PREMIER PROBLEME

Construction de la tangente en un point de la développante fijperholoidique dont la projection horizontale est une développante raccourcie du cercle de gorge.

En admettant que I on sache construire la tangente en un point d’une développante raccourcie d'un cercle, le problème propose sera facile à résoudre.

En effet, on construira au point x de la courbe d, le plan T tancent à l'hyperboloide H; puis au point x h de d* on construira la tangente S* à cette courbe d* ; enfin par la droite S* on mènera un plan R perpendiculaire au plan P, lequel coupera le plan T suivant la droite Q qui sera la tangente demandée.

Ce qui précède étant compris, passons au deuxième cas.

DFI XIÈMK CAS.

Le cercle C étant un parallèle de l'hyperboloide.

Prenons toujours le plan P du cercle C pour plan horizontal de projection 22).

L’axe A percera le plan P en un point o centre du cercle C du rayon js. Le cercle de gorge B du rayon r aura son centre en b sur l’axe A. Ce cercle B se projettera sur le plan P en un cercle B* du rayon r et ayant son centre au point o.

Concevons un fil F enroulé sur le cercle C et passé dans un anneau fixe daus l'espace et situé au point u du cercle C.

Imaginons par ce point p du cercle C une droite X génératrice de I hypcrboloide 11 ayant le cercle 11 pour cercle de gorge et le cercle C pour parallèle.

Désignons par a l'angle que l'axe A et la droite X font eutre eux.

Cela posé, si nous enroulons le fil F sur le cercle C, et si nous le plions eu p pour le diriger le long de X en prenant sur X une longueur i /> = arc mp, le point x sera un point de la courbe d tracée sur l'hvperboloide H.

Le point m sera aussi un point de la courbe d.

Cette courbe d se projettera sur lé plan P suivant d*, courbe qui coupera en m le cercle C.

Maintenant examinons la nature géométrique de la courbe d*.

La droite X se projettera sur le plan P en X* qui sera tangente au cercle B* au point 7* projection du point 7 en lequel le cercle dégorgé B est rencontré par la génératrice X; et cette même droite X* coupera le cercle C au point p.

Le point .r de d se projettera en .t* sur d*, et l'on aura x *7* = x*p -t- p7*.

Or, quel que soit le point r * de d* que l'on considère, la portion de droite pq* sera constante , et égale à

De plus

On a donc (0

y op — oq* ou & vf* — r*.

.7 *p = xp . sin a et xp — arc mp.

x * 7 * = arcmp.sina ■+- — r*.

Cela posé, si du point ni on mène une tangente au cercle B A , le point

de contact étant en n, les angles noq * et mop seront égaux.

Od aura donc

arc nq k arc mp

d’où l’on tire

(a) arc mp = £ . arc nq*.

et, en vertu des équations (i) et (a), l’on aura

(3) j*q* = f sin a (arc nq A ) -t- — r 1 .

Remarquons maintenant que la courbe d viendra couper le cercle de gorge B en un point y dont la projection y* sera l’origine de d* sur le cercle B*. Nous pourrons donc, dans l’équation (3), remplacer

arc nq* par (arc j*q* — an: > , n).

Or il est évident que quel que soit le point jr* de la courbe d* que l’on considère, on aura

arcy*n = constante.

Cherchons la valeur de cet arc y* n :

La courbe à passe du point m situé sur le cercle C , au point y situé sur le cercle B; l'axe A a donc dû décrire, en tourn&ut sur lui-même, un angle mesuré sur le cercle C par un arc y égal en longueur à la partie de la génératrice X, comprise entre les plans des deux cercles C et B.

Or, cette portion de X est égale à ' — 1 et l’on a

7 arrr A « ou

vV — r* arr r k n

p.sina r