Théorie générale des systèms d'équations différentielles linéaires et homogénes

L'étude de l'équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n d"y d"-' y dy

(o d£+Pld^-i---i-/,"-idï+p"r = °

a précédé celle des systèmes de la forme

(A) -£} = anyi + ...-+- aiayn.

Mais, dans les lignes générales, les deux études sont parallèles, et même l'équation d'ordre n doit être rattachée à un cas particulier du système (A).

Nous entreprenons ici l'exposition des théories générales concernant le système (A), du moins de celles que l'on peut considérer aujourd'hui comme définitives. Nous avons mis en relief la théorie des diviseurs élémentaires; elle est, en quelque sorte, l'instrument qui nous sert dans presque toutes les questions pour tirer du calcul, d'une manière à la fois simple et complète, tout ce qu'il peut donner dans les théories qui nous occupent.

Voici l'ordre que nous avons suivi :

Chapitre I. — On démontre d'abord que, si les coefficients a du système

(B) x ~^ = anyi ■+-■■■ + ainy„ (i= i;i, . . .,n) sont holomorphes dans le domaine de l'origine, on peut intégrer ce système par

les séries. J'ai démontré la convergence de ces séries dans les Annales de l'École Normale, en 1886.

Chaque groupe de séries yi, . . . , yn qui satisfait au système (B), et plus particulièrement au système (A), est appelé une solution du système.

Toute la théorie de M. Fuchs (J. de Crelle, t. 66, et J. ïannery, Thèse) sur l'équation générale de la forme (1) est applicable aux systèmes (A) ou (B). Nous voyons d'abord la définition des éléments d'une solution au delà du cercle de convergence des séries, puis la distinction des systèmes de solutions en fondamentaux et non fondamentaux. Soient j',,, . . . , yni (t = 1, 2, . . . , n) «solutions, le déterminant

D= \yJt\ (j, y = 1,2, ... n)

al différent de zéro ou nul identiquement, suivant que le système de solutions est fondamental ou non. La démonstration que l'on donne de ce théorème s'applique aux solutions définies avec la signification la plus générale.

En suivant pas à pas la théorie de M. Fuchs, on démontre la proposition de Liouville

D = GeS(2aii)dxi

et, comme corollaire, on prouve l'existence des systèmes fondamentaux; on montre la transformation d'un système fondamental dans un autre ; on donne l'expression de la solution générale du système (A) au moyen des éléments d'un système fondamental.

On voit ensuite comment la connaissance d'une solution permet de réduire le nombre des équations (A) d'une unité. Les conséquences intéressantes de ce calcul sont mises en lumière. Nous avons ajouté, ce qui nous paraît nouveau, la comparaison des deux méthodes de simplification de l'équation (1), lorsque l'on traite directement cette équation comme l'a fait M. Fuchs, ou lorsqu'on la considère comme procédant d'un cas particulier du système (A).

En résumé, le premier Chapitre contient les principes essentiels de la théorie des systèmes (A), et, comme cas particulier, ceux de la théorie de l'équation (1).

Chapitre II. — En 1 858, M. Weierstrass publia un premier Mémoire sur les formes quadratiques. Dix ans après, le même illustre géomètre publia, en apparence, la suite de la théorie commencée, mais, en réalité, jeta les fondements d'une théorie nouvelle d'une portée plus générale que celle des formes quadratiques. Le Chapitre II est entièrement consacré à l'exposition des idées de M. Weierstrass, sous le titre de Théorie des diviseurs élémentaires.

Mais la théorie de ces diviseurs n'est pas établie sans difficulté dans le Mémoire de 1868. D'un autre côté, MM. Darboux et Jordan reprenaient en France l'étude

des formes quadratiques et bilinéaires {Journal de Mathématiques pures, 1874). Nous avons pris la méthode parfaite de M. Darboux, et nous l'avons appliquée aux formes bilinéaires dans deux Mémoires successifs (').

Le Chapitre II renferme seulement les principes nécessaires et suffisants pour l'étude des équations (A).

Des tentatives d'application de la théorie des diviseurs élémentaires aux systèmes différentiels ont été faites par divers auteurs. Nous croyons qu'aucun n'a fait une application aussi générale et aussi systématique que celle que nous présentons dans les Chapitres suivants.

Soit

/>Au-l-?Bit ... p\u,-^qBln

/)A„i+ïB„i ... p^nn^-q^nn,

un déterminant du degré n en p elq. Soit lu l'exposant d'un diviseur linéaire ap-i^bq dans les mineurs d'ordre ro de [P, Q], ces mineurs étant considérés comme des polynômes en p et q, l'expression

(ap-±-bq)lv-lvM

est un diviseur élémentaire du déterminant [P, Q].

Le théorème général auquel nous parvenons est le suivant :

Pour qu'une même substitution double de la forme

Xi = Cnix\ -+- ■

Gin.y,i,

ramène à la fois les formes

aux deux formes

P =.r,j! + .. +xnyn, Q = ■S.aijxiyj

V'=x\y\^-...-^x',ly'n,

il faut et il suffit que les déterminants des deux formes

Q-wP, Q'-wP'

aient mêmes diviseurs élémentaires en oj.

