Le système d'équations

= «n Ji + . ■■-+-ai„yn,

dyn

dx

aa\.yx-^-...^-annyn

est dit un système d'équations différentielles linéaires et homogènes à une variable indépendante x et à n inconnues yt , y2, . . . , yn lorsque les coefficients a,, , «|„, . . ., ann sont des fonctions analytiques de la variable x. Nous étudierons d'abord les systèmes de celte forme auxquels on peut ramener les systèmes de forme plus générale, comme on le verra par la suite (Chapitre VII). Nous représenterons aussi un système de la forme (A) par la notation

dyj

dx

= an

ou par la notation

dyi dx

ainyn (i = i, 2, 3, . . ., n),

■■^ai/yj

2. Supposons que les coefficients a aient une définition analytique dans une région du plan à contour simple, que nous appellerons T, et qui peut aller à l'infini.

Nous supposerons que ces coefficients soient uniformes dans la région (ou que l'on ait ramené l'étude de ces coefficients à celle de fonctions uniformes). Nous admettrons, en outre, que ces coefficients soient continus en tous les points de la région T, sauf en certains points. Ces points particuliers, isolés les uns des autres et généralement en nombre fini, seront appelés les points singuliers des fonctions a.

La variable x ayant d'abord une valeur x0 dite initiale et représentée par un point dans le plan des x, on suppose que cette variable décrive un chemin quelconque allant du point x0 à un autre point quelconque de la région T. Dans ces conditions, il s'agit d'abord de déterminer si, au moyen des équations (A), on peut définir n fonctions analytiques y,, y2, ..., yn ayant chacune une valeur bien déterminée pour chaque point du chemin décrit par la variable x. C'est le premier problème que nous aurons à traiter.

SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES. 7

Pour répondre à cette question, nous allons montrer qu'on peut généralement intégrer le système (A) par les séries.

3. Pour éviter plus loin (Chapitre IV) des répétitions, considérons de suite le système

(1) (a? — a)-j£ =anyi + ... -hainyn (i = 1, 2, . . ., n)

et supposons que les fonctions ai,, ..., ai,, soient holomorphes dans un certain domaine du point x = a. Pour simplifier l'écriture nous poserons x = a -+- x', de sorte que les fonctions a,,, ...,«,-„ seront holomorphes dans un certain domaine de l'origine .r'= o.

Nous écrirons simplement les équations précédentes sous la forme (B) de l'introduction, c'est-à-dire sous la forme

(2) x-^~ = aixyK -+- ...-+-«,■„ y„ (t'= i, 2, . . ., n).

Les fonctions a,-j seront développables en séries uniformément convergentes dans le domaine considéré et de la forme

(3) a,j = alj^- xa\j-\- x^ajj-h. . . .

L'origine sera un point ordinaire ou un point singulier suivant que tous les coefficients constants a° seront nuls ou non.

Nous allons montrer qu'on peut satisfaire au système (2) au moyen de n fonctions qu'on peut mettre sous la forme

(-( ) yi= #''(?? + xf} + • ■ •+ xk<^f -(-. . ■) = xrat,

les séries <p, entre parenthèses étant uniformément convergentes dans un certain domaine de l'origine.

Nous introduirons les valeurs (4) des y dans les équations (2), en tenant compte des équations, (3) et nous égalerons dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de x. Nous remarquerons d'abord que l'équation

entraîne la suivante

dy

(xÈ^rf)-

Ensuite nous observerons que les équations (2) deviennent après division par xr

(5) X~T^ = ^'ifl-1-- • •"+" (a'i — r) tfi-h. . .-+- Gin^n (l = I, 2, 3, . . . , «).

L'identification fournira d'abord les équations

[ (ajj — r)tpî-4- «î2çS -h. ..4 ) «Si?? -i-(a22 — r)o§ + ...H

'nlfl

as»<fS

Celles-ci entraînent la condition

Nous voyons d'abord que le nombre /• ne pourra être que l'une des racines de l'équation algébrique de degré n

Si tous les coefficients a",- sont nuls on prendra /■ = o et de plus dans les équations (6) les inconnues a>°, cp°i ..., tp° pourront prendre des valeurs arbitraires.

Soient r,, r2, . .., rn les racines de l'équation F(/') = o rangées de manière qu'aucune des quantités r2 — r, — i , . . ., rn — /■, — i ne soit nulle ou égale à un nombre entier positif. Cette condition sera remplie si les parties réelles ne vont pas en croissant quand on passe de la racine r, à l'une quelconque des autres. La quantité r{ -\-k, quelle que soit la valeur du nombre k entier et positif, n'annulera jamais F(/-).

