Chapitre L — On démontre d'abord que, si les coefficients a du système

sont hotomorphcs dans le domaine de l'origine, on peut intégrer ce système par S. I

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2 L. SAliVAGE.

les séries. J'ai démontré la convergence de ces séries dans \es Annales de l'École Normale, en 1886.

Chaque groupe de séries y,, . . ., y,i qui satisfait au système (B), et plus particulièrement au système (A), est appelé une solution du système.

Toute la théorie de M. Fuchs {J.de Crelle, t. 66, et J. Tannerj, Thèse) sur l'équation générale de la forme (1) est applicable aux systèmes (A) ou (B). Nous voyons d'abord la définition des éléments d'une solution au delà du cercle de convergence des séries, puis la distinction des systèmes de solutions p,n fondamentaux et non fondamentaux. Soient jv,,, . . . , y„,- (i z^ i , 2, , . ., n) m solutions, le déterminant

est différent de zéro ou nul ideniique.m.ent, suivant que le système de solutions est fondamental ou non. La démonstration que l'on donne de ce théorème s'appliqiie aux solutions définies avec la signification la plus générale.

En suivant pas à pas la théorie de M. Fuchs, on démontre la proposition de

D = CeS(Za,,utx^

et, comme corollaire, on prouve l'existence des systèmes fondamentaux; on montre la transformation d'un système fondamental dans un autre; on donne l'expression de la solution générale du système (A) au moyen des éléments d'un système fondamental.

On voit ensuite comment la connaissance d'une solution permet de réduire le nombre des équations (A) d'une unité. Les conséquences intéressantes de ce calcul sont mises en lumière. Nous avons ajouté, ce qui nous paraît nouveau, la comparaison des deux méthodes de simplification de l'équation (i), lorsque l'on traite directement cette équation comme l'a fait M. Fuchs, ou lorsqu'on la considère comme procédant d'im cas particulier dn système (A).

En résumé, le premier Chapitre conlient les principes essentiels de la théorie des systèmes (A); et, comme cas particulier, ceux de la théorie de l'équation (1).

Chapitre IL — En i858, M. Weierstrass publia un premier Mémoire sur les formes quadratiques. Dix ans après, le même illustre géomètre publia, en apparence, la suite de la théorie commencée, mais, en réalité, jeta les fondements d'une théorie nouvelle d'une portée plus générale que celle des formes quadratiques. Le Chapitre II est entièrement consacré à l'exposition des idées de M. Weierstrass, sous le titre de Théorie des diviseurs élémentaires.

Mais la théorie de ces diviseurs n'est pas établie sans difficulté dans le Mémoire de 1868. D'un aiitre côté, MM. Darboux et Jordan reprenaient en France l'étude

SYSTEMES 1) EQUATIONS IIIFFKISF.NTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES. 6

des formes quadratiques et bîlinéaires {Journalde Mathématiques pures, 1874). Nous avons pris la méthode parfaite de M. Darboux, et nous l'avons appliquée aux formes bilinéaires dans deux Mémoires successifs (').

Le Chapitre II renferme sealemeiit les principes nécessaires et suffisatHs pour l'étude des équations (A).

Des tentatives d'application de la théorie des diviseurs élémentaires aux systèmes différentiels ont été faites par divers auteurs. Nous croyons qu'aucun n'a fait une application aussi générale et aussi systématique que celle que nous présentons dans les Chapitres suivants.

Soit

I ^ A,, H- jB]i ... jO Ai„ -^ ç B|„ I

-[r'.QI

un déterminant du degré /i en jO et q. Soit /„ l'exposant d'un diviseur linéaire ap -{- bq dans les mineurs d'ordre w de [PfQ]) ces mineurs étant considérés comme des polynômes sap et q, Vexpression

est un diviseur élémentaire du déterminant [P, Q].

Le théorème général auquel nous parvenons est le suivant :

Pour qu'une même substitution double de la forme

yi = Cnyl + ■■■-^-Oi,,y„,

à la fois les formes

aux deux formes

il faut et il suffit que les déterminants des deux formes

aient mêmes diviseurs élémentaires en m.

En outre, et cette remarque est des plus importantes, il existe une foi

( ') Annales de l'École Normale supérieure, i8gi et iSgS,

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canonique des expressions V et C^ pour lesquelles le déterminant Q'— wP a une forme des plus simples. Nous utilisons cette forme dans nos théories sur les équations (A).

Chapitre III. — On trouve dans ce Chapitre l'extension aux systèmes (A) de la théorie des points singuliers de l'équation (i) donnée par M. Fuchs en 1866, et qui procède d'ailleurs, comme idée première, des théories de Puiseux sur les fonctions algébriques. Nous avons démontré, au moyen de la théorie des diviseurs élémentaires, l'existence d"un système fondamcnia! de sohtiions particulières jouissant de propriétés spéciales. Nous avons aussi donné le procédé pratique de M. Fuchs pour rechercher ces solutions si importantes.

Le titre du Chapitre III est Des points singuliers. C'est, en effet, dans ce Chapitre que le caractère de ces points est complètement déterminé par le mode d'existence des solutions dans leurs domaines, et par le rôle que jouent ces points dans la reconstruction des équations différentielles (A).

Nous avons repris, sous la forme d'un système (A), la belle théorie de M. Tannery sur les équations (i) dont les intégrales sont les racines d'une même équation algébrique. Nous avons achevé complètement la question.

Chapitbe iV. — Comme conséquence de la théorie précédente, ia forme des éléments des solutions d'un système (A) peut être déterminée d'une manière générale pour le domaine d'un point ordinaire, ou singulier quelconque.

Mais on insiste d'une manière particulière sur les systèmes dits réguliers ou canoniques de la forme (B), dont on s'est occupé dès le premier Chapitre.

Les éléments de toutes leurs sohitions sont composés linéairement avec des expressions de la forme