Arrivons à la formule de Cauchy

os) r$' = p^'Qisf +. . .+ pyr Qg>.

Commençons par définir le produit R des deux déterminants P et Q du même ordre. On aura, par définition,

(16) rv.v=pv.lqn-i-...-hpV4agVn,

en appelant/?, q, ?' les termes des trois déterminants; on peut écrire simplement

(ij) ry.v = S» (/yi, ?vi),

le signe de sommation S étant relatif aux seconds indices 1. On aura, par suite,

S^iig-n) S"(pug2l) ... S"(puq,n) S"(PnÇu) S«(/>2igr21) ... S" (pu g ai)

S"(pnigu) &"(Pnigu) ■■■ $>"(Pniqal)

Supposons que dans R on échange deux lignes, par exemple les deux premières. On aura l'échange entre les deux éléments

&"(pnqn) et S"(pilgn)-

Rien n'est donc changé dans le déterminant Q. Au contraire, dans P, la suite

Pu, Pl-2, •••, Pin

est remplacée par

Pu, P-l

Pzn,

et inversement. On a donc échangé au fond les deux premières lignes de P.

D'une manière générale, on peut dire que, si l'on échange les lignes d'indice i et j dans l'un des deux déterminants P et R, le même échange doit être fait dans l'autre déterminant pour que la loi