CHAPITRE VII
DES SYSTÈMES D'ORDRE QUELCONQUE ET THI':ORli:MES COMPLÉMENTAIRES.
'12i. li est facile d'ëlablir qu'un sj-stèine d'équations différentielles d'ordre quelconque peul élre remplacé par un système d'équations du premier ordre. Soit, en effet,
(111,, i,^j,,^,^^ ^^^.^ ,^„, ^^ ^^j^,^ j o yi ,,A,...,n,
un système de n équations différentielles, d'ordres variés par rapport à des fonctions ;,, . . . , 3„ d'une même variable indépendante x. Ce système renferme autant d'éqtia lions que d'inconnues. Prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées successives des variables s, , . . . , z„, nous aurons le nouveau système
rf^(>■"-t^^
renfermant À, -i- Â^-r . ■ •+ X„ équations du [premier ordre, si l'on appelle X,, Xï, ..., Xn respectivement les plus grandes valeurs des nombres Xj,, . . ., Ij,, dans les équations (167).
n est évident que l'intégration du système (1 67) en trahie celle du syslènic (168) et réciproquement.
12o. On peut remplacer le système (ib'j) par un système analogue au système (168), mais de forme plus symétrique.
En effet, on suppose implicitement dans le système (167) et, par suite, dans le système (168), que les premiers membres des équations, c'est-à-dire les fondions F des diverses lettres x, Si, s',, .. -, sont indépendants entre eux. On pourra donc tirer de « — i de ces équations n — 1 des dérivées —7— (a = 'k,. . ... >.,,), et les porter dans l'une quelconque des autres; en d'autres termes, on pourra éliminer n — I dérivées dans cliacune des n premières équations (iCfi), et il faudra que le
SYSTÈMES l)'li(}[IATIOSS DIFFÉRE^TIELLEH LTKliAIRES ET HOMOGÈNES. l5r
nouveau sjsLème se présciile sous la forme
Chaque équation "P renfermera une dérivée, sinon on pourrait, sans inlégralioii, faire disparaître, par des procédés de calcul ordinaire, l'une des variables de la question. Chacun des $ renfermera une dérivée distincte, sans quoi on pourrait égaler les valeurs des dérivées égales tirées des deux équations 4> ^^ o différentes, et l'on aurait une relation 'I' ^ o sans dérivées.
Développons le calcul. Soit
nue équation sans dérivées. On tirerait de là l'une des inconnues z'I^' et ou pourrail réliminer entre cette équation (170) et /î — r des n premières équations du système (169), de sorte qu'on ait
En outre l'équation
nplacée par l'équation
c'est-à-dire par l'équation (170) quand on y a renipîaci l'équation ci-dessus.
Mais si l'on différentie l'équation (170), on a
d* (M' , tW» ,„ d* ,„
On peut encore éliminer aj;''' au moyen de la relation -^
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iSa L. SAUVAGE.
finaJemeiit le système
qui renferme a, -i-. . .+ {[^.^ — i) -f-, , .+ ji„ équations à autant d'inconnues.
Le système (172) est équivalent au système {169) puisque toutes les conditions fonctionDelles de ce derrier système sont satisfaites dans le système (172)-
En continuant ainsi, on peut être ramené à un système complètement algébrique. Nous écarterons ce cas.
Donc, en général, tout système de n équations différentielles à it inconnues peut être ramené à un système de la forme dite de Jacobi.
126. En résolvant les équations {i63) par rapport aux dérivées qu'elles renferment, on pourra mettre le système sous la forme
'Lyh -
>li^,r'' ■■.,7m) 0' =
Le calcul est particulièrement intéressant dans le cas où le système (i^S) est algébrique, c'est-à-dire lorsque les fonctions F sont algébriques, entières et rationnelles par rapport à toutes les lettres qu'elles renferment.
Mettons les équations (173) sous la forme
I ï;i-+/«,(»',7, r„.)Tr,?-'+... +/.„.,(», j-, r.,)-o,
Poson.
