I.Ob L. SAliVACE

128. On peut décomposer G en facteurs irrédiictihles en t. Supposons que („ annule le facteiir g{x,t, y, . ■■,ym)t on aura

e.l h ne set-y pas nul pour l = i„, On aura, par suite,

àt ai " ùt

et pour ; = ta

On en déduira la formule

Soit n lo degré en (de l'équallon g^^o et soient („, /^,, . . ., t^, ses solutions, on aura

Gp('«) Ot.(fc)x/t('g)x...xA(V)

el le dénominateur sera une fonction entière symétrique des racines. Il s'esprimeni rationnellement en x, y,, ., ., y m- i^e numérateur renfermera une fonction entière symétrique des racines de l'équation et - ■■- s'exprimera rationnellement en X, y,, . . ., y,„. Le numérateur pourra même, au moyen de l'équation g ^ o, être abaissé au degré n — i en ta. On aura donc la formule

D'où, comme conclusion générale, le théorème suivant :

Décomposons le polynôme R{t) en facteurs irréductibles g,, g^, ..., g^. Le système différentiel proposé pourra être remplacé par les systèmes équicatents suicanis, au nombre rfe N = Vi, Va, ..., v,„

■, „,, dyi ffii(cr,ttp,r, 7m ) I k = , ■> ^)

oà gk, gk\i ■■■! gkm sont des fonctions entières de leurs lettres et où t/ip est successivement remplacé par chacune des racines de chacune des équations irréductibles gk^^ o-

Hosted by

SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. iS"]

Il est important tle remarquer que la réduction pratique du système {174) a« sjslème (184) est toujours possible, mais que le passage au système {i85) n'est pas toujours praticable, à cause de la décomposition effective dn polynôme R{i) en ses facteurs irréductibles. On a donc seulement démontré l'équivalence des systèmes (i74)et(i85). Nous ajouterons que, dans une équation irréductible telle que^A^o, on peut passer d'une solution ( à toutes les autres, d'une manière continue en faisant décrire certains chemins fermés aux variables x et y. Donc les systèmes (i85), qui correspondent aux diverses solutions d'une même équation ffit= o, peuvent être représentés par un seul d'entre eux et, par suite :

Le système {fjfx) peut être représenté par les t systèmes différentiels

oit il est une quelconque des solutions des tr équations algébriques

La théorie que nous venons de faire est générale. Le cas particulier qui nous intéresse est celui où les équations finales (i84)on (186) ont leurs seconds membres fonctions linéaires et homogènes de y,, y-^i ■ ■ -, ym- L'élude de ces équations a été faite, dans tous les Chapitres précédents, sous la forme (A) du Chapitre I.

129. Puisque nous avons donné ta théorie de la réduction à la forme canonique des systèmes algébriques, il ne nous semble pas inutile d'y joindre les premiers principes de Virréduetibitité de ces systèmes.

Soient

les équations d'un système algébrique où f, est une racine chois

iie de TéquB

I^upposons qu'il existe une solution r,,, ...,yi„, dont v des élén

icnts satisfas

à une relation algobiiqne telle que

Si, dans les équations (i84), et avec les conditions ^= et

on élimine y„, par exemple, on obtiendra un système diflerentie

1 à m - 1 éi

l58 L. SAUVAGE,

lions qu'on pourra supposer ramené à îa forme canonique

(,8,) ^Jiiijf-iiji-'-p^ ^'- »--) ip,

dui dx

= §^(.^'^1; -..,rv-i,r-'+J, ---^r-) (X=- r,5, ...,v — i,v-M, ...,m),

et où «I est une solution de l'équalion g(x, l'i jKn ---,>',„) ^o, el-/i,, -/u, ,.., 'r[y,, "Hv+i; ■ ■ ■) ■'Iw formera une solution de ce système (189).

