Démontrons d'abord le théorème suivant
Le déterminant D d'un système de solutions quelconques satisfait à la relation
rflogD ^ (a,i-f- «« + . ■ ■-+ a„„) dx.
On a Or
Mais on a en général
D dx
On
a donc
yy
àyi, 'dx
dx
On
a, par suite.
rfD
sr = <»" + «
lù
Ti da: Ad "' c'cst-à-dirc enfin
(nogD= (2««) àx.
9. Si l'on intègre l'équation préccdonle, on pourra mettre le déterminant D sous la forme
C étant une constante.
j4 l, sauvage.
De là des conséqueuces remarquables. Si l'oa se donne des valeurs intûales des n^ fonctions jr, telles que le déterminanl D ne soit pas nul, la constante C ne sera pas nulle, et le déterminant D restera différent de zéro tant que la variable n'atteindra pas un point singulier du plan des w, or, nous avons écarté les points singuliers dans la définition des fonctions y. Donc, il existe une infinité de systèmes fondamentaux de solutions.
10. Toute solution du système d'équations (A) peut s'obtenir par des combinaisons linéaires et homogènes à coefficients constants des éléments d'un système fondamental de solutions.
En effet, soit un système quelconque de solutions
J'U' yv- ■•■' y'iJ (j=i,2,...,n).
Posons
G,, Ca, . . . , Ci étant des constantes arbitraires; il esl facile de vcriiier que les fonctions Y constituent une solution du système (A).
Toute solution du système (A) peut, réciproquement, se mettre sous la forme précédente, pourvu que le système de solutions d'où l'on part soit fondamental.
En effet, soit
tino solution quelconque du système d'équations (A). Cherchons à déterminer des foiicLîons C, , Co, ■ ■ -, C,,, X, telles que l'on ait
On prendra ). arbitrairement et l'on aura à résoudre un syslènie à n inconnues Ci, C2, . . . , G„. Ce système est du premier degré; le déterminant des coefficients des inconnues est différent de zéro si le système de solutions ^y^ est fondamental.
Les inconnues C), Cs, ..., C» seront donc des fonctions déterminées de X.
Je dis que les rapports -^ se réduisent tous à des constantes. En effet, en déri-
. les équation s précé(
n. !Ç= ^ y, „, ^ + c, fi: + . . . + c. e|i=
dx dx dx dx
Éliminons -^-^ au moyen des équations du système proposé.
SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES F,T HOMOGÈNES.
C £^ -H -h C ^^ + \ '^f ■■■>+' dœ " ' " da: dx
Nous aurons donc en même temps les deux systèmes d'équalions
" dm-^
Ces deux équations déterminent /es mêmes valeurs proportionnelles des inconnues, en prenant pour inconnues d'une part C),Ca, ...,C«,Xet, d'autre part, c?Ci, (/Ca, . . . , 6fG« et (A; îl faut donc que l'on ait
-,,„„a„,.ale,rel.UO„.
ifficients conslanls qu'il s'agiss;
iit d'obtenir.
Si donc on prend \ égal à
linéaires, homogènes et
H, La démonstration du théorème précédent entraine les corollaires soi-
a. Si an système dp. solutions n'est pas fondamental, il existe entre ses
éléments des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la
forme
(3. Entre les éléments de («4- 1) solutions du système (A) il existe toujours
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un système de relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la forme
12. Si l'on substitue aux éléments d'un système fondamental de solutions d'autres éléments déterminés par les relations linéaires à coefficients constants
on obtient un nouveau système fondamental à condition que le déterminant des constantes de la substitution soit différent de zéro.
En effet, soient P le déterminant des fonctions Y, Q cehii des fondions y, R celui des constantes, on a identiquement
Or Q et R sont, par hypothèse, différents de zéro et, par sdite, P est différent de zéro, et les fonctions Y forment un système fondamental.
