Si le polynôme en u(x

dont les coefficients -Y admettent la période <o' au multiplicateur s', est nul identiquement, tous ses coefficients sont identiquement nuls.

On a, en effet,

ce qui s'écrit, en divisant par e* et quel que soit l'entier k.,

-l.'„(.r)+>P'(3.)[<<(^)-/:«.']+...+ <1;;[«(^)-A-^']F=o. Le polynôme en z

a donc infinité de racines el, par suite, les coefficients -V sont identiquement

De même :

Si le polynôme en u'[x")

dont les coefficients admettent la période w avec le multiplicateur e, est identiquement nul, tous ses coefficients sont identiquement nuls.

De ces deux lliéorèmes, on déduit que -:

Si un polynôme aux variables u{x) et u'{w), dont les coefficients admettent les périodes w et oj' et les multiplicateurs s et s', est identiquement nul, tous ses coefficients sont identiquement nuls.

En effet, ordonnons-le par rapport à u{x). Les coefficients de u(^) sont de la forme ^', donc ils sonl séparément nuls. Mais ce sont des polynômes en u'{x) dont les coefficients sont de la forme J'(ic). Donc les divers coefficients de ces polynômes sont identiquement nuls.

Comme corollaire :

Si deux polynômes aux deux variables u{x), u' (x) dont les coefficients

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admettent les périodes w et w' avec les multiplicateurs s et s' sont identiques, tous leurs coefficients sont identiques chacun à chacun.