Considérons au même point de vue les équations

où l'on suppose constants les coefficients «.On trouve des solutions de ce sjsl en posant

(70 r^=Cie^\

cl en déterminant les inconnues /■ et C,- par îes équations

L'équation F(r)^ o est dite encore l'é^iiaiiOn caractéristique.

Larésolation de l'équation algébrique F(;-)^^o de degré n ne fournit pas, comme dans le cas précédent, les diviseurs élémentaires du déterminanl F(r). Il y a lieu de les chercher, et ils peuvent être distincts des diviseurs linéaires.

Sans entrer dans le détail du calcul qui résultera de paragraphes plus éloignés, on peut remarquer que toutes les solutions auront la forme de polynômes en e'i^, . ,,, e''f*', dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes en x, et, par suite, le point oo est pour les éléments des solutions un point singulier de même nature que pour les fonctions e''^. C'est-à-dire que, dans le domaine du point ce, les solutions seront composées d'éléments uniformes, et continus en tous les points, sauf an point x=(», où chaque élément de solution sera de la nature de c'-''

SYSTÈMES D ÉQUATIONS IMFFÉREKTIELLES LliSIJAlIiES ET HOMOGÈNES.

le Système (A) deviendra

et l'on voit qu'au poinl a: ^oo, ou x' ■=■ o, tous les coefficients des équations (A') cessent d'êlre continus.

Pour étudier l'intégration complète du système (A), nous ferons un changement de variable indépendante qui ramènera le système (A) à une forme plus impoitante que nous étudierons plus loin avec tous les détails nécessaires.

Nous poserons

et, par suite,

dy dy dz dy

dx ds dx ds

et le système (A.) deviendra (A")

en rétablissant la lettre x pour désigner la variable indépendante.

C'est sous la forme (A") et d'une manière tout à fait générale, c'est-à-dire en ne stipposant plus que les coefficients a soient des constantes, que nous intégrerons le système (A).

Ajoutons une remarque. Le changement de variable e'^^z z donne bien ^ comme fonction uniforme de x \ mais on a jt =^ 'ogs, de sorte que x n'est-pas uniforme en 5 dans toute région du plan qui renferme le point s ::= o ou le point s =^ oo,