Considérons maintenant un système d'équations

dont les coefficients a sont doublement périodiques, cl dont î'inlcgralc générale est uniforme, avec le seul point x^^ co pour point singulier. Nous poserons, d'une manière générale,

les fonctions vs(x) étant périodiques de seconde espèce, à la période w et au même multiplicateur e, et

les fonctions ra' élanl périodiques de seconde espèce, à la période w', et au même multiplicateur g'.

D'après les formules {i5a) du n° 107,1e système (A) admet un système fondamental de solutions dont cbaquc groupe est de la forme

Ce groupe appartient à un muUipîicateur c, racine d'une équation fondamentale R(.) = o,

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IJ-'l L. SAUVAGE.

D'ailleurs, d'après les théories générales du ChapitrelV, toute solution appartenant au même multiplicateur est une combinaison linéaire d'éléments caractérisés par les relations (i54). Observons cependant qu'il peut y avoir plus d'un groupe de relations de celte nature.

En d'autres termes, soit R(e) = o l'équation fondamentale aux multiplicateurs; E) , Sa, . . . , e^. les racines distinctes de cette équation. A l'une de ces racines î^ d'ordre de multiplicité [a* correspondront un ou plusieurs groupes de relations de la forme

de manière que, v^ étant îe nombre de ces groupes, le nombre total des relations soit ^ft. Toute solution appartenant au seul multiplicateur e/, est une combinaison linéaire des jj.* solutions précédentes.

Ce théorème résuite de considérations identiques à celles qui terminent le Chapitre IV.

Mais on peut le démontrer direclcment sous l'énoncé suivant :

S'il existe une relation identique de la forme

(i55) CiAï, + ... + G^A;ii=o

entre des solutions formant l'ensemble A;, appartenant au multiplicateur s, , des solutions formant l'ensemble Ai^ appartenant au multiplicateur s^, . . . , des solutions formant l'ensemble A/^ appartenant au multiplicateur s^t ; les C étant d'ailleurs des constantes, on a séparément

En efl'et, donnons à ^les valeurs successives a; H- (■>, a; -H a'J, . . . , x + j. — lo), et désignons par Fj';, Fj^j, . .., Fî]f les coefficients des plus hautes puissances de a: dans les groupements A,-, , . . ., A,-|j,, nous aurons

Si l'on élimine les C entre ces [a équations et si l'on ordonne l'équation obtenue par rapport à x, on aura

(i5lî) F,-,-ha;Fi2-h...-!-a^lF;j, = o,

où les fonctions F sont périodiques de seconde espèce au multiplicateur e, s^ ...S|i.

SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET IIOJIOGÈNF.S. Cela résulte de la forme même de cette équation c[uand on l'écrit

Auix

^r^„) ... A,,(, + ir=-7.

De plus, la relation (ià6), dont le premier membre est considéré comme un polynôme en x, doit cire identique, sans quoi l'équation algébrique de degré tj en X aurait nne infinité de racines. En effet, cette équation pourrait aussi s'écrire

quelle que soit la valeur de )., Il faut donc que le coefficient F,"^ soît nul en particulier. Or, ce coefficient est