II. On a identiquement

I(X,/,)n/J=0 si p<n.

III. Si p = n, une fonction invariante est, à un facteur près indépendant des variables X, une puissance du déterminant

IV. Toute fonction invariante est une fonction entière et homogène de degré n des n(p — ») + i déterminants A, A,^, AJ;„+I (j = i, 2, ..., n) où l'on a posé d'une manière générale (en supposant/) > n)

Xn

X,,!— , X,£ Xi^-i-i '• X„v,-, X,a- X„)14-i

Xi„

On pourrait appliquer ces théorèmes à l'étude des systèmes différentiels (A). Mais, comme le fait M. Appell lui-même, on peut faire de ces systèmes une étude directe et d'ailleurs très simple; nous allons le faire voir.

Toute fonction algébrique entière F des éléments des solutions d'un système fondamental y ,* des équations (A)

dyt dx

= «nJKi-+-.

■ ainyn

et des dérivées de ces éléments, qui se reproduit multipliée par un facteur constant différent de zéro quand on remplace le système fondamental de solutions par un autre système fondamental, est égale à une fonction algébrique entière des coefficients a et de leurs dérivées multipliée par une puissance de l'expression es<-a^+---+anJdjc.

D'abord F doit se reproduire à un facteur constant près quand on permute entre elles les solutions yik. En effet, on peut remplacer les deux solutions yi{ et yi2 par les deux solutions a,yit -+- b{yi2 et a2yiK + b2yi2, pourvu que le déterminant a,b2—b{a2 soit différent de zéro. On prendra a, = 0, b2=o, a2=i, b, — 1 et l'on aura permuté les deux solution s ylK elyi2. Alors, les deux fonctions entières F(yil,yi2, ...,yin), F(yi2, yti, . . . , yin) ne différantque par un facteur constant, il faut qu'on trouve dans chacune la solution yit avec les dérivées de ses éléments jusqu'à un même ordre de dérivation.

Donc, F contient les dérivées des éléments des solutions yik jusqu'à un ordre de dérivation indépendant de l'indice k.

F est une fonction invariante des quantités formant le Tableau

yn,

ym,

dy h dx

dym

dx

dPyu

dPyu,

dxi' '

dxP '

ym, •

yn,i,

dPy,n

dfynn

dxP

dxP '

et au nombre de n-(p-\-i). En effet, supposons qu'on passe du système fonda-

l68 L. SAUVAGE.

mental de solution s yn, à un autre système fondamental quelconque

^ ik = Guy n + ■■.-+■ ^aiy in-

11 faudra que l'on ail identiquement

„/ di'yu, dpy„„\ / rf/'Y,fl dPY„a\

F(rn, ...,yln, ...l-^J...r-j=HF(Y11>...,YJJ,1 ...,-3—,...,-1-]rj>

H étant une fonction des seuls coefficients C de la substitution. D'ailleurs ce facteur II est différent de zéro tant que le nouveau système Y,-* est fondamental, c'est-à-dire tant que le déterminant des constantes C est différent de zéro. Donc H ne peut différer que par un facteur numérique A' d'une puissance de D et l'on a

II = /cD'«.

On peut supposer Y, = y\, • • •, Y„ = y„ pour calculer h, et le calcul donne immédiatement k = I .

La fonction F se reproduit donc multipliée par Dm quand on fait sur les variables yih la substitution indiquée. Donc F est une fonction invariante des n'2(p H- i) quantités du Tableau ci-dessus. Or, en vertu des équations proposées (A) et des équations dérivées qui ont même forme que les équations (A) ellesmêmes, on peut éliminer dans F toutes les dérivées, et alors F étant une fonction algébrique des seuls éléments du déterminant

v = \ytk\,

et ne s'annulant qu'avec lui, est précisément une puissance de ce déterminant, multipliée par un facteur qui ne peut être que zéro ou une fonction algébrique entière des coefficients de l'équation différentielle et de leurs dérivées. Ce résultat est conforme aux théorèmes généraux.

Pour les systèmes de la forme (A), le nombre des applications semble restreint. Mais, pour le cas particulier d'une équation linéaire d'ordre n, on peut tirer de là les théories de l'élimination et de la transformation des équations différentielles, comme en Algèbre pour les équations de degré n. Nous renverrons pour ces questions au Mémoire de M. Appel!.

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. iGq