantes quelconques, telles que le déterminant de la forme gV + ftQ ne soit pas nul, et enfin si {aip + biq)"' est un diviseur élémentaire quelconque du déterminant [P, Q], on pourra poser les formules (4^)-

il. Le coefficleiU de s" dans [P, Q] esL la valeut- de [P, Q] pour/> = g, q^/i; en le représenlanL [lar [^,/i], nous aurons

[P,Q] = [#,A]JJ(«,-/> + t,ï)=.= [g,AjJ^(ï-*7)^-,

-i8. A (in cxposanl Ci correspond dans P un nombre Cj de termes multipliés pai' ai et un nombre e,- — i de termes multip[ii5s par h. Donc à un exposant ei correspondent au,— 1 termes dans P, et de même ae,-^i termes dans Q, lorsqu'on donne à P et à Q les formes (43) qu'on peut appeler canoniques.

Si l'on a 6;=^ I, le nombre des termes dans Pou Q se réduit à l'uni lé.

Si tous les nombres e,' se réduisent à l'unité, on aura le cas le plus simple des formules (4à) sous la forme

Q = 2fc£,v, i

Dans tous les cas, on pourra un peu simplifier les formuies (44) en posant

ff^,, h = <., ff-=i,, h' = i si[PJn'eslpasnul,et

ff = 0, h = -l, ^=[, h'=o

si [Q] n'est pas nuî.

i9. En résumé, étant données deux formes bilinéaires P et Q, si le détei-

Hosted by

SYSTÈMES D ÈOUA'rlOKS DlFFÉRETvTIELl.ES LlPiÉAlllES ET HOMOGÈNES. /|()

minant de la /orme pP -i- qQa ^ diviseurs élémentaires

{a,p -!- iiir)«i, . . ., {a^p -+- b^cjYi,

et il importe peu que les binômes {a^ p + b,c/), ..., (a^p 4- bçq) soient distincts ou non, on peut déterminer n fonctions linéaires et homogènes des y, soient

kl M. ■■■, iU (;-i,a,,,.,p),

r,t R fonctions linéaires et homogènes des x, soient

telles que, pour des valeurs données des constantes g et h et pour des valeurs convenables des rapports j-, on puisse construire les nouvelles formes

et, réciproquement, on pourra exprimer les x et les y au moyen des \ cl des /, de manière à reproduire les formes primitives.