DES POINTS SINGULIERS

59. On petit faire remonler l'étude des points sing^uliers au célèbre Mémoire de Piiiseux sur les points algébriques; mais le travail fondamental, relativement aux points singuliers des intégrales des équations linéaires, est celui de M. Fiichs.

60. Nous avons supposé dans le Chapitre premier que la variable x décrivait, dans le plan des x, un chemin quelconque partant d'un point initial Xa et conduisant à un point terminus quelconque, ce chemin étant assujetti à la condition de ne passer par aucun point singulier des coefficients des équations différentielles linéaires (n" 2 et suivants). Nous considérerons maintenant le cas, plus spécial, où le point terminus se confond avec le point de départ. La variable décrira donc un chemin fermé. Les éléments des solutions du système

auront pris des valeurs nouvelles. Nous déterminerons I influence que peut avoir sur ces valeurs un point slnguUer entouré par le chemin fermé décrit par la variable X.

61- Nous supposons toujours que, dans une région ï du plan, les fonctions «,,■ qui entrent dans les équations (A) soient uniformes et continues, sauf en certains points que nous appelons singuliers. Quel que soit le chemin fermé suivi par la variable x, les coefficients aij reprendront au même point du plan la même valeur. Ces fonctions sont d'ailleurs régulières en chaque point non singulier, c'est-à-dire sont développables dans un domaine convenable de chaque point X ;= a, en séries convergentes de la forme

Soient jKi, J'ai ■■■lyn les éléments d'une solution. Nous appellerons Y, ,Yï, ...,Y„ les nouvelles valeurs de ces éléments, quand la variable ayant décrit un chemin fermé recommence à le parcourir.

Cela posé, le théorème fondamental est le suivant :

Si la variable indépendante revient à sa valeur initiale, les nouvelles va-

SYSTÈMES D ÉQUATIOMS DIFFÉRENTIELLES LlNÉAir.ES ET HOMOGÈNES. 09

leurs Yij des éléments d'un système fondamental de solutions sont liées aux anciennes yij par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la. form,e

(56) Y,y=C;,jaH-...+ Cy„/,-„ {i,j=l,'A,...,n).

En effet, si l'on eonsidère les fonctions qui dans le mouvement de la variables; parlent d'abord des valeurs Y,'y, on sait qu'on peut les exprimer linéairement au moyen des fonctions jk,/, ce qui démontre le théorème précédent.

On remarquera que le déterminant des constantes C est différent de zéro; car les fonctions Yij forment un système fondamental puisqu'elles continuent les fonctions yij, et il faut qu'on puisse exprimer les fonctions j',y an moyeu des fonctions Y,j.

62, Supposons que le chemin fermé décrit par la variable n'entoure aucun point singulier. Nous allons montrer que les fonctions ;r /y sont uniformes et que, par suite, les relations (!)6) se réduisent à la forme

Il existe un domaine du point de départ x^ où les fonctions a sont régulières. Sans sortir de ce domaine, allons à un point X{ . Il existe, dans le domaine considéré, 71 fonctions y^, y^, . . ■ , y,, satisfaisant aux équations (A), et qui ont au point Xa des valeurs arbitraires ■/\\„, ..., ïi«d. Quand la variable x sera parvenue en ^r,, les fonctions y auront des valeurs bien déterminées -r^n, . . , , ï;„|. Le point X, n'est pas un point singulier des coefficients a. Il existe pour ce point un domaine dans lequel la variable x pourra passer du point x, à un point x^ et les fonctions y passeront des valeurs ïim ■ ■ ■ i"ini aux valeurs déterminées ■lia, ..-, ■^«2.

En avançant ainsi de proche en proche, on arrivera à un point terminus quelconque. Nous supposons dans ce Chapitre que nous revenons au point Xi, luimême.

Cela posé, remarquons que les domaines successifs sont formés de cercles qui empiètent les uns sur les autres. Prenons arbitrairement un point x\ dans la région commune aux domaines des deux points a^o et X\ ; puis prenons un point x'.^ dans la région commune aux domaines des deux points Xi et a;^, etc.

Joignons le point Xa au point x\ par un chemin quelconque tracé dans le domaine du point 3^11, puis le point x\ au point x',^ par un chemin quelconque tract; dans le domaine du point X{ , etc.

Nous pourrons substituer le chemin Xi,x\x'.^. . . au chemin XqXiX^. . ..