Réciproquement, si une partie des éléments d'une 3oIutiotiï;),vi-2, ...,ï|mde(i84), soit vil, ...,/iv, forme une solution complète d'un système à v équations différentielles

<-») '""■'•■Zr' -^'^'è-V'^-r ^.) '='-.-3 ,,,

où C| satisfait à l'équation h(a:, i',,y,, . . ., y^)=: o, appelons l, et d les valeurs de (| et !>, qui correspondent à la solution -ri,, ..., r^„„ on tirera des équations (184) et {190) les relations

Il y aura donc des relations algébriques entre les éléments de la solution i\,,...,-f\„i,kla condition que les équations (191) ne soient pas toutes identiques, c'est-à-dire que les v premières équations du système (i84) "6 renferment que y,, ..., y^; alors elles formeraient elles-mêmes un système différentiel à v équations. Écartons ce dernier cas, et éliminons de l'une des équations (174)1 de l'équation G =^ o el de l'une des relations

la quantité y„t', nous aurons un système différentiel à m — ^ i équations, admettant la solution t,,, v,2, . . ., ïi,„, et dont la partie r,(, . , ., tj^ forme encore une solution de (190). Opérons sur ce système à m — i équations comme on a fait pour le système précédent, nous obtiendrons un système à m — 2 équations, etc. et, finalement, nous aurons un système de v équations de la forme

OÙ T, satisfait à la relation

Hosled by

Ce système admettant la soin lion -f,,. . . ,, t„, commune avec le système (iSo), on lirera de (ig^) 01(190)

OÙ T, satisfait à la relation

Si les équations (igS) n'étaient pas identiques en t,), , .., Y|(,, on pourrait encore diminuer d'une unité le nombre des équations du système(i92), et alors une partie ■t\,, .. ., yiv de la solntioa tj,, .. ., Ti,„ du sjstème (190) serait une solution d'un système à moins de v équations; mais nous supposerons qu'aucune partie de la solution ïJ), - - -, l'iv de (rgo) ne forme une solution d'un système algébrique à moins de v équations. En conséquence, les équations (igS) seront identiques, et, par suite, toutes les solutions de (190) formeront des parties des solutions de (184), et il est évident que l'identité des équations (rgS) subsiste quand, au lieu de v,, on j introduit une branche quelconque de la fonction implicite Vi définie par l'équation li{xy c,, jki, ■ ■ -, y m) = «> et que ïh! ■■ ■. ''i"; est remplacé par^'i, . .,, y„i. Il faudra supposer que y, a suivi un cliemin convenable pour arriver à l'une quelconque de ses brandies.

De là «ne délinition de l'irréductibiliié.

Le système algébrique et différentiel de m équations est dit irréductible, quand aucune combinaison de moins de m éléments de chacune de ses solutions ne /orme une solution d'unsystème différentiel de moins de m équations. En d'autres termes, le système proposé ne fournit aucune solution à un système quelconque de moins de m équations, algébrique et de même forme.

130. Revenons aux équations (184) du 11" 127, ot appelons degré du système le degré en t de l'équation algébrique

Nous allons montrer qu'un système irréductible de m équations et de degré n ne peut avoir aucune solution commune avec un système de m équations, mais de degré inférieur à n.

Mêlions, en effet, ce deuxième sjstèine sous la forme canonique

j6o l. salvage.

où B est une racine de l'équation irréducUble de degré v ■< n,

('97) s{^^^^y\^ ■■■,ym)^ 0,

et supposons qne le système (174) et l-cs équations (196) et {197) dcterminei] une solution commune ïi, , . . . , -r,,,,,. On aurait

<,nSi G:,(ar, T.. »],,■■•, 1»0 ga(.^,^>,-^U---,r^m) ,,,.,

àG{ x, 'f|, i-, i, ■■■, Yj,,,) ^^(j;. Q|, r,|, ■■■, i),,,) ' -■-.■■-.

