DES DIVISEURS ÉLÉMENTAIRES

Reprcsentons par [P], [Q] et [P, Q] les déterminants

I A,, ... A,„ I B|, ... Iï,„ I IjoAii-HylSii ... pA„, + gB,„ 1

Le déterminant [1*, Q] est nno fonclion entière et homogène en p, q. Nous n'aurons à nous occuper que du cas où cette fonction esl du degré «, et non pas d'un degré inférieur; nous supposerons donc que le degré est n.

Ce déterminant [P, Q] esl alors un produit de ii fadeurs linéaires et homogènes, de la forme ap -+- hq et distincts ou non.

Considérons au même point de vue les mineurs des divers ordres. Soit l^ l'exposant du diviseur ap + hqc\»\. entre dans le plus grand commun diviseur de tous les mineurs d'ordre ra. Soit /q^, l'exposant correspondant à l'ordre ra -|- i . L'expression

a été appelée par M. Wcicrstrass un diviseur élémentaire du délermliinni

27. Soit ap 4- bq un quelconque des diviseurs linéaires de[P, QJ. Nous opposerons cette expression à celle de diviseur élémentaire, chacune de ces deux sortes de diviseurs correspondant à une décomposition spéciale du déterminant [P, Q], comme nous allons le montrer.

Les mineurs de l'ordre m du déterminant [P, QJsont du degré n — ra en /> et y et peuvent être décomposés en facteurs linéaires en p et q. Je dis d'abord que l'esposant t^ d'un même diviseur linéaire ap + bij ne peut aller qu'endécroissant quand l'indice m augmente; sous la nolation l^ nous comprenons aussi l'exposant l(, du même diviseur linéaire dans le déterminant [P,Q], considéré alors comme un mineur d'ordre zéro.

D'abord tout déterminant de degré h ^ ra + i peut être considéré comme une somme de termes dont chacun, abstraction faite du signe, est ie produit d'un déterminant du degré n — ^ par un élément de [P, Q]- Donc, tout diviseur commun des mineurs de degré n ^ a doit être aussi un diviseur commun des

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mineurs de degré h — m -|- i, et, par suite, aussi, de tous les mineurs de degrés supérieurs à n — ra + i , En conséquence, si l'un des nombres If,, U, I2, , . . est nul, tous les suivants sont nuls.

Ensuite, si l'on considère un mineur du degré n — ra+ i,sc5 dérivées partielles par rapport à /> et à ^ peuvent être considérées comme des sommes de termes dont chacun est le produit d'un déterminant de degré n — -m par un terme de [P] ou de [Q]; si donc ies mineurs de degré n — m admettent le diviseur linéaire ap + bq au degré la, le mineur de degré n — ro + i et ses dérivées partielles du premier ordre admettront en commun ce diviseur linéaire au même degré l^. Il faut alors que le mineur de degré n ~ ta + i soit divisible par {ap -|- 6^)'=+'.

Soit Ir le dernier exposant l qui ne soit pas nul. On aura les inégalités

0» aura alors

(ap -^bp)U= {ap + hq)'.{ap -1- ^y )■■. + .. .^ {ap -{- bg)':'.

Soient ensuite (ï|/>+ fti^, «ï/> -f- ^3?, - ■ -, ctmp + bm^ les diviseurs linéaires distincts du déterminant [P, Q]. Soient /à, l^, . . ., /„' leurs exposants. Décomposons ces nombres en éléments e d'après les règles précédentes, de sorte que l'on ait, par exemple,

Le déterminant [P, Q] pourra être représenté par le produit

Uia^p^biqy'i -lo'^' r

Gliacun des facteurs de ce produit est, comme nous l'avons dit dès l'abord, un diviseur élémentaire du déterminant [P, Q].

On voit que chaque diviseur élémentaire est essentiellement caractérisé par le rapport de deux coefficients a et b et par un exposant e-

Nous montrerons dans la suite que chaque diviseur élémentaire es^t indépendant dans chacune de ses propriétés. Nous pourrons alors représenter tous les diviseurs élémentaires dans un ordre quelconque par la notation

(a,p + (>,qy:, {a.p^big)'^, ..., {aç,p+ b-^q)',.

