Nous considérerons plusieurs cas

Premier cas. — /)(, étant une racine de l'équation caractéristique P(/)) = o

fournît r diviseurs élémentaires simples

du déterminant P(/>)- D'ailleurs, entre p» et toute autre racine qui ne lui serait pas égale, il n'existe pas de différence entière.

Soit p,, une quelconque des racines égales à Pq, nous pouvons poser

s« = .rz-W^) = ^^ [(ÏO.-H«^(i;«),+ ^'(Ï^X + - ■ ■] (=c = 1, -2, . . . , /.)

ï). étant une constante, ou une fonction entière de p qui ne s'annule pas pour p=Po-

Soient Ç^les séries calculées dans ces conditions, mais où p reste indéterminé, on aura, à cause des équations (86) et (y3),

et, par suite, si l'on pose les éléments

constitueront une solution des équations (79).

Celte solution est régulière. De plus, pour x = o, la valeur initiale de Ç).(a;)) étant £Xi c'est-à-dire une valeur qui n'est pas nulle, cette solution appartient à l'exposant p^.

En général, en employant le tangage de M. Fuohs, nous disons que toute solution des équations {79) de la forme

yi = a-p(B/ -i- y,i loga; -i- . . .-h tp; \(ig''x)

est de forme simplifiée, et appartient à l'exposant p, lorsque toutes les fonctions 9, ï"i, . . ■ , » sont holomorphes dans le domaine de l'origine, et que l'une d'elles au moins ne s'annule pas pour x =^0.

L'équation (96) fournit /■ solutions appartenant à l'exposant /?o, lorsqu'on remplace \ par les indices successifs

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92 L. SAi;VAGlL.

Cos /■ Holiilions sonl liniSaireincHt indépendanLcs, car, si Vo

ce cjiii esL impossible, à moins que les coiislanLes G), ne soient loiUes nulles.

Deuxième cas. — Les racines pi; . . ., pi- fournissent, /V une part, des qroupes de /■",'■', .-., r" racines égales entre elles

}'v, =--pvi = ---= Pi';.,, = />)," = P'i'

el, d'autre part,

r" diviseurs élémentaires simples p — pu de P (p),

D'ailleurs, entre p^, p,, . . ., p„ et toute autre racine gui ne soit égale à aucune d'elles, il n'existe pas de différence entière. Enfin les différences

sont des nombres entiers positifs.

Considérons un groupe quelconque correspondant à l'indice s, et posons

(97) ('.XO. = '^viP -Pi'Y. a-A = (a ^ X'-, \' ^ A',; X',; . . .; ).;.,);

nous aurons, en vertu des équations (86) et (gS),

PxK^"ïM . ■ ., ^"U) = -'-->A.p-p,-y^'x'\

SVSïKMISS d'équations DIFFÉRESTdîLLES LIMli-URES ET HOMOGÈNES. En elTel, !e dérennînanL !*(/)) a la forme spéciale

et l'expression qui ejilre dans les équalîons (86) se réduit, à cause à thèses (97), au seul terme

ou encore à

Les ['+ I expressions

eronl des solvuions l'cgiilièrcs du système différentiel (7y). Mais les formidcs (82) (excepté la première) conduisent à l'exprr

Q(p)-fp -/:.)■■■(/>-/>..)

et où Ç(j>} est une fraction rationnelle cny>ne devenant pas infinie pour p,, ■■.,/>„.

Par suite, pour p ^pi,

(ïa)o (Mtl^-i s'annulent au degré i par rapport à />,

(ïï)rfn ■ ■ ■> (Ca)i;j+rf:i-i s'aanuleat au degré i — T,

{Cï).'(+...+i' (iîiV,-+..,+rfi-i s'annulent au degré i

On peut afors poser

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g4 L. SAUVAGE.

Mais, la valeur iniuale de Kv{^)l' étant égale à

l (àpy J„.

n'est pas nulle. On en conclut que, dans les i-\- i expressions (y8), la dernière on simplement

apparlicnl à l'exposant pi- Cette solution est de la forme

Ce sera la seule que nous considérerons ponr la valeur ').'.

On a donc le Tableau suivant de solutions, dans le développement desquelles tous les termes sont séparément de forme simplifiée,

Dans ce Tableau, il y a

Les I séries i!,^(x)ii qui entrent dans Sj peuvent s'annuler de différentes façons, de sorte que tout ou partie des logarithmes peuvent disparaître.

Les solutions (99) sont linéairement indépendantes. Car, si l'on avait la relation

on en déduirait

En divisant par a;Pi>, et en faisant ensuite x^:^ o, on aurait

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SYSTÈMES d'iîQUATIOKS DIFFÉRENTIELLES LIKÉAIlifclS ET IlOMOGÉiSES. qS

ce qui est impossible si les Cj," ne sont pas tous nuls. De mt^rac les Cyi-> seront lous nuls, etc.

TROISIÈME c.vs. — La racine p^ de l'équation caractéristique fournit les dîçiseiirs élémentaires

du déterminant P(p)- D'ailleurs, entre po et toute racine qui ne lui serait pas égale, il n'existe pas de différence entière.

Au diviseur élémentaire [p — PoY'^ correspondent par exemple les énjuations

rf^gC).)

l'osons, en conséquence,

(Ka-\ =^-).{p~p,r-:

\ (UW). = ^)„

SX étant une constante, et prenons nulles toutes les outres quantités {'Caj^- Soient ^5 = Ça{a^)l les séries déterminées dans ces conditions. Nous aurons les relations

En effet, on a, par exemple, identiquement Posons alors

Les seconds membres ne seront pas tous nuls pour ^ = o. En cffel, d'après

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gfi r,. SACVAGK.

