DE LA FORME ANALYTIQUE DES ÉLÉMENTS DES SOLUTIONS

77. Oq sait, depuis Euler, intégrer complètement les équations et les systèmes linéaires et homogènes à coefficients constants.

Considérons d'abord une équation linéaire, homogène et à coefficients constants de la forme

Cette équation peut être remplacée par le système équivalent

On intègre ce système en posant

et en déterminant les inconnues par îes conditions

Ces équations (69) entraînent la relation

H Pi P". Pi

L'équation F(/-) ^= o est appelée Véquation caractéristique. Si l'on élimine directement les inconnues C, on a

1 ^ dyk

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S-ïSTÉHES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 79

et, par suite de la première équation (69),

Les diviseurs élémentaires du déterminant F{/') se confondant dans le cas des équations d'ordre n avec les diviseurs linéaires du polynôme F(/') ('), il suffit de résoudre l'équation algébrique F (r) = o de degré n pour connaître les diviseurs élémentaires du déterminant F{r).

Soil (;■ — r,y- lin diviseur élémentaire ou linéaire quelconque du déterminant F{r). Ce déterminant F(r) et ses dérivées successives admettront (r ^- r,) comme diviseur jusqu'aux dérivées de l'ordre e, exclusivement. En conséquence, si l'on pose

et si l'on considère l'équation

on voit que l'on aura successivement

On en conclut que chaque diviseur élémentaire (r — r, )'• fournit e, solutions, et, par suite, qu'on peut former n solutions des équations (68), ou encore n intégrales de l'équation (67).

Ces intégrales sont linéairement indépendantes. Car supposons que l'on ait identiquement

Remarquons que l'on a en général

(■) foiV Chapitre T, Q- 1%

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oO L. SAUVAGE.

L'idcnUlé précédente rcvieiidiail donc à la suivante ou encore à l'cqualion

— («i^6il: + ...-l-/ia^'.-') = ';"'-'''''^(a! + ... )+■-■-

Or le premier membre de cetle équation s'annulerait pour iin nombre fini de valeurs, le second aurait au eontrajre une infinité de racines, puisque les exponentielles ne peuvent disparaître identiquement. L'identité est impossible.