Nous avons trouvé

En dehors des U remplaçons a; par — [u{x) -\- u'(x), ce qui est possible, puisque l'on a par définition

C'est un polj'uome aux deux variables u(x) et u'(x) à coefficients doublement périodiques de seconde espèce, de degré m en u'(x). Je dis qu'il est de degré m' par rapport à u{x).

En eflTet, on a aussi

F(^) = U;„«,„-[«(^)+«'f^)]UU»,'-,H-..-i-(-i)"'[«(^) + «'(^)l"''U;,..

et cette expression doit être identique à la prccédenle. D'après les théorèmes du n° 120, il faut que F(a;) soit du degré ?n' par rapport à u{x).

Si une fonction F(a;) est capable des deux formes Pw(^) et V„^,{x), elle coïncide avec un polynôme aux deux variables u{x) et u'(x) à coefficients doublement périodiques aux périodes tu et w' et aux multiplicateurs t et e'; elle est de degré m + m' en général, et est toujours de degré m en u'{x) et de degré m' en u(x), et ne peut s'exprimer ainsi que d'une seule manière.

122. Nous avons vn que, dans tous les cas, le sjslème (A) du n" 109 admet />! solutions distinctes susceptibles chacune des deux formes P et P'.

Il résulte de ce qui précède que les éléments de ces m solutions peuvent être mis sous la forme

où B.{x, u, u') désigne une expression de la nature de F{x) dans le numéro précédent.

123. Comme exemple d'intégration du système (A), nous rappellei M. Picard a intégré le système

i que

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SYSTÈMES h'kQOATIOKS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET IIOJIOGÈNES. l/jQ

OÙ K et /■ désignent les deux rayons de courbure d'aiic courbe dont l'arc est s, et u, 1', H' représentent les neiif cosinus des angles que font avec les axes de coordonnées la tangente, la normale et la binormale de la courbe. M. Picard a intégré ce système de la forme du n" IH dans le cas où l'on a

a et 6 étant deux constantes, n un entier positif et doa; la troisième fonction elliptique.

Nous renverrons, pour cet exemple, le lecteur au Mémoire de M. Picard, où il trouvera les détails nécessaires pour le calcul, et des explications sur l'origine de ces questions dans les profondes recbercbes de M. Hermile sur l'équation de Lamé

où sn« est la fonction elliptique ordinaire de module k, n on enlier positif et /; une constante quelconque.

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