FP
c'cat-à-dlre qoe Fq,,(a^) est un produit de facteurs dont aucun n'est nul par liypothèse.
Donc, îa relation (i55) ne peut exister que si l'on a C, ^ o, . . -, Cy,^ o, ou encore, la relation ne peut résulter que des relations séparées
110. Le théorème précédent se traduit d'une manière remarquable par un rapprochement entre deux déterminants R(ê), R(2').
Considérons, en effet, les groupes des solutions qui correspondent à la période (0 el au multiplicateur è/i comme formant un groupe unique ; appelons G ce groupe. Le nombre des solutions contenues dans G est [x*, c'est-à-dire le degré de multiplicité de la racine s* dans l'équation R{£) = o.
Toute solution qui admet le seul multiplicateur e^ se lire d'ailleurs de G par des combinaisons linéaires.
Cela posé, soit <fij(x) une solution quelconque conteoue dans G, ^ij (x + m') sera aussi une solution puisque les coefficients du système différentiel proposé (A) admettent aussi la période w'. On devra donc avoir
fuix -(-<«') = Ui'fh-
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l3G L. SAUVAGE.
Ces relations étant absolument les mêmes que les relations (lai) du n" 101, ou en déduit immédiatement les mêmes conséquences, à savoir celles du n" lO-i.
On peut diviser les relations fij en groupes correspondant aux diviseurs élémentaires du déterminant
î que, si (e^— ë)^* est un diviseur élémentaire de R(e')' ^^ '^'^ '"^ groupe de solutions linéairement indépendantes qui satisfassent aux relations
(i57) Y/5= 47/5-1- Jr.ff-l (» = i,2, ...,e„)-
Noiis retiendrons de ce théorème qu*(i toute racine distincte de l'équation R(£) = o correspond au moins une solution satisfaisant à l'équaiion \i=it'yi^ s' étant une racine de R(s') ^ Of et nécessairement aussi une racine deVi,{s')^o, c'est-à-dire de l'équation fondamentale relative à la période m'.
En conséquence, puisque à toute racine é correspond au moins une racine e' et réciproquement, il faut que les deux équations R(s) = o, R,(£') = o admettent le même nombre de racines distinctes et ces racines correspondent au nombre de groupements incompatibles entre eux qu'on peut faire avec les solutions, comme on l'a expliqué au numéro précédent.
m. Maintenant que les déterminants R(e), R(s') ne se décomposent pas en diviseurs élémentaires parallèles, le fait est possible, comme l'a prouvé M. Floquet [Sur les équations linéaires à coe^cients doublement périodiques (Annales de l'École Normale supérieure, n" 29; i884)]. Il existe cependant des rapports entre les deux décompositions en diviseurs élémentaires et la nature des solutions. Par exemple, si l'un des déterminants R(ï) n'a que des diviseurs élémentaires simples, il en est de même de R(ï') et le système proposé a tous les éléments de ses solutions de forme doublement périodique de seconde espèce (Floquet, loc. cit., n" 6). Sans Insister sur ces considérations, malgré l'intérêt qu'elles présentent, nous sig^nalerons Ses beaux résultats donnés dans un cas particulier par M. Picard (/oH/'«a/ t/e Crelle, iSSi).
Considérons les trois équations
SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HO.IIOGEKES.
Remarquons en passant que ce système jouit de la singulière propriété de coïncider avec le système obtenu en changeant les signes de A, lî, C et en permutant les coefficients symétriques par rapport à la diagonale principale du détcrmi-
Nous reviendrons d'ailleurs sur ce point, et d'une manière plus générale, dans le Chapitre VII.
Nous supposerons que A, B, C sont des fonctions doublement périodiques ordinaires de x aux périodes ik et "iik' .
Admettons que les cléments du système (i58) soient des fonctions uniformes dans tout ic plan, comme les coefficients des équations proposées.
(a). Soient
trois solutions distinctes. On aura identiquement
à cause des équations (iS8) satisfaites par deux solutions quelconques, même confondues pour m = n. Il y a sis relations de la forme (i6o).
Nous imaginons que chacune des solutions correspond à un multiplicateur £„, pour la période ik et à un multiplicateur e'^, pour la période 2iA', m. prenant les valeurs successives i , a, 3.
i" Supposons que les constantes Ch, C^a, Csi ne soient pas nulles toutes les trois, et soit G,, ^o .Alors la fonction «J + f ^ 4- tvj admettant les multiplicateurs e, et e^ ^' n'étant pas nulle, on devra avoirs' ^= %^ =^ i, puisque le changement de .r en ^ + a^ et en 3; + aiA' ne peut altérer On. Donc le système (i 58) admet au moins une solution doublement périodique .
a" Si l'on a Ch ^ Cjî := Cjs ^ o, les trois autres constantes ne peuvent être nulles à la fois. Car, si les six constantes étaient nulles, on tirerait des équations (160), pour une solution quelconque U, V, W,
ce qui est impossible puisque, pour une valeur donnée de x, on peut imaginer arbitrairement les valeurs de U, V, W,
l38 (,. SAUVAGE.
