Soient maintenant deux couples de formes bilinéalres et

p'(^'iy), Q'(.r'|y),

et supposons que les dciis déterminants [P, Q] et [I", Q'] aienlles mêmes diviseurs élémentaires.

Nous déterminerons, d'une part, n fonctions linéaires et iiomog-ènes de j,, yn-, • ■ • j /n. soient ^[^ (i= i, 2, . . •, p; |^ = o, i, . . ..«i— i), et « fonctions linéaires et homogènes de Xi,^^, . . .i^'hi soient tiJ

cl, d'autre part, n fonctions semblables ^'|{ de y',, ... ,y'„ et n fonctions semblables ïi^' de x\, . . ., x',„ telles que l'on puisse mettre P, Q, P', Q' en employant les mêmes valeurs de g, h, a, b sous les formes

[^'=2["<(rv).,-/'(ï'V)=^-.],

Q'=2[*4ï'Vk+f(rv).,-.].

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11 est évident que P el P', Q ei Q' ne dKïéi-eroni, (jne par la notalion et. ransforraeront les unes dans les autres quand on posera

Mais ces cqualioiis sonl des relations entre a:,, uju, ..., x,, et x\ , œ'., , . . . , x'„ d une part, etjKi,yî: ■■■!^n^tjK'ii^2ï -■■, ^^, d'autre part. On a vu qu'on peut les résoudre soit par rapport aux x et aus y, soit par rapport aux x' et aux y'. En outre, les formes P, Q, P', Q', une fois qu'on a ciioisi g et h, ne dépendent que des diviseurs élémentaires de [P, Q] et de [P', Q']. On a donc ce théorème, qui esl la conclusion de tous ceux qui précèdent :

Pour que deux formes bilinéaires V et Q je changent simultanément en deux autres P' et Q' au moyen de substitutions convenables des x' aux x et des y' aux y, il faut et il suffit que les déterminants des deux formes

/.1* + ?Q et ^P'-i-yQ'

aient les mêmes diviseurs élémentaires.

M. Pour appliquer le théorème général précédent, il n'est pas nécessaire de décomposer effectivement les deux déterminants [P, Q], [P', Q'] en diviseurs élémentaires.

Si l'on considère les formes fs-+-f, fs'-i-v', ou déterminera, pour chaque ordre de mineurs, les plus grands communs diviseurs de ces mineurs. En leur supposant un cnerdeicnt égal à l'unité, et en les appelant

l'indice o correspondant au déterminant principal et l'indice k aux mineurs d'ordre k, il sera nécessaire et suffisant que l'on ait identiquement

R,.is) = \V,{s) (/c = o,i,a,...,/i-i).

S2. Il sera encore utile pour la suite de démontrer directement que les formes(45)

SYSTÈMES d'iîQUATIONS DlrrÉRESTiEM.ES LmKAIRES ET IIOMOGÈKKS. Ô[

obtenues précédemment, et où l'on a

gai-v hbi~i (i = I, 5, ,.., p),

admettent bien les diviseurs élémentaires {aip -\- biq)''. 53. Posons

Q/=é/(^,).,-i-^(ï'i).,-i, nous aurons

p?, ^ q<:it = (aip + biq)lX-n),-,-r {gq — kp)((i-f,),,-^■

Soient alors

aip -+- bit/ = 11.1, ffq — hp^v;

H, et V sont deux variables indépendantes avec p al q puisque le déterminant g(ti+ hbi n'est pas nul.

Par suite, le déterminant de la forme />P^ + (/Q,' peut s'écrire

Si nous cKerclions de même le déterminant de la forme /jP + ^Q, en posant

(4li) IP.Q] =

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■y2 ï,. SAUVAGE.

et nous en conclurons que l'on doit avoii-

Or, on a <;videnimciiL [P,-, Q,] =± W^/, et w^. sera le seul diviseur élémentaire (le [P,, Q,], car, si l'on efface la dernière ligne et la dernière colonne de ce déterminant, on a lin mineur du premier ordre égal à ±: v'r'. Mais f est indépendant de Ui, elf*'"' ne peut être divisé par «/.

Si l'on a ei=i, m est évidemment le seul diviseur élémenlairc de [Pi, Qi] qui se réduit dans ce cas particulier à un seul terme, le terme «,■.

On uura ensuite

[ 1% Q I = L „; ,4.. . . «;' = JJ(a,7, ^ o^qy..

On en conclut que les diviseurs élémentaires de [P. Q] ne pourront être que les puissances des diviseurs linéaires a,p -i- hiq. Il reste à déterminer leurs exposants.

3i. Cherchons les déterminants d'ordre ra de [P, Q]. Chacun d'eux répond à une suppression de m lignes et m colonnes dans le déterminant principal. Si l'on observe la forme de [P, Q], on reconnaît qu'il est composé de déterminants partiels a;yant en commun la diagonale principale avec [P, Q ] lui-même. C'est ce que l'on a indiqué par des barres sur la figure (46) de ce déterminant [P, Q].