13. Substituons à des éléments d'un système fondamental d'autres éiémonls déterminés par les relations à coeflicients constants
pour toutes les valeurs de A de i à « et pour toutes les valeurs de A' de i Nous aurons le TahSeau
Les éléments de ce Tableau forment encore un système fondamental de soluions si le déterminant de constantes \cgg\ de la substitution est différent de ,éro. En effet, le déterminant des constantes peut s'écrire
et la question est
i la précédente.
SYSTÈMES o'ÊQUATIOKS DIFfÉtlCNTIELLCS LINÉAIRES ET lIOaiOGÈNES. I7
14. Si l'on connaît une solution du système d'équations (A), on peut ramener r intégration, du système à celle d'un autre système de nvinie forme, ayant une inconnue de moins.
Soient !(i, u<,, . . . , u„ les éléments de la solulion conniie. Il peut en csistcv qui soient nuls. Admettons que les éléments w^^, , «j+s, . - . , «« soient identiquement nuls, sans qu'il en soil de même pour les éléments h, , Ho, > • ■ , Wj.
Substituons aux fonctions y,, j'^, . . . , y^ d'autres fonctions q^, q^, . . . , q, déterminées par les relations
s du système (A) deviendront
ou encore
1 I ài-'-h \
Remplaçons j-j+ft par (/j^j, nous aurons un système en ^|, f/j,, forme que le système (A) et que nous écrirons
■ns que le système
2) admet !a solti
Nous devrons donc avoir, entre les coeJ
En tenant compte de ces conditions, 1 sons la forme
e les équations (la)
(,4) Ji=.,,(„-„)^-..
l'osons alors
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et retranchons la première équation des s — i suivantes. En conservant le: dernières équations (i4)i nous obtiendrons un système de la forme
iniqiiel il faudra joindre l'rqiiatio
On a e
(19) (ao)
■Ji outre II
Supposons que nous ayons obtenu une soin lion (^2, i^^, . . ,, Ç,i du sjstènie (17). Nous pourrons tirer q^ de l'équation (18) en eiïectuant une quadrature. Soit Q une intégrale de l'équation (18). Nous aurons
du système (A).
Nous sommes done ramenés à la résolution du système (17) de même forme que (A), mais 011 le nombre des fonctions inconnues est diminué d'une unité.
iS. Etant donné un système fondamental de solutions du système {17), le système de solutions correspondant des équations (A) est aussi fondamental.
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SVSïliMKS d'équations DirFitRENTIELl.ES USIUIISES ET HOMOGÈNES. I9
E.i effet, soit à le cfétcrminanl des solutions
hh Uj, ■... Ui (,/=■■'■ ")
du système d'équations (17), Supposons A différent de zéïo et, par suite, le système des solutions considériScs fondamental.
L'équation (18) donne, pour chaque solution ç^j, . . . , \„j des équations (17), une fonction Qy, et Ton peut former un système de solutions des équations (A). Les éléments de ce système forment le Tableau
Je dis que ce système est fondamental. En effet, s'il ne l'était pas, on pourrait établir entre ses éléments des relations à coefficients constants de la forme
on aurait d'abord
Cl «I + Ca (/, Qi -H . . ,-H C„!(, Q„ , = o,
ou, puisque U\ n'est pas nul,
Ci-hC3Q,-h...+ C„Q„i = o. - On aurait ensuite
ou, en tenant compte de la relation précédente, et en divisant par uu qui n'est pas nul, on aurait
On aurait enfin
Ces deux derniers groupes de relations ne peuvent exister que si le système de solutions des équations (i 7) n'est pas fondamental, ce qui est contraire à l'bypothèse.
16. Nous avons maintenant l'indication d'une marche à suivre pour former un système fondamental de solutions des équations (A).
Soit une solution «,, «j, ..., «„ du système (A). Formons un premier système auxiliaire d'équations ne renfermani que n — [ inconnues.