Soit alors 0,2^0. La foncLion
admettra les multiplicateurs s, Ej et s'js'^, et aura une valeur constante différente de zéro. On aura donc
Mais le déterminant formé par le tableau (iSg), a pour valeur
G eJ"o,3-,;.r yni; constante.
D'ailleurs, il admet les multiplicateurs SiSaS^ et s', s'^s',. On a donc aussi
11 résulte de ee qui précède que l'on a
c'esi-à-dire que le système (i58) admet encore au moins une solution doublement périodique.
(p). Nous rappelons que nous appelons fonction périodique de seconde espèce toute fonction qui admet les deux multiplicateurs e et t' dont l'un au moins diffère de l'unité, et nous avons suppose, dans le cas (a), que le système (i58) admettait trois solutions de cette nature. Nous en avons conclu l'existence d'une solution doublement périodique au sens ordinaire du mot.
Nous supposerons maintenant que le système (i 58) n'admet que deux solutions M),c,,(Vi et «siC^iWa doublement périodiques de seconde espèce, et nous imaginerons une troisième solution «a, Tu, Wa distincte des premières. Nous avons vu dans la théorie générale qu'on peut choisir celle solution de sorte que l'on ait
u.i(3' + ik) = tiu^ + aui, Vi{x -i- 2/c) =: El l'a -+■ av],
a étant une constante ; on aura aussi et en même temps
;(ï(a;+ ai'S') = s', m? -h buj, Cî(ic-(-2a-') = E', ita-hifi,
Si l'une des constantes Ch ou C33, par exemple C,, n'est pas nulle, on a vu qu'il existe une solution doublement périodique.
Le seul cas à discuter est celui où l'on a C| , — 0:,^= o. Si C,, n'est pas nul,
on aura s^ = s'^^ ^= i , car l'expression «, Wa + i», c^ + 'l'i n'a se transforme, par le changement de a; en a: -H ■ik, en £j(wi «2+ f, ^'a^- (v, (I'ï). On aura donc e^ = 1 et de même ^^ = 1 . Donc il existe une solution doublement périodique.
Si Ch) Cga, Ci2 sont nulles à la fois, soit Cjsgo. L'expression u'j + 1^2 + wl devient, en changeant ^ en ^ + a/c, ej(i(2 H- i^j + iv^), d'où l'on tire encore les mêmes conclusions que dans les cas précédents.
SïChi t^sai *^22> C)2 sont nulles à la fois, soit C)3^o, on aura St^^= 1 , et, si enfin Ci a ^^ O; on aura encore la relation £,^3 = i , car on a
et nécessairement Caa^o, comme on l'a vu plus haut.
Mais le tableau (iSg) est un déterminant constant qui donne les relations
quand on changeai en a- -4- zk ou en .s^ + 2ik'. Donc, à
et de celles qu'on vient d'écrire, l'un des multiplicateurs Ej ou £3 sera égal à i, l'autre s' étant égal à =t I . Dans le cas de s' ^ — i, on considérera la période 4ik'. Donc, il y a une solution doublement périodique comme dans les cas précédents.
(y). Supposons enfin qu'il n'y ait qu'une soUition u, v, w, doublement périodique de seconde espèce, deux autres solutions pouvant être choisies de manière à satisfaire aux relations
-Ak)^
eiUs +
ïA) =
ElCj-H
E, iVî +
■ik) =
El"a +
ih) =
On verra, au moyen des équations (160), que l'on a toujours ej^= i. D'ailleurs le déterminant (i48), qui est constant, permet de poser sj =^ i ; on aura donc £) = i. De même, e', =^ i . îl y a donc encore dans le cas (y) une solution doublement périodique.
112. Pour déterminer les formes analytiques des éiéments des solutions satisfaisant à la fois aux conditions (164) du n° 109 et aux conditions (i57)dun''HO,
l4o L. SAUVAGE.
nous rappellerons d'abord cjuelqoes propositions de la tliéorie des fonctions elliptiques.
On démontre l'existence d'une fonction satisfaisant aux relations
De ces relations on déduit, en prenant les dérivées logarithmiques,
»'(»■ + »') ^ n^ il.1^ 6(a; + »') OC») lu '
Z(»-no) = Z(a!).
Ail moyen de la fonction Z(x) construisons le.s fonctions
Nous aurons les relai
Nous allons montrer qu'on peut exprimer les éléments des soliuions des systèmes à coefficients périodiques et à intégrales uniformes au moyen de ces fondions u(x) et u'[x).