Supposons que l'on supprime ra lignes et nj colonnes, et, pour fixer les idées, supposons que les k premières lignes et les /^ premières colonnes du mineur obtenu renferment les éléments non nuls qui restent après cette suppression dans le premier déterminant partiel [P,-, Q,], k étant ^A'', k''^/t par exemple.

Dans nn terme quelconque du développement du mineur de [P, Q] entreront nécessairement un élément nonnuldela première ligne, un élément non nul de la deuxième, etc., et ces élément s ne pourront appartenir qu'aux^'premières colonnes, les autres colonnes ne pouvant fournir que des éléments nuls dans les lignes considérées. Mais il restera encore k' — k des premières colonnes dans lesquelles il faudra prendre nn élément en dehors des k premières lignes. Cet élément sera nul. Nous concluons de là que les seuls mineurs de [P, Q] qui ne sont pas nuls ont la diagonale principale commune avec [P, Q] lui-même.

Étant autorisés à ne considérer que les mineurs de [P, Q] qui ont la même diagonale principale que ce déterminant, représentons par[P,-, Q,]'"'.' l'un des mineurs d'ordre m du déterminant [P,-, Q(]ou ce déterminant lui-même si ni = o.

SYSTÈMES d'ÉQUATIOKS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES ET lIOMOCtSES. 53

Tous les mineurs non nuls d'ordre ro de [P, Q] pourront être mis sous la forme où l'on suppose

3o, Cela posé, soit ap -\- bg un quelconque des diviseurs linéaires de [P, Q], el soient, tirés de ceux des déterminants [Pj, Q,] divisibles par ap + hq, les diviseurs {ap-i- bqY', [ap + bqY; .. ., (ap -{- èy)*-- qui représentent tous les diviseurs élémentaires correspondants de ces déterminants. .

Nous supposerons que les nombres 60,^1,-..,^^ n'aillent pas en croissant.

Si nous prenons 11x1=^ i , pour les valeurs o, 1, .... ;■ de l'indice ^, et que nous pt'enions précisément le mineur de [P,, Qi] obtenu en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne, le mineur de [P, Q] qu'on formera ainsi en supprimant dans [P, Q] au moins ;■ + 1 lignes et ;■+: colonnes ne pourra pas être divisé par ap -\- bq. Donc les mineurs de [P, Q] d'ordre égal ou supérieur à /■+ 1 n'admettent pas en commun le diviseur linéaire ap-}- bq, et, par suite, il n'y a pas plus de /■ H- I diviseurs élémentaires fournis par le diviseur linéaire ap -\- bq.

Cherchons maintenant l'exposant du diviseur ap H- bq dans les mineurs d'ordre ro inférieur à /■ + 1 • Soit p le nombre total des déterminants [P,-, Q,], on a

Puisqu'il n'y a pas plus de ttt nombres m^, m,, . . ., nip qui ne soient pas nuls, il j en a au moins p ^ ro ou encore

qui le sont.

On pourra bien prendre nuls les p — r — i nombres m qui ne cori'espondent pas au\ indices 0,1, . . ., r; mais parmi ces derniers il faudra en prendre au moins /■ — TH + I qui soient nuls.

Donc, dans le produit

apparaîtront au moins /■ — n; + i des déterminants [P,-, Q,] où i est égal à o, ;, ...,/■. Par suite, chaque mineur de l'ordre rade [P, Q] sera divisible par une puissance de (ap + bq) dont l'exposant sera la somme de /■ — ra-H i des nombres fifl, «1, . . ., Sr' Cet exposant ne sera pas plus petit que la somme

D'ailleurs, si l'on égale à riinité les nombres tn/ auxquels correspondent les exposants Cq, e,, ..., e^^ et à zéro les autres nombres m;, on peut former un uiineiir de [P) Q] qui admette ap -\- bq comme diviseur exactemenl au degré ^CT-H^CT+i H-- ■ -+6^ et qui soit d'ordre ra. On en conclut que {ap + bcjY«+---'^°r est la plus haute puissance de ap + bq qui divise à la fois tous les mineurs d'ordre ro de [P,Q].

Posons alors

h^e^ + Ci^. .-h en-l-----Her,

lr,-^-e^-,^l^ =

l^-l, = e,„ /, — /., = Ci, . . . , /,.-, -;,.= <■

1(1, l,, . . . , Ir seront les plus hauts exposants des puissances de ap -H bq respectivement dans le déterminant principal, dans ses mineurs du premier ordre, etc., dans ses mineurs de l'ordre ;■, Si l'on se reporte aux définitions posées au début du Chapitre, on voit que

sont les diviseurs élémentaires de [P, Q] qui correspondent an diviseur linéaire ap -\- bq.

Les nombres e ne vont pas en croissant : c'est une condition à ajouter à celles qu'on a trouvées dans les définitions du début.

