Nous considérerons maintenant le système le plus général
dyi
en supposant que les coefficients a soient uniformes dans le domaine de l'origine. Rappelons qne l'origine est un point quelconque. Nous supposerons, en outre, que le point a: ^ o est un point singulier ou non des coefficients a.
Soit R((i>) le déterminant qui résulte de la considération des éléments d'un système fondamental de solutions, quand la variable x fait le tour de l'origine.
Soit
S. Il
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Sa L, SAUVAGE.
lin diviseur élémenlaire quelconque de R(w), Ou peut ramener le délenninant R{(i)) à une forme canonique R'(ti)), comme on l'a vu dans la théorie des diviseurs élémentaires (Chapitre II, a" 53). Cette forme étant unique, Ja méthode de recherche d'un système spécial de solution des équations (A) doit conduire précisément aux solutions qui correspondent à la forme canonique R'(co). Nous avons exposé cette méthode pratique aux n"' 68 et suivants du Chapitre III.
Nous voulons maintenant étudier directement le système spécial de solutions des équations (A). Nous considérerons ce système comme étant seul de son espèce, quoiqu'il reste dans sa construction une certaine indéterminaiion. En effet, si deux solutions, par exemple, satisfont aux relations
Yi = (u^i et Y^ = 'ay),
on peut, dans certains cas, !es remplacer par des comLinaisons
aYi-hbYi, a'Yi^b'Y'i,
pourvu que le déterminant ab' — ha' soit différent de zéro. Abstraction faîte de ces modifications possibles qui n'ont aucune importance dans nos ibéories, nous pouvons dire que le système spécial de solutions est unique. Ce système spécial est caractérisé par les équations suivantes.
Soit {w/i — u)^< un diviseur élémentaire quelconque du déterminant R((d) ou de son équi'^alent R'(ti)), il y a e/, solutions satisfaisant aux relations
et les n solutions dont les éléments entrent dans ces équations forment un système fondamental.
80. Pour plus de simplicité, considérons nn groupe de relations de la forme I Yj = (uj, -1- >-, ,
(75) Posons
de sorte que u augmente de \ quand la variable x fait le tour de l'origine.
SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENÏIKLLES LINÉAIRES HT HOÎIOCÈSBS. 83
Soit fin) une foncLion enlière du degré m — i formée arliitrairemcnt avec u et des coefiicients A,,, A,, ..., A,„| uniformes dans !e domaine de l'origine. Définissons enfin /■ par la relation
t appelons Aj/((i) la différence d'ordre k de /(«) par rapport à l'accrois ement i de ;;.
On pourra donner aux fonctions y\ , y^, ■ ■ . , ym les formes
0(1 voit fine i„,i /(h) = 1.2 . .. (m — i)A-m-\ ne contient pas u cl que y, est la seule fonction^ qui ne contienne pas de logarithmes.
D'abord les expressions précédentes satisfont aux relations imposées. En effet, on a
Ensuite on peut toujours donner aux fonctions y,, . .., y„, les formes précédentes. En efi"et, j', a;-'' est «ne fonction uniforme dans le domaine de l'origine, et l'on peut la représenter par ùj'"-' Ant-i /(«); on tire de là
On peut poser ensuite d'où
Si Ton veut satisfaire à la rekiion
on posera
En représentant par [y]' ce que devient une expression -iJ, quand ou tourne autour de l'origine, et remarquant que l'on a
on
vol
1 ,,™ l'on .
-,/(,or-^-
s — \,„-,/[u) est donc une fonction uniforme de x. Dans le domaine de l'originc, on peut poser simplement
en réunissant celte fonction uniforme au terme indépendant de im j/(»)- On a ainsi
Oïl l'eniontcra ainsi de proche en proche.
La suite des expressions précédentes montre que l'élément y„n C{ui contient la plus haute puissance de loga;, renferme les m fonctions de x, uniformes dans le domaine de l'origine, qui entrent dans le groupe des expressions jt, . .., y,,,-
Les relations entre les coefficients des puissances de m, dans les différents éléments du groupe, sont nijses en évidence par la forme des expressions précédentes. Le nombre de ces coefficients est
Il y en a i)i arbitraires, On peut donc dire que ces éléments sont liés entre eus par
'Jli!'l±'}-,n ou '" ("'-')
relations distinctes.
8i. Appliquons les résuîtats précédents aux fonctions^ qui satisfont aux relations (74)-
Nous anrons, ponr les éléments des solutions du système fondamental spécial, les formes analytiques suivantes, valables dans le domaine de l'origine