En outre, et cette remarque est des plus importantes, il existe une forme

(') Annales de l'École Normale supérieure, 1891 et 18

canonique des expressions V et Q' pour lesquelles le déterminant Q' — toP' a une forme des plus simples. Nous utilisons cette forme dans nos théories sur les équations (A).

Chapitre III. — On trouve dans ce Chapitre l'extension aux systèmes (A) de la théorie des points singuliers de l'équation (i) donnée par M. Fuchs en 1866, et qui procède d'ailleurs, comme idée première, des théories de Puiseux sur les fonctions algébriques. Nous avons démontré, au moyen de la théorie des diviseurs élémentaires, l'existence d'un système fondamental de solutions particulières jouissant de propriétés spéciales. Nous avons aussi donné le procédé pratique de M. Fuchs pour rechercher ces solutions si importantes.

Le titre du Chapitre III est Des points singuliers. C'est, en effet, dans ce Chapitre que le caractère de ces points est complètement déterminé par le mode d'existence des solutions dans leurs domaines, et par le rôle que jouent ces points dans la reconstruction des équations différentielles (A).

Nous avons repris, sous la forme d'un système (A), la belle théorie de M. Tannery sur les équations (1) dont les intégrales sont les racines d'une même équation algébrique. Nous avons achevé complètement la question.

Chapitre IV. — Comme conséquence de la théorie précédente, la forme des éléments des solutions d'un système (A) peut être déterminée d'une manière générale pour le domaine d'un point ordinaire, ou singulier quelconque.

Mais on insiste d'une manière particulière sur les systèmes dits réguliers ou canoniques de la forme (B), dont on s'est occupé dès le premier Chapitre.

Les éléments de toutes leurs solutions sont composés linéairement avec des expressions de la forme

•r''(A0 + A! log;r -+-. . .-+- A/flog*a7),

qui sont infinies d'ordre fini pour x = o, et qu'on appelle des expressions régulières, après M. Thomé (J. de Crelle, t. 74 et suivants).

Le calcul complet de l'intégration des systèmes canoniques a été donné par M. Horn (Mathematische Annalen, XXXIX Bd). Nous exposons cette belle théorie qui repose encore sur la théorie des diviseurs élémentaires.

Le germe du principe employé par M. Horn est déjà dans les travaux de M. Frobenius («/. de Crelle, t. 74 et suivants). On le trouve presque complètement développé dans un remarquable travail de M. Griinfeld (A-. Ak. JT'ien, 1888).

Ne manquons pas de faire observer que tout le Chapitre IV établit la différence essentielle entre le cas particulier du système (A) qui conduit à l'équation (1) et le cas général.

SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES. D

Chapitre V. — Nous espérons avoir résolu l'importante question suivante : Quels sont tous les systèmes réguliers? Nous avons montré que tous ces systèmes peuvent se ramener par des substitutions simples à des systèmes canoniques.

Chapitre VI. — Les théories exposées dans ce Chapitre et relatives aux systèmes à coefficients simplement ou doublement périodiques ont été d'abord développées par M. Floquet pour le cas d'une équation de la forme (i) {Annales de V École Normale, 1 883 et 1884). Nous étendons facilement les théorèmes de M. Floquet au système (A), en nous servant toujours de la féconde théorie des diviseurs élémentaires.

Nous avons ajouté à la théorie générale quelques belles pages de M. Picard (J. de Crelle, Bd. 90) sur un système à coefficients doublement périodiques.

Chapitre VII. — Nous avons mis ici à contribution M. Léo K.œnigsberger {Lehrbuch der Théorie der Differentialgleichungcn, Leipzig, G. Teubner, 1889). Ayant à étudier les systèmes homogènes, mais réductibles aux systèmes linéaires, nous avons surtout développé la réduction des équations différentielles algébriques à des équations du premier ordre.

Enfin, dans ce même Chapitre, nous montrons que la théorie générale de M. Fuchs, si belle qu'elle soit, n'empêche pas le développement, mais au contraire vient à l'aide de théories parallèles, plus utiles à divers points de vue particuliers. Ainsi, nous donnons la magnifique théorie de M. Darboux sur l'intégration des systèmes (A) par les intégrales des systèmes {Comptes rendus, 1880). Cette question nous a amené à dire quelques mots de la Théorie, si connue aujourd'hui, de M. Appell sur les fonctions invariantes et les invariants des systèmes (A).

Il ne nous a pas paru enfin inutile d'ajouter quelques notes élémentaires sur la théorie des déterminants.

Observations. — Les théories générales étudiées dans les divers Chapitres servent en quelque sorte d'introduction à la grande question des systèmes (A) à solutions algébriques. On sait déjà que le nombre des points singuliers est limité, que, pour chaque domaine, les éléments des solutions doivent être réguliers et sans logarithmes. On pourra se rendre compte facilement du degré d'avancement de cette question en relisant les remarquables Mémoires de M. Goursat sur la Théorie des équations différentielles linéaires.