Le système d'équations

est dit un système d'équations différentielles linéaires et homogènes à une variable indépendante ic et an inconnues y, , y^, . . . , yn lorsque les coefficients «m «iH) ■ ■ 't ««H sont des fonctions analytiques de la variable x. Nous étudierons d'abord les systèmes de cette forme auxquels on peut ramener les systèmes de forme plus générale, comme on le verra par la suite (Chapitre VII), Nous représenterons aussi un système de la forme (A) par la notation

•r- ainya

2. Supposons que les coefficients a aient une définition analytique dans une région du plan à contour simple, que nous appellerons T, et qui peut aller à l'infini.

Nous supposerons que ces coefficients soient uniformes dans la région (ou que l'on ait ramené l'étude de ces coefficients à celle de fonctions uniformes). Nous admettrons, en outre, que ces coefficients soient continus en tous les points de la région T, sauf en certains points. Ces points particuliers, isolés les uns des autres et généralement en nombre fini, seront appelés les points singuliers des fonctions a.

La variable x ayant d'abord une valeur Xo dite initiale et représentée par un point dans le plan des x, on suppose que cette variable décrive un chemin quelconque allant du point a;» à un autre point quelconque de la région T. Dans ces conditions, il s'agit d'abord de déterminer si, au moyen des équations (A), on peut définir n fonctions analytiques y,, jKa, ...,y„ ayant chacune une valeur bien déterminée pour chaque point du chemin décrit par la variable a?. C'est le premier problème que nous aurons à traiter.

SYSTÈMES b ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LliNÉAlRliS ET HOMOGÈNES. 7

Pour répondre à celte question, nous allons montrer qu'on "p^M généralement intégrer le système (A) par les séries.

3. Pour éviter plus loJn (Chapitix IV) des répétitions, considérons do suite le système

et supposons que les fonctions «^1, . .,, «,„ soient holomorphes dans un certain domaine du point x := a. Pour simplifier l'écrilnre nous poserons x =^a -\-x', de sorte que les fonctions a,,, .. ., a,„ seront holomorphes dans un certain domaine de l'origine a)'^ o.

Noxis écrirons simplement les équations précédentes sous la forme (B) de l'introduction, c'est-à-dire sous la forme

Les fonctions a/j seront développabîes en séries uniformément convergentes dans le domaine considéré et de la forme

(3) «(;■= a'^j-i-3:alj-l-a:^ajj-h

L'origine sera nn point ordinaire on un point singulier suivant que tous les coefficients constants a'^j seront nuls ou non.

Nous allons montrer qu'on pent satisfaire au système (2) an moyen de n fonctions qu'on peut mettre sous la forme

les séries fi entre parenthèses étant uniformément convergentes dans un certain domaine de l'origine.

Nous introduirons les valeurs (4) des y dans les équations (a), en tenant compte des équations, (3) et nous égalerons dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de x. Nous remarquerons d'abord que l'équation

entraîne la suivante

dx \ dw ^ j'

Ensuite nous observerons que les équations (2) deviennent après division par^'" (5) x-^ = (Kl -p, -H... 4- («/,— '■) ?<■-!-... + k;„U;, (i = i,2,3,...,n).

Hosled by

L'iJcntification fournira d'abord les i^quations

Celles-ci entraînent la condilion

Nous voyons d'abord que le nombre r ne pourra être que l'une des racines de l'équation algébrique de degré n

Si tous les coefficients a,^. sont nuls on prendra /■ ^= o et de plus dans les équations (6) les inconnues tpj, 'f\, . . ., w" pourront prendre des valeurs arbitraires.

Soient r, , i\y . .-, rn les racines de l'équalion F(;') =; o rangées de manière qu'aucune des quantités r^ — r,, — i , .. ., r„— r, — i ne soit nulle ou égale à un nombre entier positif. Cette condition sera remplie si les parties réelles ne vont pas en croissant quand on passe de la racine /■) à l'une quelconque des autres. La quantité /■, +A, quelle que soit ia valeur du nombre Rentier et positif, n'annulera jam«i,F(,-).