011 T| et ©I représentent les viileurs de (, ctO, qui correspondent à la solutio ri,, . . ., ï|,„. D'après ce qui précède, puisqu'il ne peut y avoir de relation algé brique entre les éléments d'une solution d'un système irréductible, l'équation (18È [uation

GaCa:,^,,^!,....^,.,) ^ g-a(a^. Qi.r .Y„i)

dG(^, tuyu...,ym) àff{^,&„y y,„)

doit être identique en j-',, . . ., ^-j„, et alors les deux systèmes d 'équipions (iS'l) 61(196) se confondent, puisque toutes les solutions tour sont communes. Mettons l'équation (197) sons ïa forme

(199) e', + LUi(^, ji, ...,/,„)0r' + -.. + "'v(3-,7„ ..., j,„)-=o,

011 les w sont des fonctions rationnelles, et remarquons que la réduction d'un système dliTcrcnticI à la forme canonique peut toujours être conduite de sorte que (,, qui est une fonction rationnelle de x, y,, .... y,„, -^i • ■ -i -4-^. soit encore, au moyen des équations (186) et (lyy), rendue fonction entière de Oi au degré « — i, et à coefficienrs rationnels en a;, j',, , . ., j',„. Alors on pourra poser

(■200} «, = t!,(a:,j-,, ...,7,„) + s!,(3^,7i, ..,,j'„oo,-F...^Ov-i(^sj--j, --...^^onr'-

Alors, à cause de (18g), ou encore en éliminant Q,, on aura une équation du degré ven ï, , et les coefficients seront rationnels en ^, j-",, , , .,ym- Mais l'équation G=^ o étant irréductible, il est impossible de supposer que l'équation (1S7) définissant 9, soit d'un degré inférieur.

Comme corollaire, l'équation G^o, irréductible en /,, a-, ^,, ..., )-„,, est encore irréductible en t,, ■t\,, . . . , t|„[. Car, s'il en était autrement, le système dift"érentiel initial aurait une solution commune avec un système de degré

SYSTÈSIliS ]> ÉQl^ATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET [lOMOGÈKES. ibl

Enfin, il résiiUe de ce qui précède que, si l'on considère un système irréduclible qui a une solution commune avec un système dn même nombre d'équations ou tl'un nombre plus grand, tontes ses solutions forment cbaciine toute une solution ou une partie d'une solution du second système,

131. La théorie générale d'intégration que nous avons exposée dans les Cliapitres précédents n'ôte rien à l'importance de procédés particuliers d'intégration qui fournissent d'ailleurs de remarquables théorèmes.

Nous donnerons, pour terminer ce travail, quelques exemples de ces théories particulières.

Nous avons appelé solution du système

(A) fe = o„;K, + ..^+..,„7. (.■=,,,,,.,,,.)

U]i ensemble de fonctions y^y ^j, ..., j',j satisfaisant à ces cqriations. Nous appellerons, par opposition, inté. grale du système (A) toute relation

qui est identiquement satisfaite en vertu des équations (A), c'est-à-dire par une solution arbitraire de ces équations.

Si l'on connaît un système fondamental de solutions /",-,, la solution générale des équations (A) est de la forme

et Ton peut résoudre ces équations par rapport awf. constantes arbitraires. On obtiendra ainsi n intégrales linéaires distinctes

OÙ les a sont des fonctions connues des solutions données yij.

Réciproquement, si l'on connaît /( intégrales distinctes, on obtiendra, en résolvant les équations (aoS), des équations de la forme

( 'M ) yi=C, A,'i H- , , . -H C„ A ,-„,

et, puisque les constantes sont indéterminées, on peut faire, par exemple, Cj= o, . , ., C„^ o, et l'on voit que A,-, sera une solution du système (A). On pourra donc mettre les équalions (2o4) sous la forme (aoa).

Posé au point de vue de la recherche des intégrales, le problème de l'inlégration du système(Â)est donc différent de ia théorie générale que nous avons ex-

Hosled by

l62 I,. SAUVAGE.

posée. On comprend qu'il y ail une imporUncc considérable à rechercher les formes les plus simples des intégrales.