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SKSTÉHKS d'É(31;AT[0NS DIFFÉREKTir.LLES MKIÏAIRES ET H0110GÈKES, 1 53
les qiianUtés a étiint des indéLermincos et formons l'équation
OÙ N = V| Vj ... v„, représente le nombre des combinaisons des éléments des solutions des é€[iiaLions (174)- L'équation (176) est rationnelle par rapport aux coefficients des équations {174)1 car son premier membre est une fonction symétrique des racines de ces équations. Od peut donc calculer les coefficients de l'équation (176) et la mettre sous la forme
où les g sont des fonctions entières des lettres qu'ils renferment. Prenons maintenant d'autres constantes b el posons
(178) u--^ è,Yi + ...-i-i,„Y„„
ce qui donnera N fonctions îii, «21 - ■■! "n- H est évident que, quel que soil p entier et positif, l'expression ff ((,+.. .4- i^H,, sera une fonction symétrique des racines des équations (174) et s'exprimera rationnellement en x^ y,, ..., y„,. Posons alors
et multiplions ces équations par des facteurs indéterminés Xpi|, \,, . - ., )>i et^^,; nous aurons, après addition,
([80) U, fi ((,)-!-... -H «s fi( ^N ) = ga<»S-i+ î-i<i>N-2-(-- . ,-l- '''H-i"-'«,
à condition que ii soit déterminé par la relation
Déterminons niaititenanl, les X, de sorte que l'on ait
ii{t,) = 0, . . . , ii(^«-,) = 0, «((«+,)- ", . ■ .. Si('.x) - <•,
ou, ce qui revient au même, à condition que tl(î) qui est du degré JN — 1 en /. cl dont on connaît les racines, devienne - — —, c'est-à-dire
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l54 L. SAUVAGE.
Afois, on tenanL compLe de l'ecpiaiion de défiiiilion de tl{/), nous aurons
En OLilre, l'équaLion (rSo) deviendra
Puisque, d'une pari, les î., d'après les équations {[81), sont des fonctions entière: de ia avec des coerficients entiers en x, y,, ... , y,,, et que, d'autre part, d'ajivè:
il{t^) = ^{t^)=^g^t\-'-^{'^-i)g,il-'-+...+ gf,
voit que Wa prendra ta forme
où les S sont rationnels et où R'(ia) "^ dépend pas des constantes b renfermées dans «a. En outre, à cause de i'indétermînalion des constantes «, on petit supposer que R'{£a) u'est pas nul.
Si l'on supposait R'{ïo)=:o 11 y aurait deux racines égales dans l'équation (177) et, par suite, une relation algébrique entre ^, j',, ^y^, ..., y,,,, ce que l'on ne suppose pas.
Soit Yia, , . ., Y,,;,, la combinaison des solutions des équations (174) qui correspond à la et, avec des cbois quelconques des constantes Z>, formons les m é(|uations
Nous pouvons construire les formules
où les A sont des fonctions rationnelles de x, y,, . . ., y^ et K'(«) une fonction entière de degré N — 1 en ta, avec des coefficients fonctions entières des mêmes lettres.
Donc, les brandies Y,„, , , ,, Y,,,, des fonctions algébriques Y,, . . ., Y„, de x,
SYSTÈMES U ÉQUATIO^'S DIFFGRF.iSTlIil.l.liS LINÉAIRES ET KOMOGFNES. 13^
y,, ...,y,„ soLil. formées de fonctions ralîonncllcs d'une seule fonction algébrique ïa et de ces grandears x, y,, . .., y,,!-
Les coefficients s'expriment ral.ionnellement au mojen de ces quantités, et à chaque combinaison de branches correspond une valeur de (, solution de l'équalion (177) et réciproquement. De plus, la forme des expressions obtenues est indépendante de l'indice a de (,
•127. Soit g(x, y,, y^, . . .^ y m) le plus petit dénominateur commun des fonctions A|p, . . ., A.sp (p = 1, a, . . ., m), on aura
^ ^ ^•«p('^.ri 7/»)
et gap et g seront Jes fonctions cntiùrcs. On pourra donc écrire
et, si l'on pose gB.(() = G{x, t,y,, . ..,/„,), on aura, puisque g no dépend pas (îe(,
où Gp sera une fonction de œ, ta, y{, - - -i^ih, du degré JN' à la notation Y ^= -j^i nous aurons ce théorème :
/.e système différentiel
du degré y-), en ■—, peut être remplacé par /e^ v,, v^, . , ,, v„, ^= N systèmes suivants, chacun équivalent au précédent
0(i G, , G^, . . ., G„j sont des fonctions entières et où (.„ représente successivement chacune des N solutions de l'équation du W'""" degré G(x,t,yu ...,y„,)^o.
Les fonctions Gt, . . ., G,n sont du degré N — i en ï„. La forme ((8^) est dite de Jacobi ou de M. Weierstrass.
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