Je. formons (,oO,

se L-iïdiiisent à s). pour j; := o.

En conséquence, on peut former !e groupe de e\ solnll

4' =^"..tci(^)>.-^a(^)xiogj^i,

appartenant toutes à l'exposant jD^.

On remarquera que la dernière relation fait connaître loutcs les aulies, puisqu'elle renferme tous leurs coefficients.

Les solutions (io4) sont linéairement indépendantes; car, si l'on avait la re-

en divisant par xP- les diverses équations qui s'obtiennent en égalanl à v.éro Ses coefficients des diverses puissances de logj;, on reconnaîtrait qu'en faisant 37 = o on doit avoir

QuATRiiîME CAS. — C'est le cas général.

Les racines p„, p,^..., p„ de V équation caractéristique fournissent les diviseurs élémentaires

D'ailleurs, entre ces racines et toute autre racine qui ne serait pas égale ï l'une d'elles, il n'existe pas de différence entière. Enfin les différences

nt des nombres entiers positifs, de sorte cjue l'on a

' Po — P'i "l~ '-^ti -I- - . . -H rf] .

H^j^, (es indices correspondant au diviseur élémentaite

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SYSTÈMES n ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LliNÉAIRES ET HOMOGÈNKS. {P — P :)'''■' dans le système d'équations difFcrcnticlles en z. Posons

) iKvA = ^iiip — FiY'

où S),' est une constante Oii nne fonction de p qui ne s'annule pas pour p ^= pi. On prend nuls tous les autres {t.a.)o- Soient Ça les séries ^a{^)y déterminées dans ces conditions, il vient

Si l'on prend pour e'' le plus grand des nombres ej/',' el si l'on pose

on obtiendra les

I " L (J/.r- J, I r tf-.i(«-;.) ]

e les fornmles générales (82) (excepté [a première) donneront

Q i.,<.pUp-r,y —

^t oii Ç (^) est nue fonctio

n rationnel

Par conséqnent, ponrp;

= Pl:

<Co)rf;+.,.+rfs, (ï^k*-..*i„

■■■. (tikn

Q ip) = (p-PoV ip—piY ■■■{p —py,

lionnelle de ^, qui ne s'annule pas pour /> i^^/?,,,

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CL l'on peut écriie

,ua = P" =0. ■•■. e» — T,

i^À' -i^-i = P)/ =0, .... eif — 1- Oii ohùcnt ainsi (;>' solutions

appartenant à l'exposant/>(.

Il suCfit de connaître la dernière de ces solutions pour connaître toutes les autres, c'est-à-dire celle qui correspond à p.>i ;= i;i — i . Pour avoir leurs expressions développées, posons

Z. (»)»' = Ç-' (i)i. -^ ('■■' 7 ') Ç'~'(»),/ los»-*. . . -i-('*il|)ïS(»)»'lo8'"-'*,

-C,-.'i;.;,)ff"w>"°B--

„^,)a--v)vi.=.

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SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. Les valeurs iaiiiales de

n'étant pas nulles, les logarithmes ne disparaîtront pas de ces formules. Les solutions cherchées sont enfin

ù;p~ Za (a;);."

Les degrés de.s fonctions Z en logx sont respectivement

Les solutions précédentes sont linéairement indépendantes, comme on pourrait le démonlrer par le même procédé qui a servi dans les antres cas.

87. Il ne reste plus à démontrer qu'une seule proposition : Toutes les solutions calculées forment un système fondamental.

Après ce qu'on a déjà vu, il suffit de faire voir qu'jV na peut exister aucun groupe de n relations identiques de la forme

(ii3) C,A,i + ...-i-Gy,A,-i, = o

entre des solutions formant l'ensemble A,-, appartenant à un exposant r,, des solutions formant l'ensemble Aj-j, appartenant à Vexposant r^, . - - , des solutions formant Vensemble A,^ appartenant à l'exposant r^, les G étant d'ailleurs des constantes, et les nombres r,, r^, . . . , r^^ n'ajant entre eux aucune différence entière, à moins que séparément on n'ait

Mais on sait que chacune de ces conditions particulières est impossible dans le problème d'intégration qui nous a occupé. Donc on pourra, après avoir démontré la proposition qu'on vient d'énoncer, affirmer que les solutions précédemment obtenues forment un système fondamental.

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100 I,. SAUVAGE. — SYSTÈMES d'éQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES, ETC.

Faisons, en effet, tourner j; autour do l'origine un nombre n, — i de fols, el désignons par

B?,', Bpj', ..., BTii;

les coefficients des plus hautes puissances do ioga; dans les groupements A,,, . . ., A,(i. Nous aurons

G, Ayi+. . .+ Cjj,Ai|j, — o,

Éliminant les C enti-e ces équations, donner en log^î: et qui aura la forme

. une équation qu on poi

r,i-i- Piîioga^+ ,.-!-PjV|1o8'0 2; = 0.

Les coefficients de cette équation seront d'ailleurs uniformes et, comme cette équation étant algébrique en log^ ne peut admettre une infinité de devra avoir séparément

En particulier, on aura

Comme aucun des facteurs de P,-,) n'est nul, l'hypothèse faite est inadmissible, et le théorème qu'on avait en vue est démontré.

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SYSTÈMES b KQIIATIONS DIFFÉRENTIELLES LI^■EA1RES ET II0ÎI0GESE8. lOI