Supposons, par exemple, avec M. Darboiix, «jue les coefficients a des équations (A) soient des fonctions rationnelles de x. II pourra exister des intégrales non linéaires, algébriques et rationnelles, tandis que les intégrales linéaires peuvent être irrationnelles ou même transcendantes. Il y a donc intérêt à chercher ces intégi'ales de deg-ré supérieur. Nous allons montrer comment M. Darboux parvient à résoudre ce problème, et en même temps indiquer les beaux ihéorèmes qui se rattachent à la question.

Prenons d'abord un exemple. L'cqualion

où a' est la dérivée de a, admet les deux Intégrales premières linéaires

et elles peuvent être irrationnelles ou transcendantes, tandis que l'inlégra second degré

est algébrique et rationnelle quand a est rationnel.

Considérons une intégrale rationnelle de degré quelconque

elle doit satisfaire identiquement à l'équation aux dérivées partielles

On voit ainsi que, si la fonction / n'est pas homogène, en la décomposant en parties homogènes en ju, . . ■ , y„-, chaque partie égalée séparément à une constante donnera une intégrale du système (A). En effet, soit

/ = /.+/. + ■.• + /.-, on aura identiquement

Hosled by

SYSTÈMES d'ÉQUATIOSS DU'TliliF.JJTIFr.I.r.S LINliAlRES ET HOMOf.ÉNES. 1 03

Changeons^ en "i.y, el nous aurons

I //(Ij- l7.) = )*/i{^i, ...,^.),

I J/,()j-i, ...,l7.) ^ yj.^ àf,ly r.) ^

i,f,aru..;^y.) ,„, JMr, y.)

[ iO-y) -'''- ij

et, X étant absolument arbitraire, i! faut que l'on ait séparément

Nous pourrons donc supposer tjne, dans l'équation (ao5), / est homogène en yx, ■•■,y>'-

Cela poséj soit yij un système fondamental de solutions et soit

(II.) j-i=c,r„+...+ c,.:,.„,

la solution générale.

On peut supposer ces valeurs y/ portées dans /(s:, y,, . . . , y,i) et / devra rester constant après la substiluiion (ai i)-

Tout covariant F de /, multiplié par une puissance convenable (négative) du déterminant de la substitution (au), se transforme dans le covariant analogue formé avec la fonction '-f>(Ci, Cj, ..., C/,), où f (C), Cj, ... , Cn) est la fonction indépendante de œ qui résulte de la substitution (an) faite dans /(a;, y,, . . .,y„).

Mais ce nonveaii covariant étant exprimé au mo^en des constantes C,, . . . , C„ prises comme nouvelles variables, est indépendant de X, c'est-à-dire est une constante par rapport à x. Donc enfin tout covariant de l'intégrale f, multiplié par une puissance convenable d' une fonction connue de x, est également une intégrale-

La proposition s'étend an cas où l'on a plusieurs intégrales, et où l'on considère un covariant quelconque du sjstènie de ces formes.

En effet, soient

k formes intégrales homogènes qui deviennent par la substitution (201 ^j(C|, ..., Cn), c'est-à-dire des constantes.

Remplaçons les variables j-,, . . . ^ y„ par les variables C,, . . ., C„ au moj'ei

Hosted by

i6j4 l, sauvagiî.

do !a siibstltulion (21 1). Nous aurons d'abord

/,(^, Cij„H-. . .+ C„j^,„ . . ,) = ?i(C„ C„ . . ., C«).

Ensuite le covarianL F de/,, /^, . . -, /^ est une expression F(/, , ...,/() qui se reproduit après la siibsiitiition (aoi), mais multipliée par une puissance 3" du déterminant de la substitution.

On aura done, par suite du cliangemeiit de variables (21 1),

Or 5 ne dépend que de .7^. On voit donc, en revenant aux anciennes variables, que

est une constante, c'est-à-dire une intégrale.

Ce beau théorème s'applique, avec des modificalions convenables, aux contrevariants ôie/(x,y,, . . -^yK), comme nous allons ie montrer.

