IP,Q], H, [P,,Q

V et S désignant deux combinaisons quelconques des nombres i, 2, ..,, « pris ■j. à [t.. On a, d'après Cauoby ('), la relation

"tyS^ ï(yi'"Si-l-ïlyîm5î-+-, . ,-(- '^-l'c'nSf

Le nombre c est celui des combinaisons indiquées et est égal à

Si tous les mineurs rnsy admettent le même diviseur (ap -j- bq)', «i^g admettra ce même diviseur pour toutes les valeurs qu'on peut donner kfel S,

Réciproquement, si tous Jes mineurs m^j admettent le même divisem- (ap + bq)' ,

(') Voir ]a Nolo sur les déterminants.

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36 r,. SAIIVAGIÎ.

il en sera de même des expressions

'îyl'"Sl -+-•■■ -l-'1ïc"'3c-

Mais le déterminant S-zin -/ia--- 'lee est une puissance de H et n'est pas nu! ('). Donc mg^, . .., mg^ admettent séparément le diviseur {ap -\- bq)' , el pour toutes les valeurs que l'on peut donner à 8.

Enfin, si les mineurs d'un certain ordre de[P, Q] n'ont aucun diviseur commun, il en sera de même des mineurs du même ordre de [P, , Qi ], sans quoi l'on pourrait démontrer que les mineurs considérés dans [P, Q] ont contrairement à l'hypothèse un diviseur commun.

Il est donc prouvé que les diviseurs élémentaires du déterminant [P, Q] ne sont pas altérés par la douhie substitution

^1, ..., ^„ I ^',, ..., <, et y^, ..., y,^ \ y\, ..., y',,-