En effet, on peut évidemment substituer au chemin nouveau le chemin obtenu

6o L. SAUVAGE.

en allanL du point Xa au point a;,, clii point .t\ au point x, dans la partie commune à deux domaines, du point a:^ au point x[ parle même chemin, du pointa^', au point iCj, du point;*;!^ aa point x^ et du point a:» au point x'„ sans sortir de la partie commune à deux domaines, etc. ; or le chemin direct XoX, et le chemin iCox'fX, conduisent aux mêmes valeurs ïi,,, ■ ■ ■ i Vjm, car on n'est pas sorti du domaine du point œ^; le chemin x,x',.v'.^Xî et le chemin direct XiX^ sont de même équivalents, etc. Il est en outre évident que le chemin x\x, par exemple, étant décrit successivement dans les deux sens, ne change pas la valeur de la fonction et peut être supprimé.

II résulte de là que, connaissant les valeurs initiales des fonctionsyi,/2; -■-)JKh au point a7fl, on peut revenir à ce point Xq par deux chemins fermés voisins différents sans changer les valeurs initiales des fonctions Y.

Mais alors, si le chemin fermé décrit par la variahie x peut être déformé dans la région T d'une manière continue en ne rencontrant pas de points singuliers, on pourra le réduire au point Xo lui-même. C'est ce qu'expriment les relations

Jt^n lêsumé, les rlibnciils des solutions du système. (A) sont des fonctions uniformes dans toute région qui ne renferme pas de points singuliers des coefficients a.

63. Les relations (36) sont caractéristiques des solutions des systèmes (A.) d'équations différentielles linéaires et homogènes.

Soit, en effet, D le déterminant, supposé différent de zéro, de n- fonctions ya {hj ^= 'i ■*; ' ■ ■} '*) d'une variable indépendante x, régulières en tous les points X, sauf en des points singuliers^ lorsque la variable reste dans une région T du plan. Supposons que cette variahie x décrive un chemin fermé ne passant par aucun point singulier et revienne à sa valeur initiale. Si les «* fonctions prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants, telles que les relations (56), ces fonctions forment un système fondamental de solutions d'équations de la forme (A), dont les coefficients a sont uniformes, et n'ont pas d'autres points singuliers que les points singuliers des fonctions.

Nous démontrerons cette proposition en formant un système d'équations tel que (A), auquel satisfassent les n solutions

ru, y-U' ■■■• J'"j iJ = !,■■*, ■-■,«)-

SYSTÈMES D ÉQUATIONS Dd-réREMTIËLLES UiSÉAlRES ET HOMOGENE!

7ji

dyu

■ :r-ii

D ai,, ^

fut

■ ■ (fa- ■

c'csl.-à-dire que nous pourrons calculer les cocflicients a,

Ces coefficients sont exprimés par le rapport de deux déterminaiiLs. Le dénominateur du rapport est toujours D; le numérateur est le résultat oblenii ea remplaçant dans D les éléments d'une colonne par les dérivées des fonetious j'i/. Les éléments des deux déterminants prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la forme (56), quand la variable x a décrit son cliemin fermé. Les constantes sont les mêmes pour les éléments homologues des deux déterminants qui forment le rapport. Les deux termes du rapport sont donc multipliés par le même déterminant des constantes. Donc le rapport ne change pas et les fonctions a sont des fonctions uniformes.

Il résulte du calcul des coefficients a qu'ils ne peuvent avoir d'autres points singuliers que ceux des fonctions yij elles-mêmes.

Enfin, le déterminant D étant différent de zéro, les fonctions yij forment nu système fondamental de solutions du système d'équations difféi-cntielics

Qi. Prenons l'exemple donné par M. Tannery.

Soit y^(y, a;) ;= o une équation algébi-ique rationnelle, entière et de degré n enj'. Cette équation définit n fonctions y,, y-i, . . ., y„ qui sont régulières en tous les points du plan, sauf en des points singuliers algébriques. Si la \ariable décrit son chemin fermé, ces n fonctions prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations telles que les relations (56) et même de la forme la plus simple. En effet, en un point x, l'une de ces fonctions doit rester la même, ou êti-e remplacée par l'une des autres, après que la variable a fait le tour du point w. Cela résulte de ce que l'équation algébrique ne peut fournir que /' fonctionsjK dilï'érentes.

Les dérivées successives des fonctions y seront des fonctions satisfaisant au\ mêmes relations que ces fonctions elles-mêmes. Nous considérerons comme inconnues auxiliaires ces déi'ivées jusqu'à celles de l'ordre /; — i înclusivcntent.

Déterminons y par la relation algébrique

62 L. SADVAGE.

du degré n &t\y. Les »^ fonctions inconnues que déterminera cetle équalion satisfont à un système différentiel tel que (A), lorsque leur déterminant n est pas nul, c'est-à-dire quand elles sont linéairement indépendantes. Dans le cas contraire, le système différentiel renferme moins de n inconnues.