Soit
un système d'éfiuatîons différentielles linéaires et homogènes, telles que, dans le domaine de l'origine, les coefficients a soient uniformes et continus, sauf à l'origine, et que les éléments des solutions multipliés par des puissances convenables de X restent finis.
Pour le point x ;= 00, on multiplierait les éléments des solutions par des puissances convenables de -■
Les solutions seront, comme nous allons le rappeler, formées de la niaiiicre suivante.
Nous avons vu au Chapitre IV (n"' 80 et suivants) que l'on peut former un système fondamental de solutions du système (1 i5), tel que ces solutions se partagent eu groupes distincts dont les éléments prennent les formes
yn = ^'-
SYSTÈMES d'ÉQUATIOSS DIFFF,RF.>iTIiaT.ES I.INlîAtRES ET HOMOGÈNES.
lO.'i
OÙ ^ii /(il) représenle la différence d'ordre k de /{u) par rapport à l'accroissemeiit I de u, et enfin oCi w est une racine de l'équation fondamentale en to, fournissant un diviseur élémentaire de degré m.
On sait que u augmente de i quand ûc fait le tour de l'origine.
L'équallon (i 17) ne détermine /■ qu'à un nombre entier quelconque près.
Les polynômes en u, fi{u) fournissent des différences A^ fi{u) qui sont ellesmêmes des polynômes, eiyn est la seule solution où n'entre pas forcément », et par suite loga;.
Ces principes étant rappelés, formons le système différentiel caractérisé par des relations de la forme (i 16), maïs où les solutions sont régulières. On supposera que toutes les valeurs de /■ sont déterminées de manière que les coefficients de H dans les polynômes fi{u) soient holomorphes, ce qui sera suffisant pour la régularité.
Or, on sait qn'ona(Chap. lil, n" 63)
D élant.le déterminant an système fondamental de solutions, et a^j un coefficient quelconque des équations (i i5). Il résulte de la forme de oq que ce coefficient est régulier
placer a,-y par ~- dans les équaiions (: (5), et dire que tous les systèmes réguliers ont la forme
les éléments y/j et leurs dérivées -^- On peut donc 1
où les coefficients aij sont holomorphes dans le domaine de l'origine. Étudions aussi le déterminant
Le système fondamental de solutions de Ja forme (1 iCy) peut âtre choisi tel que, .i l'on pose
P étant la caractéristique d'un polj-nome, les coefficients de ce polynôme restent
lO-'l L. SAUVAGE.
Iiolomorphes dans le JoniEiInc de l'origine. Dans ces conditions on pourra pot
n désignant aussi un polynôme à coefficients holomorphes. Si la variable x f. le tour de l'origine, on sait qu'on aura
où D| sera la nouvelle valeur de D, et G un déterminant de constantes. Donc, si
le produit Xix~^ sera uniforme dans le domaine de l'origine, et l'on pourra poser simplement
OÙ ^"(jt) sera holomorplie.
Cela suffit pour que les logarithmes disparaissent de n(îogx). Posons, en effet,
n{loga:)=^/.o-+-/.,log37 + ... + p),log'-^,
Psi, p\-, . . . , p\ représentant des fonctions holomorphes, et identifions les deux formes de D. Nous aurons
(120) w9^{x) = X^\p<,-\-py\az^+...^p;M^x\
Faisons tourner la variable x autour de l'origine, nous aurons ou, en faisant e-'"'v'~—(;,^
(121) Ca:p'.F(^) = Gi37R[p„ + p,loga!^-,,. + /.xlog'-a^ + ?o+?iloS3^+---HyX-,log>--ia:J,
en appelant qo, cj,, . . ., qi, des fonctions holomorphes. Des équations (lao) et (i ai), on tire
C(pt,^.. .-^ pi\og>ie) = Cl (/>( + ■ ■ .-!-/>>, log^'ar -H yo + - ■ ■ -H î),-i log''-^x).
C'est une équation algébrique en logx, ce qui ne peut exister, car une telle équation aurait une infinité déracines distinctes. Il faut donc que ses coefficients
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SYSTÈMES d'équations DIFFÉRESTIKLLKS LINliAIRES ET HOMOCÉKES. lo5
soient iclentiquement nuls, ce qui donnera d'abord
Puisque pi n'est pas nul, 11 faut que l'on ait G = G,, et, par suite, p et R ne diffèrent que par un nombre entier.
La relation
q(,-i-g, logx -h . . . -h gi-x]og>--' a- = o
entraînera ensuite
n-i= o, îX-s=o, ..., <7i=o, <7„= o.
Il est facile de voir que les/) et les q sont reliés par dos relations telles que l'on
Pl=o, />x-i = o, ■■-, P\ = o-
Donc l'expression ^P\E''{^) qui se réduit à a;''/>o ne contient pas de logarithmes. Le déterminant D est lié aux coefficients des équations {i i5) par la relation de
11 faut alors que cette expression soit aussi régulière. Pour trouver les conditions de régularité, posons
Aa Aa|
«1 1 -+■ ■ . ■ -<- (l-iii, ^ rir "' ï^ -!-■-.,
a étant plus grand que l'unité, et nous aurons
I (a„-h.. .-ha„„)dx= , ■ ■ '," ■■■ ; +...+ Klos^ + . . .-i-L„^p +
D'où nous tirerons
où 9(ic) est une fonction liotomorphe dans le domaine de l'origine.
Il est évidemment nécessaire et suffisant que a ne dépasse pas l'unité ])our que l'expression de D soit régiilière. Donc, si D est le déterminant d'un système fondamental de solutions d'équations régulières de la forme {ii^), l'expression a,i+. . . + a.„„ multipliée par a;, est kolomorphe.