Nous prendrons /' = r, et nous écrirons seulement /• au lieu de r, .

L'identification conduit maintenant à une infinité de systèmes successifs d'équations de la forme

kw''. =

ain fn

•?1«PÏ

aaTi

*intn I

Ce système d'équations est du premier degré par rapport aux coefficients (j>*, <p2, . . ., tp* et permet de les déterminer en fonction des coefficients cp dont l'indice supérieur est moindre. En effet, le déterminant des coefficients des inconnues est

SYSTÈMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. Ç)

Ce déterminant ne pouvant être annulé par aucune valeur du nombre entier et positif /i, on pourra déterminer de proche en proche les coefficients des séries co.

Dans le cas où tous les coefficients a°ik sont nuls et où, par suite, r est nul, les quantités cp°, <p°, . . ., cp° resteront arbitraires, et tous les coefficients cd* s'exprimeront finalement en fonctions linéaires et homogènes des« arbitraires œ°, ts°, ..., œ°. En conséquence les valeurs de y, , y2, ■ • ., yn se présenteront sous la forme

et comme on pourra former n groupes de valeurs

?!;> ?">• ••• ?Sy (,/' = i, 2, •••• »).

dont le déterminant soit différent de zéro, on en conclut qu'on pourra former n groupes de valeurs correspondantes

YU— t??/~i~ a:i?i7"t"a?2?!7"t"' • • (', ./ = i, 2, . . . , «),

et entre les n- éléments yy, on ne pourra pas établir de relations simultanées et identiques de la forme

Ci yn -+-... -+- C„y,n = o ( i = t , 2, ...,/! ),

ou de la forme

Gi7i;-*-Gïy!yH-...+ C„y„y= o (/ = I, 2, . .., /!)

à coefficients Ci , C2, . . . , C„ constants.

à. Démontrons que les séries cp obtenues dans le numéro précédent sont uniformément convergentes dans un certain domaine de l'origine.

Appelons p le rayon d'un cercle ayant pour centre l'origine et dans lequel les séries a, -y soient toutes convergentes, même aux points situés sur la circonférence. On pourra prendre ce nombre p assez petit pour que le module \af ■lof- d'un terme quelconque afjXV- des séries a soit aussi petit que l'on voudra, pourvu qu'on laisse de côté les premiers termes «"• pour lesquels on a \x = o.

Posons

— G,- = a\x tpf-1 -+- . . . -+■ afno% ( « = r , 2, . . . , 7i ),

de sorte que les équations (8) s'écriront

a», tp* + ...-(-(«?:— r — *)cp*+...-+-a»jC?*= Gc (t = i, 2, . . ., ra).

Tirons de ces équations la valeur de l'une quelconque des inconnues tu*, nous aurons

F(r+A)if*=41Gi + ...+ A„G„, S. 2

A,, A2, .. ., A„ représentant, au signe près, des déterminants mineurs du premier ordre du déterminant F(r + k).

On peut écrire cette équation

Or nous aurons

— G, p* = a/j p . of- ' p'-- • H- ... -t- a,!„ p . o*- ' p*-' -+- a?, p2.of~2 pA'-2-H. . .-)- a? p2.c?£-2 p'''-2

-l- afftp*.epî -)-... -H af;tp*.cp». Un terme quelconque de cette somme est de la forme

o"- oC-.<!>*"-!ip*-[S

ij ' ' i '

et a est au moins égal à i .

Appelons afj et Yf^ "es modules de a.f: et de y'j~V-pk~v-. Le module de G,p* sera inférieur à la somme

^a-ïjtf-V- où j y = [,2,3,...,n,

Mais pour une valeur donnée de p et pour [ji > o, les modules a.f: ont une valeur maximum a. De plus, pour les valeurs de y. de i à A-, l'une des quantités i*-!1 est plus grande que les autres. Désignons-la par à. Le nombre des termes de la somme étant nk, le module de la somme G,p* sera inférieur à nko.>b.

