Dans les relations (77), posons

Hosted by

SVSÏÈJ1ES d"é(JUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉATFiES ET ITOMOGÈ^JES. 85

Nous aurons, en général,

ou encore

Nous poserons

Nous en concluons que, dans le domaine de l'infini, nous devrons, dans les formules (78), ciianger les signes de u et de r.

83. Nous terminerons ces études d'intégration par les séries, en montrant que les éléments des solutions du système général

jouissent de propriétés spéciales qui les rapprochent des fonctions algébriques. Nous venons de voir que les solutions d'un système (A.) quelconque s'obtiennent par des combinaisons linéaires d'expressions de la forme

^^(A„-i-A,l<,g^ + ... + Atlog*'a-).

Si les parenthèses sont infinies d'ordre fini pour a: = o, c'est-à-dire si l'on peut trouver un nombre entier a tel que le produit

a^*(A(,-+- Alloua; -!-...+ Ai log* a;) soit nul pour a: = o, on dit, d'après M. ïbomc, que, quel que soit r, l'expression

^'■(Ao + ...t-A^loe*.r)

est régulière au point x = o. Il suffît évidemment que les fonctions A ne renferment dans leurs développements qu'un nombre fini de puissances négatives x.

Toute combinaison linéaire et homogène à coefficients constants d'expressions régulières étant aussi appelée régulière, nous allons montrer que tous les éléments des solutions du système (B) sont des expressions régulières, quand les coefficients a sont holomorphes dans le domaine de l'origine.

8i. Voici, d'après M. Hovo, la manière d'intégrer le système (B), c'est-à-dire le système

nyy-^... + ai„y„ {i ^ i ,1, . . . ,1),

Hosled by

iSO L. SAUVAGE,

où l'on a

(Ho) ^,-j=al^^a}j^...,

dans le domaine de l'origine.

Soient

(8.) ^.= ,^.ç^ = a.-ÏO^t.^^^,^...) {<■ = !, 2, ..,7i)

les éléments d'une solnlion du système (79). Nous avons déjà vu qu'il existe une telle solution, et que les séries ^i sont uniformément convergentes dans un certain domaine de l'origine (Chapitre I, n° 4).

En ponant les valeurs (81) dans les équations {79), on a les relations en nombre infini

Toutes les valeurs initiales r^f des séries tp,- ne sont pas nulles. Donc, d'après les équations {82a), /■ doit être l'une des racines de l'équation caractéristique

Or, laissons de côté précisément les conditions (Ssa); nous pourrons eonsidérer dans toutes les autres la lettre /'comme une arbitraire, el nous aurons, par un calcul de proche en proche,

* = y ?iiS!± .0

expression dans laquelle sr est une fonction entière des lettres /', af:, a'-, .. ,, rij Le dénominateur commun ne peut s'annuler que si 7--+- 1 , 7-4- 2, ... ou r-j-

satisfait à un moment donné à l'équation caractéristique F(7-) = o.

Appelons /-,, /'a, . . . , /■„ les n racines, distinctes ou non, de cette équalioi

On aura à ce moment

Hosled by

SYSTÈMES D ÉQL'ATCOSS DIFFÉREiNTl ELLES LINÉAIRES ET IlOMOCf^XKS, H7

Mais k croit indcfinimcnl dans la suite des relations (âa). Il suffit donc d'é-

On voit ainsi que les tp* seront finis, ou infinis d'an ordre varié.

Fixons maintenant les valeurs des indéterminées r, ts", ..., œ" d'après les règles

1" Soil un groupe

de fj: racines de l'équation caractéristique, telles que deux quelconques de ces racines diiTèrent d'un nombre entier.

Il peut y avoir d'autres groupes pareils à celui-là.

Nous supposerons que la suite de ces valeurs no va pas en croissant, et nous

rfs, d^, . . .,d^ étant des nombres entiers positifs. Ces relations peuvent encore s'écrire

Si les nombres r sont imaginaires, c'est sur la partie réelle que porte le cal La conséquence que nous avons en vue est la suivante. Toutes les os sions

V(r-\-di,,-i-l-du.),

F{r -i- ds-h. . .-h dy,,-t- d^) s'annulent pour

que nous représenterons seulement par fa-

2° Nous prendrons les arbitraires -f" dont les valeurs proportionnelles interviennent seules dans le calcul, avec un facteur r — /■„ élevé à une puissance nécessaire et suffisante pour que toutes les expressions a^ restent finies et ne s'annulent pas toutes pour ;' =: l'a-

Hosled by

3" Enfin nous donnerons à /■ une des valeurs r,, /'a, . .., /'« qui satisfont à l'ëquation caractéristique, et nous choisirons les quantités tp" de manière à satisfaire aux équations (Saa)- ■

n esl évident que les expressions y,- (-81) ainsi déterminées satisferont aux équations (79), et que les séries tp,- seront absolument convergentes dans un certain domaine de l'origine, comme au n" 4 du Chapitre I.

Voici maintenant les résultats généraux du calcul ainsi préparé. Re|ircsentons par (85) Mj,, . , ., j„) = -^'^^+^^'-jrj {Lj = >,^,...,n)

les expressions qui, égalées à 7.éro, donnent les équations (79).

En supposant d'abord les lettres r et f^ indélerminées, nous aurons identiquement

(86) M^'-fu . .., ^■'■o„) = ^'■j; («?/- '-S'/i ?;■

Choisissons cp", ..., o", de sorte qu'aucune des quantités ca^^ ne devienne infinie pour r= l'a, et en outre de manière que

s'annule /( fols pour /■ = /„, A étant un nombre entier quelconque. Nous devons

Mais

àr'- ■" \ dr>- ài-^ j

Nous vo^'oni

'' pa'- SLl

Ite, que l'on peut former les h sol

tème (79)

(89) ^,=...„|^;t^-^iog.+...

Les parenthèses de ces expressions, renfermant les dérivées de séries uniformément convergentes, auront pour les puissances de loga^ des coefficients, euxmêmes uniformément convergents.

Hosled by

SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET IIOMOGÈKES. 89

C'est avec ce programme général de calcul que nous allons construire nn système fondanicnlat de n solutions du système (79). Nons emploierons mainlenant les notations de M. ITorn, en les modifiant très légèrement.