Introduisons pour cela le système auxiliaire

(aia) — -- -«,,^1 — «5/^,-...— a,„-5„ (i = i, 2, . . ., n ).

Le sjstènie {212) est dit réciproque du système (A). Soientj^i, j^j, .. .,j'„ et ;(, ..., s„ deux solutions quelconques appartenant respectivement au système (A) et à son réciproque (aia), on aura

\i.a effet, en dérivant, on trouve

(fyi ifyii dzf dz„

' d^ ' ' ' " d^ ■'^ dx " ' ■''^dx'^'

el, si l'on remplace les dérivées par leurs valeurs tirées de (.\) et {21 a), on trouve une identité.

Il résulte de là que, pour intégrer le système (A), on n'augmente pas la difficulté en considérant l'ensemble des systèmes (A) et (aia). On aura, e» eflfet, à résoudre en plus un système algébrique de la forme

pour connaître la solution générale de (21a) quand on aura déjà un système fondaineiita! de solutions de (A).

SYSTÈMES d'équations nUTÈRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. Or, si l'on po.e

l'ensemble des systèmes (A) et (aoa) revient à écrire le système canonique, dans le sens classique du mol,

'- -^ dx: dz/' dx Oyi'

Alors, soient

My^-y^ 7„l^„ss, ...,s.) = a- (i-^i, ■>.,...,!<)

A- intégrales homogènes en jKi) ■ ■ -i^h et en z,, ,,.,s„.

Toute forme invariante de ce système d'intégrales, multipliée par une fonction connue de x, est encore une intégrale du système caiwnique.

En effet, la solution générale de (A) est

(214) yi=C,yn-^...^C„y,..,

et les intégrales de (ao3) sont

(ït5) y,i^,^--- + r^i^-i=-!t (i-^T,2, ...,fi),

car les équations (204) et (203) donnent

j,3, -l-...-|-j'„2„=C,Yi-i-.-.-l-C,7„= eonst.

Alors, si dans les intégrales on remplace y,, . . ., y„, z,., . . . , z,i par leurs valeurs tirées de (ao4) et {2i5), elles doivent se transformer eu des fonctions

indépendantes de x. Mais (2i4) el (ai5) sont des substitutions linéaires qui changent les variables y el z dans les variables C et y- Donc toiite forme invariante du sjstème des intégrales / se réduira, quand on la multipliera par une puissance convenable du déterminant de la substitution (214)» à la fonction analytique formée avec les fonctions <fi, c'est-à-dire à une fonction des conslanies C et f. Or, une telle fonction est encore une intégrale.

Le déterminant de la substitution est égal, comme 00 l'a vu au Chapitre I, à g-JSfl„i/je Enfin, remarquons que le dernier théorème démontré comprend la fameuse proposition de Poisson dans la théorie des équations aux dérivées partielles.

132. Donnons enfin, d'après M. Appell, les principes essentiels de la théorie des S. 22

Hosled by

l66 L. SAUVACIÎ.

fonctions invariantes des intégrales des systèmes quelconques de la forme (A)

M. Âppell donne, dans un sens très général, le nom de fonction invariante de np quantités X,/( à chaque fonction algébrique entière des variables qui se reproduit multipliée par une puissance de la substilntioii quand on fait sur les variables une substitution linéaire telle que

Une pareille fonction pent être représentée par le Tableau

ou par la notation I ,

ou par la notation simplifiée I(X,>)„p.

M. Appell démontre les théorèmes généraux suivants : T. Si l'on a l'identité

D étant le déterminant de la substitution ; la fonction invariante est homogène et de degré m par rapport aux variables d'une même ligne. tl. On a identiquement

I(Xa.),-;, = o si p<,l.