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Soit une soSulion Ca, fj, . . . , C/j de ce système. Au moyen de celte solution, passons à un deuxième système auxiliaire d'équations ne renfermant que n — a inconnues; au moyen d'une solution de ce nouveau système, passons de même à un système ne renfermant que n — ^3 inconnues et continuons ainsi jusqu'à ce que nous arrivions à un dernier système réduit à une seule équation renfermant
celte ëqiialion. Elle donnera, par une quadtaturc,
011 C est une constante arbitraire.
Celle valeur de w, n'étant pas identiquement nulle, forme à elle seule un système fondamental du dernier système auxiliaire. Elle fournira, après une intégration, une nouvelle solution de l'avanl-dernier système auxiliaire. On aura alors deux solutions de ce système, et elles forment un système fondamental. Ce système fondamental permettra ensuite de former, après deux quadratures, deux solutions nouvelles du système auxiliaire précédent. Avec la solution déjà connue on aura trois solutions de ce système d'équations et ce.s solutions formeront un système fondamental. En remontant ainsi de proche en proche on obtiendra finalement un système fondamental de solutions des équations (A).
Le nombre total des quadratures à effectuer dans la suite du calcul est
17. Il existe une relation simple entre les expressions des déterminants des systèmes fondamentaux dans les systèmes d'équations (A) et (17}. Soit D un déterminanlrelatif au système (A) et soit A un déterminant relatif au système (17). En négligeant les facteurs constants, qui ne sont pas nuls, puisque D cl i doivent être difi'érents de zéro, on a
Orona, ,r>,,ràleséq«alio>is(,9)et(»),
; D ltQU.\TIO>iS IMfl^ÉRENTlELLES LINKAUiKS ET IIOHOCENHS.
Mais, d'après !a velaiion (i3), on a
On a donc
\i(i dx Us dx !
On aura, par suite,
d'où ou enfin
18. Comme première conséquence, imag-inons qu'on donne d'abord le déterminant D et qu'on dirig-e le calcul de manière à obtenir le déterminant d. On voit que D et A ne pourront s'annnier l'un sans l'autre, car le produit «j, . , ., Hj ne s'annulerait que si A était infini, c'est-à-dire si la variable x passait par un point singulier des coefficients A et, par suite, par un point singulier des coefficients a. On peut donc dire qu'à un déterminant D d'un sjstème fondamental de solutions du système (A) on peut faire correspondre un déterminant A d'un s^'stème fondamental de solutions dn système (17), el cette propriété peut évidemment s'étendre aux systèmes d'équations auxiliaires successifs.
19. Comme autre conséquence, on peut mettre le délerrainant D sous la forme d'un produit de facteurs.
En effet, soient A,, A^>, . . . , A,^2 les déterminants des systèmes fondamentaux de solutions des équations auxiliaires successives. On a
A = AiCj, Wj, . . ., Cj',
fCn miilliplianl membre à membre, on a
D= «, W, ... »,l'i... fy ... '^'■
20. L'élude d'une équalion linéaire et homogène d'ortlre n âo lu fori , , d"v d"-'iy d"-^y dv
se ramène à celle d'un système d'équations linéaires et boni PosoQs, en effet,
Nous obtiendrons le sj-slème d'équations linéaires et liomogène.'
l da:
- Pi/i -t- ;>!ji -+-■■- -^ /""/«.
Réciproquement, le système (So) se ramène à l'équation {27) [lar les substitutions inverses.
2i. Considérons l'équation
d" y Pi d"~'y p,,
^■^'> di^ -^ rf^iT^ï +-■■-*- i7./'
et supposons les coefficients /j, , /y^, ...,p,i bolomorphes dans le domaine de l'origine. On peut, par une substitution un peu différente de la précédente, ramener cette équation particulière à la forme (2) (§ 3). Ce calcul étant important dès maintenant, posons
dx "
SYSTÈMES d'équations l)[l'TÉi\EN TIULLES LlSÉ.VIllLîS liï HOMOGÈSES. ^3
Nous aurons d'abord
cl ensuile nous oblicniJrons les deux équallons
dx'<
dx dx
du,,-!, ^ u„-i-, __ {n— k-<)ii„^ .i Nous aurons donc le système d'équaûons linéaires et homogènes de la forme ('i)
22. Il est Htile, pour la suite, de formel- l'oc[iTation !■'(;■) = o de la forme (7) (§ 3), en supposant que l'on ait
p'! — '- PÏ P%
On remarquera que les mineurs du premier ordre du déterminant que l'on ienl d'écrire ne peuvent avoir d'autre /^/«,î grand commun diciseui- qyta l'unité.