Nous prendrons r := r, et nous écrirons seulement r au lieu de /•) .

L'identification conduit maintenant à une infinité de systèmes successifs d'équations de la forme

Ce système d'équations est du premier degré par rapport aux coefficients yj, [p2, . ■ ■! fj>J, et permet de les déterminer en fonction des coefficients tp dont l'indice supérieur est moindre. En effet, le déterminant des coefficients des inconnues est

SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTir.LLES LINÉAIRES ET IIOMOGÉKES.

Ce déterminant ne pouvant être annulé par aucune valeur du nombre entier et positif /c, on pourra déterminer de proche en proche les coefficients des séries f.

Dans le cas où tous les coefficients a"^ sont nuls et où, par suite, /■ est nul, les quantités «", cp*, . . ., œ" resteront arbitraires, et tous les coefficients fp* s'exprimeront finalement en fonctions linéaires et honiogènes des « arbitraires f", ui*) ■■■i'Ph- En conséquence les valeurs de y, , jy^, ■ ■•, yit se présenteront sous la forme

et comme on poiirr

mer 11 groupef

dont le déterminant soit différent de

, on en eoiicUu qii'on pourra foi

yij

el entre les n'^ éléments y, identiques de la forme

:oefficienls Ci, C^,

ne pourra pas ctalihi' , C,j constants.

4. Démontrons que les séries ^ obtenues dans le numéro précédent sont uniformément convergentes dans un certain domaine de l'origine.

Appelons p le rayon d'un cercle ayant pour centre l'origine et dans lequel les séries aij soient toutes convergentes, même aux points situés sur la circonférence. On pourra prendre ce nombre p assez petit pour que le module |a,t^.[p(i d'un terme quelconque a^jXV- des séries a soit aussi petit que l'on voudra, pourvu qu'on laisse de côté les premiers termes a"j pour lesquels on a [j. ^ o,

Posons

de sorte que les équations (8) s'écriront

B quelconque des inconnues ip*, nous

lO L. SAUVAGE.

il, Aa, .. ., A„ représenlaot, an signe près, des déterminants mineurs dn premier ordre du déterminanl F(r + k).

On peut écrire cette équation

Un ternie quelconque fie celte somme est de la forme

et ^ est au moins égal à i.

Appelons «1^ et 'Yy^'- les modules de afj et de »J~''p'f'lJ'. Le module de G;p* sera inférieur à la somme

2<*;- oJ;;;;:;^:::::

( ^ = i,s,3,...,yt.

Mais pour une valeur donnée de p et pour |J-r> o, les modules a.fj ont une valeur maximum œ. De plus, pour les valeurs de |j. de i à ^, l'une des quantités i*"!" est plus grande que les autres. Désignons-la par i}/. Le nombre des termes de la somme étant nk, le modnle de la somme G;p* sera inférieur à nkctif.

Appelons maintenant Sj, S^, - --, S„ les modules des déterminants A,, As, .. ., A„, le module de la somme

sera inférieur à

Soit aussi 3 !e module de ¥{r^k) on aura pouï le module 'h^ de o*p*

Mais —J- est le module de la fraction =- — '~t~' et le degré en k du numérateur

a F(r-HA| "

est au plus égal au degré du dénominateur. On peut donc prendre k assez grand pour que, à partir de cette valeur de/: et pour toutes les valeurs de ^ plus grandes, le module de la fraction diffère de sa limite /;■ d'une quantité e,- aussi petite qu'on

SYSTÈMES d'équations DIFFÉRKSÏIF.LI.ES LI^'ÉAmES ET HOMOGÈNES. II

voudra, et que ce module s'approche consLamment de sa limite quand k augmenlc indéfiniment.