Appelons maintenant 8( , S2, . . ., o„ les modules des déterminants A,, A2. . . ., A„,

le module de la somme

A,Gip*+. . . -+- A„ G„ posera inférieur à

Soit aussi o le module de F(/'-f- A") on aura pour le module d^ de »*p*

Mais -s-i est le module de la fraction =— - — ^— , et le deeré en k du numérateur

S F(/- + /lj "

est au plus égal au degré du dénominateur. On peut donc prendre k assez grand pour que, à partir de cette valeur de A et pour toutes les valeurs de A" plus grandes, le module de la fraction diffère de sa limite /, -d'une quantité s, aussi petite qu'on

voudra, et que ce module s'approche constamment de sa limite quand k augmente indéfiniment.

On aura alors pour cette valeur de k

Soit L la plus grande valeur de la parenthèse obtenue en prenant tous les s positifs ; on aura

<j>/[-< naibh.

Cela posé, on peut prendre p assez petit pour que /?aL soit un nombre plus petit que l'unité. En effet, on peut prendre o assez petit pour que a soit rendu aussi petit que l'on voudra. On aura donc, pour cette valeur de p, et pour toute valeur plus petite,

p étant un nombre plus grand que l'unité.

Si ensuite on remplace k par k : -f- i , k + 2, . . ., on ne pourra pas augmenter la

valeur de L et, par suite, celle de naL ou de — • On aura donc 1 P

Il résulte de là que les modules des termes des séries a seront, à partir d'un certain rang, moindres qu'un nombre déterminé pour toute valeur de x dont le module sera au plus égal à p. Les séries a seront donc uniformément convergentes à l'intérieur du cercle de rayon p ayant son centre à l'origine.

5. Nous ne retiendrons pour le moment que la conclusion suivante du théorème que nous venons de démontrer.

Si les coefficients aij du système d'équations différentielles linéaires et homogènes

(A) . "rite==2a'm' (/,y = i, 2, ...,»)

sont des fonctions holomorphes dans un domaine du point x = a (c'est-à-dire dans un cercle d'un rayon suffisamment petit ayant son centre au point x = a), la variation continue du point x = a à un point quelconque x situé dans ce domaine à une distance suffisamment petite 3 du point x = a détermine n fonctions j'( , y-2-i ...,yn holomorphes dans ce domaine o, et pouvant prendre au point x = a des valeurs a°, a°, . . ., a" complètement arbitraires.

Ces n fonctions y{, y2, . . . , yn forment ce que nous appellerons une solution du svslème (A).

6. La définition d'une solution peut être étendue au delà du domaine considéré. En effet, dans le domaine 3 du point x = a, faisons varier x depuis x = a

jusqu'à un point x = b situé dans ce domaine. Les n fonctions y, , y-2, ■ .., yn ayant d'abord les valeurs u", a°, . . ., o° arriveront au point b à des valeurs généralement différentes (cp')', ..., (<?,")'■ Déterminons un domaine du point x = b, au moyen d'un cercle d'un certain rayon ayant son centre en ce point, et de telle manière que les théorèmes précédents soient applicables de nouveau; on fera passer x du point x = b au point x = c situé dans le second domaine, mais non nécessairement dans le premier. En ce point c on répétera ce que l'on a fait poulie point b, etc., et, par suite :

Si les fondions atj sont uniformes dans une partie du plan limitée par un contour simple, ou même dans tout le plan, et continues en tous les points de cette région sauf en des points isolés, la variation continue dex, d'un point x = a à un point quelconque de la même région, sur un chemin quelconque situé dans la région et ne passant par aucun, point singulier, déterminera n fonctions y i, y », • ■ -,yn uniformes clans toute région du plan qui ne contient aucun point singulier et continues en tous les points du chemin. Ces fonctions satisferont au système d'équations (A) et pourront prendre au point x — a des valeurs a°, . . . , es" arbitrairement choisies.

C'est à l'ensemble de « fonctions ainsi définies pour la région T que nous donnerons dorénavant le nom de solution.

7. On appelle système de solutions l'ensemble de n solutions définies pour les mêmes variations de x. Les solutions d'un système ne diffèrent donc que par les valeurs initiales de leurs éléments.

Soit D le déterminant

.»'ll .121

yn y ïi

y ni y m

y un

des éléments d'un système de solutions représentées par les n groupes de fonctions

y m, ••-, y nj (j =1,2, ...,«)•

Nous dirons que le système est fondamental si le déterminant D n'est pas identiquement nul.

SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES.

Les systèmes fondamentaux étant d'une importance capitale dans nos théories, nous démontrerons d'abord qu'il existe des systèmes fondamentaux de solutions. Nous savons déjà qu'il en existe, quand on se borne à un domaine suffisamment petit du point x = a dans lequel les coefficients «,y sont holomorphes (§ 3).