En effet, le mineur
esL égal à runité.
Nons verrons plus Uird les conséquences ImporlaïUcs de ce fait (Cliap. IV).
2;^. Revenons à l'écjiiation générale qu'on peut ramener au sjstèiiie
--iHy-i^----+Pay,i.
j)ai- les
iibstinuions
Le déterminant don sjstème de solutions du système d'équations (3o} peut se
S'il est différent de zéro, les n fonctions /i , JKs> • ■ ■ i Xn sont linéairement indépendantes; car, s'il existait entre elles une relation linéaire et homogène à coefficients constants de la forme
la même relation existerait entre les dérivées successives, c'est-à-dire entre les
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SYSTÈMES d'équations DIFFÉREXTIELLES LINÉAIRES KT HOMOGÈNES, ^5
cléments des diverses colonnes de D. Donc D serait iuil identiquement, ce qui esl contraire à l'hypothèse.
Lorsque l'on a D ^ o,, les n fonctions ^1,^2, . .. ,y,i, qui sont appelées dans tous les cas des intégrales de l'équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n, forment alors un système fondamental d'intégrales de celte équation diffcrentielle.
On a toujours
(36) D=- Ce-^A"'--,
puisque la somme ^au se réduit à />, dans les équations (3o),
Si le déterminant D est identiquement nul, il existe entre les intégrales ^^^i, y-i; • ■ -1 J'" **• moins une relation linéaire et homogène à coefficients constants. En effet, d'après le n" H, il existe plus généralement n relations de la forme
Entre h 4- i intégrales il existe toujours une relation linéaire et homogène à coefficients constants. En effet, d'après le même numéro, on a plus généralement n relations de la forme
Nous énoncerons encore les théorèmes suivants :
a. Toute intégrale d'une équation linéaire et homogène d'ordre n peut s'obtenir par une combinaison linéaire et homogène à coefficients constants des intégrales d'un système fondamental.
p. Si l'on substitue aux intégrales d'un système fondamental d'autres intégrales déterminées par les relations linéaires et homogènes à coeff.cients constants
on obtient un nouveau système d'intégrales à condition que le déterminant des constantes de (a substitution soit différent de zéro.
Toutes ces propriétés peuverit se démontrer directement. Les démonstrations directes sont très connues, surtout depuis la publication du premier Mémoire de M. Fuchs sur les équations linéaires {1866).
26 L. SAOVAGK.
2i, Soit u une iniégrale donnée de l'équation cJifFérenliellc (27) el, par sviilc,
du diu 'di ' dx'' '
ments d'une solution du système
l'osons d'où
d" du ^ dx "^ *■ rfi '
rfî.. du. d^ d'u
dx^ dx dx dx^ '
d"-iç n-i du <f"-îp ' dx'^-> "^ 1 dx dx"-^ "^
Portons ces valeurs dans les équations (3o). Cherchons le coefficient de c dans a première équation (3o) ramenée à la forme
dn
dx'^ dx'^~
c'est-à-dire /.éro, puisque u est une intégrale de l'équation {2^).
Les autres équations (3o) seront identiquement salisfaitesj en venu même de la définition de l'inconnue v.
