Ao-i- A, loga:-+-, . .+ Ailog^ar

qui sont infinies d'ordre fini pour x==^o, et qu'on appelle des expressions régulières, après M. Thomé (/. de Crelle, t. 74 et suivants).

Le calcul complet de l'intégration des systèmes canoniques a été donné par M, Horn (Mathematische Annalen, XXXlXBd). Nous exposons cette belle théorie qui repose encore sur la théorie des diviseurs élémentaires.

Le germe du principe employé par M. Horn est déjà dans les travaux de M. Frobenius {J. de Crelle, t. 74 et suivants). On le trouve presque complètement développé dans un remarquable travail de M. Grùnfeld (K. Ak. Wien, 1888).

Ne manquons pas de faire observer que tout le Chapitre IV établit la différence essentielle entre le cas particulier du système (A) qui conduit à l'équation (1) et le cas générai.

SYSTÈMES d'ÉQOATIOISS DIFFÉRENTIELLES LIiSÉAIRES ET HOMOGÈNES.

Chapitre V. — Nous espérons avoir résolu l'imporlante t[uestioii suiva Quels sont tous les systèmes réguliers? Nous avons montré (jue tous ces tèmes peuvent se ramener par des siibslilulions simples à des systèmes c

Chapitbg VI. — Les théories exposées dans ce Chapitre et relatives aux systèmes à coefficients simplement ou doublement périodiques ont été d'abord développées par M. Floquet pour ie cas d'une équation de la forme (i) {Annales de l'École Normale, i883 et 1884). Nous étendons facilement les théorèmes de M. Floquet an système (A.), en nous servant toujours de la féconde théorie des diviseurs élémentaires.

Nous avons ajouté à la théorie générale quelques belles pages de M. Picard (,/. de Crelle, Bd. 90) sur un système à coefficients doublement périodiques.

Chapitre Vil. — Nous avons mis ici à contribution M. Léo K.œnigsbergGr {Lehrbuch der Théorie der Differentialgleichungen, Leipzig, G. Teubner, 1889). Ayant à étudier les systèmes homogènes, mais réductibles aux systèmes linéaires, nous avons surtout développé la réduction des équations différentielles algébriques à des équations du premier ordre.

Ëniin, dans ce même Chapitre, nous montrons que la théorie générale de M. Fuchs, si belle qu'elle soit, n'empêche pas le développement, mais au contraire vient à l'aide de théories parallèles, plus miles à divers points de vue particuliers. Ainsi, nous donnons la magnifique théorie de M. Darboux sur l'intégration des systèmes (A) par les intégrales des systèmes {Comptes rendus, 1 880). Cette question nous a amené à dire quelques mots de la Théorie, si connue aujourd'hui, de M. Appell sur les fonctions invariantes et les invariants des systèmes (A).

H ne nous a pas paru enfin inutile d'ajouter quelques notes élémentaires sur la théorie des dcterminanfs.

Observations. — Les théories générales étudiées dans les divers Chapitres servent en quelque sorte d'introduction à la grande question des systèmes (A) à solutions algébriques. On sait déjà qne le nombre des points singuliers est limité, que, pour chaque domaine, les éléments des solutions doivent être réguliers et sans logarithmes. On pourra se rendre compte facilement du degré d'avancement de cette question en relisant les remarquables Mémoires de M. Goursal sur la Théorie des équations différentielles linéaires.