On aura alors pour celte valeur do k

Soit L la plus g'L'ande valeur de la parenthèse obtenue en prenant tous les s positifs; on aura

Gela posé, on peut prendre p assCK petit pour que «aL soit un nombre plus petit que l'unité. En effet, on peut prendre □ assez petit pour que a soit rendu aussi petit que l'on voudra. On aura donc, pour cette valeur de p, et pour toute valeur plus petite,

p étant un nombre plus grand que l'unité.

Si ensuite on remplace k par A- + i , /c + 3, . . ., on ne pourra pas augmenter la valeur de L et, par suite, celle de /laL ou de — ■ On aura donc

Il résulte de là que les modules des termes des séries tp seront, à partir d'un eertain rang, moindres qu'un nombre déterminé pour toute valeur de x dont le module sera au plus égal à p. Les séries <f seront donc uniformément convergentes à l'intérieur du cercle de rayon p ayant son centre à l'origine.

5. Nous ne retiendrons pourle moment que la conclusion suivante du théorème que nous venons de démontrer.

Si les coefficients an du système d'équations différentielles linéaires et homo-

dyi

sont des fonctions liolomorphes dans un domaine du point x = a (c'est-à-dire dans un cercle d'un rayon suffisamment petit ayant son centre au point x ^ a), la variation continue du point x-=a à un point quelconque x situé dans ce domaine à une distance suffisamment petite S du point x-=-a détermine n iaxtctions 7'i, ^^-a, ..., yn liolomorphes dans ce domaine S, et pouvant prendre au point x=: a des valeurs ç", a", . . ., fp" complètement arbitraires.

Hosled by

Ces II fondions 7,, y^, . .., y,^ formenL ce que nous appellerons une solution du système (A).

6. La définition d'une soiuLÎon peut êlre étendue au delà du domaine considère.

Ed effet, dans le domaine 8 du point "ic == a, faisons varier x depuis cc^a jusqu'à un point x = b situé dans ce domaine. Les n fonctions j', , y^, ..., y„ ayant d'abord les valeurs if", tp^, . . ., tp," arriveront au point b à des valeurs généralement différentes (fj)', ...,(tp,^)'. Déterminons un domaine du points = ^1, au moyen d'un cercle d'un certain rayon ayant son centre en ce point, et de telle manière que les théorèmes précédents soient applicables de nouveau; on fera passer X du point x^=b au point ce = c situé dans le second domaine, mais non nécessairement dans le premier. En ce point c on répétera ce que l'on a fait pour le point b, etc., et, par suite :

Si les fonctions aij sont uniformes dans une partie du plan limitée par un contour simple, ou même dans tout le plan, et continues en tous les points de cette région sauf en des points isolés, la variation continue de x, d'un point X =^a A un point quelconque de la même région, sur un chemin quelconque situé dans la région et ne passant par aucun point singulier, déterminera n fonctions y i, y 2, . . . ,y„ uniformes dans toute région du plan qui ne contient aucun point singulier et continues en tous les points du chemin. Ces fonctions satisferont au système d'équations (A) et pourront prendre au point x^=a des valeurs «J, . . . , tp," arbitrairement choisies.

C'est à l'ensemble de n fonctions ainsi définies pour la région T que nous donnerons dorénavant le nom de solution.

7. On appelle système de solutions l'ensemble de n solulions définies pour les mêmes variations de x. Les solutions d'un système ne diffèrent donc que par les valeurs initiales de leurs éléments.

Soit D le déterminant

des éléments d'un système de solulions représentées par les n groiipi

Nous dirons que le sysl tiquement nul.

t fondamental si le déterminant D n'est pas iden-

SYSTÈMES D ÉCjUATIONS DirFtLilENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES. 1.5

Les systèmes fondamentaux étant d'une importance capitale dans nos théories, nous démontrerons d'abord qu'il existe des systèmes fondamentaux de solutions. Nous savons déjà qu'il en existe, quand on se borne à un domaine suffisamment petit du point x = a dans lequel les coefficients oij sont liolomorphes (§ 3).