Considérons l'expression

de multiplicateur £ par rapport à la période w, et admettant w' comme seconde période avec le multiplicateur e'; nous aurons

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SYSTÈMES n'ÉQUATlOKS DIFFÉREKTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. l4t

c'esl-à-dire

M„(^ + ..') + («^ + ui')w,(a: + <^') +. ..-1- (^7 + <o')"'r,,„(^ + w')

IJenlifions les deiix membres par rapport aux diverses puissances (îe x, nous aurons les m + i équations

Ces équations donnent

De ces relations, nous déduisons les conséquences suivantes. Soit posé

Par stiÎLe, la foiictioi

est uniforme et périodique atix deux périodes m et to'. Soit y, (x) cette fonction doublement périodique. Posons

Nous pourrons écrire

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Nous allons montrer que l'on peut poser, en général,

Admettons que la loi soit vraie pour l'indice k — i, nous pourrons toujours écrire la relation (162) où rajo (^) est une fonction à déterminer.

Cette fonction roA|i(a:) sera nécessairement uniforme, périodique de seconde espèce avec la période w et le multiplicateur e ; nous allons voir qu'elle admet encore comme les autres fonctions tsji, la période ùi' avec le multiplicateur c'. En effet, on a

D'ailleurs, l'une des relations ([5o) donne

En égalant ces deux valeurs de T^5,„|,[x + w'), on a

;e qui démontre la proposition qu'on avait en vue. 11<t, On déduit de ce (\v\ précède que l'on a

Chacune de ces parenthèses est une dérivée de la première d'entre elles, lors-

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SÏSTÈMES D EQUATIONS DIFFÉREKTIEtLES UMiAIRES ET HOMOGÈNES, qu'on y considère les fonctions tjjjq comme des consLanles, Ou peut écri

^ m{^ dU(^ ^___^ [uja^)]'- d-n(^

Remplaçons a; par a: -\- u{œ) en dehors des mj„(x) dans 11(3;), nous aiu-ons précisément l'expression P„,('^) que nous venons d'écrire. Mais X + u{x)~—u'{x). On a donc

P,„(^) = ti7,„„(3.)-7i,,„,,o(^)M'(:î^)-)-M„,,,„(r)[(i'(^)]î + ... + (-0"'W„o(^)"''"(^),

ce que l'on peut écrire

en posant

et en particulier

Donc, quand laforme\*,n admet le maltiplicaieur s' pour une seconde période u)', on peut poser

(>ii3) P„, = 7:o(^)+.,.+ Tt„.(:^)«'-(^),

les fonctions ■!z{.v) étant doublement périodiques de seconde espèce et aux multiplicateurs e, e' avec les périodes w, tu' . Les deux formes de P,„ sont toujours du même degré en x et u'{x). Car les coefficients TSni{x) et Tt,„{a:) des termes du plus haut degré sont égaux au signe près.

116. De même, l'expression P^, au multiplicateur e' avec ia période tu', admeltant (D comme période de seconde espèce au multiplicateur s, peut se mettre sous la forme

les fonctions tt' étant périodiques doubles de seconde espèce.

116. Si une fonction F(x) peut se mettre sous les deux formes Vm(x) et P'i,(^), on peut lui donner la forme (t63). De même, si elle admet les deux formes Vti{x) et V,^,(x), on peut lui donner la forme (164).

Cet énoncé est le résumé des numéros précédents.

H7. Gherckons maintenant l'expression d'une fonction F(x) capable des deux formes V,„{x) et P'„i,(x) où aucun des deux nombres m ou m' n'est nul.

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l7i4 L, SAUVAGE.

Supposons que l'on puisse ramener la forme à la forme

Il faudra que l'on ail identiquement

et par suite, en changeant a: successivement en a: + w, ^ + 2w relations

I t3„(^) + . . . + 3;'" Trr,„(3;) = P;„,(^),

suffisantes pour déterminer 7ïîo(x), . . . , ra„;(;î;). On aura

et il est facile de calculer les déterminants A.