Il résulte delà que, si l'on élimine les variables y, .j'a, ...,y„, les équations (3o) fourniront des équations où entreront les seules inconnues
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SïSTMlES I) CyOATIONS DIFI'TIIF.NTI ELLES LINÉAIKRS ET HOMOGÈKëS. 2^
on pourra prendre pour inconnues nouvelles ( et ses dérivées. Nous poserons
D'alioi'd, chacune des cqiialfons (3o) de la forme
étanl idenlirjiieinenl satisfaite, il ne restera que la condition
ou
// (h du'\\" Il ih da\\"-'
i(".7ï+%7:^jj ^^''[\''d^.^"d-i)) --■■+/''''"'-
Les doubles parenslièses indiquenl des puissances symboliques. On a vu que le coefficient de v est idenliquement nul, et qu'on peut prendre pour incoiiiuics nouvelles (,, «;,..., („.,-
L'équation précédente prendra donc la forme
Il est facile de voir que l'on aura
^in-»P>;r.^P'-'^l
En conséquence, le système (3o) sera ramené à un système de même forme ■enfermant une inconnue de moins, soit au système
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Mais 011 aura
ce qui correspond à la forinuie (a8).
Comparons ce résultat avec celui que donne !a lliéoiic générale. Remarquons d'abord que tous les éléments
d'une solution du système (3o) sont différents de zéro jusqu'à un ceitiiin ordre de dérivation, par eiicmple jusqu'à
et môme ce cas ne se présentera que si u est un polynôme d'un degré en x infé- Dans la tliéorie générale, on pose
devîe
nnon
Vu '" -*- Jt "
(l'oii
l'on l
1 dut,
Eli tenant compte de l'équation
La première équation (3o) devient
-^ qy+^l-^ U,=p,U„„+...^S-p„U.,q.,.
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;ïSTÈMES d'ÉQ(;AT10>S DirrÉRENTl elles LIMÉMUES et nOillOCÉNES.
Si l'on pose ensuite
on aura, en retranchant successivement l'équation (4o) (le chacune 'îes équations (39), les équations
formant un système linéaire et homogène à « — 1 inconnues, auquel il l'autlra joindre l'équation
-^ = P-Î — Zi-\-...+ p,i -^ 2,i.
11 est évident maintenant que la méthode qui est particulière aux équatioiis (3o) et qui conduit aux équations (38), exactement de même /orme que les équations données, doit être préférée à la méthode générale qui conduit simplement h des équations linéaires et homogènes.
D'ailleurs, les équations (38) jouissent des mêmes propriétés que les équations en s de la théorie générale. En effet, nous pouvons montrer que si i,, '21 ■ ■ -1 ï/i-i forment un système fondamental d'intégrales de l'équation
dx'^-' dx"-^ ds"-^
les expressions
Y, = «, Y.,= uft,d^, Yu=uft„-tdx
forment un système fondamental d'intégrales de l'équation
d:ij d"-' y
-d^rr-p^â^^.-^---^P'-y-
En effet, s'il existait une relation linéaire et homogène à coefficients constants telle que
on en déduirait la relation
Ci-h Cs/fi</:c + C^f/^dj, +. . .+ C„/(„,(;,c = o,
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Jio L. SAUVAGE,
fl'où, en dérivaiU,
relalion incompatible avec les hypoOièses.
25. Riîsiimons le paragraphe précédeiil. Si y, est une iiilégrale de l'équalion différentielle linéaire et homogène
(V) a^'f'Sî-. ■"■■■+''■■>■•
la substitution conduit à une équation
linéaire et homogène, d'ordre n ■ — i , et, avec un système fondamental d'intégrales de l'équalion (4')' °" peutformer un syslèine fondamental d'inicgralcs de l'équation (27).
De l'équation
obtenue plus baul, ou tire
/Pi rfjr = — ;iLogj', -+- fpid.T,
et, en appelant D, le déterminant D (équation H5), correspondant à l'équation (39), on voit qu'on aura
D,= CrT"D.
De l'équation en t, au mojen d'une solution t,, on passe à une équation en t linéaire et homogène d'ordre n — 2, etc.
Soîenlj'i, tt,T,, ..., «■ les diverses intégrales supposées successivement connues, on voit facilement qu'on aura la relation
D = cyf ;■;'-'. 'l'-
on peut voir dans le Mémoire de M. Fnchs les conséquences que l'on lire de ;ette dernière relalion.
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SYSTÈMES d'ÉQL'ATIOSS DIlTKRr.M'ir.l.l.HS LlMÉAlliES ET HOMOGÈNES. 3l