Mais les indices 1, 2, ..., p n'indiqueront plus que les diviseurs linéaires

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SYSTÈMES D ÉQUATIONS BIFFÉRENTIELLES LINÉAinRS KT IIOMOGÈKES.

a,p -\- b,g, ..., app + bç,q soient nécessairement distincts. Plusieurs poui être égaux entre eux. On aura de plus

et le nombre p sera égal ou supérieur au nombre des diviseurs linéaires distincts.

28. Un diviseur élémealaire (ap + b^y du déterminant [P, Q] est dit simple ou multiple, suivant que son exposant e est égal ou supérieur à l'unité.

Si, par exemple, tous les diviseurs élémentaires fournis par un même diviseur linéaire sont simples, on voit que le déterminant [P, Q] sera divisible par (ap-{- bq)'"^'; ses mineurs du premier ordre seront divisibles par {ap -\- bq)'\ . ■ ■ , ses mineurs de l'ordre r seront divisibles par ap -\- bq.

Si au contraire les diviseurs élémentaires fournis par un môme diviseur linéaire ne sont pas tous simples, remarquons que nous aurons

et nous voyons que le déterminant [P, Q] et ses mineurs d'ordces successifs seront respeetivement divisibles par

{ap-\-bqyr.

Les ordres de multiplicité d'un diviseur ap -\- bcj, considéré comme diviseur linéaù'e, ou comme diviseur élémentaire, sont, comme on le voit, deux nombres essentiellement distincts.

Ajoutons une remarque :

Tl n'y a Jusqu'ici entre les nombres e^, e,, . . ., e,- aucune relation nécessaire. Ce sont simplement des nombres entiers qui concourent à former les nombres l,., l,., , . . ., ^0, CCS derniers nombres allant toujours en croissant, quand leur indice

29. Il y a un lien très étroit entre la tbéorie des formes bilinéaires et la théorie des diviseurs élémentaires, et c'est précisément l'application des théorèmes de l'une de ces tbéories aux ibéorémcs de l'autre qui nous conduira à des consé-

quences très importantes pour la théorie des équations linéaires. Nous allons, par suite, nous occuper de ces questions spéciales. On dit que les deux expressions

sont deuœ formes bilinéaires aux zn variables x,, . .., X/,, y,, . . ., y„. Les déterminants de ces formes sont, par définition, les déterminants [P] et [Q]. Faisons les substitutions

aux déterminants de constantes H et K. supposés tous deux différents de zéro. Les formes

P(^„..,,^„[y„..,,^„) et (l(xu--.,^Ayu---,yn)

ou, avec une notation plus simple, les formes

P(^l^) et Q(3.|7) deviendront

p'(^'iy) et Q'(a^'iy)-

Nous allons montrer que les déterminants des deux formes

pP + qQ, et pP'+qQ'

admettent les mêmes diviseurs élémentaires.

30. Supposons que l'on ne fasse d'abord que la première substitution. Les formes

Pic^ly) et Q{^\y) deviendront

P.(^'l/) Cl Q,(^'|/).

Si ensuite on fait la seconde substitution, on obtiendra les formes

p'(^'iy) et Q'(^'iy).

Il suffit de démontrer que le déterminant Je la forme

pPi+qq,

SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 3:j

a les mômes diviseurs éiémenlaires que le déterminant de la forme

car on passera, par le même proeédé de démonstration, des diviseurs élémentaires de la forme

/>P.-t-îQi à cens de la forme

On sait, d'après la théorie des déterminants, que l'on a

[Pi,Q,] = [P,QIxH.

Donc déjà les diviseurs linéaires distincts des deux délcnnïnants

[I'„Q,] et tP,Q]

sonl les mêmes. Il reste à faire voir qu'ils fournissent les mêmes diviseurs élémentaires. Nous 'montrerons poui- cela que, si un diviseur linéaire est facteur à un certain degré de mulliplicilé dans tous les mineurs d'un ordre donne de [P, Q], il est aussi facteur au même degré de multiplicité dans les mineurs du même ordre de [P, , Q, ] et réciproquement.

Représentons les mineurs de degré jj. des trois déterminants