Dans le dénominateur commun A, on peut mettre en facteur

et l'autre facteur devient te produit des différences mutuelles des m + i quantités a:, a; + (i>, . . , x -f- m w, c'esl-à-dire est égal à

Quand à l'un quelconque Ay des autres déterminants, on l'obtient en supprimant la (y + i)!*"" ligne et (k -1- ly™' colonne. On peut donc mettre e ' en facteur et l'on a un second facteur qui est le produit des différences mutuelles des m quantite's ^r-H Xw (où X= o, ] ,2, . . . , j — i,y + i, ..., m) multiplié par la somme Sy,,,,^* de leurs produits m — A- à m — A". On a donc, après un calcul facile,

SYSTÈMES d'ÉQUATIOKS DIFFIJREINTIELLKS LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 1.45

d'où l'on tire

où C^ est le nombre des combinaisons de m objets y ày". Par suite, on a

Ci(a^) -

Si l'on jiose d'une manière générale ■n aura, en particulier.

On voit, par conséquent, que 13^(3:} est une fonction linéaire homogène des quantités PJ„,(^), ..., P'„j,{a^ + m(o), dont les coefficients sont des poljnomes en^ tous de degré m — k. Or, ces quantités P' sont des expressions de même forme que P^„,(^), de même multiplicateur e' et de même degré m'. Donc cja(^) est une expression de la forme P^,(;c) de même multiplicateur é et d'un degré égal ou inférieur à m' -{- m — k.

Faisant successivement k=m, m — 1, ..., 1, o, on aura pour '7t„,(^), raCT((.«), ...,7ii|(x), BT|>(^)des expressions de la forme P^„(x) du même multiplicateur s', mais de degrés respectivement égaux ou inférieurs à m', m'-\-i, m'-\r m — I , m'+ m. Les coefficients des termes du plus haut degré sont dans ces expressions

(.eu)"!,

-Cî„

,.fcS^«»u^).

et ne diffèrent mutuellement que par des facteurs constants.

Donc, si les deux formes P;„(:r)e(P;„,(a:) représentent une même fonction, chaque coefficient de l'une admet la forme de l'autre ainsi que son multiplira-

i46 L. SAUVAGE.

leur, mais avec un degré égal on inférieur à la dliTérence entre m + m' et l'exposant de la puissance de x qui multiplie ce coefficient.

Ponr m' ^= o, on voit que ro,„{a;) est du degré v.évo, c'est-à-dire, ce qu'on a déjà vu, que si Pni(^) admet la période ui' au multiplicateur t', le coefficient (n,„(^) de la plus haute puissance de x est doublement périodique de seconde espèce comme P,„(x) !ui-mêiïie.

H8. Soit maintenant F(a;) capable des deux formes V„i{x), P^,(^); il faut que les coefficients ^j{a!) de P,h(x) soient de la forme )?'„,,{x) avec des degrés respectivement égaux, en général, à m', m' -\- i, m'-\~m. On aura donc

les fondions ra' à deux indices étant entièrement analogues aux fonctions te' à un seul indice dans ^'„„{x). Remarquons que l'on a, d'après la formule (166),

Mais le second membre de l'équation (166) admet comme le premier membre la période <j et le multiplicateur e. On a donc

oîi les fonctions H' sont dou!)leinent périodiques de seconde espèce aux multiplilîappelons en même temps que l'on a

La fonction considérée 7{x), qui est égale à P„,(^), s'exprime de la manière suivante

en désignant par \Jm'-k un polynôme en u{x^ de degré m'-!- k, dont les coefficients sont doublement périodiques de seconde espèce aux multiplicateurs £ et e'-

119. Si l'on dirige le calcul de manière que l'expression P^,(^) soit susceptible de !a forme \*,i,{x) on obtiendra pour 'F{x) l'expression

où yi'ji^f.!, désigne un polynôme en u' (x) de degré in-['k, dont les coefficients sont doublement périodiques de seconde espèce aux multiplicateurs c, c'.

Nous nous proposons de mettre F(^) sous une forme finale qui renferme à la

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fois les deux formes P™(^) et P^„,(^), Mais nous aurons besoin de quelques théorèmes préliminaires.