R = PQ

11 suffira donc de démontrer la formule de Cauchy dans le cas particulier représenté par la formule suivante :

i .9) iv/ï» = P'/ï'QV'.'1 -k • •+ p\"P QW-

Considérons un terme quelconque de R',™1. Il est dérivé du terme principal

par des permutations effectuées sur les seconds indices. Il sera donc de la forme

£''ia, ■ • • '■«„,.

ou encore de la forme

^S"(/)II,g,a,,i)-S"(/,2i. ? a.,l)--- S"(/>„,i, q*m,i)- Son développement renfermera donc toutes les combinaisons

(A) Pi|3, • • ■Pm^^qa.y, ■ ■ ■ 7a„,y„„

où B( . . . p,«, Y) • • • ym sont des combinaisons quelconques de m des indices 1, 2, .. ., n.

Cela posé, R',"" est un déterminant, c'est-à-dire une fonction qui change de signe quand on change la parité de l'une des suites des indices de ses termes. Il faut donc que toutes les combinaisons A soient précédées d'uu signe conforme à la loi de leurs indices. Mais alors, en raisonnant comme pour la règle de Laplace, on pourra démontrer la formule

RV?I = S± S(/>,,p, . . .pm$m)S(qai,y, . . . <7a„„T„,),

ou encore, en revenant aux notations adoptées,

p(m) p ( /« I OC») +. i puniQtm)

"il — rll Vil "t- . . . , I j c V 1 c •

139. Il nous reste à démontrer que le déterminant S["l) est une puissance de P. M. Francke l'a démontré d'abord par une méthode directe. Ensuite, M. Borchardt, dans une Note ajoutée au Mémoire de M. Francke, a obtenu d'une manière presque immédiate ce théorème important en s'appuyant sur la remarque suivante facile à démontrer : l'expression entière et rationnelle

( A^, -f- A2a?s-t-. . .-f- h.nxn)k

n'a pour diviseurs entiers et rationnels que des expressions de la forme

X(Aia?iH-. ..+ A.nxn)V- (n = o, i, 2, .. ., te);

or c'est le cas du déterminant P*, où l'on peut appeler x,, ...,x„ les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne. Cela posé, la relation

Si/"1 Si/'-"" = P'',

établie par Cauchy, montre que S'™' est un diviseur de Ve et, de plus, un diviseur entier et rationnel. Il faut donc que l'on ait

S'."" = À PV:

On trouve facilement l'exposant jji. et la constante X= i, en cherchant d'une part la dimension de S"'" par rapport à une lettre quelconque du déterminant P, et, d'autre part, en supposant P réduit à sa diagonale principale.