56. Puisque les formes canoniques de deux formes bilinéairesPet Qne dépendent que des diviseurs élémentaires du déterminant [P, Q] et de deux constantes arbitraires g et h, on en conclut que si on laisse arbitraires g et h, et si l'on fait une double substitution générale dans des formes canoniques construites a priori, on obtiendra les/ormes bilinéaires les plus générales correspondant aux diviseurs élémentaires que l'on a choisis.

57. Dans le cas où le déterminant [P, Q] a n diviseurs élémentaires, plusieurs pouvant provenir de diviseurs linéaires égaux entre eux, les exposants e^^e,, ...,er sont tous égaux à l'unité. Les formes canoniques deviennent simplement

SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 5'J

Réciproquement, le déterminant de la forme

admet les diviseurs élémenlaires

ciiP + Oiq, ..., a„p-^b„'j.

Il faut donc, pour que P et Q pnissenl prendre les formes précédentes, que le déterminant [P, Q] possède n diviseurs élémentaires. Mais [P, Q] renferme chacun de ces diviseurs à la première puissance; tous îcs exposants e sont égaux à l'unité, et, pour un même diviseur linéaire de [P, Q], on a

h- ^ = t, lt-h=\.

En conséquence, un même diviseur linéaire du degré le, de multiplicité fournit /fl diviseurs élémentaires dont les exposants e sont égaux à l'unité, et ce diviseur linéaire est commun à tons les mineurs d'ordre /„ — i . On a donc ce théorème :

Pour que les formes P e( Q puissent s'écrire

l,i et T,i étant respectivement des formes linéaires et Jtomogènes des y et des x, il faut et il suffit que tout diviseur de [P, Q] qui entre comme diviseur linéaire au degré Iq"^ i soit en même temps un diviseur commun de tous les mineurs de l'ordre lo — i de [P, Q].

58, Considérons enfin les deux formes biiinéaircs

et supposons que l'on veuille par une double substitution linéaire passer de Pà P' on posera

(-i9) yi= c/iji + ■■■-*- '^;«^«,

et l'on en déduira

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(5o) ^,- = cu^; + ...-i-c,„<.

Il est cvideiit que l'on peut remplacer les y et les y' par des fonctions qiielconc|Lies, pourvu que l'on respecte les équations (49) ou, ce qui revient au même, les équations (5o), ces deux sortes de relations s'entraînant l'une l'autre qUand on pose P =^ P'.

Remplaçons en particulier les y par des combinaisons linéaires d'eiis-mêines, soil pitr exemple j', par

de sorte que P deviendra la forme bilincaire générale

Remplaçons de même les y' par des combinaisons analogues, soit^'^- par de sorte que P' deviendra la forme bilinéaire générale

on suppose que les relations (5o) sont conservées. On devra donc avoir

{r,i) 2a;jj;-= Cl (dnj'i -H... -l-«i„7«)-l-...-+- c(„(a,„7i -+■-.--+- n«,,7")-

Peul-on satisfaire à ces relations (5i) tout en conservant les relations (49)' R faudra que l'on ait

(5a) <!ii(c„>',-!-... + c„,>-„)+...-l-«rt(c„,j)'i-l-... + C;„j„)

-= c;,(«i,j-i + ,..+ «fi„j'„)+.,.-t-Cf„ (,«„,/, + ... + a„„j„)

ou encore

(53) a/iC,y+... + a;,c„y=c„ai^-H...+ c/„«„; (i, j = \, :>.,.. .,n).

Réciproquement, si ces relations sont satisfaites, on aura identiquement les relations (Sa) et, à cause des relations (5i), on aura

(5,1) '»li(cnr,+...+ Ci,,j,0+--.-l-«;-„(c„,7i-l-----l-c„„7„) = «;,J';-+-...+ n;„r;r

Or, le déterminant des c n'étant pas nul et celui des a n'étant pas nul non plus, on remarquera que les relations (53) expriment que le produit du détermi-

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S\STÈJ[ES d'ÉQUATIO.NS IMFFÉIIENTIELLES LISÉAIRES ET IIOJIOGÈSES. OJ

nant des a' par le déterminant des c est égal au produit du déterminant des c par celui des a- Donc le déterminant des a' n'est pas nul, et les relations (54) entraînent les relations

(43) JK;=Cii/i-i-...+ c,-„r,(.

Par suite, ponr qu'une môme substitution double

ramène à la fois P à P' et Q àQ', il faut et il suffit que les relations (33) existent, Mais alors les déterminants des deux formes Q ^ (oPet Q'~ wP' auront mêmes diviseurs élémenlaîres, et réciproquement si Q — n)P, Q' — wP' ont mêmes diviseurs élémentaires, on pourra calculer les relations (55), qui auront bien ia forme indiquée à cause de la forme spéciale donnée à P et à P'.

En résumé, si l'on a les relations (53), les deux déterminaiiis

ont mêmes diviseurs élémentaires, et réciproquement, si ce fait a lieu, on a les relations (55) et, par suite, les relations (53).

Nous aurons à appliquer ce théorème final dans la théorie des équations différentielles.

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CHAPITIiE III.