IIl. Si /> := «, une fonction invariante est, à un facLenr près indépendant des variables X, une puissance du déterminant

IV- Toute fonction invariante est une fonction entière et homogène de degré n des n{p — ■ «) + I déterminants i. A,,,, Ai„^,, (/ = (, 13, . , ., n) oii l'on a posé d'une manière générale {en supposant^ >• n)

[ X„ ... X,,i-, X,j. Xi,ï^, ... x,„ I 1 X,i ... X„,(^, X„i X„,i^, ... X„J

Hosted by

SYSTÈMES d'bQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET flOMOGÈKES. 167

On pourrait appliquer ces théorèmes à l'étude des systèmes différentiels (A). Mais, comme le fait M. Âppell lui-même, on peut faire de ces systèmes une étude directe et d'ailleurs très simple; nous allons le faire voir.

Toute fonction algébrique entière F des éléments des solutions d'un système fondamental y n, des équations (A)

et des dérii>ées de ces éléments, qui se reproduit multipliée par un facteur constant différent de zéro quand on remplace le système fondamental de solutions par un autre système fondamental, est égale à une fonction algébrique entière des coefficients a et de leurs dérivées multipliée par une puissance de Vexpression e-''l''ii+'''+"-i;(l''-^.

D'abord F doit se reproduire à un facteur constant près quand on permute entre elles les solutions yot- En effet, on peut remplacer les deux solutions j^ii et /,2 par les deux solutions a^yi^ + btyi-i et flay,-, + b^ya, pourvu que le déterminant «I 6î — 6) «s soit différent de zéro. On prendra a^-^o, ^2=; o, «2= 1, 61 = I et l'on aura permulé les deux solutions j'u etyi^. Alors, les deux fonctions entières F{yii , yitf • • • lyot)} F (^121 yiii ■ ■ ■ t yi") "^^ différant que par un facteur constant, il faut qu'on trouve dans chacune la solution y:, avec les dérivées de ses éléments jusqu'à un même ordre de dérivation.

Donc, F contient les dérii>ées des éléments des solutions yn, jusqu'à un ordre de dérivation indépendant de l'indice te.

F est une fonction in\

nte des quantités for

dxP '

dxP

;^(p-\-i). En effet, supposons qu'on passe du système fonda-

l68 L. SAUVAGE.

mental de ioluùons ym k un autre système fondamental quelconque

Il faudra que l'on ait identiquement F(y,.,....y,. ^,...,'^].Hf(Y,. Y,.. . . ..■^. . ...î^],

\^^ii: ,Jiny . ^^ ^„ y |^ 11, , 1/1. , ^^^ ^^ j'

H étant une fonction des seuls coefficienls C de la substitution. D'ailleurs ce facteur H est différent de zéro tant que le nouveau système Yj* est fondamental, c'est-à-dire tant que le déterminant des constantes C est différent de zéro. Donc H ne peut difTérer que par un facteur numérique k d'une puissance de D et l'on a

On peut supposer Yj =^^1, . . . , Y„ — ,r„ pour calculer /c, et le calcul donne immédiatement ^ = i .

La fonction F se reproduit donc multipliée par D™ quand on fait sur les variables yik la substitution indiquée. Donc F est une fonction invariante des n^lyP + i) quantités du Tableau ci-dessus. Or, en vertu des équations proposées (A) et des équations dérivées qui ont même forme que les équations (A) ellesmêmes, on peut éliminer dans F toutes les dérivées, et alors F étant une fonction alg;ébrique des seuls éléments du déterminant

et ne s'annulant qu'avec lui, est précisément une puissance de ce déterminant, multipliée par un facteur qui ne peut être que zéro ou une fonction algébrique entière des coefficients de l'équation différentielle et de leurs dérivées. Ce ré- .sultat est conforme aux théorèmes généraux.

Pour les systèmes de la forme (A), le nombre des applications semble restreint. Mais, pour le cas particulier d'une équation linéaire d'ordre n, on peut tirer de là les tbéories de l'élimination et de la transformation des équations différentielles, comme en Algèbre pour les équations de degré n. Nous renverrons pour ces questions au Mémoire de M, Appeil.

SÏSTÈSIliS R ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES L)Nr,AIItES ET HOMOGENES.